人教版八年級數(shù)學下冊舉一反三專題187四邊形中的四大最值模型(學生版+解析)

專題18.7四邊形中的四大最值模型

【人教版】

考卷信息:

本套訓練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生對四邊形中的四大最值模型的理解!

【題型1兩定一動型】

兒何模型1：兩定一動型（兩點之間線段最短）

1.（2023春?山東泰安?八年級統(tǒng)考期末）如圖,菱形43CD的邊長為4,且=60°,E是的中點,P為

BD上一點且APCE的周長最小，則APCE的周長的最小值為（）

C.2V3+2D.2V7+1

2.（2023春?山東濱州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形ABC。的邊長為4,ZD/^=60°,E為8C的中點，在

對角線AC上存在一點P,使△P8E的周長最小，則△尸8E的周長的最小值為（）

A.2V3B.4C.2V3+2D.4+273

3.（2023春?湖南湘潭?八年級統(tǒng)考期末）如圖，長方形。力BC,是一張放在平面直角坐標系中的長方形紙片,

。為原點，點力在％軸上，點C在y軸上，。4二10,。。=6,在人8上取一點M使得△C8M沿CM翻折后，點

8落在/軸上，記作"點,

(2)求折痕CM所在直線的表達式；

⑶求折痕CM上是否存在一點尸，使PO+PS最??？若存在，請求出最小值，若不存在，請說出理由.

4.(2023春?河北邯鄲?八年級統(tǒng)考期末)如圖所示，在平面直角坐標系中，已知一次函數(shù)y=：%+l的圖

象與X軸，y軸分別交于A,B兩點,以AB為邊在第二象限內(nèi)作正方形A8CD

⑴求正方形45CQ的面積；

(2)求點C和點。的坐標;

(3)在▲?軸上是否存在點M,使△MO8的周長最??？若存在，請求出點M的坐標：若不存在，請說明理由.

5.(2023春?山東濰坊?八年級統(tǒng)考期末)如圖①，四邊形A8CQ是邊長為4的正方形，M是正方形對角線

8D(不含8、。兩個端點)上任意一點，將△BAM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△BEM連接EA、MN；尸是

4D的中點，連接PM.

(I)AM+PM的最小值等于_____；

(2)求證：△用VM是等邊三角形；

(3)如圖②，以8為坐標原點建立平面直角坐標系，若點M使得AM+3M+CM的值最小，求知點的坐標.

6.(2023春?全國?八年級期中)如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD(不

含B點)上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EN、AM、CM.

(1)求證：△AMB^AENB；

(2)①當M點在何處時，AM+CM的值最??；

②當M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由：

(3)當AM+BM+CM的最小值為2V5+2口寸，求正方形的邊K.

7.(2023春?廣東深圳?八年級校聯(lián)考期中)長方形紙片Q4BC中，AB=\0cm,BC=6cm,把這張長方形紙片

OABC如圖放置在平面直角坐標系中，在邊04上取一點將AA8E沿BE折疊，使點4恰好落在OC邊

上的點尸處.

(I)求點E、尸的坐標；

(2)在46上找一點P,使夕上+PF最小，求點。坐標；

(3)在(2)的條件下，點Q(x,y)是直線戶戶上一個動點，設(shè)AOCQ的面積為S,求S與x的函數(shù)關(guān)系

式.

8.(2023?四川廣安?八年級校聯(lián)考期中)如圖，正方形ABCD的邊長為2,M、N分別為AB、AD的中點,

在對角線BD上找一點P,使^MNP的周長最小，則此時PM+PN二.

AND

BC

【題型2兩動一定型】

幾何模型2：兩動一定型（兩點之同線段最短）

在。4、OB卜.分別取點"、N使得三角形PMM的周長最小

1.（2023春?浙江杭州?八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中，ZBAD=110°,ZB=ZD=9O0,在BC、

CD上分別找一點M、N,使aAMN周長最小，此時NMAN的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D,45°

2.（2023春?廣東廣州?八年級廣州市第四H—中學統(tǒng)考期中）如圖，菱形力BCD的邊長為2cm,=120°,

點E是BC邊上的動點，點P是對角線BD上的動點，若使PC+PE的值最小，則這個最小值為（）

A.5B.2C.1D.V3

3.（2023春?甘肅蘭州?八年級統(tǒng)考期中）如圖正方形力BCD的面積為24,△A8E是等邊三角形，點E在正

方形內(nèi)，在對角線/C上有一動點P,要使PO+PE最小，則這個最小值為（）

AD

P

A.V3B.2V3C.2A/6D.V6

4.（2023春?浙江寧波?八年級寧波市第卜五中學?？计谥校┤鐖D，矩形中，AB=4,BC=3,若在

AC.44上各取一點M,N,使BAI+MN的值最小，求這個最小值（）

A.2V3B.噌C.2mD.黃

5.（2023春?廣東湛江?八年級湛江市第二中學?？计谥校┤鐖D1,矩形。4BC擺放在平面直角坐標系中，點

力在％軸上，點C在y軸上，OA=3,OC=2,過點力的直線交矩形04BC的邊8c于點尸，且點尸不與點8、。重

（1）若4PA8為等腰直角三角形.

①求直線4P的函數(shù)解析式；

②在％軸上另有一點G的坐標為（2,0）,請在直線AP和y軸上分別找一點M、N,使^GM/V的周長最小，并求

出AGMN周長的最小值.

（2）如圖2,過點E作EFIIAP交"軸7點F,若以A、P、F、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求直線PE的解析

式.

6.（2023春?廣東廣州?八年級中山大學附屬中學?？计谀┤鐖D，在四邊形力BCD中，=4=90。，E,

產(chǎn)分別是BC,CD上的點，連接力E,AF,EF.

D

F

圖①圖②圖③

(1)如圖①，AB=AD,Z.BAD=120°,Z-EAF=60°.求證：EF=BE+DF；

（2）如圖②，^BAD=120°,周長何時最小，作出圖形，并直接寫出N/1EF+—1FE=

（3）如圖③，若四邊形力BC。為正方形，點石、尸分別8C,CD上，^LEAF=45°,若BE=3,DF=2,請求

出線段EF的長度.

7.（2023春.陜西西安?八年級統(tǒng)考期末）探究:

（1）如圖，P、Q為△4BC的邊A8、4C上的兩定點，在8c上求作一點M,使△PQM的周長最短.（不寫作

法）

（2）如圖，矩形力BCD中，AB=6,AD=8,E、/分別為邊力8、力。的中點，點M、N分別為BC、CD上的

動點，求四邊形EFNM周長的最小值.

（3;如圖，正方形4BCD的邊長為2,點。為A8邊中點，在邊力0、CD、BC上分別確定點M、N、P.使得四

邊修。MNP周長最小，并求出最小值.

D

【題型3兩定兩動型】

幾何模型3（1）：兩定兩動型（兩點之間線段最短）

在。4、OB上分別取點川、N使得四邊形尸MN。的周長最小。

幾何模型3（2）：兩定兩動型（籽軍過橋）（兩點之間線段最短）

在兩條直線上.分別取點M、N使得zLWTWWB最小

1.（2023春?湖北武漢?八年級?？茧A段練習）如圖，乙MON=30。，OA=2,OD=8,線段BC在射線ON上

滑動，BC=2V3,則四邊形力BCD周長的最小值是.

2.（2023春?江蘇揚州?八年級校考期中）如圖，在長方形紙片48CD中，AB=4,AD=12,將長方形紙片

折疊，使點。落在/I。邊的點M處，折痕為PE,此時PD=3.

（1）求MP的值；

（2）在A8邊上是否存在??個動點F,且不與點4、B重合，使AA1E尸的周長最小.如果存在求出△M/尸的周

長最小值：如果不存在，請說明理由；

（3）若點G,Q是AB邊上的兩個動點，且不與點4B重合，GQ=1.當四邊形MEQG的周長最小時，其周

長的最小值是

3.（2023春?天津?八年級統(tǒng)考期末）如圖1,以矩形048c的頂點。為原點，所在的直線為x軸，OC

所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，已知。4=3,0。=2,點E是的中點，在04上取一點￡）,將

（1）直接寫出點從尸的坐標；

（2）如圖2,若點P是線段。人上的一個動點，過P作PHLDB于H點、,設(shè)OP的長為.1,〃的面積為

S,試用關(guān)于x的代數(shù)式表示S；

（3）如圖3,在x軸、y軸上是否分別存在點M、M使得四邊形MNFE的周長最??？如果存在，求出周長

的最小值.（直接寫出結(jié)果即可）

4.（2023春?廣東廣州?八年級廣州四十七中?？计谥校┮阎匦?8C。中，AB=3,BC=4,E為直線BC上

一點.

圖1

（2）如圖2,點E在線段8C邊延長線上一點，若BD=BE,連接DE,M為DE的中點，連接力M、CM,求證:

AM1CM.

(3)如圖3,在⑵的條件下，P、Q為AD邊上兩個動點，且PQ*，連接P、B、M、Q,求四邊形PBMQ周

5.(2023春?天津濱海新?八年級?？计谀?如圖，在平面直角坐標系中，直線、=一：％+匕分別與工軸、)，

軸交于點A、B,且點A為(4,0),四邊形48CD是正方形.

(1)填空：b=；

(2)求點。的坐標；

⑶若M為x軸上的動點，N為)，軸上的動點，求四邊形MNOC周長的最小值.

6.(2023春?江蘇無錫?八年級江蘇省錫山高級中學實驗學校?？计谥?在矩形力BCD中，AB=6,BC=12,

￡、廠是直線力。上的兩個動點，分別從A、。兩點同時出發(fā)相向而行，速度均為每秒2個單位長度，運動時

間為，秒(其中0&￡W9).

圖2

(1)如圖1,M、N分別是48、CD中點，當四邊形EM/N是矩形時，求，的值；

(2)若G、”分別從點A、C沿折線A-B—C、。一。一八運動，與日產(chǎn)相同速度同時出發(fā).

①如圖2,若四邊形EGAW為菱形，求，的值；

②如圖3,作AC的垂直平分線交4。、BC于點P、Q,若四邊形尸GQ"的面積是矩形4BCD面積的|,貝lj/的值

是;

③如圖4,在異于G、"所在矩形邊上取P、Q,使得PD=BQ,順次連接PGQH,請直接寫出四邊形PGQH周

長的最小值：.

7.(2023春?福建南平?八年級統(tǒng)考期中)如圖，在矩形4BCD中，48=4,"BD=60°,G,H分別是AD,BC

邊上的點，且力G=CH,E,O,尸分別是對角線BO上的四等分點，順次連接G,E,H,F,G.

(1)求證：四邊形GEHr是平行四邊形：

(2)填空：①當月G=_時，四邊形GEH尸是矩形；

②當4G=_時，四邊形GEHF是菱形；

⑶求四邊形GE，F(xiàn)的周長的最小值.

【題型4一定兩動型】

幾何模型4：一定兩動型(點線之間垂線段最短)

在Q4、OB上分別取M、N使得PMMV最小。

1.(2023春?全國?八年級專題練習,如圖，在平行四邊形/BCD中，對角線3。平分乙=82ABC=45°,

在對角線BD上有一動點P,邊8C上有一動點Q,使PQ+PC的值最小，則這個最小值為（）

A.4B.4x/2C.4V3D.8

2.（2023春?河南鄭州?八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在中，ZC=90%AC=BC=4,點D為AB

的中點，點方、F分別在邊AC、BC上，且乙EOF=90。，則下列說法：①4E=CF；②△DEF是等腰直角三

角形；③△《￡1尸周長的最小值是2注+4：④四邊形DEC?的面積是一個定值.其中正確的序號是（）

C.②③D.①②③④

3.（2023春?河南鄭州?八年級河南省實驗中學校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，長方形O48C的頂

點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點3的坐標為（8,4）,將該長方形沿翻折，點力的對應點為

點D,OD與BC交于點、E.

（1）求點E的坐標；

（2）點M是03上任意一點，點"是04上任意一點，是否存在點M、N,使得AM+MN最??？若存在，求

出其最小值，若不存在，請說明理由.

4.(2023春?廣東汕頭?八年級汕頭市潮陽實驗學校?？计谥?如圖，在平面直角坐標系中，點。是坐標原

點，四邊形為8co是菱形，點A在x軸的正半軸上，點4的坐標為(8,0),4c=60。，點M在邊BC上移動(不與

B、。重合)，點N在邊48上移動(不與力、B重合)，在移動的過程中保持CM+力N=8.

⑴連接0M,0N,乙MON=°；

(2)求△OMN周長的最小值及此時點N的坐標；

⑶在(2)的結(jié)論下，若P為平面內(nèi)一點，當以點O,N,4P為頂點的四邊形為平行四邊形時，請直接寫出點P

的坐標.

5.(2023春?重慶沙坪壩?八年級重慶一中?？计谥?如圖，在江面直角坐標系中，直線48與\軸、y軸分

(1)求直線48的解析式；

(2)如圖I,若E為線段4B上一動點，過點E作EFlx軸于點尸，EGly軸于點G,連接FG,尸為FG上一動

點.當線段rG最短時，求APCE周長的最小值；

⑶在(2)的條件下，直線FG與直線相交于點Q,將線段CE沿射線FG方向平移12個單位長度，平移后

的點C記為點CT”為直線FG上的一動點，在平面內(nèi)是否存在一點N,使得以U、H、Q、N為頂點的四邊

形是菱形.若存在，請直接寫出點N的橫坐標；若不存在，請說明理由.

6.(2023春?重慶沙坪壩?八年級直慶一中?？茧A段練習)如圖1,在平面直角坐標系中有長方形0A8C,點

C(0,4),將長方形O44C沿AC折疊，使得點4落在點。處，CD邊交工軸于點E,^0AC=30°.

（1）求點D的坐標；

（2）如圖2,在直線AC以及），軸上是否分別存在點N,使得的周長最??？如果存在，求出△EMN

周長的最小值；如果不存在，請說明理由；

（3）點P為），軸上一動點，作直線AP交直線CO于點Q,是否存在點P使得△CPQ為等腰三角形？如果存

7.（2023春?浙江湖州?八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在菱形力BCD中，對角線4C與BD相交于點。=60。,

邊W8的長為8,點E,尸分別是邊CD,8c上的動點，則aOEr周長的最小值為.

8.（2023春?全國?八年級期末）如圖，菱形A8C。中，A8=12，Z/MD=60°,七為線段4c的中點.若點

。是線段人4上的一動點，Q為線段4Q上一動點，則的周長的最小值是.

D

AC

E

B

專題18?7四邊形中的四大最值模型

【人教版】

考卷信息：

本套訓練卷共30題,題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度,可加強學生對四邊形中的四大最住模型的理解!

【題型1兩定一動型】

幾何模型1：兩定一動型（兩點之間線段最短）

1.（2023春?山東泰安?八年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形力BCD的邊長為4,且4ZM8=60。，E是BC的中點，P為

BD上一點且APCE的周長最小，則ZiPCE的周長的最小值為（）

A.2夕+2B.V7+1C.2V3+2D.277+1

【答案】A

（分析］由菱形的性質(zhì)可得點4與點C關(guān)于8。對稱,連接4E交3。于點P,連接PC,則^PCE的周長=PC+PE+

CE=AE+CE,此時△PCE的周長最小，過點E作EG14B交48的延長線于G,由菱形的性質(zhì)和/D48=60°

可.得/ERG=60。，從而可得=1.EG=后最后由勾股定理計算得出4E=2e,即可得出答案.

【詳解】解：?.?四邊形力BCD是菱形，

???點A與點C關(guān)于BD對稱，

如圖，連接4E交于點P,連接PC,

B

則PE+PC=PE+PA=AE,

，△PCE的周長=PC+PE+CE=AE+CE,此時△PCE的周長最小，

???E是BC的中點，菱形/BCD的邊長為4,

:.BE=CE=2,

過點E作EG148交88的延長線于G,

?.?四邊形48co為菱形，邊長為4,

.-.AD||BC,AB=4,

乙EBG=乙BAD=60°,

EG1AB,

???/EGB=90°,

???Z.EBG+乙BEG=90。，

Z.BEG=30°,

BG=-BE=1,EG=y]BE2-BG2=V22-l2=V3,

2

:.AG=AB+BG=4+1=5,

...AE=\IAG2+EG2=卜+（bp=2A/7,

PCE的周長的最小值=AE+CE=2^7+2,

故選：A.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握

菱形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，添加適當?shù)妮o助線，求出入E的長，

是解題的關(guān)鍵.

2.（2023春?山東濱州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形A5CQ的邊長為4,ND48=60。，E為8c的中點，在

對角線AC上存在一點P,使△P8E的周長最小，則△尸8E的周長的最小值為（）

D

A.2V3B.4C.2V3+2D.4+2V3

【答案】C

【分析】如下圖，△BEP的周長=BE+BP+EP,其中BE是定值，只需要BP+PE為最小值即可，過點E作AC

的對稱點F,連接FB,則FB就是BP+PE的最小值.

【詳解】如下圖，過點E作AC的對?稱點F,連接FB,FE,過點B作FE的垂線，交FE的延長線下點G

???菱形ABCD的邊長為4,點E是BC的中點

ABE=2

VZDAB=60°,AZFCE=60°

，：點、F是點E關(guān)于AC的對稱點

:.根據(jù)菱形的對稱性可知，點F在DC的中點上

則CF=CE=2

.)△CFE是等邊三角形，.??NFEC=60。，EF=2

???ZBEG=60°

???在RtABEG中，EG=1,BG=V3

AFG=1+2=3

???在RQBFG中，BF=J32+(V3)2=2V3

根據(jù)分析可知，BF=PB+PE

AAPBE的周長=275+2

故選：C

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)和利用對稱性求最值問題，解題關(guān)鍵是利用對稱性，將BP+PE的長轉(zhuǎn)化為FB

的長.

3.(2023春?湖南湘潭?八年級統(tǒng)考期末)如圖，長方形。力5C,是一張放在平面直角坐標系中的長方形紙片,

。為原點，點4在4軸上，點C在y軸上，OA=10,OC=6,在AB上取一點M使得△C8M沿CM翻折后，點

8落在x軸上，記作方點，

⑴求M點的坐標：

(2)求折痕CM所在直線的表達式；

(3)求折痕CM上是否存在一點P,使PO+P9最??？若存在，請求出最小值，若不存在，請說出理由.

【答案】⑴夕(8,0)；

(2)y=-1x+6

(3)存在，最小值是2回

【分析】(1)在股△B'OC中,求出OB'即可得答案;

(2)在心△力B'M中，求出AM可得M坐標，從而可以求CM所在直線的解析式；

(3)連接OB,OB與CM交點即為所求點P,連接PB',根據(jù)△CBM沿CM翻折后，點B落在8點，知PO+PB'

=P0+PB>0B,,用股股定理即可求出PO+P9的最小值為2后.

【詳解】(1)解：???四邊形O4BC是長方形，。4=10,

.??BC=Q4=10,

「△CBM沿CM翻折，

???B'C=4C=10,

在心△8'。。中，B，C=10,OC=6,

：.B'O=>/B,C2-0C2=8,

IB'<8,0),

故答案為：(8,0)；

(2)解：設(shè)則4M=43-AM=6-x,

???04=10,8'。=8,

.??B'A=2,

在心△AB'M中，B,A2+AM2=B'M2,

/.22+x2=(6-x)2,解得

:,M

(10,-3),

設(shè)CM所在直線的解析式為尸質(zhì)+力，將C(0,6)、M(10,I)代入得：

'6=b1

勺「iok+”解得憶=工，b=5,

(3

???CM所在直線的解析式為y=-也+6；

(3)解：折痕CM上存在一點P,使PO+尸夕最小，連接OB,OB與CM交點即為所求點P,連接P8,如

???&CBM沿CM翻折后，點8落在夕點,

:?PB=PB',

:?PO\PB'=P0IPB>0B,

當。、P、B共線時,PO+PB，最小,

'：OB=y/OA2+AB2=V102+62=2734,

，PO+PB'的最小值為2件.

【點睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、長方形中的折疊、最短距離等知識，掌握折疊的

性質(zhì)以及熟練運用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

4.(2023辭河北邯鄲?八年級統(tǒng)考期末)如圖所示，在平面直角坐標系中，已知一次函數(shù)y=3%+1的圖

象與x軸，y軸分別交于F，B兩點、,以A8為邊在第二象限內(nèi)作正方形ABCO.

(1)求正方形ABCD的面積；

⑵求點C和點。的坐標；

(3)在x軸上是否存在點M,使的周長最??？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴5

(2)C(-1,3),0(-3,2)

(3)M(-1,0),理由見詳解

【分析】(1)由一次函數(shù)y=T%+l，可求出A和3點坐標，即得出和的長，再根據(jù)勾股定理求出

AB的長，最后由正方形面積公式計算即可；

(2)作CEly軸，DF1x?|!|.根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合所作輔助線易證△8CE三△D4F三△480(AAS),即得

出BE=D尸=。4=2,CE=AF=OB=1,從而可求出。E=3,OF=3,即得出C、。兩點坐標；

(3)找出點8關(guān)于％軸的對稱點夕，連接夕D,與工軸交于點M,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知此時△BM。周長最小.由

8(0,1),得出夕(0,-1),利用待定系數(shù)法可求出直線夕。的解析式為y=-x—l,從而可求出M點坐標.

【詳解】(1)對于直線y=：%+1,令％=0,得到y(tǒng)=l；令y=0,得到工二一2,

?X(-2,0),8(0,1),

???在RtAAOB中，0A=2,OB=1,

，根據(jù)勾股定理得：AB=VFTP=V5,

.??正方形力8。。面積為5；

(2)如圖，作CEly軸，CF1%軸，

工乙CEB=Z.AFD=Z.AOB=90°.

???四邊形力BCD是正方形，

:,BC=AB=AD,"AB=^ABC=90°,

：,LDAFZ.BAO=90°,Z.ABO4-￡.CBE=90°,

*：LDAF+Z.ADF=90°,Z.BAO+Z.ABO=90°,

：.LBAO=LADF=乙CBE,

：.LBCEDAFSAA80(AAS),

：.BE=DF=OA=2,CE=AF=OB=1,

：.OE=OB+BE=2+1=3,OF=OA+AF=2+1=3,

AC(-1,3),0(32)；

(3)如圖，找出點8關(guān)于x軸的對稱點夕，連接8'D,與%軸交于點M,則此時ABM。周長最小.

1),

???8'(0,-1)

設(shè)直線的解析式為y=kx+b(k*0),

(b=-1

把夕與D坐標代入得:l-3k+b=2

(k=-1

解得:U=-1

，直線8力的解析式為y=-%-1.

對于y=-x—l,令y=0,得到工=一1,

0).

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，坐標與圖形，三角形全等的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的應用以及

軸對稱變換等知識.正確的作出輔助線并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

5.(2023春?山東濰坊?八年級統(tǒng)考期末)如圖①，四邊形/1BCO是邊長為4的正方形，M是E方形W角線

50(不含從。兩個端點)上任意一點，將繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)6()。得到△BEN,連接以、MN：。是

A。的中點，連接

(1)AM+PM的最小值等于

(2)求證：△BMW是等邊三角形;

(3)如圖②，以8為坐標原點建立平面直角坐標系，若點M使得AM+8M+CM的值最小，求〃點的坐標.

【答案】(1)2H；(2)見解析;

【分析】(1)如圖①中，連接尸C.利用勾股定理求出尸C,再證明AM=MC,ffiHjAM+PM=P^+CM>PC,

由此可得結(jié)論.

(2)根據(jù)有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形證明即可.

(3)首先說明E,N,M,C共線時，AM+8M+CM的值最小，此時點M在EC與的交點處，求出直線

EC,8。的解析式，構(gòu)建方程組可得結(jié)論.

【詳解】解：(1)如圖①中，連接PC.

圖①

???四邊形力8CC是正方形，

AB=BC=AD=CD=4,乙CDP=90°,/.ABM=乙CBM=45°,

???尸是40的中點，

:.PA=PD=2,

APC=VDP2+CD2=V22+42=2Vs,

vBA=BC,乙ABM=^CBM,BM=BM,

：?AABM會/CBM(SAS),

AM=CM,

AM+PM=CM+PM,

???PM+CM3PC,

AM+PM>2底

:，AM+PM的最小值為2遍.

故答案為：2遍.

(2)證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知8M=8N,

.:乙MBN=60°,

.?.48MN是等邊三角形.

(3)解：如圖②中,過點E作EPlx軸于P,連接EC.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AM=EN,

.Y8MN是等邊三角形,

??.BM=MN,

:.AM+BM+CM=EN+NM+MC,

???EN+NM+MC>EC,

??.E,N,M,C共線時，AM+BA/+CM的值最小，此時點M在EC與8D的交點處，

AB=BE=4,Z-ABE=60°,

???/EBP=90°-60。=30°,

EP=-BE=2,PB=V3PF=2聒,

2

￡(-2V3,2),

"(4,0),0(4,4),

設(shè)直線EC解析式為y=kx+A,則有］媼

解得尸b-3

U=8-4V3

y=(V3-2)x+8-473,

同法可得直線8。的解析式為y=x,

6-2、阿

X=---

_6-2版'

(y=-3-

“-266-26、

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，i次函

數(shù)的應用，最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會構(gòu)建一次函數(shù)，構(gòu)建方程

組確定交點坐標，屬于中考壓軸題.

6.(2023春?全國?八年級期中)如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD(不

含B點)上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EN、AM、CM.

(1)求證：△AMB^AENB；

(2)①當M點在何處時，AM+CM的值最??；

②當M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；

(3)當AM+BM+CM的最小值為2V5+2時，求正方形的邊長.

【答案】(1)見解析；(2)①當M點落在30的中點時，AMiCM的值最??；②當“點位于8。與CE的

交點處時，AM+8M+CM的值最小，理由見解析；(3)2企.

【分析】(1)由題意得MB=NB,ZABN=15°,所以NEBN=45,容易證出△AMB竺Z\ENB；

(2)①根據(jù)“兩點之間線段最短”，可得，當M點落在BD的中點時，AM+CM的值最??；

②根據(jù)“兩點之間線段最短“，當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即筆于EC的長;

(3)作輔助線，過E點作EF_LBC交CB的延長線于F,由題意求出NEBF=30。，設(shè)正方形的邊長為x,在

RIAEFC中，根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長為2打.

【詳解】(1)證明：:△ABE是等邊三角形，

:?BA=BE,ZABE=6()0.

,/NMBN=6()0,

:,/MBN-NABN=NABE-/ABN,

即NM84=NM?E.

在4AMB和^ENB中

AB=BE

匕MBA=乙NBE,

BM=BN

工&AMB”AENB(SAS).

(2)解：①由兩點之間線段最短可知，當M點落在的中點時，A、M、C三點共線,4M+CM的值最小.

②如圖，連接CE當M點位于與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小.

圖1

理由如下：連接MN,由(1)知，&AMB會4ENB,

；?AM=EN,

?：NMBN=6()°,MB=NB,

是等邊三角形.

:,BM=MN.

，AM+BM+CM=EN+MN+CM,

根據(jù)“兩點之間線段最短”可知，若E、N、M、C在同一條直線上時，EN+MN+CM取得最小值，最小值為

EC.

（3）解：過E點作8c交。的延長線于凡

AD

FRC

，NEBF=NABF-NABE=90。-60°=30°.

設(shè)正方形的邊長為X,則E尸=；,"=卜—（1）2哼

在RtAEFC中，

???￡產(chǎn)+尸。2=七02,

，（滬?（梟+X）2=（2V3+2）2.

解得刈=2&，X2=-2V2（舍去負值）.

???正方形的邊長為2企.

【點睛】本題考查了四邊形的綜合期：熟練掌握正方形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會利

用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和勾股定理進行計算；會運用兩點之間線段最短解決有關(guān)線段的和的最

小值問題，解本題的關(guān)鍵是找出取最小值時M的位置.

7.（2023春?廣東深圳?八年級校聯(lián)考期中）長方形紙片OWC中，48=10“〃，8。=6皿，把這張長方形紙片

OABC如圖放置在平面直角坐標系中，在邊OA上取一點E,將AA8E沿8E折疊，使點A恰好落在OC邊

上的點尸處.

（1）求點E、尸的坐標；

（2）在A8上找一點P,使PE+P尸最小，求點尸坐標；

（3）在（2）的條件下，點Q（x,y）是直線2/上一個動點，設(shè)△OC。的面積為5,求5與x的函數(shù)關(guān)系

式.

70.14C/、個、

-x+—(x>,2)

【答案】⑴點￡的坐標為(01),點”的坐標為(20):(2)點。的坐標為([,6)；(3)S二

OJ

【分析】(1)根據(jù)勾股定理求出CF,得到OF,求出點F的坐標，根據(jù)勾股定理得到點E的坐標;

(2)根據(jù)軸對稱-最短路徑問題確定點P,根據(jù)待定系數(shù)法求出直線FE的解析式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出

點P坐標:

(3)分Q在x軸上方和Q在x軸下方兩種情況，根據(jù)三角形的面積公式計算.

【詳解】(1)設(shè)。E=x,則AE=6-K,由折疊知84=B產(chǎn)=10,EF=AE=6-x,

;四邊形O4BC是長方形，，ZSCO=90°,

，CFZBF?一BC2=8,工OF=OC-CF=10-8=2,

???點尸的坐標為(-2,0),

在RAEO廠中，EF2=OF2+OE2,即(6-x)2=2W,解得，尸“

???點七的坐標為(0,1)，

工點E的坐標為(0,?),點尸的坐標為(-2,0)；

E,連結(jié)/E,交A8于P,

???點E的坐標為(0,,."￡=64=丹,

JAJ

;點E與點￡'關(guān)于A8對稱，."9=4￡=又,

???。￡>￥+6二手，點￡的坐標為（0,胃），

設(shè)直線FF的解析式為產(chǎn)近+6

,_28

則b=^，解得，討，Y，

{-2k+8=033

則宜線核的解析式為產(chǎn)+W，

當產(chǎn)6時，y%+^=6,解得，A=

工點尸的坐標為（t，6）,

（3）設(shè)點Q的坐標為"yA+y）,

當。在x軸上方時，即Q-2時，S^xlOx噂什爭丹行券,

當。在x軸下方時，即xV-2時，S=-x1Ox（±x-竺）=--x-—,

23333

畀+詈…2）

綜上所述，s=

后——2）

【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，軸對稱-最短路徑問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，正確作出使

PE-PF最小時點P的位置，靈活運用待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

8.（2023?四川廣安?八年級校聯(lián)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長為2,M、N分別為AB、AD的中點,

在對角線BD上找一點P,使^MNP的周長最小，則此時PM+PN-

【分析】根據(jù)題得出要使△MNP的周長最小，只要MP+NP最小即可，過N作NG_LBD交BD于G,交CD

于F,連接MF交BD于P,根據(jù)正方形性質(zhì)求出NG=DG=FG,得出N、F關(guān)于BD對稱，求出

MP+NP=MP+PF=MF,得出此時的PN+PM的值最小，得出四邊形AMFD是平行四邊形，求出MF=AD=2,

即可求出MP+NP的值.

【詳解】VDN=AM=AN=1,ZA=90°,

，由勾股定理求出MN=V2,

即MN值一定，

，要使△MNP的周長最小，只要MP+NP最小即可，

過N作NG_LBD交BD于G,交CD于F,連接MF交BD于P,

???ZNDB=ZFDB2=-ZADC=45°,

/.ZDNG=ZDFG=90°-45°=45°,

JZDNG=ZNDG,ZDFG=ZFDG,

Z.NG=DG=FG,

即N、F關(guān)于BD對稱，

???PN;PF,

.??MP+NP=MP+PF=MF,

即此時的PN+PM的值最小，

VBD±NF,NG=FG,

/.DN=DF=1=AM,

???四邊形ABCD是正方形，

???AM〃DF,

???四邊形AMFD是平行四邊形，

AMF=AD=2,

即MP+NP=2,

故答案為2.

【點睛】本題考查了正方形性質(zhì)和軸對稱-最短路線問題，題目綜合性比較強，但比較典型，是一道比較好的

題目，有一定的難度.

【題型2兩動一定型】

幾何模型2：兩動一定型（兩點之間線段最短）

在。4、OB卜.分別取點"、N使得三角形PMM的周長最小

I.（2023春?浙江杭州?八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中,ZBAD=U0°,ZB=ZD=90°,在BC、

CD上分別找一點M、N,使AAMN周長最小，此時NMAN的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.45°

【答案】B

【分析】根據(jù)要使AAMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC

和ED的對稱點A，，A",連接A，A",交BC于M,交CD于N,則A，A"即為△AMN的周長最小值.

【詳解】作DA延長線AH,即可得出NA，+NA”=180o」l0o=70。，

進而得出ZMAN=1100-70o=40°.

故選:B

考點：軸對稱的性質(zhì)

2.（2023春?廣東廣州?八年級廣州市第四H■?一中學統(tǒng)考期中）如圖，菱形4?。。的邊長為2cm,乙4=120。,

點E是8C邊上的動點，點P是對侑線8。上的動點，若使PC+PE的值最小，則這個最小值為（）

A.5B.2C.1D.V3

【答案】D

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，可知點人和點C關(guān)于8。對稱，再根據(jù)對稱的性質(zhì)，將PE+PC轉(zhuǎn)化為P4+PE,

然后根據(jù)垂線段最短可知，當4E_LBC時，PE+PC取得最小值.

【詳解】解：連接ACP4AE,如圖所示，

?.?四邊形力8co是菱形，

二點A和點C關(guān)于BD對稱，

???PEPC=PE+PA,

?.?當AE1BC時，點4到BC的距離最短，

.?.當AE1BC時,此時力E于BD的交點為尸時,PE+PA=AE,PC+PE的值最小,

?.?菱形/BCD的邊長為2cm,乙4=120°,

:.LABE=60°,AB=2cm?

:.LBAE=30°,

:.BE=^AB=1(cm),

???AE=y/AB2-BE2=V22-I2=?(cm),

即PC+PE的最小值是

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、對稱軸一最短路徑問題，解答本題的關(guān)鍵是找出PC+PE的值最小，即點A

到線段BC的距離，其中垂線段垂定是點E的所在位置，垂線段與8。的交點是點尸的所在位置.

3.(2023春?甘肅蘭州?八年級統(tǒng)考期中)如圖正方形4BCD的面積為24,△48E是等邊三角形，點E在正

方形HBCD內(nèi)，在對角線4c上有一動點P,要使PD+PE最小，則這個最小值為（）

A.V3B.2V3C.2V6D.瓜

【答案】C

【分析】由于點B與。關(guān)于4。對稱，所以連接BE,馬力。的交點即為尸點.此時PO+PE=BE最小，而8E是

等邊A/1BE的邊，BE=AB,由正方形48G9的面積為16,可求出48的長，從而得出結(jié)果.

【詳解】解?：設(shè)8￡與4C交于點P,連接8D.

???點8與。關(guān)于相對稱，

:.P'D=P'B,

AP'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.

?.?正方形力BCD的面積為24,

AB=2VS,

又?.△ABE是等邊三角形，

:.BE=AB=2V6.

故選：C.

【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)和軸對稱-最短路線問題，熟知“兩點之間，線段最短”是解答此題的關(guān)

鍵.

4.（2023春?浙江寧波?八年級寧波市第十五中學校考期中）如圖，矩形44CO中，力8=4,BC=3,若在

AC.AB上各取一點M,N,使8M+MN的值最小，求這個最小值（）

DC

A.2V3B.冷C.2710D.

【答案】D

【分析】作點4關(guān)于4c的對稱點〃，連接交AC于O,連接A〃，HM,連接"N,由對稱性可得A/3

=AH=4,HM=BM,BO=HO,可得MN+BM=HM+MN,則當點H,點例，點N共線且HALL/W時，根

據(jù)兩點之間線段最短可得MN+8M的最小值為在RSAO3中，利用勾股定理可求AO的長，利用等面

積法即可求解.

【詳解】解：如圖，作點。關(guān)于AC的對稱點〃，連接〃8,交AC于O,連接A〃，UM,連接〃N,

：,AB=AH=4,HM=BM,BO=HO,

：?MN+BM=HM+MN,

???當點”，點M,點N共線且〃/V_L/W時，MN+4M的最小值為HM

：45=4,8C=3,

：,AC=>JAB2+BC2=V42+32=5,

：金A13C=^xABxBC=^ACxBOf

??.8O=經(jīng)絡(luò)

55

在RtMOB中，

AO=>/AB2-BO2=J42-=蔡，

■:HN工AB,

.-.5zABH=》ABxHN三BHxAO,

2416

8Hx/O_石x虧_96

UN=-AB4=25

???M/V+BM的最小值為二

故選：D.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，矩形的性質(zhì)，三角形的面積公式，勾股定理等知識，利用面積

法求出B0是解題的關(guān)鍵.

5.（2023春?廣東湛江?八年級湛江市第二中學?？计谥校┤鐖D1,矩形。力BC擺放在平面直角坐標系中，點

A在工軸上，點C在y軸上，OA=3,UC=2,過點A的直線交矩形。力8C的邊8C于點，，且點〃不與點8、（;重

（1）若△P4B為等腰直角三角形.

①求直線4P的函數(shù)解析式