27、反比例函數(shù)與幾何、代數(shù)的綜合問題（答案）

1．（2023?北碚區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在中，，，，，點(diǎn)在上且，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程為，的面積為．（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；（2）在坐標(biāo)系中畫出的函數(shù)圖象；（3）觀察函數(shù)圖象，請(qǐng)寫出一條該函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；；（4）在坐標(biāo)系中畫出的函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象直接寫出時(shí)的取值范圍．【解答】解：（1）動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示：作，垂足為點(diǎn)，，，，，；當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示：作，垂足為點(diǎn)，，，，，，，，，，，，；綜上，，故答案是．（2）由（1）得，，在平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，畫出的函數(shù)圖象，故答案如圖所示：（3）由圖可得，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；故答案為：當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．（4）在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)畫出的函數(shù)圖象，如圖所示：當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，令，解得或（不符合題意舍），時(shí)，，故答案是．2．（2022秋?細(xì)河區(qū)期末）如圖，矩形放置在平面直角坐標(biāo)系上，點(diǎn)，分別在軸，軸的正半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)是，其中，反比例函數(shù)的圖象交交于點(diǎn)．（1）（用的代數(shù)式表示）；（2）設(shè)點(diǎn)為該反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且它的橫坐標(biāo)恰好等于，連接、．①若的面積比矩形面積多4，求的值；②現(xiàn)將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，若點(diǎn)恰好落在軸上，求的值．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．故答案為：；（2）①設(shè)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則．，．．解得（舍，，．②過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．，，，且，．，即．解得，（舍．．3．（2023?大武口區(qū)模擬）如圖，直線的圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過平行四邊形的頂點(diǎn)．（1）求證：．（2）求反比例函數(shù)的解析式．（3）動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)，都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積最??？此時(shí)四邊形的面積是多少？【解答】（1）證明：令，則，，令，則，，點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，四邊形是平行四邊形，，且，，，，；（2）解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，；反比例函數(shù)的解析式為：；（3）解：根據(jù)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)可知，，，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，即，，，，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積的最小值為．4．（2023?興慶區(qū)模擬）已知在平面直角坐標(biāo)系中有矩形，滿足，；（1）如圖1，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過矩形邊，且與邊交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，若將矩形沿線段翻折，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)點(diǎn)，同時(shí)在另一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，試求出此時(shí)矩形的邊的長(zhǎng)度；（3）連接，試計(jì)算的度數(shù)．【解答】解：（1）矩形，，，的橫坐標(biāo)為2，把代入得，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）連接，設(shè)反比例函數(shù)為，，，，，，，由題意可知，，由勾股定理得：，，，，，整理得，，，，或（舍去），；（3）連接，矩形沿線段翻折，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，，在中，，，．5．（2023春?鎮(zhèn)平縣期末）如圖，一次函數(shù)y1＝k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y2＝（x＜0）的圖象交于第二象限內(nèi)的點(diǎn)A（﹣4，2）和B（﹣2，m），與x軸交于點(diǎn)C．（1）分別求出這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式．（2）不等式k1x+b≤的解集是x≤﹣4或﹣2≤x＜0．（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)O，B，C，P組成的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y1＝k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y2＝（x＜0）的圖象交于第二象限內(nèi)的點(diǎn)A（﹣4，2）和B（﹣2，m），∴，∴，∴一次函數(shù)y1＝x+6，反比例函數(shù)y2＝；（2）由圖象可得：當(dāng)x≤﹣4或﹣2≤x＜0時(shí)，k1x+b≤，故答案為：x≤﹣4或﹣2≤x＜0；（3）∵一次函數(shù)y1＝x+6與x軸交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C（﹣6，0），設(shè)點(diǎn)P（x，y），∵點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)B（﹣2，4），點(diǎn)C（﹣6，0），∴當(dāng)OB為對(duì)角線時(shí)，0+（﹣2）＝（﹣6）+x，0+4＝0+y，∴x＝4，y＝4，∴點(diǎn)P（4，4）；當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，﹣2﹣6＝0+x，4+0＝0+y，∴x＝﹣8，y＝4，∴點(diǎn)P（﹣8，4）；當(dāng)CO為對(duì)角線時(shí)，﹣6+0＝﹣2+x，0+0＝4+y，∴x＝﹣4，y＝﹣4，∴點(diǎn)P（﹣4，﹣4）；綜上所述：點(diǎn)P（4，4）或（﹣8，4）或（﹣4，﹣4）．6．（2023春?儀征市期末）已知點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在軸上，連接，如圖1，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)，點(diǎn)正好落在軸上．（1）求的值和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，，①如圖2，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，試說明平分；②如圖3，連接交于點(diǎn)，將沿著翻折，記點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，若點(diǎn)恰好落在線段上，求△與△面積之比．【解答】（1）解：如圖1，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)，，，，，△，，，，，，，，，，，，，，；（2）①證明：如圖2，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，軸，，，，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，，，四邊形是矩形，，，同理可得，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，平分；②解：將沿著翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為恰好落在線段上，，，，，，四邊形是正方形，，，，，，，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得，解得：，直線的解析式為，聯(lián)立得，解得：（舍去），，，，，，，，．7．（2023春?漳州期末）如圖1，直線與軸正半軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，已知：，點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中．（1）求直線的解析式；（2）若最大，求點(diǎn)坐標(biāo)；（3）如圖2，在反比例函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）直線與軸交于點(diǎn)，，，，代入得，直線的解析式為：；（2）過點(diǎn)作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，作直線，交直線與點(diǎn)，如圖1，由對(duì)稱性可知，，在直線上任意取一點(diǎn)，若點(diǎn)是直線上異于的點(diǎn)，則，這時(shí)，的值最大，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，，，設(shè)直線的解析式為：，把，代入得：，解得：，直線的解析式為：，把代入得：，；（3）存在，設(shè)，又，，，當(dāng)、為對(duì)角線時(shí)，則、的中點(diǎn)重合，，解得：，；當(dāng)、為對(duì)角線時(shí)，則、的中點(diǎn)重合，，解得：，；當(dāng)、為對(duì)角線時(shí)，則、的中點(diǎn)重合，，解得：，；綜上所述，存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．8．（2023?青羊區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，直線與反比例函數(shù)的圖象在第一象限相交于點(diǎn)，（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）如圖2，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，連接，，試問在軸上是否存在一點(diǎn)，使的面積與的面積相等，若存在，請(qǐng)求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在（2）的條件下，坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，且點(diǎn)在軸的正半軸上，若點(diǎn)是反比例函數(shù)的第一象限圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊做正方形，當(dāng)頂點(diǎn)恰好落在直線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)，點(diǎn)分別代入上式可得：，解得：，，把代入中，，解得：，，把代入可得：，解得：，反比例函數(shù)解析式為；（2）在反比例函數(shù)圖象上，，，的面積與且的面積相等，當(dāng)點(diǎn)在軸的正半軸上時(shí)，設(shè)過點(diǎn)與直線平行的直線解析式為，，解得，，；當(dāng)點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，此時(shí)的面積與且的面積相等，；綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或；（3）由題意得：，設(shè)，，①當(dāng)點(diǎn)左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，，四邊形為正方形，，，，，，，，，，，，，，解得，，；②點(diǎn)在右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，同理可得：，，，，，，，代入可得：，解得：，，綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為：或．9．（2023?宿遷）規(guī)定：若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”，其公共點(diǎn)稱為“兄弟點(diǎn)”．（1）下列三個(gè)函數(shù)①；②；③，其中與二次函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”的是②（填寫序號(hào)）；（2）若函數(shù)與互為“兄弟函數(shù)”，是其中一個(gè)“兄弟點(diǎn)”的橫坐標(biāo)．①求實(shí)數(shù)的值；②直接寫出另外兩個(gè)“兄弟點(diǎn)”的橫坐標(biāo)是、；（3）若函數(shù)為常數(shù)）與互為“兄弟函數(shù)”，三個(gè)“兄弟點(diǎn)”的橫坐標(biāo)分別為、、，且，求的取值范圍．【解答】解：（1）如圖：由圖可知，與二次函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)的是，與二次函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”的是②，故答案為：②；（2）①把代入得，把，代入函數(shù)得，；②，，，，，，，或．故答案為：，．（3）滿足方程，即，，滿足方程，即，是方程的兩個(gè)根，△，即，，．10．（2023春?安溪縣期末）如圖1，直線分別與軸、軸交于點(diǎn)，，直線分別與軸、軸交于點(diǎn)，，，的交點(diǎn)在第一象限，且，．（1）求，滿足的關(guān)系式；（2）若四邊形的面積為22．①點(diǎn)，分別在軸、直線上，當(dāng)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②如圖2，正方形中，頂點(diǎn)在軸的正半軸上，同時(shí)正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，另兩個(gè)頂點(diǎn)，分別在軸、軸的正半軸上．當(dāng)?shù)闹蹈淖儠r(shí)，正方形的大小也隨之改變，若變化的正方形與正方形有重疊部分時(shí)，直接寫出的取值范圍．【解答】解：（1）直線與軸、軸交于點(diǎn)、，直線與軸交于點(diǎn)，，，，，，，，，，；（2）①直線分別與軸交于點(diǎn)，，，，，的交點(diǎn)在第一象限，，解得：，四邊形的面積為22，，，即，化簡(jiǎn)得：，又，，，，直線的解析式為，直線的解析式為，，，點(diǎn)，分別在軸、直線上，設(shè)，，當(dāng)、為對(duì)角線時(shí)，則、的中點(diǎn)重合，，解得：，；當(dāng)、為對(duì)角線時(shí)，則、的中點(diǎn)重合，，解得：，；當(dāng)、為對(duì)角線時(shí)，則、的中點(diǎn)重合，，解得：，；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或；②設(shè)，，則，，，，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，如圖，則，，四邊形是正方形，，，，，△△△△，，，，解得：，，△為等腰直角三角形，，，，，，，，，直線、的解析式分別為和，當(dāng)在邊上時(shí)，如圖，把代入，得：，解得：，，，；當(dāng)與直線重合時(shí)，如圖，把代入，得：，，；當(dāng)正方形與正方形有重疊部分時(shí)，．11．（2023?唐河縣模擬）如圖，矩形的頂點(diǎn)，分別在函數(shù)和的圖象上，且．（1）求，的值；（2）若點(diǎn)，分別在和的圖象上，且不與點(diǎn)，重合，是否存在點(diǎn)，，使得，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：；過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，四邊形為矩形，則，，．．，．，則和的相似比為：，則，，故點(diǎn)．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得：．（2）、．理由如下：由（1）知，兩個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式分別為：、，假設(shè)存在點(diǎn)，符合題設(shè)條件，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖：由（1）知，．所以，，解得：或（舍去）；，．即且，解得：或1或（舍去）或（舍去），點(diǎn)不與點(diǎn)重合，不合題意舍去，，，即；，，，即，；綜上所述，存在符合題設(shè)要求的點(diǎn)，，它們的坐標(biāo)分別為、．12．（2023?虎林市校級(jí)三模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)、分別在軸負(fù)半軸、軸正半軸上，、的長(zhǎng)分別是方程的兩個(gè)根，且．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，過點(diǎn)且垂直于的直線交軸于點(diǎn)，在直線上截取，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，求經(jīng)過點(diǎn)的反比例函數(shù)的解析式；（3）在（2）的條件下，在軸上是否存在一點(diǎn)，使以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，寫出點(diǎn)的個(gè)數(shù)及其中兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）方程的兩個(gè)根為：，．，，．．（2）過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，在和中，，，，，，四邊形為矩形，，，，設(shè)過點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式為，，．（3）存在，，，，，理由如下：當(dāng)時(shí)，，，，，根據(jù)解析（2）可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，，，，，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為：或；綜上分析可知，有四個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，，，．13．（2022?成都自主招生）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)交于點(diǎn)，且，軸交反比例函數(shù)于點(diǎn)．（1）求、的值；（2）如圖1，若點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，設(shè)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作，交反比例函數(shù)于點(diǎn)．若，求的值．（3）如圖2，在（2）的條件下，連接并延長(zhǎng)，交軸于點(diǎn)，連接，在直線上方是否存在點(diǎn)，使得與相似（不含全等）？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）作軸于，如圖，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，，解得，直線解析式為：，，，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，得．（2）軸，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，代入，得，點(diǎn)坐標(biāo)為，將點(diǎn)橫坐標(biāo)代入，得，，點(diǎn)縱坐標(biāo)為，代入，得，點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，解方程得或（舍，．（3）存在，理由如下：如圖2，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由（2）知，，直線的解析式為：，，，，，．，．Ⅰ、當(dāng)時(shí)，如圖2所示，設(shè)與交于點(diǎn)，由（2）知，軸，，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，，解得；；，，直線的解析式為：；①若，則，不符合題意，舍去；②若，，即，解得，設(shè)，，解得，負(fù)值舍去，；Ⅱ、當(dāng)時(shí)，①若，如圖4，，，，即點(diǎn)在上，，，，，直線的解析式為：；②若，，即，解得，設(shè)，，解得，負(fù)值舍去，，；Ⅲ、當(dāng)時(shí)，，直線的解析式為：；①若，則，不符合題意，舍去；②若，如圖5，，即，解得，設(shè)，，解得，正值舍去，，；綜上，符合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或，或，．14．（2022秋?市中區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、是矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，與矩形的邊相交于點(diǎn)．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，的值為24，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)在線段上的任意位置時(shí)（不與、重合），連接、，求證：．（3）是否存在反比例函數(shù)上不同于點(diǎn)的一點(diǎn)，滿足：為直角三角形，，且，若存在，請(qǐng)直接寫出滿足以上條件時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】（1）解：、是矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，，，故答案為：24，；（2）證明：設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，反比例函數(shù)的解析式為：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，即，；（3）解：根據(jù)題意可知，需要分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，，，，解得（負(fù)值舍去）．即此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：．②當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，，，，解得（負(fù)值舍去）．即此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：．綜上，滿足題意的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：或．15．（2021?廣東模擬）如圖1，兩個(gè)全等的等腰直角三角形按如圖方式放置在平面直角坐標(biāo)系中，在軸上，已知，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．（1）求的值；（2）把沿射線移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)落在圖象上時(shí)，求點(diǎn)經(jīng)過的路徑長(zhǎng)度；（3）如圖2，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，連接，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，所在直線與軸交于點(diǎn)，所在直線與反比例函數(shù)交于點(diǎn)，試問，是否存在的一個(gè)值，使得，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）和全等，且為等腰直角三角形，，．點(diǎn)的坐標(biāo)為．代入得．（2）如圖1，設(shè)平移后與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)為，由平移性質(zhì)可知，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)交軸于點(diǎn)．，，．點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)橫坐標(biāo)為，則．．．．在反比例函數(shù)圖象上，圖1，，解得或（舍去）．．，即點(diǎn)經(jīng)過的路徑長(zhǎng)度為．（3）如圖2，存在．理由如下：當(dāng)，連接．又，，．．點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，圖2，．．．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．由（1）知，反比例函數(shù)解析式為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．．如圖2，作于點(diǎn)．在中，，，．．．在中，．16．（2023春?泉港區(qū)期末）如圖，點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，其中，．（1）試求出、的值；（2）已知點(diǎn)為軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交的圖象于點(diǎn)．①連結(jié)，，，的面積是否隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化而變化？請(qǐng)說明理由．②當(dāng)與互相垂直時(shí)，試求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，；（2）①的面積隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化沒有發(fā)生變化，理由如下：如圖，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，，軸，點(diǎn)，，點(diǎn)，，，，的面積是一個(gè)固定值，不會(huì)隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化而變化；②點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為：，將代入，解得：，直線的解析式為：；直線是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，又，點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱；，，，，，解得或（舍，．17．（2023?青羊區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于第一象限內(nèi)，兩點(diǎn)在右側(cè)），分別交軸，軸于，兩點(diǎn)．（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求和的值；（2）在（1）的條件下，是否存在軸上一點(diǎn)，使與相似，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，連接，，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)恰有，求的面積．【解答】解：（1）一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于點(diǎn)，，，，；（2）由（1）知一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為，解得，，，一次函數(shù)與軸，軸交于，兩點(diǎn)，，，，，設(shè)，，，①當(dāng)時(shí)，，，，，；②當(dāng)時(shí)，，，，，，，，解得，，，綜上所述，或，；（3）一次函數(shù)與軸，軸交于，兩點(diǎn)，，，，，，，，，，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，，，設(shè)，則，，，，在反比例函數(shù)上，，解得，，，，．18．（2023春?新吳區(qū)期末）如圖1，已知點(diǎn)，，且、滿足平行四邊形的邊與軸交于點(diǎn)，且為中點(diǎn)，雙曲線經(jīng)過、兩點(diǎn)．（1），；（2）求反比例函數(shù)表達(dá)式：（3）點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在軸上，若以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，直接寫出滿足要求的所有點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1），且，，，解得，故答案為：，；（2）設(shè)反比例函數(shù)表達(dá)式為，由（1）知，，，，，為中點(diǎn)，，設(shè)，又四邊形是平行四邊形，，，，，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，，反比例函數(shù)表達(dá)式為；（3）點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在軸上，設(shè)，，①當(dāng)為邊時(shí)：如圖1所示：若為平行四邊形，則，解得，此時(shí)，；如圖2所示：若為平行四邊形，則，解得，此時(shí)，；②如圖3所示：當(dāng)為對(duì)角線時(shí)：，且；，解得，，；綜上所述，；；．19．（2023春?洛江區(qū)期末）如圖，已知反比例函數(shù)的圖象與直線將于交于、兩點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸正半軸上的一點(diǎn)，（1）求反比例函數(shù)及直線的解析式；（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)和點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）將代入，得，解得：，反比例函數(shù)的解析式為：；將代入，得，，直線經(jīng)過、兩點(diǎn)，，解得：，直線的解析式為：；（2）在中，令，得，，點(diǎn)是軸正半軸上的一點(diǎn)，設(shè)，，，，，即，解得：；點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)和點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）存在．點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為：；設(shè)、，又、，當(dāng)、為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，、的中點(diǎn)重合，，解得：，；當(dāng)、為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，、的中點(diǎn)重合，解得；當(dāng)、為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，、的中點(diǎn)重合，解得．綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．20．（2023春?廣陵區(qū)期末）如圖1，將函數(shù)的圖象向左平移4個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，與軸交于點(diǎn)．（1）若，求的值；（2）如圖2，為軸正半軸上一點(diǎn)，以為邊，向上作正方形，若、恰好落在上，線段與相交于點(diǎn)．①求正方形的面積；②直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)平移前的點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）①把點(diǎn)代入中得：，，如圖2，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作于，，，四邊形是正方形，，，，，，，當(dāng)時(shí)，，，同理得：，，，，，，正方形的面積；②由①得：，，設(shè)的解析式為：，，解得：，的解析式為：，，解得：，點(diǎn)在第一象限，，，．21．（2023?東城區(qū)二模）某校學(xué)生參加學(xué)農(nóng)實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，計(jì)劃圍一個(gè)面積為4平方米的矩形圍欄．設(shè)矩形圍欄周長(zhǎng)為米，對(duì)于的最小值問題，小明嘗試從“函數(shù)圖象”的角度進(jìn)行探究，過程如下．請(qǐng)你補(bǔ)全探究過程．（1）建立函數(shù)模型設(shè)矩形相鄰兩邊的長(zhǎng)分別為，．由矩形的面積為4，得，即；由周長(zhǎng)為，得，即．滿足要求的應(yīng)是兩個(gè)函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）畫出函數(shù)圖象函數(shù)的圖象如圖所示，而函數(shù)的圖象可由直線平移得到．請(qǐng)?jiān)谕黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出直線；（3）平移直線，觀察函數(shù)圖象當(dāng)直線平移到與函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)時(shí)，直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為；（4）得出結(jié)論若圍出面積為4平方米的矩形圍欄，則周長(zhǎng)的最小值為米，此時(shí)矩形相鄰兩邊的長(zhǎng)分別為米、米．【解答】解：（1），，滿足要求的應(yīng)是兩個(gè)函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)交點(diǎn)的坐標(biāo)．故答案為：一；（2）列表012210描點(diǎn)、連線，畫出函數(shù)圖象，如圖所示．（3）觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)直線平移到與函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)時(shí)，直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為故答案為：4；（4）由（3）可知：的最小值為4，的最小值為8，此時(shí)，此時(shí)矩形相鄰兩邊的長(zhǎng)分別為2米、2米．故答案為：8，2，2．22．（2023?越秀區(qū)校級(jí)三模）如圖，已知矩形，在軸上，在軸上，，．雙曲線與矩形的邊、分別交于點(diǎn)、．（1）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將沿直線對(duì)折，點(diǎn)落在軸上的處，過點(diǎn)作于點(diǎn)．問：與是否相似？若相似，請(qǐng)求出相似比；若不相似，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，即反比例函數(shù)解析式為：，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)的縱坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）由折疊的性質(zhì)可得：，，，，，，又，，結(jié)合圖形可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，，在中，，，即，，．23．（2023春?江陰市期末）解決數(shù)學(xué)問題是一個(gè)不斷思考，不斷發(fā)現(xiàn)，不斷歸納的過程．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，連接，，滿足，過點(diǎn)分別作軸、軸的平行線，過點(diǎn)分別作軸、軸的平行線，交點(diǎn)組成四邊形，直線交軸于點(diǎn)，作射線，交于點(diǎn)．（1）①四邊形的形狀是矩形；②點(diǎn)是否在射線上？試說明理由；（2）求證：；（3）若，過點(diǎn)作軸的平行線，在上存在點(diǎn)，使原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在四邊形的對(duì)角線所在直線上，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】（1）①解：如圖，延長(zhǎng)至，過點(diǎn)分別作軸、軸的平行線，過點(diǎn)分別作軸、軸的平行線，四邊形是平行四邊形，，軸，，四邊形是矩形，故答案為：矩形；②解：點(diǎn)在射線上，理由如下：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)在射線上；（2）證明：四邊形是矩形，，，，，，，，，，，即；（3）解：如圖，過點(diǎn)作于，延長(zhǎng)交于，設(shè)直線于交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，點(diǎn)，點(diǎn)，，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)，，原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在四邊形的對(duì)角線所在直線上，，點(diǎn)與點(diǎn)重合或點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，垂直平分，設(shè)與交于點(diǎn)，點(diǎn)，，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)，；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，，同理可求：直線的解析式為當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)，，綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．24．（2023春?蘇州期中）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，過作軸于，軸于，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿