安徽省安慶市2025屆高三下學(xué)期3月第二次模擬試題 數(shù)學(xué) 含解析

安慶市2025年高三模擬考試（二模）數(shù)學(xué)試題命題：安慶市高考命題研究課題組考試時(shí)間120分鐘，滿分150分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，再利用復(fù)數(shù)模的定義即可求得的值.【詳解】因?yàn)椋?故選：B.2.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，然后利用列出方程即可得出答案.【詳解】，又，所以，得.故選：C.3.若將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，則的最小正值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得圖象變換后的函數(shù)解析式，根據(jù)對稱性求得正確答案.【詳解】，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得，由該函數(shù)為奇函數(shù)可知，即，所以的最小正值為.故選：A4.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且與的等差中項(xiàng)為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得出的值，結(jié)合已知條件求出的值，可求出、的值，再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)其公比為，由已知，故，所以，，則，故，所以，，故.故選：D.5.已知平面向量，則“”是“在方向上的投影向量為”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)投影向量的定義，寫出在方向上的投影向量為，然后結(jié)合條件即可判定.【詳解】由于在方向上的投影向量，若，則，故，若，則，故選：C.6.函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且無限接近直線但又不與該直線相交，則（）A.函數(shù)不具有奇偶性B.C.函數(shù)的值域?yàn)镈.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得出，，然后利用函數(shù)的圖像與性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，故函?shù)為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；由函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，有，即，所以，由于的圖象無限接近直線但又不與該直線相交，故，且，故，于是B，C錯(cuò)誤；由上面的分析得出函數(shù)，顯然的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D正確；故選：D.7.設(shè)事件為兩個(gè)隨機(jī)事件，，且，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用條件概率公式得出，然后利用公式化簡得出結(jié)論.【詳解】由可得，又，所以，所以，即，即，于是.故選：B.8.已知曲線，直線，若與有三個(gè)交點(diǎn)，且一個(gè)交點(diǎn)平分另兩個(gè)交點(diǎn)連成的線段，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】將直線與曲線聯(lián)立，得出方程，然后韋達(dá)定理得出，分類討論即可得出答案.【詳解】顯然與交于點(diǎn)，由，得，得或，設(shè)另外兩個(gè)點(diǎn)為，則，不妨設(shè)，已知一個(gè)交點(diǎn)平分另兩個(gè)交點(diǎn)連成的線段，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，不合題意；當(dāng)時(shí)，，得，解得.又，所以不成立，故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某市為了了解一季度居民的用水情況，隨機(jī)抽取了若干居民用戶的水費(fèi)支出（單位：元）進(jìn)行調(diào)查，將所得樣本數(shù)據(jù)分為4組：，整理得頻率分布直方圖如圖所示，則（）A.樣本中水費(fèi)支出位于區(qū)間的頻率為0.03B.按分層抽樣，從水費(fèi)支出位于區(qū)間和的用戶中共抽取16戶，則應(yīng)從水費(fèi)支出在的用戶中抽4戶C.水費(fèi)支出的中位數(shù)的估計(jì)值為45D.若從該市全體居民用戶中隨機(jī)抽取5戶，以事件發(fā)生的頻率作為概率，則水費(fèi)支出位于區(qū)間的用戶數(shù)的估計(jì)值為3【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)頻率之和為1即可求解A,根據(jù)抽樣比即可求解B,根據(jù)中位數(shù)的計(jì)算即可求解C,根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式即可求解D.【詳解】因，所以樣本中支出在的頻率為A錯(cuò)誤；，B正確：因，中位數(shù)的估計(jì)值為，C錯(cuò)誤；記抽出的5戶中一季度水費(fèi)支出位于區(qū)間的用戶數(shù)為，根據(jù)題意可知，D正確.故選:BD.10.如圖，在正三棱柱中，，點(diǎn)為正三棱柱表面上異于點(diǎn)的點(diǎn)，則（）A.存在點(diǎn)，使得B.直線與平面所成的最大角為C.若不共面，則四面體的體積的最大值為D.若，則點(diǎn)的軌跡的長為【答案】ACD【解析】【分析】對于A選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，利用向量證明即可；對于B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，此時(shí)線面角為，大于；對于C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)（或棱上）時(shí)，體積最大，為；對于D選項(xiàng)，先判斷出點(diǎn)的軌跡為三段圓弧，然后求出長度即可.【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，所以，故A正確；對于B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，為直線與平面所成角，故B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)（或棱上）時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最遠(yuǎn)，此時(shí)四面體的體積最大，以點(diǎn)為例，此時(shí)，故C正確；對于D選項(xiàng)，若，如圖，在棱上取點(diǎn)，使，在棱上取點(diǎn)使，則點(diǎn)的軌跡由圓弧構(gòu)成，且其所在圓的半徑依次為，，圓心角依次為，圓弧的長分別為，故點(diǎn)的軌跡的長為，故D正確；故選：ACD.11.若實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)函數(shù)，利用其為增函數(shù)，有一個(gè)零點(diǎn)得到，即可判斷A；由已知可得，可得，即可判斷B；由及，可得，即可判斷C；由B選項(xiàng)可得，進(jìn)而得，即可判斷D.【詳解】設(shè)函數(shù)，顯然為增函數(shù)，，由已知，故，故A正確；由，有，故，則，故，故B正確；由，得，故，故C錯(cuò)誤；由得，則，由于，得，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，則四邊形的面積等于__________.【答案】9【解析】【分析】法一：準(zhǔn)確畫圖，可得四邊形是邊長為3正方形，進(jìn)而求得其面積；法二：將兩圓方程做差求相交弦方程，再應(yīng)用弦心距、半徑與弦長關(guān)系即可求得，利用兩點(diǎn)間距離公式求得，進(jìn)而求得四邊形的面積.【詳解】由已知，圓，圓，圓心，半徑，圓心，半徑，法一：如圖，準(zhǔn)確畫圖，容易發(fā)現(xiàn)四邊形是邊長為3正方形，其面積為9；法二：將兩圓方程相減，可得公共弦所在直線的方程為：到距離為，所以，即，又，所以，四邊形的面積.故答案為：9.13.數(shù)列滿足，則使得的最小正整數(shù)的值為__________.【答案】6【解析】【分析】將條件變形，然后取對數(shù)，得出為以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，然后得出，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，則，又，所以為以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，則使得，計(jì)算得最小正整數(shù)值為6，故答案為：6.14.將3個(gè)1，3個(gè)2，3個(gè)3共9個(gè)數(shù)分別填入如圖方格中，使得每行、每列的和都是3的倍數(shù)的概率為__________.【答案】【解析】【分析】古典概型求概率，先求所有情況共有種，而每行，每列的和為3的倍數(shù)有兩種可能，即每行每列數(shù)字相同或1，2，3各一個(gè)，利用排列組合知識求出種類數(shù)即可.【詳解】將3個(gè)1，3個(gè)2，3個(gè)3共9個(gè)數(shù)填入一共有種方法.每行，每列的和為3的倍數(shù)有兩種可能：①每行或每列的數(shù)字相同，有種方法，②每行或每列的數(shù)字1，2，3各一個(gè)，有種方法.所以每行，每列的和都是3的倍數(shù)的概率為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.Deepseek席卷全球引發(fā)了AI浪潮.某中學(xué)為豐富學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)生活，組織成立Deepseek應(yīng)用學(xué)生社團(tuán)組織，成立數(shù)據(jù)運(yùn)用、模型設(shè)計(jì)、場景分析、遷移學(xué)習(xí)等四個(gè)學(xué)生社團(tuán)并計(jì)劃招募成員，由于報(bào)名人數(shù)超過計(jì)劃數(shù)，將采用隨機(jī)抽取的方法確定最終成員.下表記錄了四個(gè)社團(tuán)的招募計(jì)劃人數(shù)及報(bào)名人數(shù).社團(tuán)計(jì)劃人數(shù)報(bào)名人數(shù)數(shù)據(jù)運(yùn)用50100模型設(shè)計(jì)60場景分析160遷移學(xué)習(xí)160200甲同學(xué)報(bào)名參加這四個(gè)學(xué)生社團(tuán)，記為甲同學(xué)最終被招募的社團(tuán)個(gè)數(shù)，已知，.（1）求甲同學(xué)至多獲得三個(gè)社團(tuán)招募的概率；（2）求甲同學(xué)最終被招募的社團(tuán)個(gè)數(shù)的期望.【答案】（1）（2）2.3【解析】【分析】（1）由于事件“甲同學(xué)至多獲得三個(gè)社團(tuán)招募”與事件“”是對立的，通過對立事件概率公式求解即可；（2）根據(jù)，，列出關(guān)于和方程，求出和，然后求出的分布列或者事件間的關(guān)系直接求解.【小問1詳解】由于事件“甲同學(xué)至多獲得三個(gè)社團(tuán)招募”與事件“”是對立的，所以甲同學(xué)至多獲得三個(gè)社團(tuán)招莫的概率是【小問2詳解】解法1：設(shè)甲同學(xué)被數(shù)據(jù)運(yùn)用，模型設(shè)計(jì)，場景分析，遷移學(xué)習(xí)等各社團(tuán)招?依次記作事件.由題意可知，，，又，解得，則,，，所以的分布列為：01234.解法2：設(shè)甲同學(xué)被數(shù)據(jù)運(yùn)用，模型設(shè)計(jì)，場景分析，遷移學(xué)習(xí)等各社團(tuán)招募依次記作事件.由題意可知，，，又，解得.設(shè)甲同學(xué)報(bào)名數(shù)據(jù)運(yùn)用，模型設(shè)計(jì)，場景分析3個(gè)社團(tuán)，最終被招募的社團(tuán)個(gè)數(shù)，由于其被招募的概率均為，所以服從二項(xiàng)分布，故；甲同學(xué)被遷移學(xué)習(xí)社團(tuán)招募的概率為，最終被遷移學(xué)習(xí)社團(tuán)招募的個(gè)數(shù)為，則也服從二項(xiàng)分布，，從而，故.16.在中，角所對的邊分別為，且.（1）證明：；（2）若角為銳角，且的面積為，求邊長的大小.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角轉(zhuǎn)化可得，由此可得.（2）根據(jù)條件結(jié)合邊角轉(zhuǎn)化可得，分析可得為等腰直角三角形，根據(jù)可得結(jié)果.【小問1詳解】證法1：由正弦定理得，.∵，∴，即，∵，∴，故，∵，∴，∴或，∴或（舍），故.證法2：由正弦定理得，，由余弦定理得，，∴，即，∴，∴.∵，∴，即，∵，∴，∴或，∴或（舍），故.【小問2詳解】由，得，即，∴，∵，∴，故，∵，∴，即，故，∴，即，故，，∴為等腰直角三角形，∵，∴.17.如圖，在矩形中，為中點(diǎn)，在邊上，且，將沿翻折至，得到五棱錐為中點(diǎn).（1）求證：平面：（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，然后通過證明平面平面，進(jìn)而證明平面；（2）取中點(diǎn)，連接，然后建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【小問1詳解】證明：如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)樵诰匦沃校?，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，在中，分別為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平面，又平面，所以平面；【小?詳解】取中點(diǎn)，連接，如圖所示，因?yàn)樵诰匦沃?，，所以在中，，且，因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，所以平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，并過點(diǎn)分別作與平行直線為軸，與平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可得：，所以，設(shè)平面的法向量為，有，所以，取，得平面的一個(gè)法向量為又，設(shè)直線與平面所成角的，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交于兩點(diǎn).（1）求拋物線的方程：（2）求證：拋物線在兩點(diǎn)處的切線互相垂直；（3）設(shè)為線段的中點(diǎn)，以線段為直徑的圓交拋物線在處的切線于點(diǎn)，試判斷是否為定值，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）（2）證明見解析（3）為定值，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線和橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法列出方程求解；（2）設(shè)直線的方程和，然與拋物線聯(lián)立，韋達(dá)定理，得出.然后求二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把切線的斜率表示出來即可得出答案；（3）得出兩條切線方程，然后結(jié)合題意和幾何性質(zhì)將需要求解的代數(shù)式表達(dá)出來，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】易知，拋物線開口向上，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以橢圓的焦點(diǎn)也在軸上，則由，解得：，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】因?yàn)橹本€與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以其斜率必存在，設(shè)直線的方程為由，則對求導(dǎo)得，設(shè)拋物線在兩點(diǎn)處的切線斜率分別為，則，即拋物線在兩點(diǎn)處的切線互相垂直.【小問3詳解】解法1：由（2）可知即，則與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，于是于是，所以為定值.解法2：設(shè)拋物線在兩點(diǎn)的切線，切線交點(diǎn)為，故，聯(lián)立解得點(diǎn)坐標(biāo)為，由（2）知點(diǎn)坐標(biāo)為，且，所以，故，即，因?yàn)?，所以，即，故在中，，所以，即，所以為定?解法3：因?yàn)?，故，又，所以，，即，由?）知，所以，故，即，所以為定值.19.定義在同一數(shù)集上的函數(shù)，按一定順序排成一列，稱為數(shù)集上的函數(shù)列，記為的導(dǎo)函數(shù)為.（1）若滿足，證明：為等比數(shù)列：（2）定義在上的函數(shù)列滿足，且.①若，設(shè)，證明：：②若，證明：.【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析；②證明見解析【解析】