2025年高考數(shù)學必刷題分類：第2講、常用邏輯用語（學生版）

第2講常用邏輯用語

知識梳理

一、充分條件、必要條件、充要條件

1、定義

如果命題“若p，則q”為真（記作pq），則p是q的充分條件；同時q是p的必要

條件．

2、從邏輯推理關(guān)系上看

（1）若pq且q?p，則p是q的充分不必要條件；

（2）若p?q且qp，則p是q的必要不充分條件；

（3）若pq且qp，則p是q的的充要條件（也說p和q等價）；

（4）若p?q且q?p，則p不是q的充分條件，也不是q的必要條件．

對充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實質(zhì)：pq，則p是q的充分條

件，同時q是p的必要條件．所謂“充分”是指只要p成立，q就成立；所謂“必要”是指要使

得p成立，必須要q成立（即如果q不成立，則p肯定不成立）．

二．全稱量詞與存在量詞

（1）全稱量詞與全稱量詞命題．短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量

詞，并用符號“”表示．含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題．全稱量詞命題“對M中的

任意一個x，有p(x)成立”可用符號簡記為“xM,p(x)”，讀作“對任意x屬于M，有p(x)

成立”．

（2）存在量詞與存在量詞命題．短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存

在量詞，并用符號“”表示．含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題．存在量詞命題“存在M

中的一個，使成立可用符號簡記為，讀作存在中元素，使

x0p(x0)”“x0M,P(x0)”“Mx0

成立（存在量詞命題也叫存在性命題）．

p(x0)”

三．含有一個量詞的命題的否定

（）全稱量詞命題的否定為，．

1p:xM,p(x)px0Mp(x0)

（）存在量詞命題的否定為．

2p:x0M,p(x0)pxM,p(x)

注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點之一．

【解題方法總結(jié)】

1、從集合與集合之間的關(guān)系上看

設Ax|p(x),Bx|q(x)．

（1）若AB，則p是q的充分條件（pq），q是p的必要條件；若AB，則p是

q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件，即pq且q?p；

注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小大”．

（2）若BA，則p是q的必要條件，q是p的充分條件；

（3）若AB，則p與q互為充要條件．

2、常見的一些詞語和它的否定詞如下表

原詞語等于()大于()小于()是都是任意（所有）至多有一個至多有一個

否定詞語不等于小于等于大于等于不是不都是某個至少有兩個一個都沒有

()()()

（1）要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合M中的每一個元素x證明其

成立，要判斷全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合中的一個，使得其不成立即可，

Mx0

這就是通常所說的舉一個反例．

（）要判斷一個存在量詞命題為真命題，只要在限定集合中能找到一個使之成立

2Mx0

即可，否則這個存在量詞命題就是假命題．

必考題型全歸納

題型一：充分條件與必要條件的判斷

【解題總結(jié)】

1、要明確推出的含義，是p成立q一定成立才能叫推出而不是有可能成立．

2、充分必要條件在面對集合問題時，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．

3、充分必要條件考察范圍廣，失分率高，一定要注意各個知識面的培養(yǎng)．

2

例1．（2024·江蘇揚州·揚州中學?？寄M預測）已知向量am,9，b1,1，則“m3”

是“a//b”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

例2．（2024·全國·高三專題練習）已知直線a平面，則“直線a//平面”是“平面平

面”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

11

例3．（2024·天津和平·高三天津一中校考階段練習）“cos2”是“cos”的（）

22

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

例4．（2024·天津南開·南開中學?？寄M預測）已知a，bR，則“ab”是“a2b2”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

題型二：根據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍

【解題總結(jié)】

1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含關(guān)系．

2、在充分必要條件求解參數(shù)取值范圍時，要注意端點是否能取到問題，容易出錯．

例5．（2024·山東濰坊·統(tǒng)考二模）若“x”是“sinxcosx1”的一個充分條件，則的一

個可能值是__________.

例6．（2024·上海長寧·統(tǒng)考二模）若“x1”是“xa”的充分條件，則實數(shù)a的取值范圍為

___________．

例7．（2024·全國·高三專題練習）若“x2”是“xa”的必要不充分條件，則a的值可以是

__________.（寫出滿足條件a的一個值即可）

題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假

【解題總結(jié)】

1、全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷既要通過漢字意思，又要通過數(shù)學結(jié)論．

2、全稱量詞命題和存在量詞命題的真假性判斷較為簡單，注意細節(jié)即可．

例8．（2024·河北·高三學業(yè)考試）設非空集合P，Q滿足PQP，則下列選項正確的是

（）

A．xQ，有xPB．xQ，有xP

C．xQ，使得xPD．xP，使得xQ

例9．（2024·全國·高三專題練習）已知0ba1，下列四個命題：①x(0,)，axbx，

abx

②x(0,1)，logaxlogbx，③x(0,1)，xx，④x(0,b)，alogax．

其中是真命題的有（）

A．①③B．②④C．①②D．③④

1

例10．（2024·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預測）直線l1:x1ay1aaR，直線l:yx，

22

給出下列命題：

①aR，使得l1//l2；②aR，使得l1l2；

③aR，l1與l2都相交；④aR，使得原點到l1的距離為2.

其中正確的是（）

A．①②B．②③C．②④D．①④

題型四：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

【解題總結(jié)】

1、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定是將條件中的全稱量詞和存在量詞互換，結(jié)論

變否定．

2、全稱量詞命題和存在量詞命題的否定要注意否定是全否，而不是半否．

例11．（2024·四川成都·三模）命題“xR,x2x10”的否定是（）

22

A．x0R,x0x010B．x0R,x0x010

22

C．xR,xx10D．x0R,x0x010

例12．（2024·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預測）已知命題p:nN，2n2不是素數(shù)，則p為（）

A．nN，2n2是素數(shù)B．nN，2n2是素數(shù)

C．nN，2n2是素數(shù)D．nN，2n2是素數(shù)

例13．（2024·四川成都·成都七中統(tǒng)考模擬預測）命題“有一個偶數(shù)是素數(shù)”的否定是（）

A．任意一個奇數(shù)是素數(shù)B．任意一個偶數(shù)都不是素數(shù)

C．存在一個奇數(shù)不是素數(shù)D．存在一個偶數(shù)不是素數(shù)

題型五：根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍

【解題總結(jié)】

1、在解決求參數(shù)的取值范圍問題上，可以先令兩個命題都為真命題，如果哪個是假命

題，去求真命題的補級即可．

2、全稱量詞命題和存在量詞命題的求參數(shù)問題相對較難，要注重端點出點是否可以取

到．

例14．（2024·全國·高三專題練習）若命題“a1,3,ax22a1x3a0”為假命題，

則實數(shù)x的取值范圍為（）

5