福建省莆田市莆田第三中學2024-2025學年高一下學期3月份月考數(shù)學試題（原卷版+解析版）

莆田三中2024-2025學年下學期高一數(shù)學3月份月考試卷（教師版）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.化簡：（）A. B. C. D.2.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，，，則（）A. B. C.4 D.3.已知，則（）A.1 B. C. D.4.在平面直角坐標系中，角的頂點在坐標原點，其始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點，則＝（）A. B. C. D.5.已知向量，，，若，則（）A. B. C.0 D.16.在中，若，則的形狀為（）A.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形7.設向量與滿足，在方向上的投影向量為，若存在實數(shù)，使得與垂直，則（）A.2 B. C. D.8.已知在所在平面內，，E、F分別為線段、的中點，直線與相交于點G，若，則（）A.當時，取得最小值B.當時，的最小值為C.當時，的最小值為D.當時，取得最小值二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題中，正確的命題有（）A.向量與向量的長度相等B.是，共線充要條件C.若，，，則與的方向相同或者相反D.若，兩個單位向量，且，則10.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，且，則（）A. B.C. D.11.如圖所示，線段是弦，其中，，點D為上任意一點，則以下結論正確的是（）A.B.最大值是78C.當時，D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12已知向量，，若，則________．13.在中，，，，則的值為______14.已知正方形的邊長為2，E是的中點，F(xiàn)是線段上的點，則的最大值為________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在直角坐標系中，已知點，，，其中．（1）若，求的值；（2）設點，求的取值范圍．16.已知平面向量，，，．（1）若，求x的值；（2）若，求的值．（3）若與的夾角是銳角，求x的取值范圍．17.的角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，，．（1）求a和；（2）求的值．18.已知函數(shù)（1）求的最小正周期和單調遞增區(qū)間；（2）若，，求的值．19.在平面直角坐標系中，對于非零向量，，定義這兩個向量的“相離度”為，容易知道，平行的充要條件為．（1）已知，，求；（2）①已知，的夾角為和，的夾角為，證明：的充分必要條件是；②在中，，，且，若，求．

莆田三中2024-2025學年下學期高一數(shù)學3月份月考試卷（教師版）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.化簡：（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】應用向量加減法則化簡即可得答案.【詳解】.故選：C2.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，，，則（）A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理即可得出答案.【詳解】由余弦定理可得，則.故選：B.3.已知，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】應用二倍角余弦公式計算即可.【詳解】因為，則.故選：B.4.在平面直角坐標系中，角的頂點在坐標原點，其始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點，則＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)角終邊上的點坐標，求得，代入二倍角公式即可求得的值.【詳解】由定義知sinα=，，所以，故選：B.【點睛】該題考查的是有關三角恒等變換的問題，涉及到的知識點有三角函數(shù)的定義，正弦二倍角公式，熟練記憶公式即可解決，屬于基礎題目..5.已知向量，，，若，則（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量共線的充要條件得解即可.【詳解】因為，，所以，因，所以，解得，故選：B6.在中，若，則的形狀為（）A.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)正弦定理，將邊化為角，再結合二倍角的正弦公式，以及角的關系，即可判斷.【詳解】因為，由正弦定理可得，即，所以，可得或，所以或，所以的形狀為等腰或直角三角形.故選：D．7.設向量與滿足，在方向上的投影向量為，若存在實數(shù)，使得與垂直，則（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義結合已知求得，再由與垂直，得，結合數(shù)量積得運算律即可得解.【詳解】解：因為在方向上的投影向量為，所以，所以，因為與垂直，所以，即，解得.故選：B.8.已知在所在平面內，，E、F分別為線段、的中點，直線與相交于點G，若，則（）A.當時，取得最小值B.當時，的最小值為C.當時，的最小值為D.當時，取得最小值【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)已知條件得出向量之間的線性關系，再利用向量共線定理確定相關系數(shù)，接著根據(jù)向量垂直的性質得到關于向量模長和夾角余弦值的等式，最后運用基本不等式求出夾角余弦值的最小值.【詳解】設，，與的夾角為，因為，所以，由于E、F分別為線段，中點，則，，因為E，G，F(xiàn)共線，所以存在實數(shù)，使得，又因為B，G，C共線，所以，解得，則，那么，，由于，所以，由此可得，而，當且僅當，即（，）時，等號成立，此時，取得最小值．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題中，正確的命題有（）A.向量與向量的長度相等B.是，共線的充要條件C.若，，，則與的方向相同或者相反D.若，是兩個單位向量，且，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)平面向量的定義及其性質對各選項判斷即可.【詳解】對于A，向量與向量是方向相反的向量，但它們的長度是相等的，因為向量長度只與向量的大小有關，與方向無關，所以選項A正確；對于B，若，同向共線時，，，則，不相等，所以不是，共線的充要條件，故B不正確；對于C，，，，則與共線，故與的方向相同或者相反，C正確；對于D，若，是兩個單位向量，且，則，則，故D錯誤．故選：AC.10.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，且，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】通過已知條件，利用余弦定理求出角，再根據(jù)三角形面積公式求出的值，最后結合已知條件和完全平方公式求出的值.【詳解】在中，因為，即，由余弦定理，又，所以，，故B錯誤，A正確；因為，則，所以，故C正確；因為，，，則，所以，因為，所以，故D正確．故選：ACD．11.如圖所示，線段是的弦，其中，，點D為上任意一點，則以下結論正確的是（）A.B.的最大值是78C.當時，D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)圖形特征判斷A，再應用數(shù)量積公式計算判斷B，D，再根據(jù)向量垂直得出角的正弦值判斷C.【詳解】點D為上一動點，可知當點A，C，D三點共線的時候，的值最大是，故選A；，故選D；當時，即，此時，點D在上有兩個位置，如圖所示，故不止一個答案，所以，排除C選項．對于B選項，如圖1所示，建立平面直角坐標系，則點D坐標設為，A點坐標是，B點坐標是，則，，，所以，當，即時，取得最大值72，因此B不正確；故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，若，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量坐標運算求出的坐標，再利用向量垂直的性質列出方程，最后求解方程得到的值.【詳解】因為，，所以，因為，所以，解得．故答案為：13.在中，，，，則的值為______【答案】【解析】【分析】由可求出,再根據(jù)余弦定理求出,即可由正弦定理求出.【詳解】由可得，，解得．∴，即．由正弦定理可得，．故答案為：．【點睛】本題主要考查三角形面積公式的應用，以及正余弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎題．14.已知正方形的邊長為2，E是的中點，F(xiàn)是線段上的點，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】先建系得出坐標，再應用平面向量數(shù)量積的坐標運算結合二次函數(shù)值域計算求解.【詳解】如圖，以A為原點建立平面直角坐標系，則，，，∴．設，則，∴，∴，∴當時，有最大值，最大值為故答案：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在直角坐標系中，已知點，，，其中．（1）若，求的值；（2）設點，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用共線向量的坐標表示，列式計算得解．（2）利用數(shù)量積的坐標表示，結合輔助角公式及余弦函數(shù)性質求出最大值．【小問1詳解】依題意，，，由，得，所以．【小問2詳解】依題意，，點，則，，因此，當時，則，因此當，即時，取得最大值，此時當，即時，取得最小值，此時所以的取值范圍是．16.已知平面向量，，，．（1）若，求x的值；（2）若，求的值．（3）若與的夾角是銳角，求x的取值范圍．【答案】（1）或3；（2）或5；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為列方程求解.（2）根據(jù)兩平行向量坐標之間的關系列方程求解出x，代入得到的坐標，再代入向量模的公式進行求解.（3）與的夾角是銳角，則且兩向量不共線.【小問1詳解】若，則，整理得，解得或．所以的值為或3．【小問2詳解】（2）若，則有，即，解得或，當時，，，則，得；當時，，，則，得．所以，的值為或5．【小問3詳解】（3）因與的夾角是銳角，則，即，得，又當與共線時，有，得，不合題意，則綜上，的取值范圍為．17.的角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，，．（1）求a和；（2）求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先應用余弦定理計算得出，再結合同角三角函數(shù)關系應用正弦定理求解；（2）先根據(jù)二倍角正弦及余弦公式計算求值，最后應用兩角和余弦公式計算即可.【小問1詳解】由余弦定理可得，由，則，由，即，代入上式整理可得，解得由，根據(jù)正弦定理，可得．【小問2詳解】；18.已知函數(shù)（1）求的最小正周期和單調遞增區(qū)間；（2）若，，求的值．【答案】（1）最小正周期為，單調遞增區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，利用正弦型周期函數(shù)可求出函數(shù)的最小正周期，利用正弦型函數(shù)的單調性可求出函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）由已知條件得出，結合同角三角函數(shù)的基本關系可求出的值，再利用兩角和的余弦公式可求出的值.【小問1詳解】因為，所以，函數(shù)的最小正周期為.由解得，所以，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.【小問2詳解】由（1）知，又因為，則，因為，則，因為，則．所以，.19.在平面直角坐標系中，對于非零向量，，定義這兩個向量“相離度”為，容易知道，平行的充要條件為．（1）已知，，求；（2）①