專題16 相似三角形-備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學(xué)真題題源解密（山東專用）

PAGE1專題16相似三角形課標要求考點考向1．了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例的線段;通過建筑、藝術(shù)上的實例了解黃金分割。2.通過具體實例認識圖形的相似。了解相似多邊形和相似比。3.掌握基本事實:兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。4.了解相似三角形的判定定理:兩角分別相等的兩個三角形相似;兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似;三邊成比例的兩個三角形相似。5.了解相似三角形的性質(zhì)定理:相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比;面積比等于相似比的平方。6．了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小。7.會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題。相似三角形考向一相似三角形的判定與性質(zhì)考向二相似與四邊形的綜合考向三相似與圓的綜合考點相似三角形?考向一相似三角形的判定與性質(zhì)解題技巧已知一對等角，則找另一對等角或該角的兩邊對應(yīng)成比例；有兩邊對應(yīng)成比例，則找夾角相等或第三邊也對應(yīng)成比例；證明兩直角三角形相似時，往往證明一對銳角相等即可；證明兩等腰三角形相似時，往往證明頂角相等或者底角相等.1.（2024?德州）如圖中，，，垂足為D，平分，分別交，于點F，E．若，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．設(shè)，，利用勾股定理求得，，再證明得到，再利用角平分線的性質(zhì)和三角形的面積得到即可求解．【詳解】解：∵，設(shè)，，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，∵平分，∴點F到、的距離相等，又點A到、的距離相等，∴，即，故選：A．2.（2024?濟南）某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)了圖形的相似后，對三角形的相似進行了深入研究．（一）拓展探究如圖1，在中，，垂足為．（1）興趣小組的同學(xué)得出．理由如下：請完成填空：①______；②______；（2）如圖2，為線段上一點，連接并延長至點，連接，當時，請判斷的形狀，并說明理由．（二）學(xué)以致用（3）如圖3，是直角三角形，，平面內(nèi)一點，滿足，連接并延長至點，且，當線段的長度取得最小值時，求線段的長．【答案】（1）①；②；（2）是直角三角形，證明見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)余角的性質(zhì)和三角形相似的性質(zhì)進行解答即可；（2）證明，得出，證明，得出，即可得出答案；（3）證明，得出，求出，以點為圓心，2為半徑作，則都在上，延長到，使，交于，連接，證明，得出，說明點在過點且與垂直的直線上運動，過點作，垂足為，連接，根據(jù)垂線段最短，得出當點E在點處時，最小，根據(jù)勾股定理求出結(jié)果即可．【詳解】解：（1），，，，，，，，，；（2）是直角三角形；理由如下：，，，由（1）得，，，，，，是直角三角形．（3），，，，如圖，以點為圓心，2為半徑作，則都在上，延長到，使，交于，連接，則，∵為的直徑，∴，，∴，，，，點在過點且與垂直的直線上運動，過點作，垂足為，連接，∵垂線段最短，∴當點E在點處時，最小，即的最小值為的長，∵，∴四邊形是矩形，∴，在中根據(jù)勾股定理得：，即當線段的長度取得最小值時，線段的長為．【點睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，圓周角定理，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．?考向二相似與四邊形的綜合1.（2024?東營）如圖，在正方形中，與交于點O，H為延長線上的一點，且，連接，分別交，BC于點E，F(xiàn)，連接，則下列結(jié)論：①；②；③平分；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可知，，，，與互相垂直且平分，進而可求得，根據(jù)正切值定義即可判斷②；由，可知，由相似三角形的性質(zhì)即可判斷①；由，可求得，再結(jié)合與互相垂直且平分，得，可知，進而可判斷③；再證，即可判斷④．【詳解】解：在正方形中，，，，，與互相垂直且平分，則，∵，則，∴，故②不正確；∵，則，，∴，∴，故①不正確；∵，∴，∵，∴，又∵與互相垂直且平分，∴，∴，則，∴，∴平分，故③正確；由上可知，，∴，∴，則，又∵，∴，故④正確；綜上，正確的有③④，共2個，故選：B．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．2.（2024?泰安）綜合與實踐為了研究折紙過程蘊含的數(shù)學(xué)知識，某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進行了數(shù)學(xué)折紙?zhí)骄炕顒樱咎骄堪l(fā)現(xiàn)】（1）同學(xué)們對一張矩形紙片進行折疊，如圖1，把矩形紙片翻折，使矩形頂點的對應(yīng)點恰好落在矩形的一邊上，折痕為，將紙片展平，連結(jié)，與相交于點．同學(xué)們發(fā)現(xiàn)圖形中四條線段成比例，即，請你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由．【拓展延伸】（2）同學(xué)們對老師給出的一張平行四邊形紙片進行研究，如圖2，是平行四邊形紙片的一條對角線，同學(xué)們將該平行四邊形紙片翻折，使點的對應(yīng)點，點的對應(yīng)點都落在對角線上，折痕分別是和，將紙片展平，連結(jié)，，，同學(xué)們探究后發(fā)現(xiàn)，若，那么點恰好是對角線的一個“黃金分劇點”，即．請你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由．【答案】（1）正確，理由見解析；（2）正確，理由見解析【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識點，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）如圖：作于點M，再證可得，再證明四邊形是矩形可得即可證明結(jié)論；（2）利用平行線分線段比例可得，再說明，進而得到；再由由平行四邊形及折疊可得，，則即可證明結(jié)論．【詳解】解：（1）正確，理由如下，作于點，，，，，，，又，．∴．是矩形，，四邊形是矩形．，．（2）同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)說法正確，理由如下，，，，由折疊知，，，，由平行四邊形及折疊知，，，，即點為的一個黃金分割點．3.（2024?威海）如圖，在中，對角線，BD交于點，點在上，點在CD上，連接，，，交于點．下列結(jié)論錯誤的是（

）A．若，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，則【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定即可判斷A，根據(jù)題意可得四邊形是的角平分線，進而判斷四邊形是菱形，證明可得則垂直平分，即可判斷B選項，證明四邊形是菱形，即可判斷C選項，D選項給的條件，若加上，則成立，據(jù)此，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴A.若，即，又，∴∴∴，故A選項正確，B.若，，，∴是的角平分線，∴∵∴∴∴∴四邊形是菱形，∴在中，∴∴又∵∴∴，故B選項正確，C.∵，∴∵，∴∴∴∴四邊形是菱形，∴，又∵∴，∵，∴垂直平分，∴∴，故C選項正確；D.若，則四邊形是菱形，由，且時，可得垂直平分，∵∴，故D選項不正確故選：D．4.（2024?煙臺）如圖，在正方形中，點E，F(xiàn)分別為對角線的三等分點，連接并延長交于點G，連接，若，則用含α的代數(shù)式表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)．證明，求得，證明，證得，推出，得到，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵正方形中，點E，F(xiàn)分別為對角線的三等分點，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∵點E，F(xiàn)分別為對角線的三等分點，∴，∵正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故選：B．5.（2024?淄博）如圖，在邊長為10的菱形中，對角線，相交與點，點在延長線上，與相交與點．若，，則菱形的面積為．【答案】96【分析】此題重點考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識．作交于點H，則，求得，再證明，求得，再證明，則，利用勾股定理求得的長，再利用菱形的面積公式求解即可得到問題的答案．【詳解】解：作交于點H，則，∵四邊形是邊長為10的菱形，對角線相交于點O，∴，，，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵四邊形是菱形，且，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，故答案為：96．6.（2024?山東）如圖，點為的對角線上一點，，，連接并延長至點，使得，連接，則為（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，平行證明相似等知識點，正確作輔助線是解題關(guān)鍵．解法一：延長和，交于點，先證，得到，再證，得到，即可求得結(jié)果；解法二：作交于點H，證明出，得到，，然后證明出四邊形是平行四邊形，得到．【詳解】解：解法一：延長和，交于點，∵四邊形是平行四邊形，∴，即，∴∴，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∵，，∴，∴，∴∴，∴，∴∵，∴．解法二：作交于點H∴，，又∵，∴，∴，，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴．故選：B．?考向三相似與圓的綜合1.（2024?泰安）如圖，是的直徑，是的切線，點為上任意一點，點為的中點，連接交于點，延長與相交于點，若，，則的長為．

【答案】【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓周角定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．先證可得從而得到，求得，再運用勾股定理可得，再根據(jù)圓周角定理以及角的和差可得，最后根據(jù)等角對等邊即可解答．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵點為的中點，∴，∴，∵，∴，即，∴．故答案為：．2.（2024?威海）如圖，已知是的直徑，點C，D在上，且．點E是線段延長線上一點，連接并延長交射線于點F．的平分線交射線于點H，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查切線的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)角平分線的定義得到是解題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)圓周角定理得到，即可得到，然后根據(jù)角平分線的定義得到，然后得到即可證明切線；（2）設(shè)的半徑為，根據(jù)，可以求出，然后根據(jù)，即可得到結(jié)果．【詳解】（1）證明：連接，則，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵是半徑，∴是的切線；（2）解：設(shè)的半徑為，則，∵，即，解得，∴，，又∵∴，∴，即，解得．1.（2024?淄博）在綜合與實踐活動課上，小明以“圓”為主題開展研究性學(xué)習(xí)．【操作發(fā)現(xiàn)】小明作出了的內(nèi)接等腰三角形，．并在邊上任取一點（不與點，重合），連接，然后將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到．如圖①小明發(fā)現(xiàn)：與的位置關(guān)系是__________，請說明理由：【實踐探究】連接，與相交于點．如圖②，小明又發(fā)現(xiàn)：當確定時，線段的長存在最大值．請求出當．時，長的最大值；【問題解決】在圖②中，小明進一步發(fā)現(xiàn)：點分線段所成的比與點分線段DE所成的比始終相等．請予以證明．【答案】操作發(fā)現(xiàn)：與相切；實踐探究：；問題解決：見解析【分析】操作發(fā)現(xiàn)：連接并延長交于點M，連接，根據(jù)直徑所對圓周角為直角得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，由圓周角定理推出，等量代換得到，利用直角三角形的性質(zhì)即可證明，即可得出結(jié)論；實踐探究：證明，得到，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)得到，易證，得到，設(shè)，則，得到，利用二次函是的性質(zhì)即可求解；問題解決：過點E作交于點N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：，證明，推出，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，得到，根據(jù)，易證，得到，即可證明結(jié)論．【詳解】操作發(fā)現(xiàn)：解：連接并延長交于點M，連接，是直徑，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，是的半徑，與相切；實踐探究：解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，即，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，當時，有最大值為；問題解決：證明：過點E作交于點N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：，，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，，，，，．【點睛】本題考查圓周角定理，切線的證明，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)最值的應(yīng)用，正確作出輔助線，構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（24-25九年級上·山東濟南·期中）如圖1是某班級的花架，圖2是其側(cè)面示意圖，已知，，，則的長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理．根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，代入數(shù)據(jù)計算得的長，進一步計算即得答案．【詳解】解∶∵，∴，又，，∴，∴，∴．故答案為：C．2．（24-25九年級上·山東濟南·期中）“黃金比例分割法”是啟功先生研究的一套楷書結(jié)構(gòu)法，是將正方形按照黃金分割的比例來分割，形成“黃金格”（如圖，四條與邊平行的線的交點都是黃金分割點），漢字的筆畫至少要穿過兩個黃金分割點才美觀．若正方形“黃金格”的邊長為，四個黃金分割點組成的正方形的邊長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了黃金分割的比例線段．根據(jù)黃金分割的定義進行計算即可解答．【詳解】解：如圖，是線段的兩個黃金分割點，線段的長為，，，，四個黃金分割點組成的正方形的邊長為．故選：B．3．（22-23九年級上·山東濱州·期末）下圖所示的四種畫法中，能使得是位似圖形的有（

）A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一個點，且對應(yīng)邊互相平行，逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：∵每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一個點，且對應(yīng)邊互相平行∴①②③④能使得是位似圖形，故選：D．【點睛】本題考查了位圖圖形的性質(zhì)與畫法，掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題4．（24-25九年級上·山東青島·期中）在中華人民共和國75周年華誕到來之際，某學(xué)校開展了“我心繪版圖

美麗白紙坊”手繪地圖活動．小明繪制了一張比例尺為的青島城區(qū)交通游覽圖，棧橋的圖上長度約為，則棧橋的實際長度約為m．【答案】440【分析】本題考查比例尺，根據(jù)比例尺等于圖上距離與實際距離的比，列出比例式進行求解即可．【詳解】解：設(shè)棧橋的實際長度為，則：，∴，；故答案為：4405．（2023·山東菏澤·一模）題目：“如圖，紙片的直角邊，是紙片邊上不與、、重合的一點，欲過點剪下一個與相似的三角形．問有幾種不同的剪法．”對于其答案，甲答：當點在斜邊AB上時有三種不同的剪法；乙答：當點在直角邊上時有三種不同剪法；丙答：當點在直角邊上時有四種不同的剪法．回答正確的人是．

【答案】甲、丙【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合題意，點在斜邊AB上，點在直角邊或直角邊上，分類討論即可求解．【詳解】解：當點在斜邊AB上時有三種不同的剪法：沿過點垂直的垂線剪，故甲對；

當點在直角邊上時有四種不同剪法：如圖所示，過作交于,則過作交于，則，作，則，，則，作交于點，則，

同理點在直角邊上時有四種不同剪法，故乙錯，丙對；故答案為：甲和丙．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．（2023·山東濟南·三模）如圖，在矩形中，，，E是的中點，F(xiàn)是線段上的一點，連接，把沿折疊，使點B落在點G處，連接，的延長線交線段于點H．給出下列判斷：①；②；③當時，的長度是④線段長度的最小值是；⑤當點G落在矩形的對角線上，的長度是3或；其中正確的是．（寫出所有正確判斷的序號）

【答案】①②③【分析】利用正切函數(shù)的定義即可判斷①正確；利用同角的余角相等推出，可判斷②正確；推出點D、G、F三點共線，證明，可判斷③正確；當點D、G、E三點共線，線段長度的最小值是，由于F是線段上的一點，不存在D、G、E三點共線，可判斷④不正確；證明是等邊三角形，可判斷⑤．【詳解】解：連接，

∵矩形中，，，∴，∴，∴，故①正確；由折疊的性質(zhì)知是的垂直平分線，∴，∴，∴，故②正確；由折疊的性質(zhì)知，∵，∴點D、G、F三點共線，連接，

在和中，，，∴，∴，故③正確；∵，∴點A、G、B都在以E為圓心，3為半徑的圓上，，∴當點D、G、E三點共線，線段長度的最小值是，但F是線段上的一點，∴D、G、E三點不可能共線，故④不正確；當點G落在矩形的對角線上時，

由折疊的性質(zhì)知，∵E是的中點，由①知，∴，，∴，∴是等邊三角形，∴的長度是3；由于F是線段上的一點，則點G不會落在矩形的對角線上，故⑤不正確；綜上，①②③說法正確，故答案為：①②③．【點睛】本題考查了矩形與折疊問題，正切函數(shù)，相似三角形的判定，勾股定理等知識，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．三、解答題7．（24-25九年級上·山東濟南·階段練習(xí)）如圖，為邊上的中線，為上的點，連接并延長，交于．(1)若是的中點，則______；(2)若，則______；(3)若，則______；(4)若，猜想______，并證明．【答案】(1)(2)(3)(4)，理由見解析【分析】本題考查了平行線分線段成比例，三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是：（1）取中點G，連接，根據(jù)三角形中位線定理得出，根據(jù)平行線分線段成比例得出，然后根據(jù)比例的性質(zhì)求解即可；（2）仿照（1）求解即可；（3）仿照（1）求解即可；（4）仿照（1）求解即可．【詳解】（1）解：取中點G，連接，則，∵為邊上的中線，∴，∴，∵是的中點，∴，∴，又∴，即，故答案為：；（2）解：取中點G，連接，則，∵為邊上的中線，∴，∴，∵∴，又∴，即，故答案為：；（3）解：取中點G，連接，則，∵為邊上的中線，∴，∴，∵∴，又∴，即，故答案為：；（4）解：理由：取中點G，連接，則，∵為邊上的中線，∴，∴，∵∴，又∴，即，故答案為：；8．（24-25九年級上·山東濟南·期中）小敏同學(xué)在學(xué)習(xí)了投影一章的知識后，想利用相關(guān)知識測量小區(qū)內(nèi)一座假山的高度，于是他設(shè)計了這樣的方案：如圖1，假山的頂端有一盞路燈E，小敏同學(xué)在假山的一側(cè)垂直于地面樹立一根高度為的標桿，移動標桿的位置，測量路燈下標桿投影的長度，以及標桿底段B到假山正下方點D的距離，利用三角形相似的相關(guān)知識便可以求出假山的高度．(1)若，，請用關(guān)于a，b的代數(shù)式表示假山的高度．(2)在實際操作中，小敏測得，但在測量的長度時，發(fā)現(xiàn)假山正下方的點D處根本無法直接到達，小敏稍加思索，便得出了改進方案，如圖2所示，他將豎直標桿移動到C點處，測得此時標桿在路燈下的影長變?yōu)?，根?jù)這些數(shù)據(jù)便可以計算假山的高度，請你幫助小敏求出假山的高度．【答案】(1)DE=m(2)假山的高度為【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．（1）先證，得，進而得，再代入，，即可得出結(jié)論；（2）先證，，得，再由得，，得關(guān)于x的方程，解方程得，即，再由（1）的結(jié)論得．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，即，即，∴；（2）解：∵，，，∴，∴，，∴，又∵，∴，設(shè)，則，，∴，解得，即，由（1）得∴假山的高度為．9．（24-25九年級上·山東淄博·期中）如圖（1），在四邊形中，對角線平分，．(1)求證：；(2)小宇為了研究圖（1）中線段之間的數(shù)量關(guān)系，設(shè)．①建立模型：請求出關(guān)于的函數(shù)表達式，并直接寫出自變量的取值范圍；②畫出圖象：請在如圖（2）所示的平面直角坐標系中，畫出①中該函數(shù)的圖象；③歸納性質(zhì)：請寫出①中該函數(shù)的一條性質(zhì)：_____；(3)問邊與邊的和是否存在最小值，若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)①；②見解析；③函數(shù)的最小值是8（答案不唯一）(3)【分析】本題是相似形綜合題，考查相似三角形的判定和性質(zhì)，動點問題，函數(shù)圖象等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．（1）由相似三角形的判定可得結(jié)論；（2）①相似三角形的性質(zhì)可得，即可求解；②利用描點法畫出函數(shù)圖象即可；③結(jié)合圖象，可求解；（3）由，可求解．【詳解】（1）解：平分，，，；（2）解：①△△，，，，，，；②如圖所示：③函數(shù)的一條性質(zhì)為：函數(shù)的最小值是8，故答案為：函數(shù)的最小值是8（答案不唯一）；（3）解：存在；，又，，，，．故邊與邊和的最小值為．10．（24-25九年級上·山東棗莊·期中）在一次數(shù)學(xué)課上，小穎和小慧用兩個全等的等腰直角三角板進行探究活動，使的一個頂點落在邊上，再繞這個點旋轉(zhuǎn)，與邊、分別交于點M、N．(1)如圖1，小穎把的直角頂點D放在的中點處，然后繞點D旋轉(zhuǎn)，她發(fā)現(xiàn)四邊形的面積始終保持不變．若，則四邊形的面積為________；（直接寫出答案）(2)如圖2，小慧把頂點F放在邊上任意一點處，然后繞點F旋轉(zhuǎn)，她認為與始終相似．小慧的判斷正確嗎？如果正確，請給出證明；如果不正確，請說明理由；(3)如圖3，小穎把頂點F放在的中點處，然后繞點F旋轉(zhuǎn)，與的延長線交于點N．請?zhí)骄烤€段、、的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【答案】(1)(2)正確，理由見解析(3)，理由見解析【分析】本題是三角形綜合題，主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形、相似三角形的判定及性質(zhì)、外角的性質(zhì)等知識點，解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)圖形正確的畫出輔助線，利用相關(guān)的性質(zhì)定理求證三角形全等．（1）如圖，過點D作于點G，于點H，證明，得四邊形的面積和正方形的面積相等，進而可以解決問題．（2）由是等腰直角三角形，可求出，由三角形外角性質(zhì)可得，可得出，又因為，求得，已知，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可得出．（3）由是等腰直角三角形，可求出，由三角形外角性質(zhì)可得，可得出，又因為，求得，已知，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可得出，則對應(yīng)邊成比例，即，由點F放在的中點，可得，變形即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，過點D作于點G，于點H，．在中，，四邊形是矩形．點D放在的中點處，，，是的垂直平分線．四邊形是正方形．．，，．，．，，．點D放在的中點處，，點G，H是的中點．是的中位線．．，，，．正方形的面積為∶四邊形的面積為．（2）正確，理由是：∵在中，，，∴．∵，∴，又∵，∴，又∵，∴（兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）．（3），理由是：∵在中，，，∴．∵，∴，又∵，∴，又∵，∴（兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）∴，∴點F放在的中點，∴，即：11．（24-25九年級上·山東濰坊·期中）如圖①，黃金矩形紙片中，，折出一個正方形后，余下的矩形的寬與長的比等于矩形的寬與長的比．(1)求黃金矩形的寬與長的比；(2)用黃金矩形紙片進行如下操作（如圖②）：第一步：折出正方形；第二步：對折正方形，展開，折痕為，連接；第三步：折疊紙片使落在所在的直線上，發(fā)現(xiàn)折痕恰好經(jīng)過點A，展開，折痕與交于點M；第四步：過點M作線段，垂足為R．求證：矩形也是黃金矩形；(3)如圖③，若點G為正方形的邊上（不與端點重合）一動點，，連接，折疊紙片使落在上，點F的對應(yīng)點為點N，折痕交于點M，過點M作線段，垂足為R．當四邊形的周長為3時，直接寫出矩形的周長．【答案】(1)；(2)見解析；(3)6【分析】（1）根據(jù)矩形的寬與長的比等于矩形的寬與長的比列方程求解即可；（2）設(shè)，證明，求出與的比即可判斷；（3）設(shè)，則，設(shè)，則．連接，由折疊的性質(zhì)可得：，，由四邊形的周長為3，得，進而可得．證明，即可求得矩形的周長。【詳解】（1）解：∵四邊形為矩形，，∵四邊形為正方形，，設(shè)，則．∵矩形的寬與長的比等于矩形的寬與長的比，∴，解得：（負數(shù)不合題意，舍去），，．∴黃金矩形的寬與長的比；（2）證明：設(shè)，∵四邊形為黃金矩形，，∵四邊形為正方形，，．，，∴，∴，，，∴．即矩形的寬與長的比等于黃金比，∴矩形也是黃金矩形；（3）解：矩形的周長為6．理由：∵四邊形為正方形，，，，，∴四邊形為矩形，，．設(shè)，則，設(shè)，則．連接，如圖，由折疊的性質(zhì)可得：，，∵四邊形的周長為3，，，．，，，∴，，，，．在和中，，，，，，∴矩形的周長．【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)是關(guān)鍵．12．（24-25九年級上·山東濟南·階段練習(xí)）太陽能光伏發(fā)電因其清潔、安全、高效等特點，已成為世界各國重點發(fā)展的新能源產(chǎn)業(yè)．圖①是太陽能電板，圖②是其截面示意圖，其中為太陽能電板，均為鋼架且垂直于地面為水平鋼架且垂直于CD，測得．若某一時刻的太陽光線垂直照射．(1)求鋼架的長；(2)求太陽能電板的影子的長（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意，得，易證四邊形是矩形，由矩形的性質(zhì)得出，進而得出．在中，由，進而得．根據(jù)相似三角形的判定可證，由相似三角形的性質(zhì)得出，把數(shù)值代入即可得出結(jié)果；（2）過點作于，證四邊形是矩形，由矩形的性質(zhì)得出，即，再根據(jù)，得出，進而得出，根據(jù)相似三角形的判定可證，由相似三角形的性質(zhì)得出．在中，由勾股定理可得的長，進而得出的值．【詳解】（1）解：如圖，由題意，得，，四邊形是矩形，，，又在中，，，，又，，，，，，答：鋼架的長為．（2）解：如圖，過點作于，，，∴四邊形是矩形，，，又，，，又，，，在中，由勾股定理，得，，，，，答：太陽能電板的影子的長為．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，平行投影，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，平行投影是解題的關(guān)鍵．13．（24-25九年級上·山東青島·期中）（1）如圖①，正方形的邊長為1，是延長線上一點，且，與相交于點，則的面積為________；（2）如圖熱，正方形的邊長為1，是延長線上一點，且，與相交于點，則的面積為________；（3）正方形的邊長為1，是延長線上一點，且，與相交于點，則的面積為________；（用含的代數(shù)式表示）（4）如圖③，正方形的邊長為，是延長線上一點，且，與相交于點，則的面積為________．（用含，的代數(shù)式表示）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析