《誤差理論與數(shù)據(jù)處理（苐7版）》教案全套 第1-7章 緒論-動(dòng)態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)處理

PAGEPAGE18/71誤差理論與數(shù)據(jù)處理教案目錄TOC\o"1-2"\h\z\u第一章緒論 4第一節(jié) 研究誤差的意義 4第二節(jié)誤差的基本概念 4第三節(jié)精度 6第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運(yùn)算 7第二章誤差的基本性質(zhì)與處理 8第一節(jié)隨機(jī)誤差 8第二節(jié)系統(tǒng)誤差 20第三節(jié)粗大誤差 25第四節(jié) 測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實(shí)例 28第三章誤差的合成與分配 30第一節(jié)函數(shù)誤差 30第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成 33第三節(jié) 系統(tǒng)誤差合成 34第四節(jié) 系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成 36第五節(jié)誤差分配 37第六節(jié) 微小誤差取舍準(zhǔn)則 38第七節(jié) 最佳測(cè)量方案的確定 39第四章測(cè)量不確定度 40第一節(jié) 測(cè)量不確定度的基本概念 40第二節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量不確定度的評(píng)定 40第三節(jié) 測(cè)量不確定度的合成 42第四節(jié) 測(cè)量不確定度應(yīng)用實(shí)例 43第五章線性測(cè)量的參數(shù)最小二乘處理 49第一節(jié) 最小二乘原理 49第二節(jié) 正規(guī)方程 52第三節(jié) 精度估計(jì) 57第四節(jié) 組合測(cè)量的最小二乘處理 59第六章回歸分析 61第一節(jié) 回歸分析的基本概念 61第二節(jié) 一元線性回歸 61第三節(jié) 兩個(gè)變量都具有誤差時(shí)線性回歸方程得確定 65第四節(jié)一元非線性回歸 65第七章動(dòng)態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)處理基本方法 67第一節(jié) 動(dòng)態(tài)測(cè)試基本概念 67第二節(jié) 隨機(jī)過(guò)程及其特點(diǎn) 67第三節(jié) 隨機(jī)過(guò)程特征量的估計(jì) 69 第一章緒論第一節(jié) 研究誤差的意義研究誤差的意義主要?dú)w納為：1、正確認(rèn)識(shí)誤差的性質(zhì)，分析誤差產(chǎn)生的原因—從根本上，消除或減小誤差2、正確處理測(cè)量和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，合理計(jì)算所得結(jié)果—通過(guò)計(jì)算得到更接近真值的數(shù)據(jù)3、正確組織實(shí)驗(yàn)過(guò)程，合理設(shè)計(jì)、選用儀器或測(cè)量方法—根據(jù)目標(biāo)確定最佳系統(tǒng)第二節(jié)誤差的基本概念一、誤差的定義及表示法誤差的定義：測(cè)得值與被測(cè)量的真值之間的差。表達(dá)式為：誤差＝測(cè)得值－真值真值（ruelue：觀測(cè)一個(gè)量時(shí)，該量本身所具有的真實(shí)大小。包括理論值和約定真值。約定真值(oetionalruealue：對(duì)于給定用途具有適當(dāng)不確定度的、賦予特定量的值。也稱為指定值、最佳估計(jì)值、約定值或參考值。按表示形式可分為：絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。按性質(zhì)可分為：隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差和粗大誤差。（一）絕對(duì)誤差定義：某量值的測(cè)得值和真值之間的差值。通常簡(jiǎn)稱為誤差。表達(dá)式為：絕對(duì)誤差＝測(cè)得值－真值真值常用約定真值來(lái)表示特點(diǎn)：絕對(duì)誤差是一個(gè)具有確定的大小、符號(hào)及單位的量。給出了被測(cè)量的量綱，其單位與測(cè)得值相同。在實(shí)際使用時(shí)，為方便消除系統(tǒng)誤差，常使用修正值。修正值的定義：為了消除固定的系統(tǒng)誤差用代數(shù)法而加到測(cè)量結(jié)果上的值。其表達(dá)式為：修正值≈真值－測(cè)得值特點(diǎn)：與誤差大小近似相等，但方向相反。修正值本身還有誤差。舉例說(shuō)明測(cè)得值、真值、絕對(duì)誤差。（二）相對(duì)誤差定義：絕對(duì)誤差與被測(cè)量真值之比。其表達(dá)式為：特點(diǎn)：

相對(duì)誤差=絕對(duì)誤差/真值*100%相對(duì)誤差有大小和符號(hào)。無(wú)量綱，一般用百分?jǐn)?shù)來(lái)表示。舉例比較絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差（略）（三）引用誤差定義：是一種表示儀器儀表示值相對(duì)誤差，它是以儀器儀表某一刻度點(diǎn)的示值誤差為分子，以測(cè)得范圍上限值或全量程值為分母的比值。其表達(dá)式為：引用誤差=絕對(duì)誤差/儀表量程*100%說(shuō)明標(biāo)稱范圍上限（或量程）得到的，故該誤差又稱為引用相對(duì)誤差、滿度誤差。舉例說(shuō)明誤差的各種表示法。二、誤差來(lái)源為了減小測(cè)量誤差，提高測(cè)量準(zhǔn)確度，就必須了解誤差來(lái)源。而誤差來(lái)源是多方面的，在測(cè)量過(guò)程中，幾乎所有因素都將引入測(cè)量誤差。來(lái)源包括：1．測(cè)量裝置誤差：標(biāo)準(zhǔn)量具誤差、儀器誤差、附件誤差2．環(huán)境誤差：指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。4．人員誤差：測(cè)量人員的工作責(zé)任心、技術(shù)熟練程度、生理感官與心理因素、測(cè)量習(xí)慣等的不同而引起的誤差。為了減小測(cè)量人員誤差，就要求測(cè)量人員要認(rèn)真了解測(cè)量?jī)x器的特性和測(cè)量原理，熟練掌握測(cè)量規(guī)程，精心進(jìn)行測(cè)量操作，并正確處理測(cè)量結(jié)果。三、誤差分類按照性質(zhì)可以劃分為：（一）系統(tǒng)誤差定義：在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值與被測(cè)量的真值之差。特征：在相同條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，該誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，按某一確定規(guī)律變化的誤差。由于系統(tǒng)誤差具有一定的規(guī)律性，因此可以根據(jù)其產(chǎn)生原因，采取一定的技術(shù)措施，設(shè)法消除或減或者通過(guò)多次變化條件下的重復(fù)測(cè)量的辦法，設(shè)法找出其系統(tǒng)誤差的規(guī)律后，：誤差絕對(duì)值和符號(hào)已經(jīng)明確的系統(tǒng)誤差。未定系統(tǒng)誤差：誤差絕對(duì)值和符號(hào)未能確定的系統(tǒng)誤差，但通常估計(jì)出誤差范圍。舉例說(shuō)明（略）按誤差出現(xiàn)規(guī)律，系統(tǒng)誤差可分為：不變系統(tǒng)誤差：誤差絕對(duì)值和符號(hào)固定不變的系統(tǒng)誤差。變化系統(tǒng)誤差：誤差絕對(duì)值和符號(hào)變化的系統(tǒng)誤差。按其變化規(guī)律，變化系統(tǒng)誤差又可分為線性系統(tǒng)誤差、周期性系統(tǒng)誤差和復(fù)雜規(guī)律系統(tǒng)誤差。舉例說(shuō)明（略）（二）隨機(jī)誤差定義：測(cè)得值與在重復(fù)性條件下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量結(jié)果的平均值之差。又稱為偶然誤差。特征：在相同測(cè)量條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)定方式變化的誤差。產(chǎn)生原因：實(shí)驗(yàn)條件的偶然性微小變化，如溫度波動(dòng)、噪聲干擾、電磁場(chǎng)微變、電源電壓的隨機(jī)起伏、地面振動(dòng)等。性質(zhì)：隨機(jī)誤差的大小、方向均隨機(jī)不定，不可預(yù)見，不可修正。雖然一經(jīng)過(guò)大量的重復(fù)測(cè)量可以發(fā)現(xiàn)，它是遵循某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律的。因此，可以用概率（三）粗大誤差定義：指明顯超出統(tǒng)計(jì)規(guī)律預(yù)期值的誤差。又稱為疏忽誤差、過(guò)失誤差或簡(jiǎn)稱粗差。產(chǎn)生原因：某些偶爾突發(fā)性的異常因素或疏忽所致。（。（。處理方法：由于該誤差很大，明顯歪曲了測(cè)量結(jié)果。故應(yīng)按照一定的準(zhǔn)則進(jìn)行判別，將含有粗大誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)（稱為壞值或異常值）予以剔除。（四）三類誤差的關(guān)系及其對(duì)測(cè)得值的影響系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的定義是科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，不能混淆的。但在測(cè)量實(shí)踐中，由于誤差劃分的人為性和條件性，使得他們并不是一成不變的，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。也就是說(shuō)一個(gè)具體誤差究竟屬于哪一類，應(yīng)根據(jù)所考察的實(shí)際問(wèn)題和具體條件，經(jīng)分析和實(shí)驗(yàn)后確定。如一塊電表，它的刻度誤差在制造時(shí)可能是隨機(jī)的，但用此電表來(lái)校準(zhǔn)一批其它電表時(shí)，該電表的刻度誤差就會(huì)造成被校準(zhǔn)的這一批電表的系統(tǒng)誤差。又如，由于電表刻度不準(zhǔn)，用它來(lái)測(cè)量某電源的電壓時(shí)必帶來(lái)系統(tǒng)誤差，但如果采用很多塊電表測(cè)此電壓，由于每一塊電表的刻度誤差有大有小，有正有負(fù)，就使得這些測(cè)量誤差具有隨機(jī)性。第三節(jié)精度精度：反映測(cè)量結(jié)果與真值接近程度的量。它與誤差的大小相對(duì)應(yīng)，誤差小則精度高，誤差大則精度低，因此可用誤差大小來(lái)表示精度的高低。精度可分為：準(zhǔn)確度（orrectness：它反映測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響。精密度（Pecision：它反映測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差的影響程度。（Accuracy（略）精確度（精度）在數(shù)值上一般多用相對(duì)誤差來(lái)表示，但不用百分?jǐn)?shù)。如某一測(cè)量結(jié)果的相對(duì)誤差為0.001%，則其精度為10-5。第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運(yùn)算一、有效數(shù)字：含有誤差的任何數(shù)，如果其絕對(duì)誤差界是最末尾數(shù)的半個(gè)單位，那么從這個(gè)近似數(shù)左方起的第一個(gè)非零的數(shù)字，稱為第一位有效數(shù)字。從第一位有效數(shù)字起到最末一位數(shù)字止的所有數(shù)字，不管是零或非零的數(shù)字，都叫有效數(shù)字。測(cè)量結(jié)果保留位數(shù)的原則1：最末一位數(shù)字是不可靠的，而倒數(shù)第二位數(shù)字是可靠的。測(cè)量結(jié)果保留位數(shù)的原則2：在進(jìn)行重要的測(cè)量時(shí)，測(cè)量結(jié)果和測(cè)量誤差可比上述原則再多取一維數(shù)字作為參考。二、數(shù)字的舍入規(guī)則計(jì)算和測(cè)量過(guò)程中，對(duì)很多位的近似數(shù)進(jìn)行取舍時(shí)，應(yīng)按照下述原則進(jìn)行湊整：若舍去部分的數(shù)值，大于保留部分末位的半個(gè)單位，則末位數(shù)加1。若舍去部分的數(shù)值，小于保留部分末位的半個(gè)單位，則末位數(shù)減1。1。三、數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則（或稱為安全數(shù)字。在近似數(shù)平方或開方運(yùn)算時(shí)，近似數(shù)的選取與乘除運(yùn)算相同。n(n位對(duì)數(shù)表，以免損失精度。系：角度誤差（″）1010.10.01函數(shù)值位數(shù)5678第二章誤差的基本性質(zhì)與處理第一節(jié)隨機(jī)誤差一、隨機(jī)誤差的產(chǎn)生原因當(dāng)對(duì)同一測(cè)量值進(jìn)行多次等精度的重復(fù)測(cè)量時(shí)，得到一系列不同的測(cè)量值（常稱為測(cè)量列，每個(gè)測(cè)量值都含有誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，卻明顯具有某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。隨機(jī)誤差是由很多暫時(shí)未能掌握或不便掌握的微小因素構(gòu)成，主要有以下幾方面：①測(cè)量裝置方面的因素：不穩(wěn)定性，信號(hào)處理電路的隨機(jī)噪聲等。②環(huán)境方面的因素：溫度、濕度、氣壓的變化，光照強(qiáng)度、電磁場(chǎng)變化等。③人為方面的因素：瞄準(zhǔn)、讀數(shù)不穩(wěn)定，人為操作不當(dāng)?shù)取６?、正態(tài)分布隨機(jī)誤差的分布可以是正態(tài)分布，也有在非正態(tài)分布，而多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布。我們首先來(lái)分析服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差的特性。設(shè)被測(cè)量值的真值為L(zhǎng)0，一系列測(cè)得值為li，則測(cè)量列的隨機(jī)誤差i可表示為：式中i2, ,n0。

iliL0

（2-1）正態(tài)分布的分布密度f(wàn)與分布函數(shù)F為 ef 1 e

222

(2-2) 1 2(22 F e 式中：——標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差）e——自然對(duì)數(shù)的底，基值為2.7182……。它的數(shù)學(xué)期望為：

(2-3)它的方差為：其平均誤差為：

Ef)d022f()d

(2-4)(2-5)

f()d0.797945

(2-6)

f()d1可解得或然誤差為：2由式（2-2）可以推導(dǎo)出：

0.674523

(2-7)①分布具有對(duì)稱性，即絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等，這稱為誤差的對(duì)稱性；②當(dāng)0時(shí)推知單峰性，即絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這稱為誤差的單峰性；nF的存在區(qū)間是只是出現(xiàn)在一個(gè)有限的區(qū)間內(nèi)，即kk，稱為誤差的有界性；ni④隨著測(cè)量次數(shù)的增加隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨近于零i0這n n稱為誤差的補(bǔ)償性。圖2-1圖2-1為正態(tài)分布曲線以及各精度參數(shù)在圖中的坐標(biāo)。值為曲線上拐點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，B值的縱坐標(biāo)線則平分曲線右半部面積。三、算術(shù)平均值對(duì)某量進(jìn)行一系列等精度測(cè)量時(shí)，由于存在隨機(jī)誤差，因此其獲得的測(cè)量值不完全相同，此時(shí)應(yīng)以算術(shù)平均值作為最后的測(cè)量結(jié)果。(一)算術(shù)平均值的意義設(shè)l1,l2 ,ln為n次測(cè)量所得的值，則算術(shù)平均值x為： ll

l

nnlix1 2 nin n

（2-8）下面來(lái)證明當(dāng)測(cè)量次數(shù)無(wú)限增加時(shí)，則算術(shù)平均值x必然趨近于真值L0。iilin nnn nnl2 ln)iin0i1 i1n ni iL0

iin nn由前面正態(tài)分布隨機(jī)誤差的第四特征可知：nlixi1Ln 0由此我們可得出結(jié)論：如果能夠?qū)δ骋涣窟M(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量，就可得到不受隨機(jī)誤差影響的測(cè)量值，或其影響很小，可以忽略。這就是當(dāng)測(cè)量次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，算術(shù)平均值（數(shù)學(xué)上稱之為最大或然值）被認(rèn)為是最接近于真值的理論依據(jù)。但由于實(shí)際上都是有限次測(cè)量，因此，我們只能把算術(shù)平均值近似地作為被測(cè)量的真值。一般情況下，被測(cè)量的真值為未知，不可能按式（2-1）求得隨機(jī)誤差，這時(shí)可用算術(shù)平均值代替被測(cè)量的真值進(jìn)行計(jì)算。此時(shí)的隨機(jī)誤差稱為殘余誤差，簡(jiǎn)稱殘差：ilix

(2-9),n此時(shí)可用更簡(jiǎn)便算法來(lái)求算術(shù)平均值。任選一個(gè)接近所有測(cè)得值的數(shù)l0作為參考值，計(jì)算每個(gè)測(cè)得值與l0,nlilil0

i1,2,n n nlixi1=

(l0li)i

(linl0)=i=l+x

(2-10)n n n 0 0式中的

xi

為簡(jiǎn)單數(shù)值，很容易計(jì)算，因此按（2-10）求算術(shù)平均值比較簡(jiǎn)單。例2-1測(cè)量某物理量10次，得到結(jié)果見表2-1，求算術(shù)平均值。（計(jì)算略）（二）算術(shù)平均值的計(jì)算校核算術(shù)平均值及其殘余誤差的計(jì)算是否正確，可用求得的殘余誤差代數(shù)和來(lái)校核。n nn n由iixiinxx（2-8i1 i1x為未經(jīng)湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，則有：nnvi0i1

(2-11)Δ。經(jīng)過(guò)分析證明，用殘余誤差代數(shù)和校核算術(shù)平均值及其殘差，其規(guī)則為：①殘差代數(shù)和應(yīng)符合：n n當(dāng)linxx為零；ii1n n當(dāng)linxxx時(shí)i1的余數(shù)；

i1n n當(dāng)linxx為非湊整的非準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，x時(shí)i1的虧數(shù)。②殘差代數(shù)和絕對(duì)值應(yīng)符合：

i1當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

nnvii1

nA；2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

nnvii1

(n0.5)A；2式中的A為實(shí)際求得的算術(shù)平均值x末位數(shù)的一個(gè)單位。以上兩種校核規(guī)則，可根據(jù)實(shí)際運(yùn)算情況選擇一種進(jìn)行校核，但大多數(shù)情況選用第二種規(guī)則可能較方便，它不需要知道所有測(cè)得值之和。例2-2用例2-1數(shù)據(jù)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行校核。（計(jì)算略）四、測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差（一）均方根誤差（標(biāo)準(zhǔn)偏差）由于值反映了測(cè)量值或隨機(jī)誤差的散布程度，因此值可作為隨機(jī)誤差ff減小得愈快，即測(cè)量到的精密度愈高，如圖2-2所示。標(biāo)準(zhǔn)差不是測(cè)量到中任何一個(gè)具體測(cè)量值的隨機(jī)誤差，的大小只說(shuō)明，在一定條件下等精度測(cè)量列隨機(jī)誤差的概率分布情況。在該條件下，任一單次測(cè)得值的隨機(jī)誤差，一般都不等于，但卻認(rèn)為這一系列測(cè)量列中所有測(cè)得值都屬于同樣一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的概率分布。在不同條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行兩個(gè)系列的等精度測(cè)量，其標(biāo)準(zhǔn)差也不相同。五、標(biāo)準(zhǔn)差的幾種計(jì)算方法（一）等精度測(cè)量列單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算1、貝塞爾(Bessel)公式計(jì)算公式為：ininv2i1 n12、別捷爾斯法計(jì)算公式為：1.253

nnvin(nn(n1)例2-4用別捷爾斯法求得表2-3的標(biāo)準(zhǔn)差。（計(jì)算略）3、極差法用貝賽爾公式和別捷爾斯公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差均需先求算術(shù)平均值，再求殘余計(jì)算公式為：ndn例2-5仍用表2-3的測(cè)量數(shù)據(jù)，用極差法求得標(biāo)準(zhǔn)差。（計(jì)算略）4、最大誤差法計(jì)算公式：K'vimaxK'n例2-6仍用表2-3的測(cè)量數(shù)據(jù)，按最大誤差法求標(biāo)準(zhǔn)差（計(jì)算略）5、四種計(jì)算方法的優(yōu)缺點(diǎn)①貝塞爾公式的計(jì)算精度較高，但計(jì)算麻煩，需要乘方和開方等，其計(jì)算速度難于滿足快速自動(dòng)化測(cè)量的需要；②別捷爾斯公式最早用于前蘇聯(lián)列寧格勒附近的普爾科夫天文臺(tái)，它的計(jì)算速度較快，但計(jì)算精度較低，計(jì)算誤差為貝氏公式的1.07倍；③用極差法計(jì)算σ，非常迅速方便，可用來(lái)作為校對(duì)公式，當(dāng)n10時(shí)可用來(lái)計(jì)算，此時(shí)計(jì)算精度高于貝氏公式；④用最大誤差法計(jì)算更為簡(jiǎn)捷，容易掌握，當(dāng)n10時(shí)可用最大誤差法，計(jì)算精度大多高于貝氏公式，尤其是對(duì)于破壞性實(shí)驗(yàn)(n=1)只能應(yīng)用最大誤差法。（二）多次測(cè)量的測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差在多次測(cè)量的測(cè)量列中，是以算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果，因此必須研究算術(shù)平均值不可靠的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。如果在相同條件下對(duì)同一量值作多組重復(fù)的系列測(cè)量，每一系列測(cè)量都有一個(gè)算術(shù)平均值，由于隨機(jī)誤差的存在，各個(gè)測(cè)量列的算術(shù)平均值也不相同，它們圍繞著被測(cè)量的真值有一定的分散，此分散說(shuō)明了算術(shù)平均值的不可靠性，而算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差則是表征同一被測(cè)量的各個(gè)獨(dú)立測(cè)量列算術(shù)平均值分散性的參數(shù)，可作為算術(shù)平均值不可靠性的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。多次測(cè)量的算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式為：nxn

（2-21）即在n次測(cè)量的等精度測(cè)量列中，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差的1 nn高。增加測(cè)量次數(shù)，可以提高測(cè)量精度，但測(cè)量精度是與n的平方根成反比，因此要顯著提高測(cè)量精度，必須付出較大的勞動(dòng)。由圖2-3可知,一定時(shí)，當(dāng)n10以后，x已減少得非常緩慢。此外，由于增加測(cè)量次數(shù)難以保證測(cè)量n10若用殘余誤差表示或然誤差和平均誤差，則有：2in22in2i1 3 n(n1)4in24in2i1 5 n(n1)例2-8用游標(biāo)卡尺對(duì)某一尺寸測(cè)量10次，假定已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，得到數(shù)據(jù)如下(單位為mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。（計(jì)算略）六、測(cè)量的極限誤差（單次測(cè)量或測(cè)量列的算術(shù)平均值）p，并使差值1p可予忽略。（一）單次測(cè)量的極限誤差測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)足夠多和單次測(cè)量誤差為正態(tài)分布時(shí)，根據(jù)概率論知識(shí)，正態(tài)分布曲線和橫坐標(biāo)軸間所包含的面積等于其相應(yīng)區(qū)間確定的概率，即：p

1 2e22d1 當(dāng)研究誤差落在區(qū)間,之間的概率時(shí)，有：2(t) 2

tet2/2dt0這樣我們就可以求出積分值p，為了應(yīng)用方便，其積分值一般列成表格形式，稱為概率函數(shù)積分值表。當(dāng)t給定時(shí)，t值可由該表查出?，F(xiàn)已查出t1,2,3,4等幾個(gè)特殊值的積分值，并求出隨機(jī)誤差不超出相應(yīng)區(qū)間的概率pt1t，如表2-6所示（圖2－4隨著t的增大，超出的概率減小得很快。當(dāng)t2時(shí)，即22次測(cè)量中只有1范圍;而當(dāng)t3

2時(shí)，在3時(shí)，在370次測(cè)量中只有一次誤差絕對(duì)值超出3范圍。由于在一般測(cè)量中，測(cè)量次數(shù)很少超過(guò)幾十次，因此可以認(rèn)為絕對(duì)值大于3的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把這個(gè)誤差稱為單次測(cè)量的極限誤差limx，即lim xlim當(dāng)t3時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率P99.73%。

(2-35)在實(shí)際測(cè)量中，有時(shí)也可取其他t值來(lái)表示單次測(cè)量的極限誤差。如取tP99%;tPPlim xtlim

(2-36)若已知測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差，選定置信系數(shù)t，則可由式（2-36）求得單次測(cè)量的極限誤差。（二）算術(shù)平均值的極限誤差測(cè)量列的算術(shù)平均值與被測(cè)量的真值之差稱為算術(shù)平均值誤差 ，即xxxL0當(dāng)多個(gè)測(cè)量列的算術(shù)平均值誤差(i2, ,N)為正態(tài)分布時(shí)，根據(jù)概率論知識(shí)，同樣可得測(cè)量列算術(shù)平均值的極限誤差表達(dá)式為lim x xtlim xit為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。i

（2-37）通常取t3，則

x

（2-38）lim xt“學(xué)生氏”“Studentdistribution或稱t分布來(lái)計(jì)算測(cè)量列算術(shù)平均值的極限誤差，即lim xlimxtax(2-39)式中的taP1和自由度n1來(lái)確定，具體數(shù)值見附錄表3；為超出極限誤差的概率（稱顯著度或顯著水平，通常取0.010.02,0.05ni為n次測(cè)量的算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)于同一個(gè)測(cè)量列，按正態(tài)分布和t分布分別計(jì)算時(shí)，即使置信概率的取值相同，但由于置信系數(shù)不同，因而求得的算術(shù)平均值極限誤差也不相同。例2-9對(duì)某量進(jìn)行6802.40802.50802.38，802.48，802.42，802.46。求算術(shù)平均值及其極限誤差。（計(jì)算略）七、不等精度測(cè)量①在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中，由于客觀條件的限制，測(cè)量條件是變動(dòng)的，得到了不等精度測(cè)量。②對(duì)于精密科學(xué)實(shí)驗(yàn)而言，為了得到極其準(zhǔn)確的測(cè)量結(jié)果，需要在不同的實(shí)驗(yàn)室，用不同的測(cè)量方法和測(cè)量?jī)x器，由不同的人進(jìn)行測(cè)量。如果這些測(cè)量結(jié)果是相互一致的。那么測(cè)量結(jié)果就是真正可以信賴的。這是人為地改變測(cè)量條件而進(jìn)行的不等精度測(cè)量。得到了不同的測(cè)量結(jié)果。我們就需要將這些測(cè)量結(jié)果進(jìn)行分析研究和綜合，以便得到一個(gè)最為滿意的準(zhǔn)確的測(cè)量結(jié)果。這也是不等精度測(cè)量。對(duì)于不等精度測(cè)（如標(biāo)準(zhǔn)差（一）權(quán)的概念在等精度測(cè)量中，各個(gè)測(cè)得值可認(rèn)為同樣可靠，并取所有測(cè)得值的算術(shù)平因而不能簡(jiǎn)單地取各測(cè)量結(jié)果的算術(shù)平均值作為最后測(cè)量結(jié)果，應(yīng)讓可靠程度大的測(cè)量結(jié)果在最后結(jié)果中占的比重大一些，可靠程度小的占比重小一些。各測(cè)量結(jié)果的可靠程度可用一數(shù)值來(lái)表示，這個(gè)數(shù)值即稱為該測(cè)量結(jié)果的“權(quán)”，記為p。因此測(cè)量結(jié)果的權(quán)可理解為，當(dāng)它與另一些測(cè)量結(jié)果比較時(shí)，對(duì)該測(cè)量結(jié)果所給予的信賴程度。（二）權(quán)的確定方法既然測(cè)量結(jié)果的權(quán)說(shuō)明了測(cè)量的可靠程度，因此可根據(jù)這一原則來(lái)確定權(quán)的大小。最簡(jiǎn)單的方法是按測(cè)量的次數(shù)來(lái)確定權(quán)，即測(cè)量條件和測(cè)量者水平皆相同，則重復(fù)測(cè)量次數(shù)越多，其可靠程度也越大，因此完全可由測(cè)量的次數(shù)來(lái)確定權(quán)的大小，即pini。假設(shè)同一被測(cè)量有m組不等精度的測(cè)量結(jié)果，這m組測(cè)量結(jié)果是從單次測(cè)量精度相同而測(cè)量次數(shù)不同的一系列測(cè)量值求得的算術(shù)平均值。因?yàn)閱未螠y(cè)量精度皆相同，其標(biāo)準(zhǔn)差均為，則各組算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差與權(quán)的關(guān)系為p p 1 1m2 2121 2x1 x2 xm即：每組測(cè)量結(jié)果的權(quán)與其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差平方成反比，若已知算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。則可按式（2-42）確定相應(yīng)權(quán)的大小，測(cè)量結(jié)果的權(quán)的數(shù)值只表示各組間的相對(duì)可靠程度，它是一個(gè)無(wú)量綱的數(shù)，允許各組的權(quán)數(shù)乘以相同的系數(shù)，使其以相同倍數(shù)增大或減小，而各組間的比例關(guān)系保持不變，但通常皆將各組的權(quán)數(shù)予以約簡(jiǎn)，使其中最小的權(quán)數(shù)為不可再約簡(jiǎn)的整數(shù)，以便用簡(jiǎn)單的數(shù)值來(lái)表示各組的權(quán)。舉例說(shuō)明（計(jì)算略）（三）加權(quán)算術(shù)平均值計(jì)算公式：m piximxi1 mpii1pm當(dāng)各組的權(quán)相等，即p1pm

（2-44）p時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均值可簡(jiǎn)化為m m pxi

xixi1 i1 mp

（2-45）2-11的平均長(zhǎng)度為999.9425mm（三次測(cè)量的、999.9416mm（兩次測(cè)量的、9999419mm（五次測(cè)量的，每單次測(cè)量均為等精度測(cè)量，求最后測(cè)量結(jié)果。（計(jì)算略）,m(四)單位權(quán)的概念由式（,mix此式又可表示為ix

p2

i1,2,ixp22pix

（2-47式中的為等精度單次測(cè)得值的標(biāo)準(zhǔn)差。由此可認(rèn)為，具有同一方差2的等精度單次測(cè)得值的權(quán)數(shù)為1。若已知方差2，只要確定各組的權(quán)pi，就可按式（2-47）分別求得各組的方差2。由于測(cè)得值的方差2的權(quán)數(shù)為1在此有特殊用途，故特稱等于1的權(quán)為單位權(quán)，而2為具有單位權(quán)的測(cè)得值方差，為具有單位權(quán)的測(cè)得值標(biāo)準(zhǔn)差利用單位權(quán)化的思想，可以將某些不等權(quán)的測(cè)量問(wèn)題化為等權(quán)測(cè)量問(wèn)題來(lái)處理。單位權(quán)化的實(shí)質(zhì)，是使任何一個(gè)量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，得到新的量值權(quán)數(shù)為1。（五）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式1：pippipii1mpiipii1m

（2-49計(jì)算公式2：mpv2ixi impv2ixi i1 m(m1)pii1x注意：用式（2-51）可由各組測(cè)量結(jié)果的殘余誤差求得加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，但是只有組數(shù)m足夠多時(shí)，才能得到較為精確的加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差值。一般情況下的組數(shù)較少，只能得到近似的估計(jì)值。在上述兩個(gè)計(jì)算公式中，公式（2－49）比公式（2－51）可靠，應(yīng)優(yōu)先采用。舉例：例2－12略。八、隨機(jī)誤差的其他分布正態(tài)分布是隨機(jī)誤差最普遍的一種分布規(guī)律，但不是唯一分布規(guī)律。下面介紹幾種常見的非正態(tài)分布。(一)均勻分布在測(cè)量實(shí)踐中，均勻分布是經(jīng)常遇到的一種分布，其主要特點(diǎn)是，誤差有一確定的范圍，在此范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相等，故又稱矩形分布或等概率分布。其數(shù)學(xué)期望為：a它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為

Ea2ad0a2

（2-54）2 （2-5533a3

（2-56(二)反正弦分布反正弦分布實(shí)際上是一種隨機(jī)誤差的函數(shù)分布規(guī)律，其特點(diǎn)是該隨機(jī)誤差與某一角度成正弦關(guān)系。它的數(shù)學(xué)期望為：它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為

a a22Ea a22

（2-58）a22 （2-5922a2

（2-60（三）三角形分布當(dāng)兩個(gè)誤差限相同且服從均勻分布的隨機(jī)誤差求和時(shí)，其和的分布規(guī)律服從三角形分布，又稱辛普遜（Simpson）分布。實(shí)際測(cè)量中，若整個(gè)測(cè)量過(guò)程必須進(jìn)行兩次才能完成，而每次測(cè)量的隨機(jī)誤差服從相同的均勻分布，則總的測(cè)量誤差為三角形分布誤差。它的數(shù)學(xué)期望為：它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差為

E0a2

（2-64）2 （2-65）66a6

（2-66）如果對(duì)兩個(gè)誤差限為不相等的均勻分布隨機(jī)誤差求和時(shí)，則其和的分布規(guī)律不再是三角形分布而是梯形分布。在測(cè)量工作中，除上述的非正態(tài)分布外，還有直角分布、截尾正態(tài)分布、雙峰正態(tài)分布及二點(diǎn)分布等，在此不做一一敘述。(四)2分布2v令1,2, ,v為v個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量，每個(gè)隨機(jī)變量對(duì)服從標(biāo)準(zhǔn)化正太分布，定義一2v1 22221 2

（2-67）隨機(jī)變量2稱為自由度為v的卡埃平方變量。自由度數(shù)v表示式（2-67）中項(xiàng)數(shù)或獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)。它的數(shù)學(xué)期望為：E

2 2

v/21

e/2d2v

（2-69）2v2v/2()2它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為

22v

（2-702v （2-712v在本書最小二乘法中要用到2分布，此外它也是t分布和F分布的基礎(chǔ)。由圖2-8的兩條2理論曲線可看出，當(dāng)v逐漸增大時(shí)，曲線逐漸接近對(duì)稱?？梢宰C明當(dāng)vv為自由度，它的改變將引起分布曲線的相應(yīng)改變。（五）t分布令和是獨(dú)立的隨機(jī)變量，具有自由度為v的2分布函數(shù)，具有標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布函數(shù)，則定義新的隨機(jī)變量為/vt /v式中，v為自由度隨機(jī)變量t稱自由度為v的學(xué)生氏變量t。它的數(shù)學(xué)期望為(v1)E2

t)(v1)/2dt

2（2-74）2它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差為

(v)v22vv2vv2

vv2

（2-75）（2-76）t2-9t分布與正態(tài)分布有明顯區(qū)別，但當(dāng)自由度vt分布曲線趨于正態(tài)分布曲線。t分布是一種重要分布，當(dāng)測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，極限誤差的估計(jì)，或者在檢驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差時(shí)經(jīng)常用到它。六）F分布數(shù)學(xué)期望為：E0Ff(FdF

v2v22

(v2>2)

（2-79它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為2v2vv222 1 2

(v>4)

（2-80v(v2)2v

4 212 2 2 1 2 2v v 2 1 2 2v vv22v(v2) v42122

（2-90F分布也是一種重要分布，在檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)和方差分析中經(jīng)常應(yīng)用。第二節(jié)系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差是指在確定的測(cè)量條件下，某種測(cè)量方法和裝置，在測(cè)量之前就已存在誤差，并始終以必然性規(guī)律影響測(cè)量結(jié)果的正確度，如果這種影響顯著的話，就要影響測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度。實(shí)際上測(cè)量過(guò)程中往往存在系統(tǒng)誤差，在某些情況下的系統(tǒng)誤差數(shù)值還比較大。因此測(cè)量結(jié)果的精度，不僅取決于隨機(jī)誤差，還取決于系統(tǒng)誤差的影響。由于系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差同時(shí)存在測(cè)量數(shù)據(jù)之中，而且不易被發(fā)現(xiàn)，多次重復(fù)測(cè)量又不能減小它對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，這種潛伏使得系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差具有更大的危險(xiǎn)性，因此研究系統(tǒng)誤差的特征與規(guī)律性，用一定的方法發(fā)現(xiàn)和減小或消除系統(tǒng)誤差，就顯得十分重要。一、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成，在條件充分的情況下這些因素是可以掌握的。主要來(lái)源于：①測(cè)量裝置方面的因素②環(huán)境方面的因素③測(cè)量方法的因素④測(cè)量人員的因素二、系統(tǒng)誤差的分類和特征系統(tǒng)誤差的特征是在同一條件下，多次測(cè)量同一測(cè)量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。由系統(tǒng)誤差的特征可知，在多次重復(fù)測(cè)量同一值時(shí)，系統(tǒng)誤差不具有抵償性，它是固定的或服從一定函數(shù)規(guī)律的誤差。從廣義上講，系統(tǒng)誤差是指服從某一確定規(guī)律變化的誤差。系統(tǒng)誤差分為不變系統(tǒng)誤差和變化系統(tǒng)誤差兩大類。（一）不變系統(tǒng)誤差固定系統(tǒng)誤差是指在整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，誤差的大小和符號(hào)始終是不變的。如千分尺或測(cè)長(zhǎng)儀讀數(shù)裝置的調(diào)零誤差，量塊或其它標(biāo)準(zhǔn)件尺寸的偏差等，均為不變系統(tǒng)誤差。它對(duì)每一測(cè)量值的影響均為一個(gè)常量，屬于最常見的一類系統(tǒng)誤差。（二）變化系統(tǒng)誤差變化系統(tǒng)誤差指在整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，誤差的大小和方向隨測(cè)試的某一個(gè)或某幾個(gè)因素按確定的函數(shù)規(guī)律而變化，其種類較多，又可分為以下幾種：①線性變化的系統(tǒng)誤差②周期變化的系統(tǒng)誤差③復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法由于形成系統(tǒng)誤差的原因復(fù)雜，目前尚沒有能夠適用于發(fā)現(xiàn)各種系統(tǒng)誤差的普遍方法。但是我們可針對(duì)不同性質(zhì)的系統(tǒng)誤差，可按照下述兩類方法加以識(shí)別：1、用于發(fā)現(xiàn)測(cè)量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差，包括實(shí)驗(yàn)對(duì)比法、殘余誤差觀察法、殘余誤差校核法和不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法；2、用于發(fā)現(xiàn)各組測(cè)量這間的系統(tǒng)誤差，包括計(jì)算數(shù)據(jù)比較法、秩和檢驗(yàn)法、和t檢驗(yàn)法。（一）測(cè)量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法1、實(shí)驗(yàn)對(duì)比法實(shí)驗(yàn)對(duì)比法是改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，進(jìn)行不同條件的測(cè)量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。這種方法適用于發(fā)現(xiàn)不變的系統(tǒng)誤差。2、殘余誤差觀察法殘余誤差觀察法是根據(jù)測(cè)量列的各個(gè)殘余誤差大小和符號(hào)的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來(lái)判斷有無(wú)系統(tǒng)誤差。這種方法適于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。3、殘余誤差校核法包括兩種方法：①用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差：測(cè)量列中前K個(gè)殘余誤差相加，后(nk)個(gè)殘余誤差相加（當(dāng)n為偶數(shù)，取Kn2；n為奇數(shù)，取K(n1）2,兩者相減得K n=ii1

jjK1若上式的兩部分值Δ顯著不為Δ=0，仍有可能存在系統(tǒng)誤差。+n+n-1nn1ui1i1

12+23+若u n2，則認(rèn)為該測(cè)量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。這種校核法又叫（Abbe-Helmert準(zhǔn)則4、不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法對(duì)等精度測(cè)量，可用不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差，通過(guò)比較以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。按貝塞爾公式inv2in1

121.253

nnvin(nn(n1)令 21u1n1若 u 2n1

（2-86）則懷疑測(cè)量列中存在系統(tǒng)誤差。說(shuō)明：在判斷含有系統(tǒng)誤差時(shí)，違反“準(zhǔn)則”時(shí)就可以直接判定，而在遵守“準(zhǔn)則”時(shí)，不能得出“不含系統(tǒng)誤差”的結(jié)論，因?yàn)槊總€(gè)準(zhǔn)則均有局限性，不具有“通用性”。(二)測(cè)量列組間的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法1、計(jì)算數(shù)據(jù)比較法依據(jù)：對(duì)同一量進(jìn)行多組測(cè)量，得到很多數(shù)據(jù)，通過(guò)多組計(jì)算數(shù)據(jù)比較，若不存在系統(tǒng)誤差，其比較結(jié)果應(yīng)滿足隨機(jī)誤差條件，否則可認(rèn)為存在系統(tǒng)誤差。若對(duì)同一量獨(dú)立測(cè)得m組結(jié)果，并知它們的算數(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差為;xm,mx1,1;x;xm,m而任意兩組結(jié)果之差為其標(biāo)準(zhǔn)差為

xixj222i j則任意兩組結(jié)果xi與xj間不存在系統(tǒng)誤差的標(biāo)志是22i jxx22i ji j2、秩和檢驗(yàn)法——用于檢驗(yàn)兩組數(shù)據(jù)間的系統(tǒng)誤差對(duì)某量進(jìn)行兩組測(cè)量，這兩組間是否存在系統(tǒng)誤差，可用秩和檢驗(yàn)法根據(jù)兩組分布是否相同來(lái)判斷。若獨(dú)立測(cè)得兩組的數(shù)據(jù)為xii2, ,nxyij2, ,ny將它們混和以后，從1開始，按從小到大的順序重新排列，觀察測(cè)量次數(shù)較少那一組數(shù)據(jù)的序號(hào)和T即：秩和。1）兩組的測(cè)量次數(shù)n110，n210，可根據(jù)測(cè)量次數(shù)較少的組的次數(shù)n1和n22-10T和T+（0.05若T（2-88則無(wú)根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。2）當(dāng)n110，n210，秩和T近似服從正態(tài)分布N(n21), n21))2 12括號(hào)中第一項(xiàng)為數(shù)學(xué)期望，第二項(xiàng)為標(biāo)準(zhǔn)差，此時(shí)T和T+可由正態(tài)分布算出。根據(jù)求得的數(shù)學(xué)期望值a和標(biāo)準(zhǔn)差，則Ta，tTa選取概率(t)，由正態(tài)分布積分表（附表1）查得t，若t

ta則無(wú)根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。舉例及計(jì)算略注意：若兩組數(shù)據(jù)中有相同的數(shù)值，則該數(shù)據(jù)的秩按所排列的兩個(gè)次序的平均值計(jì)算。3、t檢驗(yàn)法當(dāng)兩組測(cè)得值服從正態(tài)分布時(shí)，可用t檢驗(yàn)法判斷兩組間是否存在系統(tǒng)誤差。若獨(dú)立測(cè)得的兩組數(shù)據(jù)為,xn1x1,,xn1,y,yn2

n22)n22)(nn)(nS2nS21 2 11 22

,y2,

(2-89)此變量服從自由度為(n1n22)的t分布變量式中S21(xx)2，S21(y1 1

y)2nni 2 inn1 2nx1x，y1 yni iii1 n2取顯著度，由t分布表（附表3）查P(t

ta)中的ta，若實(shí)測(cè)數(shù)列中t注意:

ta，則無(wú)根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。式中使用的S2不是方差的無(wú)偏估計(jì)，若將貝塞爾計(jì)算的方差用于上式，則該式應(yīng)作相應(yīng)的變動(dòng)。舉例及計(jì)算略四、系統(tǒng)誤差的減小和消除（一）消誤差源法用排除誤差源的方法消除系統(tǒng)誤差是最理想的方法。它要求測(cè)量人員，對(duì)測(cè)量過(guò)程中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的各個(gè)環(huán)節(jié)作仔細(xì)分析，并在正式測(cè)試前就將誤差從產(chǎn)生根源上加以消除或減弱到可忽略的程度。由于具體條件不同，在分析查找誤差源時(shí)，并無(wú)一成不變的方法，但以下幾方面是應(yīng)予考慮的：①所用基準(zhǔn)件、標(biāo)準(zhǔn)件（如量塊、刻尺、光波容器等）是否準(zhǔn)確可靠；②所用量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過(guò)檢定，并有有效周期的檢定證書；③儀器的調(diào)整、測(cè)件的安裝定位和支承裝卡是否正確合理；④所采用的測(cè)量方法和計(jì)算方法是否正確，有無(wú)理論誤差；⑤測(cè)量的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求，如溫度、振動(dòng)、塵污、氣流等；⑥注意避免測(cè)量人員帶入主觀誤差如視差、視力疲勞、注意力不集中等。（二）加修正值法這種方法是預(yù)先將測(cè)量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來(lái)或計(jì)算出來(lái)，取與誤差大小相同而符號(hào)相反的值作為修正值，將測(cè)得值加上相應(yīng)的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測(cè)量結(jié)果。如量塊的實(shí)際尺寸不等于公稱尺寸，若按公稱尺寸使用，就要產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。因此應(yīng)按經(jīng)過(guò)檢定的實(shí)際尺寸（即將量塊的公稱尺寸加上修正量）使用，就可避免此項(xiàng)系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生。（三）改進(jìn)測(cè)量方法在測(cè)量過(guò)程中，根據(jù)具體的測(cè)量條件和系統(tǒng)誤差的性質(zhì)，采取一定的技術(shù)措施，選擇適當(dāng)?shù)臏y(cè)量方法，使測(cè)得值中的系統(tǒng)誤差在測(cè)量過(guò)程中相互抵消而不帶入測(cè)量結(jié)果之中，從而實(shí)現(xiàn)減弱或消除系統(tǒng)誤差的目的。1、消除恒定系統(tǒng)誤差的方法在沒有條件或無(wú)法獲之基準(zhǔn)測(cè)量的情況，難以用檢定法確定恒定系統(tǒng)誤差并加以消除。這時(shí)必須設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)臏y(cè)量方法，使恒定系統(tǒng)誤差在測(cè)量過(guò)程中予以消除，常用的方法有：①反向補(bǔ)償法②代替法③抵消法④交換法2、消除線性系統(tǒng)誤差的方法—對(duì)稱法3、消除周期性系統(tǒng)誤差的方法—半周期法4、消除復(fù)雜規(guī)律變化系統(tǒng)誤差的方法第三節(jié)粗大誤差一、粗大誤差產(chǎn)生的原因產(chǎn)生粗大誤差的原因是多方面的，大致可歸納為：①測(cè)量人員的主觀原因②客觀外界條件的原因二、判別粗大誤差的準(zhǔn)則（一）準(zhǔn)則計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)的殘差vi，若殘差滿足：vd

xdx

3則可認(rèn)為第d個(gè)數(shù)據(jù)含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。利用貝塞爾公式容易說(shuō)明：在n10的情形，用3準(zhǔn)則剔除粗大誤差注定失敗。為此，在測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，最好不要選用3準(zhǔn)則。舉例及計(jì)算略（二）格羅布斯（Grubbs）準(zhǔn)則1950年格拉布斯根據(jù)順序統(tǒng)計(jì)量的某種分布規(guī)律提出一種判別粗大誤差的1974年我國(guó)有人用電子計(jì)算機(jī)做過(guò)統(tǒng)計(jì)模擬試驗(yàn)與其它幾個(gè)準(zhǔn)則相比，對(duì)樣本中僅混入一個(gè)異常值的情況，用格拉布斯準(zhǔn)則檢驗(yàn)的功率最高。設(shè)對(duì)某量作多次等精度獨(dú)立測(cè)量，得,x2, ,xn,假定xi服從正態(tài)分布。為了檢驗(yàn)xi中是否含有粗大誤差，將xi按大小順序排列成順序統(tǒng)計(jì)量x(i)，而x(1)x(2) x(n)g

x(n)xg

xx(1)的分布，取定顯著度（一般(n) 為0.05或0.01），可得如表2-12所列的臨界值g0(n,)

，而P(x(n)xg

(n,))及P(xx(1)g

(n,))若認(rèn)為x(i)可疑，則有：若認(rèn)為x(n)可疑，則有：

g(1)g

xx(1)x(n)x(n) g(i)g0(n,)（2-91即判別該測(cè)得值含有粗大誤差，應(yīng)予剔除。舉例及計(jì)算略（三）狄克松準(zhǔn)則1950年狄克松（Dixon）提出另一種無(wú)需估算算術(shù)平均值和標(biāo)差的方法，它是根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)按大小排列后的順序差來(lái)判別是否存在粗大誤差。有人指出，用Dixon準(zhǔn)則判斷樣本數(shù)據(jù)中混有一個(gè)以上異常值的情形效果較好。設(shè)正態(tài)測(cè)量總體的一個(gè)樣本,x2, ,xn,將xi按大小順序排列成順序統(tǒng)計(jì)量xi)x(1)x2) x(n)。xn)x(1)和，分以下幾種情形：rx(n)x(n1)與r

x(2)x(1)

n710

x x

10 x x (n) (1) (n) (1) x x x xr

n) (n1)與r

(2)

n:81011

x x

11 x x(n) (2) (n-1) (1)rx(n)x(n2)與rx(3)x(1)

n:111321

x x

21 x x (n) (2) (n1) rx(n)x(n1)與rx(2)x(1)

n1410

x(n)x(1)

10 x

(n)x(1)或大于臨界值(n,x(1xn)含有粗大誤差。臨界值r0(n,)由表2－13查得。舉例及計(jì)算略（四）羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則t分布的實(shí)際誤差分布范圍來(lái)判別粗大誤差較為合tt分布檢驗(yàn)被剔除的值是否是含有粗大誤差。設(shè)對(duì)某量作多次等精度測(cè)量，得,x2, ,xn,若認(rèn)為測(cè)量值xi為可疑數(shù)據(jù)，將其剔除后計(jì)算平均值及標(biāo)準(zhǔn)差為(計(jì)算時(shí)不包括xi)：x 1n1

nninv2inv2i1 n2i1ij根據(jù)測(cè)量次數(shù)n和選取的顯著度，即可由表2-14查得t分布的檢驗(yàn)系數(shù)K(n,)。xjxK（2-93則認(rèn)為測(cè)量值xi含有粗大誤差，剔除xi是正確的，否則認(rèn)為xi不含有粗大誤差，應(yīng)予保留。舉例及計(jì)算略總結(jié)：幾點(diǎn)考慮去具體應(yīng)用：（n50）用準(zhǔn)則最簡(jiǎn)單方便，雖然這種判別準(zhǔn)則的可30n503n30個(gè)異常值，用狄克遜準(zhǔn)則適于剔除一個(gè)以上異常值。當(dāng)測(cè)量次數(shù)比較小時(shí)，也可根據(jù)情況采用羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則。②在較為精密的實(shí)驗(yàn)場(chǎng)合，可以選用二、三種準(zhǔn)則同時(shí)判斷，當(dāng)一致認(rèn)為某值應(yīng)剔除或保留時(shí)，則可以放心地加以剔除或保留。當(dāng)幾種方法的判斷結(jié)果有矛盾時(shí)，則應(yīng)慎重考慮，一般以不剔除為妥。因?yàn)榱粝履硞€(gè)懷疑的數(shù)據(jù)后算出的σ只是偏大一點(diǎn)，這樣較為安全。另外，可以再增添測(cè)量次數(shù)，以消除或減少它對(duì)平均值的影響。三、防止與消除粗大誤差的方法對(duì)粗大誤差，除了設(shè)法從測(cè)量結(jié)果中發(fā)現(xiàn)和鑒別而加以剔除外，更重要的是要加強(qiáng)測(cè)量結(jié)果者的工作責(zé)任心和以嚴(yán)格的科學(xué)態(tài)度對(duì)待測(cè)量工作；此外，還要保證測(cè)量條件的穩(wěn)定，或者應(yīng)避免在外界條件發(fā)生激烈變化時(shí)進(jìn)行測(cè)量。如能達(dá)到以上要求，一般情況下是可以防止粗大誤差產(chǎn)生的。在某些情況下，為了及時(shí)發(fā)現(xiàn)與防止測(cè)得值中含有粗大誤差，可采用不等精度測(cè)量和互相之間進(jìn)行校核的方法。例如對(duì)某一測(cè)量值，可由兩位測(cè)量者進(jìn)行測(cè)量、讀數(shù)和記錄；或者用兩種不同儀器、或兩種不同測(cè)量方法進(jìn)行測(cè)量。四、三類測(cè)量誤差處理的方法總結(jié)①隨機(jī)誤差具有抵償性，這是它最本質(zhì)的特性，算術(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差是表示測(cè)量結(jié)果的兩個(gè)主要統(tǒng)計(jì)量；系統(tǒng)誤差則違背抵償性，因而會(huì)影響算術(shù)均值，變化的系統(tǒng)誤差還影響標(biāo)準(zhǔn)差；粗大誤差則存在于個(gè)別的可疑數(shù)據(jù)中，也會(huì)影響算術(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差。②隨機(jī)誤差服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是無(wú)法消除的，但通過(guò)適當(dāng)增加測(cè)量次數(shù)可提高測(cè)量精度；系統(tǒng)誤差則是有確定性規(guī)律，在掌握這個(gè)規(guī)律后，可以采取適當(dāng)?shù)拇胧┫驕p小它；粗大誤差既違背統(tǒng)計(jì)規(guī)律，又違背確定性規(guī)律，可用物理或統(tǒng)計(jì)的方法判斷后剔除。③為處理一組測(cè)量數(shù)據(jù)，往往先找出個(gè)別可疑數(shù)據(jù)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)判斷確認(rèn)無(wú)粗大誤差后，再用適當(dāng)?shù)姆椒z驗(yàn)數(shù)據(jù)中是否含有明顯的系統(tǒng)誤差，如確認(rèn)已無(wú)系統(tǒng)誤差，最后處理隨機(jī)誤差，統(tǒng)計(jì)算術(shù)平均值、標(biāo)準(zhǔn)差及極限誤差，以正確的表達(dá)方式給出測(cè)量結(jié)果。第四節(jié) 測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實(shí)例分兩種情況：等精度直接測(cè)量列測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實(shí)例和不等精度直接測(cè)量列測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實(shí)例。一、等精度直接測(cè)量列測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實(shí)例例：對(duì)恒溫箱的保溫性進(jìn)行研究，等精度測(cè)量某一溫度點(diǎn)的值20次，測(cè)得值如下：（單位：℃）25.5325.5225.5025.5225.5325.5325.5025.4925.4925.5125.5325.5225.4925.3825.5025.5225.5425.4725.4825.51已知溫度計(jì)的系統(tǒng)誤差為-0.05℃,除此以外不再含有其它的系統(tǒng)誤差，試判斷該測(cè)量列是否含有粗大誤差，并求當(dāng)置信概率為99.73%時(shí)該溫度點(diǎn)的測(cè)量結(jié)果。解：由于測(cè)量溫度計(jì)的系統(tǒng)誤差為-0.05℃,除此以外不再含有其它的系統(tǒng)誤差，故這里不考慮系統(tǒng)誤差的辨別。1.求算術(shù)平均值：nni

510.02Ti 25.50℃2.求殘余誤差：即

n 20viTiT0.03,v20.02,v30,v40.02,v50.03,v60.03,v70,v80.01,v90.01,0.03,0.02,0.01,0.12,0,0.02,0.04,0.03,0.02,v200.01（也可列表計(jì)算）3.校核算術(shù)平均值及其殘余誤差：（略）4.求測(cè)量列單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差：根據(jù)Bessel公式，單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差為：ininv2in10.02319 0.0355.判別粗大誤差：用3準(zhǔn)則判別粗大誤差，判定第14個(gè)測(cè)量值，即25.38為粗大誤差，剔除。6.重新計(jì)算算術(shù)平均值和單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差為：nn i

484.68Ti 25.51℃n 19=

inv2iinv2in10.0069187.再判別粗大誤差，根據(jù)3準(zhǔn)則，發(fā)現(xiàn)此時(shí)測(cè)量列中不含有粗大誤差。8.求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差：nTn

0.0200.005℃199.求算術(shù)平均值的極限誤差：19由于給定置信概率為99.73%，按照正態(tài)分布，此時(shí)0.27，t3算術(shù)平均值極限誤差為：limTtT30.0050.015℃10.給出最后的測(cè)量結(jié)果（要減去已定系統(tǒng)誤差）：TT0.05limT25.56二、不等精度直接測(cè)量列測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實(shí)例略第三章誤差的合成與分配第一節(jié)函數(shù)誤差測(cè)量分類：直接測(cè)量與間接測(cè)量間接測(cè)量中的函數(shù)誤差：間接測(cè)得的被測(cè)量誤差也應(yīng)是直接測(cè)得量及其誤差的函數(shù)，故稱這種間接測(cè)量的誤差為函數(shù)誤差一、函數(shù)系統(tǒng)誤差計(jì)算間接測(cè)量的數(shù)學(xué)模型：yf(x1,x2, ,xn)由y的全微分，函數(shù)系統(tǒng)誤差y的計(jì)算公式y(tǒng)fx

fx

x2

fx

xn1 2 n幾種簡(jiǎn)單函數(shù)的系統(tǒng)誤差1、線性函數(shù)：ya2x2 anxnya2x22、三角函數(shù)形式

anxn,anxn,xn,)sin

f(,x2,

cosxxii1 i,xn,)1 n,xn,)cos

f(,x2,

sinxxii1 i舉例：用弓高弦長(zhǎng)法間接測(cè)量大工件直徑。如圖所示，車間工人用一把卡h50mms500mmhh-計(jì)算略二、函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算函數(shù)的一般形式y(tǒng)若變量中只有隨機(jī)誤差，即

f(x1,x2, ,xn)yy

f(x1,x2x2, ,xnxn)泰勒展開，并取其一階項(xiàng)作為近似值：fxnyfxfxnx 1 x 2 n1 2((f)xn2f

22f

22

22

n ffy (x)

x1 (x) x2

xn 2(xx

Dij)1 2或者

1ij i jn2(f)22n

(f)22

(f)22

2

(ff)y x

x1 x x2

x xn

xx

ijxixj1 2 n相互獨(dú)立的函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式為：

1ij i j2(f

)2

(f

)2

(f

)22y

x1 x x2

x xn或者令fxi

ai

1 2 n(f)2(f)22(f)22xx11xx2(f)222xxnna a a 2222a221 x1 2x2nxnaa a 2222a221x1 2x2nxn三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算

y1）正弦函數(shù)形式為：sin函數(shù)隨機(jī)誤差公式為：

f(x1,x2, ,xn)1cos x1cos x(f)22(f)22x11xx2(f)22xn2xn2）余弦函數(shù)形式為：cos函數(shù)隨機(jī)誤差公式為：

f(x1,x2, ,xn)1sin 1sin x(f)22(f)22x1xx2(f)22xxn12n3）正切函數(shù)形式為:tan函數(shù)隨機(jī)誤差公式為：

f(x1,x2, ,xn)(f)22(f)22(f)22xx11xx2(f)222xxnn4）余切函數(shù)形式為:cot函數(shù)隨機(jī)誤差公式為：

f(x1,x2, ,xn)(f)22(f)22(f)22xx11xx2(f)222xxnn舉例：用弓高弦長(zhǎng)法間接測(cè)量大工件直徑。如圖所示，車間工人用一把卡h50mms500mmh,弦長(zhǎng)的系統(tǒng)誤差h-計(jì)算略2、相關(guān)系數(shù)估計(jì)相關(guān)系數(shù)對(duì)函數(shù)誤差的影響函數(shù)隨機(jī)誤差公式2f

22f

22

22

n f

fy (x)

x1 (x) x2

xn 2(xx

ijxixj)(f)xn1 2 (f)xna a a 2222a221 x1 2x2nxny當(dāng)相關(guān)系數(shù)為±1時(shí)xnyx1xn相關(guān)系數(shù)的確定1、直接判斷法可判斷相關(guān)系數(shù)為0的情形1）斷定兩分量之間沒有相互依賴關(guān)系的影響2）當(dāng)一個(gè)分量依次增大時(shí)，引起另一個(gè)分量呈正負(fù)交替變化，反之亦然3）兩分量屬于完全不相干的兩類體系分量，如人員操作引起的誤差分量與環(huán)境濕度引起的誤差分量4）兩分量雖相互有影響，但其影響甚微，視為可忽略不計(jì)的弱相關(guān)可判斷1或1的情形1）斷定兩分量間近似呈現(xiàn)正的線性關(guān)系或負(fù)的線性關(guān)系2）當(dāng)一個(gè)分量依次增大時(shí)，引起另一個(gè)分量依次增大或減小，反之亦然3）兩分量屬于同一體系的分量，如用1m基準(zhǔn)尺測(cè)2m尺，則各米分量間完全正相關(guān)2、試樣觀察法和簡(jiǎn)略計(jì)算法（1）觀察法（2）簡(jiǎn)單計(jì)算法cosn1n3n（3）直接計(jì)算法

n n(x,x)

(xik)(xjkxj)ki j (x

x)2(x

x)2（4）理論計(jì)算法

ik i jk jk第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成解決隨機(jī)誤差的合成問(wèn)題一般基于標(biāo)準(zhǔn)差方和根合成的方法，其中還要考慮到誤差傳播系數(shù)以及各個(gè)誤差之間的相關(guān)性影響隨機(jī)誤差的合成形式包括：標(biāo)準(zhǔn)差合成和極限誤差合成一、標(biāo)準(zhǔn)差合成合成標(biāo)準(zhǔn)差表達(dá)式:i1i1q(a)2 aa2ii ijijijq1ijii1q(a)2ii用標(biāo)準(zhǔn)差合成有明顯的優(yōu)點(diǎn)，不僅簡(jiǎn)單方便，而且無(wú)論各單項(xiàng)隨機(jī)誤差的概率分布如何，只要給出各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，均可計(jì)算出總的標(biāo)準(zhǔn)差當(dāng)誤差傳播系數(shù)為1、且各相關(guān)系數(shù)均可視為0的情形iqiq2i1視各個(gè)誤差分量的量綱與總誤差量的量綱都一致，或者說(shuō)各個(gè)誤差分量已經(jīng)折算為影響函數(shù)誤差相同量綱的分量。二、極限誤差合成若單項(xiàng)極限誤差為：ikii

i1,2,,q其中，i為單項(xiàng)隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差，ki為單項(xiàng)極限誤差的置信系數(shù)。則合成極限誤差為：k合成極限誤差計(jì)算公式：((ii)qaq22 aa ijijkji iki1iji jk應(yīng)用極限誤差合成公式時(shí)，應(yīng)注意：1）ij為第i個(gè)和第j個(gè)誤差項(xiàng)之間的相關(guān)系數(shù)，可根據(jù)前一節(jié)的方法確定。2）根據(jù)已知的各單項(xiàng)極限誤差和所選取的各個(gè)置信系數(shù)，即可進(jìn)行極限誤差的合成3）各個(gè)置信系數(shù)不僅與置信概率有關(guān)，而且與隨機(jī)誤差的分布有關(guān)4）對(duì)于相同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個(gè)置信系數(shù)相同5）對(duì)于不同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個(gè)置信系數(shù)也不相同當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差均服從正態(tài)分布時(shí)，各單項(xiàng)誤差的數(shù)目q較多、各項(xiàng)誤差大小相近和獨(dú)立時(shí)，此時(shí)合成的總誤差接近于正態(tài)分布。此時(shí)：k2 kqkii1q(a)2 aa2ii ijijijq1ijiq2i各單項(xiàng)誤差大多服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布，而且他們之間常是線性無(wú)關(guān)或近似線性無(wú)關(guān)，是較為廣泛使用的極限誤差合成公式。第三節(jié) 系統(tǒng)誤差合成一、已定系統(tǒng)誤差的合成定義：誤差大小和方向均已確切掌握了的系統(tǒng)誤差表示符號(hào)：rr合成方法：按照代數(shù)和法進(jìn)行合成。即：aiii二、未定系統(tǒng)誤差的合成（一）未定系統(tǒng)誤差的特征及其評(píng)定定義：誤差大小和方向未能確切掌握，或者不須花費(fèi)過(guò)多精力去掌握，而只能或者只需估計(jì)出其不致超過(guò)某一范圍e的系統(tǒng)誤差特征：1）在測(cè)量條件不變時(shí)為一恒定值，多次重復(fù)測(cè)量時(shí)其值固定不變，因而單項(xiàng)系統(tǒng)誤差在重復(fù)測(cè)量中不具有低償性2）隨機(jī)性。當(dāng)測(cè)量條件改變時(shí)，未定系統(tǒng)誤差的取值在某極限范圍內(nèi)具有隨機(jī)性，且服從一定的概論分布，具有隨機(jī)誤差的特性。表示符號(hào)：極限誤差：e；標(biāo)準(zhǔn)差：u（二）未定系統(tǒng)誤差的合成未定系統(tǒng)誤差的取值具有一定的隨機(jī)性，服從一定的概率分布，因而若干項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差綜合作用時(shí)，他們之間就具有一定的抵償作用。這種抵償作用與隨機(jī)誤差的抵償作用相似，因而未定系統(tǒng)誤差的合成，完全可以采用隨機(jī)誤差的合成公式，這就給測(cè)量結(jié)果的處理帶來(lái)很大方便。同隨機(jī)誤差的合成時(shí)，未定系統(tǒng)誤差合成時(shí)即可以按照標(biāo)準(zhǔn)差合成，也可以按照極限誤差的形式合成。1、標(biāo)準(zhǔn)差合成若測(cè)量過(guò)程中有s個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為,u2, ,us，其相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為,a2, ,as，則合成后未定系統(tǒng)誤差的總標(biāo)準(zhǔn)差u為 i iisau2s2 aauu ijijiji11ij式中，ij為第i個(gè)和第j個(gè)誤差項(xiàng)的相關(guān)系數(shù)s ii(au)s ii(au)2i12、極限誤差的合成由各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差標(biāo)準(zhǔn)差得到的合成未定系統(tǒng)誤差極限誤差為：s iis ii(au)2 aauu2 ijijijsi1ij或者，由各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差極限誤差得到的合成未定系統(tǒng)誤差極限誤差為：si1(si1(ii)au2t2 aai suuji1ijijijti jt當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布，且相互間獨(dú)立無(wú)關(guān)，則上式可簡(jiǎn)化為： (a (ae)i1 iis2第四節(jié) 系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成一、按極限誤差合成1、單次測(cè)量情況r個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差。它們的誤差值或極限誤差分別為：1,1, ,r,e2, ,es1,2, ,q若各個(gè)誤差的傳遞系數(shù)取1，則測(cè)量結(jié)果總的極限誤差為：sseq2i(i)tii1(i)tiRrri1

it式中，R為各個(gè)誤差之間的協(xié)方差之和。r當(dāng)各個(gè)誤差均服從正態(tài)分布，且各個(gè)誤差間互不相關(guān)時(shí)，測(cè)量結(jié)果總的極限誤差可簡(jiǎn)化為r=isisi1e i iq22i1一般情況下，已定系統(tǒng)誤差經(jīng)修正后，測(cè)量結(jié)果總的極限誤差就是總的未定系統(tǒng)誤差與總的隨機(jī)誤差的均方根值，即：si1si1e i iq22i12、n次重復(fù)測(cè)量情況當(dāng)每項(xiàng)誤差都進(jìn)行n次重復(fù)測(cè)量時(shí)，由于隨機(jī)誤差間具有低償性、系統(tǒng)誤差（包括未定系統(tǒng)誤差）不存在低償性，總誤差合成公式中的隨機(jī)誤差項(xiàng)應(yīng)除以重復(fù)測(cè)量次數(shù)n?？倶O限誤差變?yōu)椋簊i1si1e2i i1qn2i1二、按標(biāo)準(zhǔn)差合成1、單次測(cè)量情況測(cè)量過(guò)程中，假定有s個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為：,u2, ,us1,2, ,q若各個(gè)誤差的傳遞系數(shù)取1，則測(cè)量結(jié)果總的標(biāo)準(zhǔn)差為：= u Rsi iq22i1i1式中，R為各個(gè)誤差之間的協(xié)方差之和。當(dāng)各個(gè)誤差均服從正態(tài)分布，且各個(gè)誤差間互不相關(guān)時(shí)，測(cè)量結(jié)果總標(biāo)準(zhǔn)差為：i i isqu 22i1 i12、n次重復(fù)測(cè)量情況當(dāng)每項(xiàng)誤差都進(jìn)行n次重復(fù)測(cè)量時(shí)，由于隨機(jī)誤差間具有低償性、系統(tǒng)誤差（包括未定系統(tǒng)誤差）不存在低償性，總誤差合成公式中的隨機(jī)誤差項(xiàng)應(yīng)除以重復(fù)測(cè)量次數(shù)n?？倶?biāo)準(zhǔn)差變?yōu)椋簊i1si1u2i i1qn2i1【例】在萬(wàn)能工具顯微鏡上用影像法測(cè)量某一平面工件的長(zhǎng)度共兩次，測(cè)得結(jié)果分別為l150.026mm，l250.025mm，已知工件的和高度為H80mm，求測(cè)量結(jié)果及其極限誤差。計(jì)算略【例】用TC328B型天平，配用三等標(biāo)準(zhǔn)砝碼稱一不銹鋼球質(zhì)量，一次稱量得鋼球質(zhì)量M14.004g，求測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算略第五節(jié)誤差分配在誤差分配時(shí)，隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差同等看待。滿足條件：222y1 y22yn一、按等影響原則分配誤差二、按可能性調(diào)整誤差按等影響原則分配誤差的不合理性(1)對(duì)各分項(xiàng)誤差平均分配的結(jié)果，會(huì)造成對(duì)部分測(cè)量誤差的需求實(shí)現(xiàn)頗感容易，而對(duì)令一些測(cè)量誤差的要求難以達(dá)到。這樣，勢(shì)必需要用昂貴的高準(zhǔn)確度等級(jí)的儀器，或者以增加測(cè)量次數(shù)及測(cè)量成本為代價(jià)。(2)當(dāng)各個(gè)部分誤差一定時(shí)，則相應(yīng)測(cè)量值的誤差與其傳播系數(shù)成反比。所以各個(gè)部分誤差相等，相應(yīng)測(cè)量值的誤差并不相等，有時(shí)可能相差較大。在等影響原則分配誤差的基礎(chǔ)上，根據(jù)具體情況進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。對(duì)難以實(shí)現(xiàn)測(cè)量的誤差項(xiàng)適當(dāng)擴(kuò)大，對(duì)容易實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng)盡可能縮小，其余誤差項(xiàng)不予調(diào)整。三、驗(yàn)算調(diào)整后的總誤差誤差按等影響原理確定后，應(yīng)按照誤差合成公式計(jì)算實(shí)際總誤差，若超出給定的允許誤差范圍，應(yīng)選擇可能縮小的誤差項(xiàng)再進(jìn)行縮小。若實(shí)際總誤差較小，可適當(dāng)擴(kuò)大難以實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng)的誤差，合成后與要求的總誤差進(jìn)行比較，直到滿足要求為止。Dh，根據(jù)函數(shù)式D2V h4求得體積V20mm50mmDh的準(zhǔn)確度。計(jì)算略第六節(jié) 微小誤差取舍準(zhǔn)則微小誤差：測(cè)量過(guò)程包含有多種誤差時(shí)，當(dāng)某個(gè)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果總誤差的影響，可以忽略不計(jì)的誤差。已知測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差：D2DD2D21 2D2D2D2kk k1D2n若將其中的部分誤差取出后，則得D2D21 2D2D21 2D2D2kk1D2n如果yy則稱Dk為微小誤差。1、測(cè)量誤差的有效數(shù)字取一位：某項(xiàng)部分誤差舍去后，滿足：0.3)y0.3)y或者

yk

13 y則對(duì)測(cè)量結(jié)果的誤差計(jì)算沒有影響。2、測(cè)量誤差的有效數(shù)字取二位：某項(xiàng)部分誤差舍去后，滿足：yk(0.14 y或者

yk

110 y對(duì)于隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差，微小誤差舍去準(zhǔn)則是被舍去的誤差必須小于或等于測(cè)量結(jié)果的十分之一到三分之一。對(duì)于已定系統(tǒng)誤差，按百分之一到十分之一原則取舍。第七節(jié) 最佳測(cè)量方案的確定最佳測(cè)量方案的確定：當(dāng)測(cè)量結(jié)果與多個(gè)測(cè)量因素有關(guān)時(shí)，采用什么方法確定各個(gè)因素，才能使測(cè)量結(jié)果的誤差最小。考慮因素：因?yàn)橐讯ㄏ到y(tǒng)誤差可以通過(guò)誤差修正的方法來(lái)消除，所以設(shè)計(jì)最佳測(cè)量方案時(shí)，只需考慮隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差的影響。研究對(duì)象和目標(biāo)：研究間接測(cè)量中使函數(shù)誤差為最小的最佳測(cè)量方案。一、選擇最佳函數(shù)誤差公式間接測(cè)量中如果可由不同的函數(shù)公式來(lái)表示，則應(yīng)選取包含直接測(cè)量值最小的函數(shù)公式。不同的數(shù)學(xué)公式所包含的直接測(cè)量值數(shù)目相同，則應(yīng)選取誤差較小的直接測(cè)量值的函數(shù)公式?！纠坑梅侄戎禐?.05mm游標(biāo)卡尺測(cè)量?jī)奢S的中心距L，試選擇最佳測(cè)量方案。解：略二、使誤差傳播系數(shù)盡量小f則函數(shù)誤差可相應(yīng)減少。f測(cè)量條件，但卻指出了達(dá)到最佳測(cè)量方案的趨向?！纠坑霉呦议L(zhǎng)法測(cè)量工件直徑，已知其函數(shù)式為:l2D h4h

/xi為最小，/xi等于零的試確定最佳測(cè)量方案。解：略。第四章測(cè)量不確定度第一節(jié) 測(cè)量不確定度的基本概念一、概述（ISO)。二、測(cè)量不確定度的定義測(cè)量不確定度：測(cè)量結(jié)果含有的一個(gè)參數(shù)，表征被測(cè)量值的分散性。測(cè)量結(jié)果＝被測(cè)量的估計(jì)值＋不確定度YyU三、測(cè)量不確定度的評(píng)定方法A類評(píng)定：通過(guò)對(duì)一系列觀測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析來(lái)評(píng)定B類評(píng)定：基于經(jīng)驗(yàn)或其他信息所認(rèn)定的概率分布來(lái)評(píng)定四、測(cè)量不確定度與誤差聯(lián)系：測(cè)量結(jié)果的精度評(píng)定數(shù)所有的不確定度分量都用標(biāo)準(zhǔn)差表征，由隨機(jī)誤差或系統(tǒng)誤差引起誤差是不確定度的基礎(chǔ)區(qū)別：誤差以真值或約定真值為中心，不確定度以被測(cè)量的估計(jì)值為中心誤差一般難以定值，不確定度可以定量評(píng)定誤差有三類，界限模糊，難以嚴(yán)格區(qū)分；測(cè)量不確定度分兩類，簡(jiǎn)單明了第二節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量不確定度的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用標(biāo)準(zhǔn)差表征的不確定度，用u表示一、標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評(píng)定u被測(cè)量X的估計(jì)值＝單次測(cè)量值x：u被測(cè)量X的估計(jì)值＝算術(shù)平均值x：u/ n思考：當(dāng)被測(cè)量Y取決于其他N個(gè)量X1,X2, ,XN時(shí)，則Y的估計(jì)值y的標(biāo)準(zhǔn)不確定uy如何估計(jì)？二、標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評(píng)定B類評(píng)定的提出B類評(píng)定的依據(jù)以前的測(cè)量數(shù)據(jù)、經(jīng)驗(yàn)和資料；有關(guān)儀器和裝置的一般知識(shí)、制造說(shuō)明書和檢定證書或其他報(bào)告所提供的數(shù)據(jù)；由手冊(cè)提供的參考數(shù)據(jù)等。（3）常見情況的B類評(píng)定a、當(dāng)估計(jì)值受多個(gè)獨(dú)立因素的影響，且影響大小相近時(shí)，可假設(shè)為正態(tài)分布auxkaqb、當(dāng)估計(jì)值取自相關(guān)資料，所給出的測(cè)量不確定度Ux為標(biāo)準(zhǔn)差的k倍時(shí)uUxx kcx服從均勻分布，即若在區(qū)間xaxa內(nèi)的概率為1，且在各處出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等，則3aux3ad、當(dāng)x受到兩個(gè)獨(dú)立且皆滿足均勻分布的因素影響時(shí)，則x服從區(qū)間為xaxa內(nèi)的三角分布6aux6aex服從區(qū)間xaxa內(nèi)的反正弦分布時(shí)，則其標(biāo)準(zhǔn)不確定度為2aux2a三、自由度及其確定1）自由度的概念自由度：將不確定度計(jì)算表達(dá)式中總和所包含的項(xiàng)數(shù)減去各項(xiàng)之間存在的約束條件數(shù)所得的差值，用ν表示意義：反映不確定度評(píng)定的質(zhì)量，自由度越大，標(biāo)準(zhǔn)差越可信賴，不確定度評(píng)定質(zhì)量越好。2）自由度的確定A類評(píng)定的自由度：Besseln1其他公式：見表4－1（P86教材費(fèi)業(yè)泰）B類評(píng)定的自由度：v 12(u)2u第三節(jié) 測(cè)量不確定度的合成一、合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度1、uc的確定步驟第一步明確影響測(cè)量結(jié)果的多個(gè)不確定度分量；第二步確定各分量與測(cè)量結(jié)果的傳遞關(guān)系和它們之間的相關(guān)系數(shù)；第三步給出各分量標(biāo)準(zhǔn)不確定度；第四步按方和根法合成。2、uc的合成例：間接測(cè)量中，設(shè)各直接測(cè)得量xi的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為uxi，它對(duì)被測(cè)量的傳遞系數(shù)為f度分量為

/xiy

f(x1x1, xNxiy的不確定fxiufxii xi而測(cè)量結(jié)果y的標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc可用下式表征NNfi1 2xiNuffxi22ijuxiuxj1ijxxi jijxixj不確定度的相關(guān)系數(shù)。3、結(jié)果表示Yyuc二、展伸不確定度1、展伸不確定度的提出2、展伸不確定度的評(píng)定Ukuck由tktp(v)p－給定的置信概率v－uc的自由度，當(dāng)各不確定度分量相互獨(dú)立時(shí)，u4vc Nu4Nuii1vi當(dāng)自由度無(wú)法按上式計(jì)算時(shí)，取k=2~3測(cè)量結(jié)果：YyU三、不確定度報(bào)告1、報(bào)告的基本內(nèi)容2、測(cè)量結(jié)果的表示用uc表示:a.y100.02147g,uc0.35mgb.Y100.02147(35)gc.Y100.02147(0.00035)gd.Y(100.021470.00035)g用U表示與d的表示形式相同，為避免混淆，應(yīng)給出相應(yīng)說(shuō)明。相對(duì)不確定度表示形式：y100.02147g,uc0.00035%3、注意事項(xiàng)1）有效數(shù)字一般不超過(guò)兩位2）不確定度數(shù)值與被測(cè)量的估計(jì)值末位對(duì)齊3）“三分之一準(zhǔn)則”修約第四節(jié) 測(cè)量不確定度應(yīng)用實(shí)例一、測(cè)量不確定度計(jì)算步驟1）列出主要分量2）計(jì)算各分量的傳遞系數(shù)3）評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量，給出自由度4）分析各相關(guān)系數(shù)5）求uc和自由度，若有必要，給出展伸不確定度U6）給出不確定度報(bào)告例1：測(cè)某一圓柱體的體積。由分度值為0.01mm的測(cè)微儀重復(fù)測(cè)量直徑D和高度h各6次，數(shù)據(jù)如下：Di/mm10.07510.08510.09510.06010.08510.085hi/mm10.10510.11510.11510.11010.11010.115、h的平均值，求V的估計(jì)值（單個(gè)計(jì)算求平均如何？）D2V h806.8mm34不確定度評(píng)定D的測(cè)量重復(fù)性引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量因u 0.0048mm,VD，則D D D hVDVD

u0.77mm3,v

6151Dh的測(cè)量重復(fù)性引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u21D因u0.0026mm,Vh h

D24

，則VhVh

u0.21mm3,v

6152h（3）測(cè)微儀的示值誤差引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量2h由儀器說(shuō)明書可知，測(cè)微儀的示值誤差范圍u30.01mm，取均勻分布，u=0.01=0.0058mm儀 3((Du)2(儀hu儀)2VVu3

1.04mm3u設(shè)相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差 u3

35%，對(duì)應(yīng)的自由度3、不確定度合成

v3

12(0.35)2

4因ij0，則體積測(cè)量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度其自由度為

ucu2u2u2u21 2 3

1.3mm33uvc 7.86,取v83u4、展伸不確定度

4ii1vi取置信概率P0.95,v8，查t分布表得包含因子kt0.95(8)2.31于是，體積測(cè)量的展伸不確定度為cUku3.0mm3c5、不確定度報(bào)告1）用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示測(cè)量結(jié)果cV806.8mm3,u1.3mm3,v7.86c2）用展伸不確定度表示測(cè)量結(jié)果V(806.83.0)mm3,P0.95,v8c其中，±符號(hào)后的數(shù)值式展伸不確定度，Uku3.0mm3是由合成標(biāo)準(zhǔn)不cc確定度u1.3mm3及包含因子k2.31確定的。例2：電壓測(cè)量不確定度計(jì)算c在標(biāo)準(zhǔn)條件下，用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)字電壓表測(cè)直流電壓源的輸出電壓10次，測(cè)得值為（V）：10.000107,10.000103,10.000097,