人教版初二數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題強(qiáng)化綜合試題含答案

人教版初二數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題強(qiáng)化綜合試題含答案

1.（初步探索）（1）如圖：在四邊形48CQ中，AB=AD,ZB=ZADC=90°,E、F分

別是3。、CO上的點(diǎn)，且EF=BE+FD,探究圖中4AE、NE4。、NE4/之間的數(shù)量關(guān)

圖]圖2

（1）（1）小明同學(xué)探究此問題的方法是：延長(zhǎng)尸。到點(diǎn)G,使DG=BE.連接AG,先證明

,再證明產(chǎn)，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；

（2）（靈活運(yùn)用）（2）如圖2,若在四邊形48CD中，AB=AD,Zfi+ZD=180°,E、F

分別是4C、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

3.已知△ABC是等邊三角形，ZkAOE的頂點(diǎn)。在邊8c上

（1）如圖1，若AD=DE,ZAED=60\求N4CE的度數(shù)；

（2）如圖2,若點(diǎn)。為8c的中點(diǎn)，AE=AC,NEAC=90°,連CE,求證：CE=2BF；

（3）如圖3,若點(diǎn)。為8C的一動(dòng)點(diǎn)，ZAED=9Q°,ZADE=30°,已知8c的面積為

4/，當(dāng)點(diǎn)。在8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△48E的面積是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其面積；若變

化請(qǐng)說明理由.

3.閱讀材料1：

對(duì)于兩個(gè)正實(shí)數(shù)方，由于（右-〃）>0,所以（右）-2\[a?x/^+（x/^j20,即

a-2\[ab+b>0,所以得到。+力之27^，并且當(dāng)時(shí)，a+b=2\/ab

閱讀材料2：

若4>0,則二11=工+_1=%+1,因?yàn)?>0,1>0,所以由閱讀材料1可得:

XXXXx

=即二11的最小值是2,只有]=」時(shí)，即工=1時(shí)取得最小值.

XVXXx

根據(jù)以上閱讀材料，請(qǐng)回答以下問題:

⑴比較大小

V+1—2x（其中X21）；x+-_-2（其中X<-1）

(2舊知代數(shù)式』變形為》〃+擊’求常數(shù)〃的值

⑶當(dāng)x=一時(shí),有最小值,最小值為..(直接寫出答案).

4.等腰RSABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)4、點(diǎn)8分別是y軸、x軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直角

邊AC交x軸于點(diǎn)。，斜邊8c交y軸于點(diǎn)E.

(1)如圖(1),已知C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1,直接寫出點(diǎn)4的坐標(biāo)；

(2)如圖(2),當(dāng)?shù)妊黂548c運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)。恰為AC中點(diǎn)時(shí)，連接0E.求證：ZADB=Z

CDE；

(3)如圖(3),若點(diǎn)4在x軸上，且A(-4,0),點(diǎn)8在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別以

。8、48為直角邊在第一、二象限作等腰直角A8。。和等腰直角△A8C,連結(jié)C。交，軸于點(diǎn)

P,問當(dāng)點(diǎn)R在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，8P的長(zhǎng)度是否變化？若變化請(qǐng)說明理由，若不變

化，請(qǐng)求出BP的長(zhǎng)度.

5.如圖1已知點(diǎn)48分別在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C(3,-3),C4_L8A于點(diǎn)4且84=CA,

C4C8分別交坐標(biāo)軸于0,E.

⑴填空：點(diǎn)8的坐標(biāo)是；

⑵如圖2,連接。E,過點(diǎn)(:作CH_LCA于C,交x軸于點(diǎn)H,求證：ZADB=ZCDE,

⑶如圖3,點(diǎn)F(6,0),點(diǎn)P在第一象限，連PF,過P作PM_LPF交y軸于點(diǎn)M,在PM

上截取PN=PF,連P。，過P作NOPG=45。交8/V于G.求證：點(diǎn)G是8N中點(diǎn).

6.已知：在平面直角坐標(biāo)系中，A為x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，8為y軸負(fù)半軸上的點(diǎn).

⑴如圖1,以4點(diǎn)為頂點(diǎn),4B為腰在第三象限作等腰冊(cè)JAC,若。4=2,013=4,求C

點(diǎn)的坐標(biāo);

⑵如圖2,若點(diǎn)4的坐標(biāo)為卜26,0）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,-〃?），點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為〃，以8為

頂點(diǎn)，班為腰作等腰RtAABO.當(dāng)B點(diǎn)沿y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)且其他條件都不變時(shí)，整

式4〃?+4〃-96的值是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理

⑶如圖3,若OA=OB,OF上AB于點(diǎn)F,以。8為邊作等邊,08M,連接4M交OF于點(diǎn)

N,若AN=m,ON=n,請(qǐng)直接寫出線段AM的長(zhǎng).

7.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，A（0,4）,C（-2,-2）,且NAC8=90。，AC=BC.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)：

（2）如圖2,若8c交y軸于點(diǎn)M,48交x軸與點(diǎn)N,過點(diǎn)B作BEJ_y軸于點(diǎn)邑作

軸于點(diǎn)F,請(qǐng)?zhí)骄烤€段MN,ME,NF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖3,若在點(diǎn)8處有一個(gè)等腰RS8DG,且8D=DG,ZBDG=90°,連接八G,點(diǎn)H

為八G的中點(diǎn)，試猜想線段0H與線段CH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

8.在田△ABC中，AC=BC,NACB=90。，點(diǎn)。是月C上一點(diǎn).

圖3

⑴如圖1,4D平分NB4C,求證A8=AC+CD：

（2）如圖2,點(diǎn)E在線段AD上，且NCEO=45。，ZBED=30°,求證8E=2AE；

（3）如圖3,BMLAM,M是AABC的中線4。延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N在4?上，AN=BM,若DM

=2,則MN=一（直接寫出結(jié)果）.

【參考答案】

2.⑴（初步探索）結(jié)論：ZBAE+ZFAD=ZEAF；

⑵（靈活運(yùn)用）成立，理由見解析

【分析】（1）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,可判定△ABE合△ADG,進(jìn)而得出

ZBAE=ZD

解析：（1）（初步探索）結(jié)論：NBAE+NFAD=NEAF；

（2）（靈活運(yùn)用）成立，理由見解析

【分析】（1）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使。G=8E,連接4G,可判定“BEgA4DG,進(jìn)而得出N

BAE=/DAG,AE=AG,再判定△AEFg/XASF,HlZEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+Z

DAF,據(jù)此得出結(jié)論：

（2）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使。G=8￡,連接AG,先判定△A8E經(jīng)Z^ADG,進(jìn)而得出NBA￡=/

DAG,AE=AG,再判定絲ZMGF,可得出/"F=NGAF=ND4G+ND4F=/8NE+/D4F.

（1）

解：NBAE+NFAD=NEAF.

理由：如圖1，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接4L

G

圖1

?/ZB-ZADC-90\

NADG=4=90",

\,DG=BE,AB=AD,

：./^ABE^^ADG,

：,ZBAE=ZDAGfAE=AGf

*：EF=BE+FD,DG=BE,

/.EF=DG+FD=GF,AAE=AG,AF=AF,

:.△AEFW^AGF,

Z1EAF=Z：GAF=/DAG十/DAF=/8A￡-h/DAF.

故答案為：N8AE+/EAD=NE4F；

(2)

如圖2,延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使。G=8邑連接AG,

圖2

,:N8+ZADF=180\NAOG+ZADF=18Q0,

：,ZB=ZADG,

又?.?八8=4。，

：./^ABE^/\ADG(SAS):

工N8AE=NDAG,AE=AG,

?.?￡F=8￡+F0=0G+F0=GF,AF=AF,

???△4EF0△4GF(SSS),

:.ZEAF=ZGAF=ZDAG^ZDAF=ZBAE+ZDAF

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定以及性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線

構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形.解題時(shí)注意：同角的補(bǔ)角

相等.

3.(1)60°；(2)見解析；(3)不變，

【分析】(1)由題意，先證△ADE是等邊三角形，再證△BAD3△CAE,得

ZACE=ZB=60°；

（2）由題意，先求出/BEC=30。，然后求出NCF

解析：（1）60°；（2）見解析；（3）不變，2&

【分析】（1）由題意，先證AADE是等邊三角形，再證△勿。紇△CAE,得N4CE=N

8=60°；

（2）由題意，先求出N8EC=30。，然后求出NCFE=90。，利用直角三角形中30度角所對(duì)直

角邊等于斜邊的一半，即可得證；

（3）延長(zhǎng)至F,使EFME,連DF、CF,先證明△ADF是等邊三角形，然后證明ZkEGFg

△EHA,結(jié)合HG是定值，即可得到答案.

【詳解】解:（1）根據(jù)題意,

\'AD=DE,ZAED=60°,

???△ADE是等邊三角形，

:?AD=AE,ZDAE=60°,

,：AB=AC,ZMC=60°,

???ABAC-ZDAC=NDAE-ADAC,

即N84O=NC4E,

:.叢BAD名ACAE,

:.NACE=N8=60°：

（2）連CF,如圖：

圖2

?：AB=AC=AE,

：.ZAEB=ZABE,

VZBAC=60°,ZEAC=9Q0,

：.ZBAE=150\

:.ZAEB=ZABE=15°；

???△4CE是等腰直角三角形，

:.Z4EC=45°,

???N8EC=30°,NEBC=45°,

?.工口垂直平分BC,點(diǎn)「在人￡）上,

:?CF=BF,

:.ZFCB=Z￡BC=45°,

:.NCFE=90°,

在直角ACEF中，ZCFE=90°,ZC￡F=30%

：,CE=2CF=2BF,

(3)延長(zhǎng)4E至F,使EF=4E,連OF、CF,如圖:

VZAED=90°,EF=AE,

?*DE是中線，也是高，

???△4DF是等腰三角形，

ZADE=30°,

：,ZDAE=60°,

???△ADF是等邊三角形；

由(1)同理可求/4CF=/A8C=60。，

:.ZACF=ZBAC=6Q\

：,CF//AB,

過E作EG_LCF于G,延長(zhǎng)GE交84的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,

易證AEGF也△EHA,

:?EH=EG=；HG,

???HG是兩平行線之間的距離，是定值，

:.S^ABE=ySAABC=^X4X/3=2>/3；

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三帶形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的

性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

所學(xué)的知識(shí)，正確的作出輔助線，從而進(jìn)行解題.

57.已知,4(0,Q),B(b,0),點(diǎn)為X軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),AC=CD,ZACD=9Q°.

(1)已知a,b滿足等式Ia+bI+爐+4匕=-4.

①求A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)；

②如圖1,連8。交y軸于點(diǎn)H,求點(diǎn)H的坐標(biāo)；

(2)如圖2,已知a+b=O,OOOB,作點(diǎn)8關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E,連。2點(diǎn)F為DE的中

點(diǎn)，連OF和CF,請(qǐng)補(bǔ)全圖形，探究OF與CF有什么數(shù)量和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(1)①4(0,2),B(-2,0)；②〃(0,-2)；(2)CFLOF,CF=OF,證明見解析.

【分析】(1)①利用絕對(duì)值、完全平方的非負(fù)性的應(yīng)用，求出a、b的值，即可得到答

案；

②過C作y軸垂線交8A的延長(zhǎng)線于￡,然后證明△CEAgaCBD,得到。8=。從即可得到

答案；

(2)由題意，先證明△OFGgAEFO,然后證明△DCGgZ\4：。，得到ZiOCG是等腰直角三角

形，再根據(jù)三線合一定理，即可得到結(jié)論成立.

【詳解】解：(1)???|。+4+〃+4〃=-4,

/.\a+t\+b2+4b+4=0,

.?.|a+〃|+S+2)2=0,

.*.?+/?=(),Z?+2=0,

b=-2f

a—2,

：,A(0,2),B(-2,0)；

②過C作x軸垂線交BA的延長(zhǎng)線于E,

*：OA=OB=2,ZAOB=9Q\

??.△AOB是等腰直角三角形，

:.NA8O=45°,

VEC±ec,

???△8CE是等腰直角三角形，

；?BC=EC,ZBCE=9Q°=ZACDf

：.NACE=NDCB,

*：AC=DCt

:.△CEAdCBD,

ZCDD=Zf=45°,

：?OH=OB=2,

:.H(0,-2)；

(2)補(bǔ)全圖形，如圖：

???點(diǎn)8、E關(guān)于v軸對(duì)稱,

：,OB=OE,

a+b=O?BPa——b

：.OA=OB=OE

延長(zhǎng)OF至G使FG=OF,連DG,CG,

?：OF=FG,ZOFE=ZDFG,EF=DF

：,DG=OE=OA,ZDGF=ZEOF

：.DG//OE

，NCOG=NOC。；

'：ZACO+ZCAO=ZACO+ZDCO=9Q°,

：.ZDCO=ZCAO；

:.ZCDG=ZDCO=ZCAO；

*：CD=AC,OA=DG

：./\DCG^LACO

：,OC=GC,ZDCG=ZACO

/.ZOC6=90°,

:.NCOF=45°,

???△OCG是等腰直角三角形，

由三線合一定理得CF_LOF

VZOCF=ZCOF=45°,

:?CF=OF；

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性

質(zhì)，非負(fù)性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的作出輔助線進(jìn)行解題.

58.已知點(diǎn)A在X軸正半軸上，以O(shè)A為邊作等邊404?,A(x,0),其中X是方程

3I22…

------------7=-------的解.

23x-l6.r-2

(1)求點(diǎn)4的坐標(biāo)；

(2)如圖1,點(diǎn)C在y軸正半軸上，以AC為邊在第一象限內(nèi)作等邊ACD,連。8并延長(zhǎng)

交V軸于點(diǎn)E求N8EO的度數(shù)：

(3)如圖2,點(diǎn)F為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在點(diǎn)4的右邊，連接FB,以FB為邊在第

一象限內(nèi)作等邊；FBG,連G4并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)H,當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)時(shí)，?！?人”的值是否發(fā)

生變化？若不變，求其值；若變化，求出具變化的范圍.

(1)4(3,0)；(2)120°：(3)尸的值是定值，9.

【分析】(1)先求出方程的解為x=3,即可求解；

(2)由"SZS'可證△C4O也△048,可得ND84=NCO4=90°,由四邊形內(nèi)角和定理可求

解；

(3)由"S4S"可證△ABG妾AOBF可得OF=AG,N84G=N8OF=60°,可求NOAH=60°,可

得47=6,即可求解.

312，

【詳解】解：(1)〈X是方程;-h、=二?的解.

23x-\6x-2

解得：x=3,

檢驗(yàn)當(dāng)x=3時(shí)，6x-2w0,3x-lw0,

:.x=3是原方程的解，

工點(diǎn)A(3Q);

(2);△ACD,AAB。是等邊三角形，

：.AO=AB,AD=AC,^BAO=ZCAD=60°,

：.ZCAO=ZBAD,且40=48,AD=AC,

???△CAg△勿8(5A5)

：.ZDBA=ZCOA=90°,

:.ZABE=9Q\

*/NAOE+ZABE+/0A8+NBEO=360°,

，N8EO=120°；

(3)GH-AF的值是定值,

理由如下：???△ABC,Z^FG是等邊三角形，

：,BO=AB=AO=3,FB=BG,ZBOA=ZABO=ZFBG=60°,

：.ZOBF=ZABG,且08=48,BF=BG,

/\AB6^/\0BF(SAS),

：,OF=AG,N84G=N8CF=60°,

?MG=OF=OW+AF=3+AF,

ZOAH=18Q0-ZOAB-ZBAG,

；?NOAH=60°,且N4OH=90°,04=3,

.\AH=6,

:.GH-AF=AH-{-AG-AF=6+3+AF-AF=9.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了分式方程的解法，等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的

性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力.

59.等邊A48c中，點(diǎn)〃、K分別在邊3C、AC上，旦AK=C〃，連接A”、歌交于點(diǎn)

F.

(1)如圖1，求NAFB的度數(shù)：

圖1

BF

(2)連接CF,若N6fC=9()。，求——的值；

AF

(3)如圖2,若點(diǎn)G為47邊的中點(diǎn)，連接FG,且Ab=2尸G,則的大小是

圖2

(1)120°；(2)2；(3)120°

【分析】(1)由AA8C是等邊三角形，可得出A8=AC=8C,

ABAC=ZABC=ZACB=60°,再利用AK=C〃，可證A43Kg△C4，(SAS),得出

ZCAH=ZABK,由/3陽=乙$長(zhǎng)+/加?=/64/7+/84/可求出/5"/,最后由外角

定義求出/AF8.

(2)在所上取點(diǎn)O,^BD=AF,由&尸8=120?？勺CN4/，C=150。，冉利用

AB=AC,ZABD=^CAF,或>=A尸可證明A48Z涇AC4/(SAS),進(jìn)而求出

44DB=NCFA=15O°,再用補(bǔ)角的性質(zhì)得知NAH>=120。，在V4/7)中利用外角的性質(zhì)可

求出/皿)=44。8-乙4律=30。，進(jìn)而證出VA")為等腰三角形，最后可證出

HF=BD+DF=2AF即可求解.

(3)延長(zhǎng)至E,使AA莊為等邊三角形，延長(zhǎng)尸G交CE于7,可得出

^ABF^^ACE(SAS),進(jìn)而得出NA￡C=N41?8=I2O。，利用角的和差得出

4FET=泣=4AFE,則證出八F//EC,進(jìn)而證出AAFG當(dāng)△C76(A4S),再利用

AF=2FG,從尸="＞證出為等邊三角形，進(jìn)而記出NAR7=120。.

【詳解】(1)???AABC是等邊三角形，

AAB=AC=BC,ZBAC=ZAI3C=ZACI3=60°,

在AABK和A?！敝?，

AB=CA,/BAK=ZACH,AK=CH,

SABK^ACAH(SAS),

JZCAH=ZABK,

J./RFH=ZABK4NBAF=NGA"-l-NRAF=60°,

JZAFB=180°-NBFH=18()°-60。=120°.

(2)在所上取點(diǎn)￡),使8D=Ab.

由(1)知ZAAB=120。，

又NBFC=90。,

：.ZAFC=150°.

在AAB￡)和ACA尸中，

AB=AC,ZABD=ZCAF,BD=AF,

???AABD^ACAF(SAS),

ZAD2?=ZCE4=15O°,

Z/?=30°,

??,ZAFD=120°,

:.ZLFAD=ZADB-ZAFD=30°,

/.ZFDA=ZFAD.

AF=DF,

VBD=AF,

：.BD=DF=AF,

/.BF=BD+DF=2AF,

；?BF:AF=2.

(3)ZBFG=120°.

提示：目測(cè)即得答案.詳細(xì)理由如下：

由(1)知NAF3=120。.延長(zhǎng)至￡,使44所為等邊三角形.

延長(zhǎng)尸G交CE于r.

???ZBAF+ZFAC=ZFAC+Z.CAE=60°,

???ZBAF=NCAE,

在△84F和VC4E中，

AF=AE

ZBAF=乙CAE,

AB=AC

JA/W尸@AACE(%S),

，ZAEC=ZAFB=\2(T.

：.々￡7=60。=44莊，

AF//EC.

:?/FAG=NTCG,ZAFE=ZTEF=6O0

在,AFG和C7G中，

ZAG=4TCG

<AG=CG,

ZFGA=NTGC

??.^AFG^CTG(AAS),

:.FG=TG.

VAF=2FG,AF=EF,

，EF=FT,

ZAFE=Z7EF=60°

???AEFT為等邊三角形,

???NEFF=60。

???ZBFG=1800-ZEFT=120°.

【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定

和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

60、在平面直角坐標(biāo)系中，4。，0),8(0,b)分別是x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)C

與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)P是x軸正半軸上C點(diǎn)右側(cè)一動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)2a2+4ab+4b2+2Q+1=0時(shí)，求4,8的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)Q+b=0時(shí)，

①如圖1,若。與P關(guān)于y軸對(duì)稱，P￡_LD8并交。8延長(zhǎng)線于E,交28的延長(zhǎng)線于F,求

證：P8=PF；

②如圖2,把射線8P繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45o,交x軸于點(diǎn)Q,當(dāng)CP=4Q時(shí)，求N4PB的

(1)A(-1,()),8(0《)；(2)①見解析；②N4P8=225

【分析】(1)利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可；

(2)①想辦法證明NPBF=NF,可得結(jié)論；②如圖2中，過點(diǎn)。作QF_LQ8交P8于F,

過點(diǎn)F作FH_Lx軸于H,可得等腰直角"QF,證明也△QB。(AAS)，再證明FQ=FP

即可解決問題.

【詳解】解：(1)V2a2+4ab+4b2+2a+l=0,

(a+2b)2+(a+1)2=C,

'：(a+2b)2>0,(a+1)2>0,

/.a+2b=0,a+l=0,

???a=-1,b=y,

：.A(-1,0),8(0,y).

:a+b=0,

，a=-b,

：,OA=OB,

又：N4O8=90。，

：,ZBAO=ZABO=45°,

???。與P關(guān)于y軸對(duì)稱,

:?BD=BP,

；?NBDP=/BPD,

設(shè)N80P=N8P0=a,

貝ljNP8F=ZBAP+^BPA=45Q+a,

?；PELDB,

，N8EF=90°,

：.ZF=90°-ZEBF,

又NEBF=/ABD=NBAO_N8OP=450?a,

/.ZF=450+a,

:?NPBF=/F,

：.PB=PF.

②解：如圖2中，過點(diǎn)Q作QF_LQ8交P8「F,過點(diǎn)F作FH_Lx軸于H.可得等腰直角

'：ZBOQ=NBQF=ZFHQ=90°,

/.ZBQO+ZFQH=90%NFQH+NQFH=90。,

工/BQO=/QFH,

?；QB=QF,

：?AFQH學(xué)AQBO(AAS),

:.HQ=OB=OA,

:.HO=AQ=PC,

:,PH=OC=OB=QH,

:?FQ=FP,

又N8FQ=45°,

NAP8=22.5°.

【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式、實(shí)數(shù)的非負(fù)性、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三

角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解題.

61.如圖，已知C。是線段的垂直平分線，垂足為D,C在。點(diǎn)上方，N84C=30。，P是

直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，E是射線AC上除4點(diǎn)外的一點(diǎn)，PB=PE,連8E.

(1)如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，求NA8E的度數(shù)；

(2)如圖2,若P在C點(diǎn)上方，求證：PD+^AC=CE,

(3)若AC=6,CE=2,則PD的值為(直接寫出結(jié)果).

(1)Z4BE=90°；(2)PD+^AC=CEt見解析；(3)1

【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)得到：ABPE為等邊

三角形，則NCB￡=60°,故N48E=90°；

(2)如圖2,過P作PHL4E于H,連8C,作PG_LBC交8c的延長(zhǎng)線于G,構(gòu)造含30度

角的直角APCG、直角ZiCPH以及全等三角形(RZGBgRSPHE)，根據(jù)含30度的直角三

角形的性質(zhì)和全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得結(jié)論；

(3)分三種情況討論，根據(jù)(2)的解題思路得至1」。。=4八。+?！昊?。。=?！?：4。，將數(shù)值代

22

入求解即可.

【詳解】(1)解：如圖1,???點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，CD是線段48的垂直平分線，

圖1

：.PA=PB,

：.ZPAB=^PBA=3Q\

:.NBPE=NPAB+NPBA=6G0,

?:PB=PE,

???△8PE為等邊三角形，

:.NC8E=60°,

:.Z48E=90°；

(2)如圖2,過P作PH14E于小連8C,作PG_L8c交8c的延長(zhǎng)線于G,

<8垂直平分八8,

：,CA=CB,

???/8AC=30°,

，4CD=N88=60°,

:.ZGCP=ZHCP=ZBCE=ZACD=Z88=60°,

/.ZGPC=ZHPC=30°,

11

：?PG=PH,C6=CH=-CP,CD=-AC,

在R3PGB和中，

PG=PH

PB=PE'

：?R3PGB且R3PHE(HL).

:?BG=EH,BPCB+CG=CE-CH,

：.CB+-CP=CE--CP,BPCB+CP=CE,

22

又?.?C8=4C,

.\CP=PD-CD=PD--AC,

：.PD+-AC=CE；

2

(3)①當(dāng)。在。點(diǎn)上方時(shí)，由(2)得：PD=CE-^AC,

當(dāng)AC=6,CE=2時(shí)，PD=2-3=-l,不符合題意：

②當(dāng)P在線段CD上時(shí)，

如圖3,過P作PH_L4￡于從連8C,作PG_L8C交8c于G,

此時(shí)RSPG8gRJPHE(HL),

：.BG=EH,HPCB-CG=CE+CH,

Cfi--CP=C￡+-CP,即CP=CB-CE,

又."8=4(7,

，PD=CD-CP=-AC-CB+CE,

2

：.PD=CE--AC.

2

當(dāng)4c=6,C￡=2時(shí)，PD=2-3=-l,不符合題意;

③當(dāng)P在。點(diǎn)下方時(shí)，如圖4,

同理，PD=-AC-CE,

2

當(dāng)心6,C￡=2時(shí),PD=3-2=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形綜合題，綜合運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)，含30度角直

角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度較大，解題時(shí)，注意要分類討

論.

62.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0“），點(diǎn)8的坐標(biāo)（尻0）且a,b滿足

a2-]2a+36+\a-b\=0.

（1）求A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖（1）,點(diǎn)C為x軸負(fù)半軸一動(dòng)點(diǎn)，OC<OB,8OJ.4C于。，交y軸于點(diǎn)E,

求證：OO平分NCOS.

（3）如圖（2）,點(diǎn)F為4B的中點(diǎn)，點(diǎn)G為x正半軸點(diǎn)3右側(cè)的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)F作尺7的

垂線”，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)H,那么當(dāng)點(diǎn)G的位置不斷變化時(shí)，的值是

否發(fā)生變化?若變化，請(qǐng)說明理由；若不變化，請(qǐng)求出相應(yīng)結(jié)果.

（1）40,6）,8（6,0）；（2）證明見解析；（3）不變化，SAFH-SFBG=9.

【分析】（1）由非負(fù)性可求。，b的值，即可求4、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)。作OM_L8O于M,ON_LAC于N,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；

（3）由于點(diǎn)F是等腰直角三角形AOB的斜邊的中點(diǎn)，所以連接OF,得出OF=BF.ZfiFO=

ZGFH,進(jìn)而得出NOFH=/8FG,利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)以及三

角形面積公式解答即可.

【詳解】解：（1）???。2—12a+36+|a—4=0

工（a—6）~+|a—4=0,

a-6=0

即a=/>=6.

a-b=0

???A(0,6),8(6,0).

(2)如圖，過點(diǎn)。作OM_LA。于M,ON1AC于M

根據(jù)題意可知N4CO+NC4090。.

???BD1AC,

工ZBCD+ZCBE=90°,

工NCAO=4CBE.

A(0,6),4(6,0),

，0A=0B=6.

NCAO=NEBO

在△AOC和△BOE中，OA=OB

/AOC=ZBOE=90°

:.AOC^BOECASA).

：.OE=OC,AC=RE,SAOC=SBOE

.」AC?ON=LBE?OM,

22

：.OM=ON,

:?點(diǎn)、。?定在NCDB的角平分線I.,

即0。平分NCD8.

(3)如圖，連接OF,

???JO"是等腰直角三角形且點(diǎn)F為48的中點(diǎn),

：.OFLAB,OF=FB,OF平分NA08.

，4OFB=4）FH+格=90。.

又???FG1FH,

/.ZHFG=4BFG+/HFB=90°,

，/OFH=/BFG.

???NFOB=L/AOB=45。,

2

JZFOH=ZLFOB+ZHOB=45°+90°=135°.

又/FBG=1800-ZABO=180°-45°=135°,

ZFOH=/FBG.

ZOFH=Z.BFG

在和AEBG中」OF=BF,

NFOH=NFBG

AFOH=￡,FBG（ASA）.

?q=c

??uFOHuFBG，

X

**,SAFH-SFBG=SAFH~SFOH=SFOA=—SAOB=—^—OA?OB=-6X6=9.

故不發(fā)生變化，且5"〃-SF8G=9.

【點(diǎn)睛】本題為三角形綜合題，考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，角平分線的判定，等腰直角三角形的

性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問

題，正確添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題.

63.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，AO=AB,Z640=90°,8O=8cm,動(dòng)點(diǎn)。從原點(diǎn)。出

發(fā)沿x軸正方向以acm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E也同時(shí)從原點(diǎn)0出發(fā)在y軸上以bcm/s的速

度運(yùn)動(dòng)，且a,。滿足關(guān)系式M+b?-4Q-2。+5=0,連接OD,OE,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

（1）求。，b的值；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△MD且△04E：

【分析】（1）將出+62-4。-28+5=0用配方法得出（0-2）2+（b-1）2=0,利用非負(fù)數(shù)

的性質(zhì)，即可得出結(jié)論；

（2）先由運(yùn)動(dòng)得出8。=8-2t|,再由全等三角形的性質(zhì)的出貨BQ=OE,建立方程求解

即可得出結(jié)論.

(3)先判斷出△OWPgABAQ(SAS),得出OP=8Q,N48Q=N4OP=30。，N4QB=N

4Po=15。，再求出NO4P=135。，進(jìn)而判斷出△04QgZ\8AQ(SAS),得出NOQ4=N8Q4

=15°,OQ=BQ,再判斷出aOPa是等邊三角形，得出/OQP=60。，進(jìn)而求出N8QP=

30°,再求出NP8Q=75°,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)???。2+爐-4a-2b+5=0,

:.(a-2)2+(b-1)2=0,

/.a-2=0,b-1=0,

：?a=2,b=l；

(2)由(1)知，a=2,b=l,

由運(yùn)動(dòng)知，0D=2tfOE=t,

VOB=8,

：,DB=\8-2t\

/XBAD^LOAE,

*：DB=OE,

/.18-2t|=t,

解得，t=§(如圖1)或t=8(如圖2)；

(3)如圖3,

過點(diǎn)A作AQ_L4P,使AQ=4P,連接OQ，BQ,PQ,

則NAPQ=45°,ZPAQ=90°,

V^OAB=90°,

:?NPAQ=NOAB,

：.ZOAB+ZBAP=ZPAQ+ZBAP.

即：ZOAP=ZBAQ,

t：OA=AB,AD=AD,

/.△O4P^A84Q(SAS).

：.OP=BQ,ZABQ=ZAOP=3Q°,ZAQB=ZAPO=1S°.

在A40P中，N4OP=30°,ZAPO=15°,

:.ZOAP=13Q°-NAOP-ZAPO=135°,

：.ZOAQ=360°-ZOAP-N%Q=135°-90°=135°=NOAP,

'：OA=AB,AD=AD,

：./\OAQ^/\BAQ(SAS),

：.ZOQA=ZBQA=15°,OQ=BQ,

???0P=8Q,

???OQ=OP,

VZ4PQ=45°,N4PO=15°,

:.NOPQ=ZAPO+ZAPQ=60°,

???△OPQ是等邊三角形，

，NOQP=60。，

；?NBQP=NOQP-NOQ八-N8Q4=60°-15°-15°=30°,

：8Q=PQ,

，NP8Q=g(1800-ZBQP)=75°,

:.NA8P=N48Q+NP8Q=30°+75°=105°.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了配方法、非奐數(shù)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、

等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

64.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)人(0刀-2),以。,0),“"6,詢.且〃滿足

/_2必+2從_1劭+64=0,連接A8,AC,AC交x軸于￡)點(diǎn).

(1)求。點(diǎn)的坐標(biāo)：

(2)求證：Za4C+ZABO=45°；

(3)如圖2,點(diǎn)E在線段AB上，作EG_L)，軸于G點(diǎn)，交AC于尸點(diǎn)，若￡G=AO,求

(1)C(2,-8)；(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【分析】(1)由非負(fù)性可求a,b的值，即可求解：

(2)由“SAS"可證△ABPgZ\BCQ,可得AB=BC,NBAP=/CBQ,可證aABC是等腰直角三角

形，可得NBAC=45。，可得結(jié)論；

(3)由"AAS”可證△ATO^^EAG,可得AT=AE,OT=AG,由"SAS"可證ATAD也Z\EAD,可得

TD=ED,ZTDA=ZEDA,由平行線的性質(zhì)可得NEFD=NEDF,可得EF=ED,即可得結(jié)論.

【詳解】解:(1)Va2-2ab+2b2-16b+64=0,

:.(a-b)2+(b-8)2=0,

??a=b=89

，b?6=2,

，點(diǎn)C(2,-8)；

(2)Va=b=8,

???點(diǎn)A(0,6),點(diǎn)B(8,0),點(diǎn)C(2,-8),

AAO=6,OB=8,

如圖1，過點(diǎn)B作PQ_Lx軸，過點(diǎn)A作AP_LPQ,交PQ于點(diǎn)P,過點(diǎn)C作CQ_LPQ,交PQ

于點(diǎn)Q,

???四邊形AOBP是矩形，

AAO=BP=6,AP=OB=8,

???點(diǎn)B(8,0),點(diǎn)C(2-8),

ACQ=6,BQ=8,

.??AP=BQ,CQ=BP,

又NAPB二NBCQ

.,.△ABP^ABCQ(SAS),

AAB=BC.ZBAP=ZCBQ.

VZBAP+ZABP=90°,

AZABP+ZCBQ=90%

:.ZABC=90°,

.??△ABC是等腰直角三角形，

??.NBAC=45°,

ZOAD+ZADO=ZOAD+ZBAC+ZABO=90°,

/.ZOAC+ZABO=45°；

(3)如圖2,過點(diǎn)A作ATJ_AB,交x軸丁T,連接ED,

圖2

，ZTAE=90°=ZAGE,

:、ZATO+ZTAO=900=ZTAO+ZGAE=ZGAE+ZAEG,

.\ZATO=ZGAE,ZTAO=ZAEG,

又：EG=AO,

/.△ATO^AEAG(AAS),

AAT=AE,OT=AG,

VZBAC=45°,

/.ZTAD=ZEAD=45°,

XVAD=AD,

.,.△TAD^AEAD(SAS),

ATD=ED,ZTDA=ZEDA,

VEG±AG,

???EG〃OB,

AZEFD=ZTDA,

AZEFD=ZEDF,

AEF-ED,

:.EF=ED=TD=OT+OD=AG+OD,

AEF=AG+OD.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全

等三角形是本題的關(guān)鍵.

65.(1)模型：如圖1,在［ABC中，A。平分N3AC,DE±AB,DFA.AC,求證：

S?ADB?S△人DC=A5：AC.

(2)模型應(yīng)用：如圖2,4。平分NE4C交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,求證：

AB:AC=BD:CD.

(3)類比應(yīng)用：如圖3,人8平分ND4E,AE=AD,ZD+ZE=180°,求證：

BE:CD=AB:AC.

A

圖1

（1）證明見解析；（2）

【分析】（1）由題意得DE=DF,5&仙=；68?阻S.0c=,即可得出心加

=

lDcAB：AC；

(2)在AB上取點(diǎn)E,使得AE=AC,根據(jù)題意可證△ACDgAAED,從而可求出絲=絲

ABAE

矍=黑，即可求解；

(3)延長(zhǎng)BE至M,使EM=DC,連接AM,根據(jù)題意可證△ADCgZ\AEM,故而得出AE為

AMAC

NBAM的角平分線，即笠=黑=怒，即可得出答案；

BEEMDC

【詳解】解：(1)TAD平分NBAC,DE1AB,DE1AC,

ADE-DF,

,?*Sw)B=；?A8?￡>E,=；?AC?D”,

?,^XADB:*^AADC=AB：AC；

(2)如圖，在AB上取點(diǎn)E,使得AE=AC,連接DE

又??,AD平分NCAE,

/.ZCAD=ZDAE,

SAACD和AAED中，

AC=AE

<ZCAD=ZDAE,

AD=AD

.,.△ACD^AAED(SAS),

/.CD=DEjaZADC=ZADE,

.BDDE

**~AB~~AE'

.BDCD

/.AB：AC=BD：CD：

(3)如圖延長(zhǎng)BE至M,使EM=DC,連接AM,

?:ZD+ZAEB=180°,

XVZAEB+ZAEM=180°,

/.ZD=ZAEM,

在4ADC與△AEM中，

AD=AE

ZD=ZAEM,

DC=EM

.,.△ADC^AAEM(SAS),

AZDAC=ZEAM=ZBAE,AC=AM,

，AE為NBAM的角平分線，

,,ABAMAC

故—=----=——,

BEEMDC

/.BE：CD=AB：AC；

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、以及三角形的面積的應(yīng)

用，正確掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵：

66.如圖，RJA8C中，N8AC=90。，AB=AC.

圖1圖2

(1)如圖1,AD±AE,BE1.AE,求證：

(2)如圖2,ZAFD=NCEB,AF=CE,請(qǐng)直接用幾何語言寫出的、D4的位置關(guān)系

(3)證明(2)中的結(jié)論.

(1)見解析；(2)BEIDA；(3)見解析

【分析】(1)根據(jù)垂直的定義可得NADC=NE=90。，根據(jù)余角的性質(zhì)可得NACD=NBAE,

然后根據(jù)AAS即可證得結(jié)論；

(2)由于要得出BE、D4的位置關(guān)系，結(jié)合圖形可猜想：BEIDA；

(3)如圖，作CP_LAC于點(diǎn)C,延長(zhǎng)FD交CP于點(diǎn)P,先證明△BAEg^FCP,可得N3=N

P,AB=CP,然后證明△ASg/XPCD,可得/4=/P,進(jìn)一步即可推出/4+/2=90。，問題得

證.

【詳解】解：(1)證明：：A￡>_LAE,BE±AE,

.\ZADC=ZE=90°,ZDAC+ZACD=90°,

VZfiAC=90°,

.,.ZDAC+ZBAE=90°,

AZACD=ZBAE,

在ADAC和AEBA中，

VZADC=ZE,ZACD=ZBAE,AC=AB,

(AAS)；

(2)結(jié)合圖形可得：BELDA-

故答案為：BE1.DAx

(3)證明：如圖，作CP_LAC「點(diǎn)C,延長(zhǎng)FD交CPF點(diǎn)P,

VAF=CE,

/.AE=CF,

???ZAFD=4CEB,

r.zi=Z2,

VZBAE=ZFCP=90°,

/.△BAE^AFCP,

AZ3=ZP,AB=CP,

VZBAC=90°,AB=AC,

.,.ZABC=ZACB=45°,

VZPCP=90°,AB=CP,

/.ZFCD=45°,AC=PC,

.\ZACB=ZPCD,

VCD=CD,

/.△ACD^APCD,

AZ4=ZP,

VZ3=ZP,

AZ3=Z4,

VZ3+Z2=90°,

???Z4+Z2=90°,

.\ZAGE=90o,即HE_L￡)A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，正確添加輔助

線、熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

67.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(。，0),8(0,b),且a,b滿足(3x")1.

(1)直接寫出a=,b=；

(2)連接A8,P為必(小內(nèi)一點(diǎn)，OPLBP.

①如圖1,過點(diǎn)。作OC1OP,且OP=OC,連接CP并延長(zhǎng)，交A3于。.求證：

AD=BD；

②如圖2,在尸。的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M,連接3M.若/MBO=ZABP,點(diǎn)、P伽,-n),試求

點(diǎn)M的坐標(biāo).

(1)3,-3：(2)①見解析；②”的坐標(biāo)為(-5,

JJ

【分析】(1)先利用幕的乘方和積的乘方化簡(jiǎn)，再利用單項(xiàng)式的性質(zhì)求解即可；

(2)①連接4C,過點(diǎn)8作8N_L8P,交CP的延長(zhǎng)線卜點(diǎn)N,利用S4S證明△OPB94

OCA,再證明A8NP為等腰直角三角形，利用加5證明aACDg△8ND,即可證明4。=。8；

②作出如圖所示的輔助線，證明ABMP為等腰直角三角形，利用/W5證明△P8F0Z\MPE,

求得E(2n,n),M(3n-3rn),證明點(diǎn)M,￡關(guān)于y軸對(duì)稱,得到3c-3+2a=0,即可求解.

【詳解】(1)V(3xa/*5)2=9x6/,

:.9x2ay2b+'°=9x6y4,

2ci=6,2/?+10=4,

解得：。=3,b=—3,

故答案為:3?-3；

(2)①連接4C,

；NCOP=NAO8=90°,

:.ZCOP-ZAOP=ZAOB-ZAOP,

:,NCOA=NPOB,