人教版(2023版)初中數(shù)學(xué)八年級上冊期中試卷合集(共3份)(含答案及解析)

目錄

八年級數(shù)學(xué)期中模擬卷一...................................2

八年級數(shù)學(xué)期中模擬卷一答案解析...........................11

八年級數(shù)學(xué)期中模擬卷二..................................54

八年級數(shù)學(xué)期中模擬卷二答案解析..........................63

八年級數(shù)學(xué)期中模擬卷三.................................105

八年級數(shù)學(xué)期中模擬卷三答案解析.........................113

八年級數(shù)學(xué)期中模擬卷一

（原卷版）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題（共30分）

1.如圖，在aAAC中，NA=8（）。，NA8C與NACO的平分線交于點4,得N4,

與N4C。的平分線相交于點42,得NA?,…，N4BC與NA3c。的平分線相交于點4,得

N4,則NA4的度數(shù)為（）

A.5°B.10°C.15°D.20°

2.一個三角形的三個外角之比為5:2:5,則這個三角形是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角

三角形

3.如圖G是AABC的重心，直線過A點與BC平行.若直線CG分別與A8、交于。、后兩

點，直線8G與AC交于〃點，則△AEO的面積：四邊形AQG尸的面積=（）

A.1：2B.2：1C.2：3D.3：2

4.如圖，在4AAe中，NR4C和NA8C的平分線4E、B廠相交于點0,AE交8。于E,BF

交AC于尸，過點。作于。，下列四個結(jié)論：

A

BEDC

?ZAOB=90°+ZC；

②當(dāng)NC=60°時,AF+RE=AR：

③若OD=a,AB+BC+CA=2b,則S,叱=a〃.

其中正確的是（）

A.①②B.②③C.①?@D.??

5.如圖，AO是A4C的邊8c上的中線，A8=7,AQ=5,則AC的取值范圍為（）

A.5<AC<15B.3VAe<15C.3VAe<17D.5<AC<I7

6.如圖，AD1AB,AE1AC,AD=AB,AE=AC,則下列各式正確的是（）

D,

M

A./^ABD^ACEB.^ADF^AEGC..BMFgCMGD.AADC^AABE

7.下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）

8.如圖，在AABC中,/8AC、4cA的平分線交于點P,若NB=40。，3C=AP+AC,

則44。的大小是（）

A.60°B.70°C.80°D.90°

9.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為20。，則頂角的度數(shù)為（）

A.70°B.55°C.110°D.70°或110。

10.如圖，。是正工6c內(nèi)一點，04=3,08=4,OC=5,將線段BO以點8為旋轉(zhuǎn)中心

逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BO',下列結(jié)論：①△8OA可以由3OC繞點3逆時針旋轉(zhuǎn)60。得

到；②點0與O'的距離為4；③44。8=150。：④加邊“次/=6+36；⑤

4-4/1IZL.+io?=6+—/.其中正確的結(jié)論是（）

C.?@@@?D.?@?

二、填空題（共24分）

11.已知ABC中，AB=AC,現(xiàn)將.ABC折疊，使點A、"兩點重合，折痕所在的直線與

直線AC的夾角為20。，則D8的度數(shù)為。.

12.在AABC中，射線47平分N8AC交3。于點G,點。在3。邊上運動（不與點。重

合），過點。作。七〃4c交48于點E,NEO8的角平分線所在直線交A/6于點〃，交射線

AG于點F,則NB與NA/7）之間的數(shù)量關(guān)系是一.

13.如圖，在&△ABC中，NA8C=90。，A8=4,BC=3,點。是半徑為2的。4上一動

點，點M是CQ的中點，則4M的最大值是一.

14.如圖，A6c中，。在4c邊上，BD=CD,E在8C邊上，AE=AB,過點E作EF'上BC,

交AC于F.若AD=4,CE=6,則的長為

15.如圖，在A4C中，AB=AC=2,/B=NC,BD=CE,產(chǎn)是AC邊上的中點，fflAD-EF

1.（填“>”"一”或"v"）

16.等腰三角形ABC的底邊8CK為6,面積是21,腰的垂直平分線E廠分別交A以

AC于點E、F,若點。為底邊BC的中點，點M為線段E戶上一動點，則aBOM的周長的

最小值為一.

17.如圖，在.A3C中，BA=BC,8〃平分48C,點尸，。分別是3〃和A8上的任意

一點，連接C。，設(shè)AACD的面積為〃，PA+PD=m.

A

（1）當(dāng)點P,“重合時，SAPD=

（2）連接C。交8”于點E,則加CD（填“之”

或““）；

18.如圖1,是我們平時使用的等臂圓規(guī)，即C4=C8.若把〃個相同規(guī)格的等臂圓規(guī)的兩

腳依次擺放在同一條直線上，如圖2所示，其張角度數(shù)變化如下：NAG4=16（）。，

/4&兒=80。,NAC3Al=40。，NAGA=20。.…根據(jù)上述規(guī)律請你寫出NA,”A,G=

.（用含〃的代數(shù)式表示）

圖1

三、解答題（共46分）

19.（本題8分）如圖，將△ACB沿AC邊翻折至八40）.

（1）求證：NBCD=2NBAC+2NB；

（2）延長D4至F,延長8c交A。于￡.求證：NBAF-/DCE=2/B；

（3）在（2）的條件下，延長CE至尸，連尸，連接OP,并延長。尸至G,作N6PG的平

分線交。延長線于。，若NADG=24DC,NCQQ=54。，NEC。=46。，求N后竊的度數(shù).

20.（本題8分）小明為班級購買信息學(xué)編程競賽的獎品后，回學(xué)校向班主任李老師匯報說:

“我買了兩種書，共30本,單價分別為20元和24元，買書前我領(lǐng)了700元，現(xiàn)在還會38

元.”李老師算了一下，說：“你肯定搞錯了.”

（1）李老師為什么說他搞錯了？試用方程的知識給予解釋；

（2）小明連忙拿出購物發(fā)票，發(fā)現(xiàn)的確弄錯了，因為他還買了一個筆記本.但筆記本的單

價已模糊不清，只能辨認(rèn)出應(yīng)為小于10元的整數(shù)，如果單價為20元的書多于24元的書，

請問：筆記本的單價為多少元？

21.（本題10分）在-A8c中，點尸為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉(zhuǎn)，8W_L直線，于點

M.CN_L直線。于點N,連接PM，PN.

（1）如圖1,若點6,尸在直線"的異側(cè)，延長MP文CN于點E.求證：PM=PE.

圖1

(2)若直線〃繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，點“，夕在直線〃的同側(cè)，其它條件不變，此時

S?P+SENP=7,BM=1，CV=3,求MN的長度.

(3)若過P點作尸G1直線〃于點G.試探究線段PG、3M和CN的關(guān)系.

22.(本題10分)如圖，已知射線AM〃助V,C是射線8N二的一個動點(不與點8重合)，。、

石分別在射線BN上且滿足4。平分NBAC,4F平分ZCW,過E作EF//BA交AM于點F.

(1)若N8=60。，求ZZ)AE的度數(shù)；

2

(2)在(1)的條件下，點C在BN上運動，當(dāng)NAEF=§NBD4,求此時NC4尸的大?。?/p>

(3)若/8=。(0。＜。＜90"),當(dāng)..剛。為直角三角形時，請直接寫出所的度數(shù).

M

23.(本題10分)如圖，在ZACB=90°,AC=BC,E是AB上一點,BD1.CE于D,

尸是8c上一點，4/J.CD于".

(1)如圖1,求證：CH=BD-

(2)如圖2,在射線4廠上有一點G,連接CG,/DBE=/CGA,求/4CG的度數(shù);

(3)在(2)的條件下，如圖3,連接8G,若8G=CG=3,求BE的長.

八年級數(shù)學(xué)期中模擬卷一

（解析版）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題（共30分）

1.如圖，在AABC中，NA=80。，NABC與NACO的平分線交于點4,得乙4”N4出。

與NACD的平分線相交于點4,得乙42,…，NA38C與N/hCD的平分線相交于點心，

得N4,則NA4的度數(shù)為（）

A.5°B.10°C.15°I）.200

【答案】A

【分析】

根據(jù)角平分線的定義，三角形的外角性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可知NA=lzA=^x80°,

Z>l=1zA=^-x80%…，依此類推可知乙44的度數(shù)

【詳解】

解：???NA8C與的平分線交于點A，

:.ZA=\^--ZACD-ZACB--ZABC,

22

=180°」（ZA8C+乙4）-（180。-ZA-ZA8C）-1,

22

=-ZA=-x80°=40°,

22

同理可得，ZA,=-ZA=^-x80°=20°,

.-.ZAj=Jrx8O0=5°.

故選：A.

【點睛】

本題是找規(guī)律的題目，主要考查了三角形的外角性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，同時考查J'角

平分線的定義.解答的關(guān)健是掌握外角和內(nèi)角的關(guān)系.

2.一個三角形的三個外角之比為5:2:5,則這個三角形是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角

三角形

【答案】A

【分析】

根據(jù)三角形的外角和等于360。求出三個外角，再求出三個內(nèi)角，即可得出答案.

【詳解】

解：???三角形的三個外角之比為5：2：5,

，三角形的三個外角的度數(shù)為：150。,60。，150。，

工三角形對應(yīng)的內(nèi)角度數(shù)為30。，120。,30°,

???此三角形是等腰三角形，

故選A.

【點睛】

本題考查了三角形的外角和定理，解此題的關(guān)鍵是求出各個內(nèi)角的度數(shù).

3.如圖G是△ABC的重心，直線過A點與平行.若直線CG分別與A3、交于/）、E

兩點，直線BG與4c交于F點,則△AEO的面積：四邊形AOG尸的面積=（）

L

C.2：3D.3：2

【答案】D

【分析】

根據(jù)重心的概念得出Q，F(xiàn)分別是三角形邊的中點.若設(shè)的面積是2,則ABC力的面

積和△8C尸的面積都是1.又因為8G：GF=CG：GD,可求得ACG尸的面積.則四邊形

ADGF的面積也可求出.根據(jù)ASA可以證明^ADEgABDC,則^ADE的面積是1.則△AED

的面積：四邊形AOG/的面積可求.

【詳解】

解.：設(shè)三角形ABC的面積是2,

，三角形8c。的面積和三角形8c尸的面積都是1,

,:BG：GF=CG：GD=2,

???三角形CG尸的面積是:，

1?

???四邊形ADGF的面積是2-1--=-,

33

V7//BC,

，NEAD=NCBD,

'：BD=AD,ZADE=/BDC、

VCASA)

的面積是1

2

???△AEQ的面積：四邊形AQG產(chǎn)的面積=1：,=3：2.

故選：D.

【點睛】

此題考杳了重心的概念和性質(zhì)：三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距

離是它到對上中點的距離狗2倍.

4.如圖，在入3c中，"AC和NA8C的平分線AE、5P相交于點0,AE交BC于E，BF

交AC于尸，過點。作0cA8c于。，下列四個結(jié)論：

①408=90。+"；

②當(dāng)NC=60°時，AF+BE=ABi

③若OD=a,AB+BC+CA=2bt則

其中正確的是（）

A.①②B.②③C.?@?D.?@

【答案】B

【分析】

由角平分線的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和可判定①，在A8上取一點〃，使/汨=8石，進(jìn)而可證

&HB0/4EB0,則有N8O”=/BOE=60。，再證得△HA0Z△物0,得至I]進(jìn)而可

判定②，作0GJ_A。干G.0M_LA8干M,根據(jù)三角形的面積可判定③.

【詳解】

解：:“AC和ZABC的平分線AE、B尸相交于點。，

JN0BA=-NABC,ZOAB=-NBAC,

22

Z^OB=180°-ZO^-ZOAB=1800--(ZABC+ZBAC|=1800--(1800-ZC)=90°+1ZC

22.

,故①錯誤；

???ZC=60°,

???ZABC+ZBAC=120°,

/.NOBA+ZOAB=g(N4BC+N8AC)=60°,

ZAO8=\20°,

???/BOE=Z4O"=60°,

如圖，在A8上取一點，，使

BF是ZABC的角平分線,

/.NHBO=NEBO,

'：OB=OB,

:?△HBO妾AEBO(SAS),

???/BOH=/BOE=3°,

ZHOA=/BOA-Z.BOH=60°,

???ZAOH=ZAOF,

ZHAO=ZFAO,AO=AO,

:.XHAgXFAO(ASA),

:.AH=AF,

；?AB=AH+BH=AF+BE，故②正確；

作OG_LAC于G,OMLAB于M,如圖所示:

???々AC和ZA8C的平分線4E、8/相交于點0，

???點。在NC的平分線上，

：.OG=OD=OM=a,

：.S=-ABOM+-BCOD+-ACOG=-(AB+BC+AC)a=ab,故③正確；

Al)c2222

故選B.

【點睛】

本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定

理及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，AO是八3C的邊8C上的中線，AB=7,AD=5f則AC的取值范圍為（）

A.5cAe<15B.3VAe<15C.3VAe<17D.5cAe<17

【答案】C

【分析】

延長AD至點￡,使OE=A/）=5,連接CE,證明sABg-ECD,可得CE=48=7,然后

運用三角形三邊關(guān)系可得結(jié)果.

【詳解】

如圖，延長AO至點區(qū)使OE=AO=5,連接CE.

VAD為.ABC的BC邊上的中線,

:?BD=CD,

AD=ED.

在AABD和，ECD中,"ADB=NEDC,

BD=CD,

ABD^.ECD(S^S),

/.CE=AB=7.

在「ACE中，AE-EC<AC<AE+CE,

即5+5-7<AC<5+5+7,

???3<AC<17,

故選：C.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，根據(jù)中點倍長法構(gòu)造全等三角形是

解題的關(guān)鍵.

6.如圖，AD1AB.AElAC,AD=AB,AE=ACf則下列各式正確的是()

A./\ABD^/^ACEB.^ADF^AEGC.&BMFW-CMGD.^ADC^AABE

【答案】D

【分析】

通過AE1AC,得到ND48+/84C=NE4C+NBAC,得到ND4C=NBAE,即

可得解；

【詳解】

VADVAB,AE1AC,

???Z￡l4B=ZE4C=90o,

???NDAB+NBAC=/E4C+ABAC,

即/D4C=/8A￡,

AD=AB

在4Aoe和AABE中，?/DAC=NBAE,

AC=AE

AADC^ABE(SAS).

故選D.

【點睛】

本題主要考查了三角形的全等判定，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵.

7.下列圖形中，不是軸對稱圖形的是()

【答案】A

【分析】

根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠.互相重合，這

個圖形叫做軸對稱圖形進(jìn)行分析即可.

【詳解】

解：4、不是軸對稱圖形，符合題意;

仄是軸對稱圖形，不合題意;

C、是軸對稱圖形，不合題意；

。、是軸對稱圖形，不合題意.

故選：A.

【點睛】

此題主要考查了軸對稱圖形，正確掌握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

8.如圖，在AABC中，ZBAC、的平分線交于點P,若N8=40°,BC=AP+ACf

貝!J4AC的大小是()

A.60°B.70°C.80°D.90°

【答案】C

【分析】

在。？上取二人C連接律,貝lj8P是/"。的角平分線.得到

ZPI3C=ZPBA=-ZABC=2O{>,證明AACP經(jīng)△ECP,AP=EP,/CAP=/CEP,根據(jù)

2

BC=AP+AC,BC=BE+CE,得至lj貝ijNEB尸=/BPE=20。，再由三角形外角的性質(zhì)

求得NC4片NCE7=NE8P+N8PE=40。，再根據(jù)角平分線的定義求解即可.

【詳解】

解：如圖所示，在C8上取CE=AC,連接8P,則8P是NA8C的角平分線，

???ZPBC=ZPBA=-NA8c=200,

2

?「PC是NACB的角平分線，

???NACP=/ECP,

在△人門和^ECP中

AC=EC

ZACP=ZECP,

EC=EC

：.l\ACP94ECP(SAS),

：,AP=EP,/CAP=/CEP,

VAP+AC,RGBE+CE,

:?BE=EP=AP

，ZEBP=ZBPE=20°t

：.NC"=NCEP=NEBP+ZBPE=40。,

???AP平分NZMC,

???N84C=2/C"=80。，

故選C.

【點睛】

本題主要考查了角平分線的定義，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外

角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.

9.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為20。，則頂角的度數(shù)為（）

A.70°B.55°C.110°D.70?；?10°

【答案】D

【分析】

此題需要分情況討論：等腰角形的頂角是鈍角，等腰三角形的頂角是銳角，分別畫出圖形進(jìn)

行求解即可.

【詳解】

如圖1

ZAC8=NO+ZZMC=90。+200=110。；

如圖2

ZABD=20°,故頂角4=90。-44。=90。-20。=70°.

故選D

【點睛】

本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，做題時，考慮問題要全面，必要的

時候可以做出模型幫助解答，進(jìn)行分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵，難度適中.

10.如圖，0是正4ABe內(nèi)一點，。4=3,。8=4,OC=5f將線段B。以點B為旋轉(zhuǎn)中心

逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段80',下列結(jié)論：①△80A可以由80c繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。得

到；②點。與。'的距離為4；③4408=150。；④場邊陽耽=6+3百；⑤

S&AOC+S.AOB=6+%~?其中正確的結(jié)論是()

A.①②③⑤B.①②??C.?????D.??(3)

【答案】A

【分析】

證明△BOSQ/XBOC,又/OB。'=60。,所以正以由ABOC繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。

得到，故結(jié)論①正確；由△。80'是等邊三角形，可知垢論②正確；在△AOO'中，三邊長

為3,4,5,這是一組勾股數(shù)，故△八00'是直角三角形；進(jìn)而求得NAOB=150。，故結(jié)論

③正確；s四邊形AC=S八3+S“切=6+473故結(jié)論④錯誤；將4A08繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。,

使得48與AC重合，點。旋轉(zhuǎn)至0〃點.利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造等邊三角形與直角三角形，將

SAA0C+SA408轉(zhuǎn)化為S0”+SAW,計算可得結(jié)論⑤正確.

【詳解】

解：如圖，

由題意可知，Zl+Z2=Z3+Z2=60",

/.Z1=Z3,

又:08=O'5,AB=BCt

又???/OBO'=60。，

???△80'A可以由△40c繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到,

故結(jié)論①正確：

如圖，連接0。'，

?：OB=O'B,且NO8O'=60°,

???△08。'是等邊三角形,

：.OO,=OB=4.

故結(jié)論②正確；

:△BO'AmABOC,

，O'A=5.

在△AOO'中，三邊長為3,4,5,這是一組勾股數(shù),

???△A00'是直角三角形，ZAOO'=90°,

/.ZAOB=ZAOO,+ZBOO,=90°+60°=150°,

故結(jié)論③正確；

S四邊形Aw=SA2+Swqx3x4+：x4xj42-22=6+4g,故結(jié)論④錯誤;

如圖，將△A08繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。，使得48與AC重合，點O旋轉(zhuǎn)至?！?

易知△AOO”是邊長為3的等邊三角形，△CO。是邊長為3、4、5的直角三角形，則

22

S.A%+SAOR=S四邊形人0co.=S(r0C+SAOO.=—x3x4+—x3x>/3-1.5=6+^^，故結(jié)論⑤正

確.

綜上所述，正確的結(jié)論為：①②③⑤,

故選:A.

本題考查了旋轉(zhuǎn)變換中等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)，利用勾股定理的逆定理，判定勾股

數(shù)3、4、5所構(gòu)成的三角形是直角三角形，這是本題的要點，在判定結(jié)論⑤時，將AAOB

向不同方向旋轉(zhuǎn)，體現(xiàn)了結(jié)論①至結(jié)論④解題思路的拓展應(yīng)用.

二、填空題（共24分）

11.已知45C中，AB=AC,現(xiàn)將44c折疊，使點A、B兩點重合，折痕所在的直線與

直線4c的夾角為20。，則D8的度數(shù)為。.

【答案】55°或35。

【分析】

首先根據(jù)題意畫出圖形，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時，如圖1,由翻折的性質(zhì)可知：E/UA從

從而可求得NA,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可求得N&當(dāng)?shù)妊?/p>

角形的頂角是鈍角時，如紹2,由翻折的性質(zhì)可知：EFLAB,從而可求得ND4E,然后由

等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)可求得N8.

【詳解】

當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時:如圖1：

A

由翻折的性質(zhì)可知：EFA.AB,

，/4+/4尸￡=90。，

/./4=90°-20°=70°.

,：AB=AC,

:?/B=NC.

AZB=yX(180°-NA)=55°；

當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g侑時，如圖2：

由翻折的性質(zhì)可知：EF1AB,

AZD4-ZDAE=90°.

.,.ZDAE=90o-20o=70°,

*：AB=AC,

:./B=/C.

???NB+NC=ND4E,

AZB=jZDA￡=35°,

故答案為:55?；?5。.

【點睛】

本題主要考查了翻折的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；這里要分類討論：分別就等腰三角形的頂

角是銳角和鈍角兩種情況進(jìn)行討論.

12.在△A8c中，射線AG平分N8AC交SC于點G,點。在8C邊上運動（不與點G重

合），過點。作O￡〃AC交A8于點￡,NEDB的角平分線所在直線交于點〃，交射線

AG于點尸，則N3與NATO之間的數(shù)量關(guān)系是

【答案】ZAFD=90°-\/B

【分析】

利用角平分線的定義可得NHDB=；NEDB,由于。E〃AC,則/石。8

=ZC,可得N〃O8=gNC：利用三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得N4”產(chǎn)

=NB+NHDB,在中，利用三角形的內(nèi)角和定理列出關(guān)系式后整理即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：???AG平分N8AC,

：.ZHAF=^ZBAC.

?；DH平分/EDB,

:.NHDB=m/EDB.

*：DE//AC,

：.4EDB=4C.

:?/HDB=；/C.

???NAHF為公”O(jiān)B的外角，

，NAHF=NB+NHDB.

在△A”產(chǎn)中，由三角形的內(nèi)角和定理可得：

NBAF+ZAHF+NAFD=180°.

???yNB4C+NB+NHDB+^AFD=180°.

???；ZBAC+N8+yZC+ZAFD=180°.

???在△/WC中，N/MC+N4+NC=180。，

gNR4C+gZC=90°-gNB.

/.90°-yZB+N8+ZAFD=180°.

???5/8+/4/。=90。.

2

Z^FD=9O°-1Z?.

故答案為：ZAFD=90°-yZB.

【點睛】

本題主要考杳了三角形的內(nèi)角和定理及其推論，角平分線的定義，平行線的性質(zhì).充分利用

三角形的內(nèi)角和等于180。是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在放△ABC中，ZABC=90°,AB=4tBC=3,點。是半徑為2的。A上一動

點，點M是。。的中點，則〃M的最大值是一.

【答案】（7

【分析】

如圖，取AC的中點N,連接MMBN,利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形的中位線

定理求出用V,MN,再利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題.

【詳解】

解：如圖，取AC的中點M連接MMBN,

;在心中，

△A3CZABC=90°,AB=4t8C=3,

AC=V32+42=5

\'AN=NC=^AC=~,

22

:.BN=之AC=2

22

???點M是C。的中點,

：?DM=MC,

：.MN=^AD=\

:.BMWBN+NM,

57

22

7

即8M的最大值是5

【點睛】

本題考查直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)，三角形的中位線定理，三角形的三邊關(guān)系等知識,

解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考常考題型.

14.如圖，A8C中，。在AC邊上，BD=CD,E在BC邊上，相=",過點E作防_L6C,

交4c于/.若AD=4,CE=6,則E/7的長為.

【答案】2幣

【分析】

在AC上截取AG=8D,連接EG,作GM_LBC于"，證明,再根

據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)解得AO=EG=4,EM=CM=3,在RtZXCMG中，利用

勾股定理解得GM=近，最后由平行線分線段成比例解題即可.

【詳解】

解：在AC上截取AG=8D,連接EG,作GM_L8C于M,

VAE=AB,BD=CD,

:?NC=NDBC，ZABE=ZABE,

又TZAEB=ZC+ZEAC,ZABE=/CBD+/DBA,

^ZABD=ZEAC,

在△A8O和AEAG中，

AB=AE

<Z.BAE=Z.EAG,

BD=AG

???△4AD^Z\E4G(8S),

所以AO=EG=4,

AG=BD=DC,

/.AD=CG=GE=4

QGM上EC

.?.EM=CM=3

在Rtz\CMG中，GM=5/42-32=4,

VEF1BC,GM±BC,

MG//EF,

:.GM=]EF,：,EF=2>/7,

故答案為：2幣.

【點睛】

本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線的性質(zhì)等知識，是重要考點，掌握相

關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

15.如圖，在A3C中，AB=AC=2,/B=/C8O=CE,尸是AC邊上的中點，則AO—樣

【答案】＜

【分析】

連接AE,先證明△A08名△AEC得出4)=AE,根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得結(jié)果.

【詳解】

如圖，連接AE,

AB=AC,

在AADB和二AEC中，,NB=NC,

HD=CE,

Z.&">8—,AEC(SAS),

：-AD=AE,

在=4￡產(chǎn)中，AE-EF<AF,

：-AD-EF<AFf

???F是AC邊上的中點,

AF=-AC=\,

2

???AD-EF<\,

故答案為：v.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟知全等三角形的判定定理與性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

16.等腰三角形A3C的底邊。。長為6,面積是21,腰A3的垂直平分線￡戶分別交/I優(yōu)

4C于點瓜F,若點O為底邊的中點，點M為線段EF上一動點，則ABDM的周長

的最小值為一.

【答案】10

【分析】

如圖，連接A。，由題意點B關(guān)于直線EF的對稱點為點4,推出A。的長為8M+M。的最

小值，進(jìn)而即可求解.

【詳解】

解：如圖，連接A。AM,

A

?一△ABC是等腰三角形，點。是8。邊的中點，

：.AD±BC,

/.SAABC=J?8C?AO=《X6XAD=21，

24

：.AD=7,

/是線段AB的垂直平分線，

???點B關(guān)于直線EF的對稱點為點A,

=AM+MD,即當(dāng)A,M,D三點共線時，8M+MO的值最小，

：,AD的長為BM+MD的最小值，

/.ABDM的周長最短為AD-\-BD=AD-\-y8C=10,

故答案為：10.

【點睛】

本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

17.如圖，在"C中，BA=BC,平分NABC,點P,。分別是和人8上的任意

一點，連接C。，設(shè)的面積為〃，PA+PD=m,

A

（1）當(dāng)點乙”重合時，S功=.

（2）連接CD交BH于點E,則機CD（填“>”，“<”，"二"，“之”

或

【答案】y>

【分析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得解；

（2）連接PC,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)證明二△P”C,得到PA=PC,得到

m=PC+PD,再根據(jù)。、P、。的位置判斷即可：

【詳解】

（1）'：BA=BC,平分NABC,

AH=CH,

=

當(dāng)點P,〃重合時，S&WY）"S/M8?

,//討。。的面積為〃，

由（1）可得：NP〃C=NPH4=90。，

*/PH=PH,AH=CH,

???4PHA=4PHC,

：.PA=PC^

???m=PA+PD=PC+PD,

當(dāng)。、尸、C三點共線時，PC+PD=DC,

當(dāng)。、P、C三點不共線時，PC+PD>DC,

in>CD；

故答案是：N.

【點睛】

本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三線合一的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、全等三角形的判定

與性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

18.如圖1,是我們平時使用的等臂圓規(guī)，即CA=C5.若把〃個相同規(guī)格的等臂圓規(guī)的兩

腳依次擺放在同一條直線上，如圖2所示，其張角度數(shù)變化如下：/AG&=160。，

N4GA=80。，ZAC3A=40°,NA4aA=20。，…根據(jù)上述規(guī)律請你寫出NA"八C,廣

.（用含〃的代數(shù)式表示）

圖1圖2

處）0

【答案】90。-苗

【分析】

張角度數(shù)變化如下：NAG4=160。，NAC4=80°,ZA3C3A4=4（y\NA’C4A=20。，…由

此可以得到張角的度數(shù)變化規(guī)律為廣翳，再由三角形內(nèi)角和定理求解即可得到

答案.

【詳解】

解析：由張角度數(shù)變化可知頂角乙心?！?=符，

,??4+1。”=AC，

???NAL=NCA+A

...4,AC”=（180。-3卜2=90。-彩?

故答案為：90°-^-.

【點睛】

本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于

能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.

三、解答題（共46分）

19.（本題8分）如圖，將沿AC邊翻折至zMC。.

（1）求證：NBCD=2/BAC+2/B；

（2）延長。A至尸，延長3C交八。于E.求證：ZBAF-ZDCE=2ZB；

（3）在（2）的條件下，延長CE至尸，連PD,連接QP,并延長OP至G,作/8PG的平

分線交C4延長線于。，若ZAZ）G=2ZAOC,NCQ/>=54。，NEC。=46°,求NRU3的度

數(shù).

【答案】（I）見解析；（2）見解析；（3）94。.

【分析】

（1）由翻折性質(zhì)得到4=ND,ZBAC=ZDAC,再三角形外角性質(zhì)解題；

（2）由三角形外角性質(zhì)解得=a+NBAF=2a+y,再求角的差；

（3）延長QC至7,由角平分線的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)解得NQPC=g（3a+y）,

NQCP=g（180°—y）,再結(jié)合三角形內(nèi)角和180。，得到NQCP+NQPC=126。，繼而代入計

算解題

【詳解】

解：(1)延長AC至K

IA3C翻折至△ACQ,

???設(shè)NB=ND=a,ZBAC=/DAC=0,

???4BCK=a+B=乙DCK,

：.NBCD=2(a+份=2/BAC+2/B.

A

(2)設(shè)NOCE=y,則NA￡8=a+y,

Z.BAF=2a+y,

???NBAF-NDCE=2a=2ZB.

(3)延長。。至7\由(I)知NBCK=ZACP,

?；/DCE=/BCT,AZ4CT=ZACP.

??.Q是尸兩個外角平分線交點，

〈NGPC是△PDC的外角

NGPC=3a+y,

ZQPC=^(3a+y)?

???ZTCD=2Z(2CP+y=180°,

/QCP=g(l80?！獃)②

在△QC尸中

180°-4QCP-Z.QPC=54°

NQCP+NQPC=126°③

把①、②代入③得

g(3a+y)+g(180。-y)=126。，

???1=24。，

V7=46°,

???2a+y=94°,

???ZE4^=94°

答：ZE48的度數(shù)是94。.

【點睛】

本題考查三角形的外角性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，是重要考點，掌握

相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

20.（本題8分）小明為班級購買信息學(xué)編程競賽的獎品后，回學(xué)校向班主任李老師匯報說:

“我買了兩種書，共30本，單價分別為20元和24元，買書前我領(lǐng)了700元，現(xiàn)在還余38

元李老師算了一下，說：“你肯定搞錯了.”

（1）李老師為什么說他搞錯了？試用方程的知識給予解釋；

（2）小明連忙拿出購物發(fā)票，發(fā)現(xiàn)的確弄錯了，因為他還買了一個筆記本.但筆記本的單

價已模糊不清，只能辨認(rèn)出應(yīng)為小于10元的整數(shù)，如果單價為20元的書多于24元的書,

請問：筆記本的單價為多少元？

【答案】（1）見解析；（2）6元

【分析】

（1）設(shè)單價為20元的書買了K本，單價為24元的書買了），本，根據(jù)總價=單價x數(shù)量，結(jié)

合購買兩種書30本共花費（700-38）元，即可得出關(guān)于x,3，的二元一次方程組，解之即可

得出X，的值，結(jié)合x,y的值為整數(shù)，即可得出小明搞錯了；

（2）設(shè)單價為20元的書買了a本，則單價為24元的書買了（30-a）本，筆記本的單價為

b元,根據(jù)總價=單價x數(shù)最，即可得出關(guān)于a,。的二元一次方程，化簡后可得出“=14+

號,結(jié)合。〈方V10,且出人均為整數(shù)，可得出力=2或6,將。值代入。=14+當(dāng)中

44

可求出a值，再結(jié)合單價為20元的書多于24元的書，即可確定〃值.

【詳解】

解：（1）設(shè)20元的書買了工本，24元的書買了了本，由題意，得

x+y=30,,[x=14.5

4八,解得4’

20x+24y=700-38[_y=15.5

VV,y的值為整數(shù)，故盯y的值不符合題意（只需求出一個即可）

???小明搞錯了；

（2）設(shè)2（）元的書買了〃本，則24元的書買了（30-〃）本，筆記本的單價為〃元，

由題意，得：20a+24（30-。）+。=700-38,

,,廿-6+58,.2+b

化簡得：a=——=14+——

44

Vl</?<10,???〃=2或6.

當(dāng)力=2,。=15,即20元的書買了15本，24元的書買了15本，不合題意舍去

當(dāng)〃=6,。=16,即2（）元的書買了16本，則24元的書買了14本

h=6.

答：筆記本的價格為6元.

【點睛】

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量

關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程.

21.（本題10分）在.A6C中，點戶為BC邊中點,直線。繞頂點A旋轉(zhuǎn)，8W_L直線。于點

M,CN1直線。于點N,連接PM,PN.

（1）如圖1,若點3,P在直線”的異側(cè)，延長MP交CN于點E.求證：PM=PE.

（2）若直線〃繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，點8,，在直線〃的同側(cè)，其它條件不變，此時

BMP+S^CNP~7,BM=1,cv=3,求MN的長度.

(3)若過。點作PG1直線〃于點G.試探究線段PG、和CN的關(guān)系.

【答案】(1)見解析；(2)MN=1；(3)線段PG、BM和CN的位置關(guān)系為BM〃PG〃CN,

數(shù)量美系為2PG=CN-BM或2PG=BM-CN或2PG=CN+BM

【分析】

(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)記得=再根據(jù)8P=C產(chǎn)，N8PM=NCPE即可得到

△BPM會MPE,得到戶”=

(2)延長與NC的延長線相交于點E.證明絲△CPE(ASA),推出8W=CE,求出

f.MNE的面積即可解決問題.

(3)位置關(guān)系的證明比較簡單，數(shù)量關(guān)系分四種情形：當(dāng)直線〃與線段"交于一點時，當(dāng)

直線。與線段CP交于?點時，當(dāng)直線”與線段C8的延長線交于?點時，當(dāng)直線。與線段8C

的延長線交于一點時，畫出對應(yīng)的圖形，利用三角形和梯形的面積公式分別證明即可解決問

題.

【詳解】

(I)證明：如圖1,

A/a

PC

yi

圖i

QBMJL直線〃于點例，CNL直線&于點、N,

:.NBMA=NCNM=90。,

BM//CN,

:.NMBP=NECP,

又.P為BC邊中點,

:.BP=CP,

在△BPM和△CPE中,

/BPM=2CPE

，BP=CP,

NMBP=/ECP

:.△BPM9ACPE(AS/9,

PM=PE.

(2)解：如圖2,延長MP與NC的延長線相交于點E,

、創(chuàng)/_1直線“于點加，CN_L直線”于點N,

/.乙BMN=NC7W=90°,

:"BMN+/CNM=180°.

BM//CN,

:./MBP=/ECP,

又?；P為BC中點,

:.BP=CP,

又?.NBPM=/CPE,

，在△8PM和△CPE中，

NBPM=4CPE

BP=CP,

/MBP=NECP

:.ABPM/MPElASA),

PM=PE>BM-CE,S^BPM~S^PE，

=CN=3,

:.NE=CN+CE=CN+BM=A,

??q+q-7

?SABMP丁s4CNP_'，

S*PNF.~SMPE+S^CNp=S&AVP+S&CNP-7，

*'?S&UNE=2s△尸NE=14,

-xMNx4=14,

2

:.MN=7.

(3)位置關(guān)系：BM//PG//CN,

數(shù)量關(guān)系：分四種情況討論

???8W_L宜線“丁點CNJ_直線〃于點N,PG1直線。于點G,

???BM//PG//CN,

①如圖3,當(dāng)直線〃與線段8P交于一點時,

A

由（1）可知9=PE,

??S、PMN~SNEN=S&MNE'

即gxJMN.PG=；NEMN,

:.NE=2PG,

△BPM冬ACPE,

:.BM=CE,

*：NE=CN-CE,

:.2PG=CN-BM.

②當(dāng)直線。與線段CP交于一點時，

如圖，延長歷夕交CN的廷長線于點￡.

QBM1直線〃于點CN_L直線〃于點N,

:"BMN=NCNM;驕、

...BM//CN,

.../MBP=/ECP,

又?；P為BC邊中點,

:.BP=CP,

在△8PM和△CPE中，

/BPM=ZCPE

BP=CP,

NMBP=NECP

:.ABPMW4CPE(ASA),

:.PM=PE.

S^PMN=SNEN=]S&WN￡,

^-x-MNPG=-NEMN,

222

:.NE=2PG,

.△BPM/ACPE,

:.BM=CE,

,:NE=CE-CN,

；.2PG=B