多模態(tài)信號處理基礎(chǔ) 課件 第3章 信號變換技術(shù)

信號的正交分解信號的正交分解1.矢量正交與正交分解矢量正交的定義指矢量Vx=(vx1,vx2,vx3，…,vxn)與Vy=(vy1,vy2,vy3,…,vyn)的內(nèi)積為0。即正交矢量集：指由兩兩正交的矢量組成的矢量集合。如三維空間中，以矢量Vx=（1，0，0）、Vy=（0，1，0）、Vz=（0，0，1)所組成的集合就是一個(gè)正交矢量集，且完備。矢量A=(2，5，8)可表示為A=2Vx

+5Vy+8Vz矢量空間正交分解的概念可推廣到信號空間。信號的正交分解2.信號正交與正交函數(shù)集1)信號正交

在(t1，t2)區(qū)間的函數(shù)

1(t)和

2(t)滿足則稱

1(t)和

2(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交。2)正交函數(shù)集

若n個(gè)函數(shù)

1(t)，

2(t)，…，

n(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足則稱此函數(shù)集是在區(qū)間(t1，t2)上的正交函數(shù)集。信號的正交分解3.完備正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集{

1(t)，

2(t)，…，

n(t)}之外，不存在函數(shù)φ(t)(≠0）滿足則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。例如：三角函數(shù)集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(其中，T=2π/Ω)上的完備正交函數(shù)集。(i=1，2，…，n)信號的正交分解4.信號的正交分解設(shè)有n個(gè)函數(shù)

1(t)，

2(t)，…，

n(t)在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為

f(t)≈C1

1+C2

2+…+Cn

n

如何選擇各系數(shù)

Ci使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。通常使誤差的方均值(稱為均方誤差)最小。均方誤差為

信號的正交分解為使上式最小，則展開上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)?？芍鲜街兄挥袃身?xiàng)不為0，寫為即所以系數(shù)信號的正交分解代入，得最小均方誤差在用正交函數(shù)去近似f(t)時(shí)，所取得項(xiàng)數(shù)越多，即n越大，則均方誤差越小。當(dāng)n→∞時(shí)（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時(shí)有上式稱為(Parseval)巴塞瓦爾公式。表明：在區(qū)間(t1,t2)上，

f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量之和。函數(shù)f(t)可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和信號的正交分解小結(jié)函數(shù)f(t)可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和巴塞瓦爾能量公式連續(xù)周期時(shí)間信號的傅里葉級數(shù)連續(xù)周期時(shí)間信號的傅里葉級數(shù)1.三角形式的傅里葉級數(shù)三角函數(shù)集

{1,cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}在一個(gè)周期內(nèi)是一個(gè)完備的正交函數(shù)集。設(shè)周期信號f(t)，其周期為T，角頻率

=2

/T，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時(shí)，可分解為如下三角級數(shù)：傅里葉系數(shù)：稱為f(t)的三角形式傅里葉級數(shù)n的偶函數(shù)n的奇函數(shù)連續(xù)周期時(shí)間信號的傅里葉級數(shù)狄里赫利(Dirichlet)條件不滿足條件1的例子如下圖所示。該信號周期為8，其組成：后一個(gè)階梯的高度和寬度是前一個(gè)階梯的一半?？梢娫谝粋€(gè)周期內(nèi)它的面積不會超過8，但不連續(xù)點(diǎn)的數(shù)目是無窮多個(gè)。條件1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。連續(xù)周期時(shí)間信號的傅里葉級數(shù)條件2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。不滿足條件2的一個(gè)函數(shù)是對此函數(shù)，其周期為1，有()1d10<òttf()()10,π2sin￡<?è?=tttf?è?LL()tfO11-t1連續(xù)周期時(shí)間信號的傅里葉級數(shù)條件3:在一周期內(nèi)，信號絕對可積。周期信號，周期為1，不滿足此條件。()()10,1￡<=tttf連續(xù)周期時(shí)間信號的傅里葉級數(shù)式中，A0=a0，式(1)表明：周期信號可分解為直流和許多余弦分量。

A0/2稱為直流分量

A1cos(

t+

1)稱為基波或一次諧波，其角頻率與原周期信號相同

A2cos(2

t+

2)稱為二次諧波，其頻率是基波的2倍通常，Ancos(n

t+

n)稱為n次諧波。An是n的偶函數(shù)，

n是n的奇函數(shù)。an=Ancos

n，bn=–Ansin

n，n=1,2,…此時(shí)傅氏級數(shù)可寫為將三角形式傅氏級數(shù)中同頻率項(xiàng)合并連續(xù)周期時(shí)間信號的傅里葉級數(shù)2.指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。系數(shù)Fn

稱為復(fù)傅里葉系數(shù)。利用虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}，則指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)連續(xù)周期時(shí)間信號的傅里葉級數(shù)上式中第三項(xiàng)的n用–n代換，A–n=An，

–n=–

n，則上式寫為why？分析：利用歐拉公式可從三角形式推出指數(shù)形式指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)連續(xù)周期時(shí)間信號的傅里葉級數(shù)3.三角和指數(shù)形式的傅里葉系數(shù)之間關(guān)系n的偶函數(shù)：an

，An

，|Fn|；n的奇函數(shù)：

bn

，

n

周期信號的功率周期信號一般是功率信號，其平均功率為代入f(t)傅里葉級數(shù)形式得：分析：展開被積函數(shù)可知，具有的余弦項(xiàng)在一個(gè)周期內(nèi)積分等于0；具有的項(xiàng)，當(dāng)m≠n時(shí)，積分等于0；m=n時(shí)，積分值為。此時(shí)平均功率為：直流功率諧波功率周期信號的功率表明：周期信號平均功率是信號直流和n次諧波分量在1

電阻上消耗的平均功率之和。Parseval恒等式，是Parseval定理在傅里葉級數(shù)情況下的具體體現(xiàn)?？偲骄β?直流、各次諧波的平均功率之和小結(jié)波形的對稱性與諧波特性關(guān)系波形具有某些對稱特性時(shí)，在傅里葉級數(shù)中某些系數(shù)等于零，即諧波特性將變得簡單。1)f(t)為偶函數(shù)——對稱縱坐標(biāo)展開為余弦級數(shù)2)f(t)為奇函數(shù)——對稱于原點(diǎn)展開為正弦級數(shù)≠波形的對稱性與諧波特性關(guān)系例1：求周期三角波的三角形式傅里葉級數(shù)展開式。（偶函數(shù)）波形：解：周期三角波的傅里葉級數(shù)展開式為f(t)2T2T01……t波形的對稱性與諧波特性關(guān)系例2：求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式。（奇函數(shù)）周期鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開式為直流基波二次諧波解：f(t)A/22T2T波形的對稱性與諧波特性關(guān)系任意函數(shù)可分解為奇函數(shù)與偶函數(shù)兩部分波形的對稱性與諧波特性關(guān)系3)f(t)為奇諧函數(shù)——f(t)=–f(t±T/2)傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量，即a0=a2=…=b2=b4=…=04）f(t)為偶諧函數(shù)——f(t)=f(t±T/2)傅里葉級數(shù)中只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分量即a1=a3=…=b1=b3=…=0波形的對稱性與諧波特性關(guān)系對稱性的討論某函數(shù)是否為奇函數(shù)或偶函數(shù)不僅與波形有關(guān)，而且與時(shí)間坐標(biāo)原點(diǎn)選擇有關(guān)。例偶函數(shù)，bn=0奇函數(shù)，an=0非奇非偶函數(shù)，an≠0，

bn≠0f(t)2T2T01……t(a)f(t)2T2T01……t(b)f(t)2T2T01……t(c)2121THEEND頻譜的概念及圖形描述1.頻譜的概念從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關(guān)系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系。將An~ω/f和

n~ω/f的關(guān)系分別畫在以ω/f為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。此時(shí)n≥0，所以稱這種頻譜為單邊譜。三角函數(shù)形式級數(shù)：可畫|Fn|~ω/f和

n~ω/f的關(guān)系，稱為雙邊譜。此時(shí)n可為正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)。若Fn為實(shí)數(shù)，也可直接畫Fn

。復(fù)指數(shù)函數(shù)形式級數(shù)：頻譜的概念及圖形描述例1：請畫出信號的單邊和雙邊頻譜圖。解：（1）化為余弦形式三角函數(shù)形式傅里葉級數(shù)的譜系數(shù)單邊頻譜圖

1

1

1

頻譜的概念及圖形描述解：（2）復(fù)指數(shù)形式復(fù)指數(shù)形式傅里葉級數(shù)的譜系數(shù)頻譜的概念及圖形描述雙邊頻譜圖

1

頻譜的概念及圖形描述既是奇函數(shù)又是奇諧函數(shù)只含奇次諧波,且為正弦波.頻譜概念演示例2.假設(shè)周期為T的方波信號如下圖所示f(t)tT-T-101T/2分解分析頻譜的概念及圖形描述該信號展開成三角函數(shù)級形式傅里葉級數(shù)：分析頻譜的概念及圖形描述

頻譜的概念及圖形描述對于雙邊頻譜，負(fù)頻率，只有數(shù)學(xué)意義，而無物理意義。為什么引入負(fù)頻率？f(t)是實(shí)函數(shù)，分解成虛指數(shù)，必須有共軛對ejnΩt和e-jnΩt，才能保證f(t)的實(shí)函數(shù)的性質(zhì)不變。頻譜的概念及圖形描述THEEND周期信號頻譜的特點(diǎn)與帶寬周期信號頻譜的特點(diǎn)與帶寬例：有一幅度為1，脈沖寬度為

的周期矩形脈沖，其周期為T，如圖所示。求頻譜。令Sa(x)=sin(x)/x

(取樣函數(shù)）基波角頻率1.周期信號頻譜的特點(diǎn)周期信號頻譜的特點(diǎn)與帶寬,n=0,±1，±2，…周期信號頻譜的特點(diǎn)與帶寬(1)包絡(luò)線形狀：抽樣函數(shù)(2)離散譜（諧波性）(3)最大值出現(xiàn)在n=0處，為

/T(4)第一個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)2/

(5)Fn是復(fù)函數(shù)（此處為實(shí)函數(shù)），幅度/相位。

Fn>0,相位=0；

Fn<0,相位=

周期信號頻譜的特點(diǎn)與帶寬譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：

T一定，

變小，此時(shí)

（譜線間隔）不變。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目：（2

/

）/(2

/T)=T/

增多。

00.5Fn

Fn

00.125

00.25Fn

周期信號頻譜的特點(diǎn)與帶寬（b）tf(t)

2412841-10………1t……f(t)

2416801t…f(t)160

111-10

t（c）（d）02

Fn00.25n=0n=1n=2n=3n=4

Fn0.125n=0n=80n=0n=2n=1

Fn00.5（a）

一定，T增大，間隔

減小，頻譜變密，幅度減小。如果周期T無限增長，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度Fn也趨近于無窮小。非周期信號周期信號頻譜的特點(diǎn)與帶寬

離散性：離散分布，不連續(xù)。

諧波性：譜線等距分布，間距為基波

。(3)收斂性：Fn、An隨n

而趨于零。周期信號頻譜的特點(diǎn)周期信號頻譜的特點(diǎn)與帶寬2.信號有效頻帶寬度第一個(gè)零點(diǎn)集中了信號絕大部分能量（平均功率）,由頻譜的收斂性可知，信號的功率集中在低頻段。周期信號頻譜的特點(diǎn)與帶寬總功率二者比值周期矩形脈沖信號的功率周期信號頻譜的特點(diǎn)與帶寬定義：在滿足一定失真條件下，信號可以用某段頻率范圍的信號來表示，此頻率范圍稱為信號有效頻帶寬度。對于一般周期信號，將幅度下降為0.1|Fn|max

的頻率區(qū)間定義為頻帶寬度。周期矩形脈沖信號一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為信號的頻帶寬度。記為：語音信號頻率大約為 300~3400Hz，音樂信號頻率大約為 50~15,000Hz，擴(kuò)音器與揚(yáng)聲器有效帶寬約為

15~20,000Hz。系統(tǒng)的通頻帶>信號的帶寬，才能不失真。

THEEND周期信號頻譜的特點(diǎn)與帶寬典型周期信號頻譜典型周期信號頻譜時(shí)域表達(dá)式:1.周期矩形脈沖信號時(shí)域波形:傅里葉級數(shù)系數(shù):典型周期信號頻譜時(shí)域表達(dá)式:2.方波信號時(shí)域波形:傅里葉級數(shù)系數(shù):典型周期信號頻譜時(shí)域表達(dá)式:3.鋸齒波時(shí)域波形:傅里葉級數(shù)系數(shù):典型周期信號頻譜時(shí)域表達(dá)式:4.三角波(1)時(shí)域波形:傅里葉級數(shù)系數(shù):典型周期信號頻譜時(shí)域表達(dá)式:5.三角脈沖(2)時(shí)域波形:傅里葉級數(shù)系數(shù):典型周期信號頻譜時(shí)域表達(dá)式:6.半波余弦信號時(shí)域波形:傅里葉級數(shù)系數(shù):典型周期信號頻譜時(shí)域表達(dá)式:7.全波余弦信號時(shí)域波形:傅里葉級數(shù)系數(shù):THEEND典型周期信號頻譜傅里葉變換與逆變換的定義傅里葉變換與逆變換的定義周期信號非周期信號

t0

1ωFnFnω0Ω2Ω-----頻譜密度函數(shù)傅里葉變換與逆變換的定義連續(xù)譜(幅度無限小),離散譜00上式定義為單位頻率上的頻譜，稱為頻譜密度函數(shù)。譜線間隔

雖然各頻譜幅度無限小，但相對大小仍有區(qū)別。令傅里葉變換與逆變換的定義考慮到：T→∞，Ω→無窮?。ㄓ洖閐ω）；nΩ→ω（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量）同時(shí)，∑

→∫于是，

因?yàn)楦道锶~變換公式傅里葉反變換公式傅里葉變換與逆變換的定義

f(t)←→F(jω)F(jω)一般是復(fù)函數(shù)，寫為

F(jω)=|F(jω)|ej

(ω)=R(ω)+jX(ω)或

F(jω)=F

[f(t)]=FT[f(t)]；

f(t)=

F

–1[F(jω)]=FT–1[F(jω)]說明：

1)

前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù)f(t)傅里葉變換存在的充分條件:簡記：2)可用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分若對信號f(t)進(jìn)行奇偶分解則傅里葉變換與逆變換的定義傅里葉變換的定義頻譜密度函數(shù)F(jω)=|F(jω)|ej

(ω)=R(ω)+jX(ω)的討論：F(jω)通常是一個(gè)復(fù)函數(shù)

幅度頻譜|F(jω)|是ω的偶函數(shù)，關(guān)于縱軸對稱

相位頻譜

(ω)是ω的奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱

實(shí)部頻譜R(ω)是ω的偶函數(shù)，對應(yīng)原信號偶部的傅里葉變換

虛部頻譜X(ω)是ω的奇函數(shù)，對應(yīng)原信號奇部的傅里葉變換傅里葉變換與逆變換的定義例1：求矩形脈沖(門函數(shù)）的傅里葉變換。簡記為，下標(biāo)

τ表示矩形脈沖寬度t01|F(jω)|ω02π/ττ4π/τ-2π/τ傅里葉變換與逆變換的定義頻譜圖幅度頻譜相位頻譜頻寬：F(jω)ω02π/ττ4π/τ-2π/τω0φ(ω)π4π/τ2π/τ-2π/τ-π傅里葉變換是數(shù)字信號處理領(lǐng)域一種很重要的算法。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時(shí)序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計(jì)算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。與傅立葉變換算法對應(yīng)的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號轉(zhuǎn)換成一個(gè)信號。因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時(shí)域信號轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號。傅里葉變換與逆變換的定義傅里葉變換與逆變換的定義小結(jié)傅里葉變換的性質(zhì)（一）傅里葉變換的性質(zhì)（一）f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)，則[af1(t)+b

f2(t)]←→[aF1(jω)+b

F2(jω)]1．線性性質(zhì)兩層含義：齊次性：信號增大a倍，頻譜函數(shù)也增大a倍。可加性：幾個(gè)信號之和的頻譜函數(shù)等于各信號的頻譜函數(shù)之和。證明：傅里葉變換的性質(zhì)（一）F(jω)=|F(jω)|ej

(ω)=R(ω)+jX(ω)2．奇偶虛實(shí)性如果

f(t)為

實(shí)函數(shù)

，則：

R(ω)=R(–ω)，X(ω)=–X(–ω)；|F(jω)|=|F(–jω)|，

(ω)=–

(–ω)，

f(–t)←→F(–jω)=F*(jω)

Iff(t)=f(–t)thenX(ω)=0，F(xiàn)(jω)=R(ω)

Iff(t)=–f(–t)thenR(ω)=0，F(xiàn)(jω)=jX(ω)傅里葉變換的性質(zhì)（一）奇偶虛實(shí)性證明設(shè)f(t)是實(shí)函數(shù)（為虛函數(shù)或復(fù)函數(shù)情況相似）顯然

所以傅里葉變換的性質(zhì)（一）若f(t)←→F(jω)，則（1）式中

t→ω，ω→t

則

（2）式中ω→-ωthenF(jt)←→2πf(–ω)3.對稱性證明：∴F(jt)←→2πf(–ω)

證畢傅里葉變換的性質(zhì)（一）4.尺度變換性質(zhì)Iff(t)←→F(jω)then其中，a為非零實(shí)常數(shù)。令，a=-1,f(-t)←→F(-jω)由該性質(zhì)可知，信號的持續(xù)時(shí)間與信號的占有頻帶寬度成反比。若加快信息傳輸速度，需要將信號持續(xù)時(shí)間縮短，就必須在頻域內(nèi)擴(kuò)展頻帶，會降低傳輸系統(tǒng)的有效性。傅里葉變換的性質(zhì)（一）(1)

0<a<1時(shí)域擴(kuò)展，頻帶壓縮。脈沖持續(xù)時(shí)間增加1/a倍，變化慢了，信號在頻域的頻帶壓縮a倍。高頻分量減少，幅度上升1/a倍。

t0f(t)Et0E-ττ2F(2ω)ω02EτF(ω)0Eτω傅里葉變換的性質(zhì)（一）(2)a>1時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。(3)a=-1時(shí)域反轉(zhuǎn)，頻域也反轉(zhuǎn)。信號持續(xù)時(shí)間縮短，變化加快。信號在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量的幅度下降a倍。f(-t)←→F(-jω)t0f(2t)E0ω傅里葉變換的性質(zhì)（一）[af1(t)+b

f2(t)]←→[aF1(jω)+b

F2(jω)]

R(ω)=R(–ω)，X(ω)=–X(–ω)；|F(jω)|=|F(–jω)|，

(ω)=–

(–ω)，

f(–t)←→F(–jω)=F*(jω)

Iff(t)=f(–t)thenX(ω)=0，F(xiàn)(jω)=R(ω)

Iff(t)=–f(–t)thenR(ω)=0，F(xiàn)(jω)=jX(ω)F(jt)←→2πf(–ω)小結(jié)傅里葉變換的性質(zhì)（二）傅里葉變換的性質(zhì)（二）Iff(t)←→F(jω)then證明:5.時(shí)移特性證畢?！皌0”為實(shí)常數(shù)。表示如果信號在時(shí)域中延時(shí)t0，則信號的所有頻率分量在頻域中相位會落后，而幅值保持不變。t0傅里葉變換的性質(zhì)（二）例1：某信號如下圖所示，試求該信號的傅里葉變換。分析:f1(t)=g6(t-5),f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)←→g2(t-5)←→∴‖+122468o-1tf(t)t1224680-1f1(t)1224680-1f2(t)tgτ(t)傅里葉變換的性質(zhì)（二）例2：設(shè)

f(t)←→F(jω),則

f(at–b)←→?分析:（1）先平移后尺度變換

f(t–b)←→e

-jωb

F(jω)f(at–b)←→f(at)←→（2）先尺度變換后平移傅里葉變換的性質(zhì)（二）例3

求圖(a)所示三脈沖信號的頻譜。解：先求中間單矩形脈沖的傅氏變換f（t）tEO-TT（a）三脈沖信號的波形（b）頻譜圖

OF0(jω)而傅里葉變換的性質(zhì)（二）頻譜包絡(luò)不變，脈沖個(gè)數(shù)增多，帶寬不變。由時(shí)移特性可知圖（a）信號的頻譜函數(shù)為

（c）三脈沖信號的頻譜OF

(jω)傅里葉變換的性質(zhì)（二）6.頻移性質(zhì)f(t)←→F(jω)，則證明:證畢傅里葉變換的性質(zhì)（二）解：例4已知矩形調(diào)幅信號：求其頻譜。抽樣函數(shù)形式的包絡(luò)線一分為二，向左右各平移f（t）tE（a）矩形調(diào)幅信號的波形F（jω）-ω0ωO（b）矩形調(diào)幅信號的頻譜傅里葉變換的性質(zhì)（二）時(shí)移特性頻移性質(zhì)小結(jié)傅里葉變換的性質(zhì)（三）傅里葉變換的性質(zhì)（三）時(shí)域卷積如果

f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)則：

f1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)頻域卷積如果

f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)則：

f1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)7.

卷積性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)（三）分析:例1

求F(j

)20-2π

g2(

)*g2(

)20-22

傅里葉變換的性質(zhì)（三）8.時(shí)域微積分性質(zhì)f(t)←→F(jω)則

如果

f

(n)(t)←→Fn(jω)，且

f(-∞)+f(∞)=0則

f(t)←→F

(jω)=Fn(jω)/(jω)n微分性質(zhì)積分性質(zhì)是f(t)的直流分量F（0）F（0）=0,則傅里葉變換的性質(zhì)（三）分析:f”(t)=(t+2)–2(t)+(t–2)F2(jω)=FT[f”(t)]=ej2ω–2+e–

j2ω=2cos(2ω)–2例2

求f(t)的傅里葉變換f(-∞)+f(∞)=0tf(t)20-22f′(t)20-1-21tf′′(t)（1）（1）（-2）t2-2δ(t)1傅里葉變換的性質(zhì)（三）9.頻域的微積分性質(zhì)

f(t)←→F(jω)則

(–jt)n

f(t)←→F(n)(jω)微分性質(zhì)積分性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)（三）例3

求

f(t)=tε(t)←→F

(jω)=?分析:例4

求

積分故傅里葉變換的性質(zhì)（三）10.相關(guān)定理f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)，f(t)←→F(jω)，則

R12(τ)←→

F1(jω)F2*

(jω)；R21(τ)←→F1*

(jω)F2(jω)R(τ)←→|F

(jω)|2利用相關(guān)函數(shù)與卷積積分的關(guān)系：R12(τ)=f1(τ)*f2(–τ)

R12(τ)←→F1(jω)F2(-jω)由于

f2(–τ)←→F2(–jω)=F2*(jω)，故

R12(τ)←→F1(jω)F2*(jω)

證明：證畢傅里葉變換的性質(zhì)

線性性質(zhì)奇偶性對稱性尺度變換時(shí)移特性

頻移特性卷積定理時(shí)域微分和積分頻域微分和積分相關(guān)定理性質(zhì)小結(jié)常用非周期信號的傅里葉變換常用非周期信號的傅里葉變換1.單邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–

tε(t)，

>0常用非周期信號的傅里葉變換幅度頻譜

分析：相位頻譜分析：常用非周期信號的傅里葉變換2.雙邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–|t|，

>0頻譜圖時(shí)域波形分析01常用非周期信號的傅里葉變換3.沖激函數(shù)

(t)、′(t)0t(1)

(t)時(shí)域波形頻譜圖常用非周期信號的傅里葉變換4.直流信號有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如1，

(t)等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。可構(gòu)造一函數(shù)序列{fα(t)}逼近f

(t)，即而fα(t)滿足絕對可積條件，并且{fα(t)}的傅里葉變換所形成的序列{Fα(j

)}是極限收斂的。則可定義f(t)的傅里葉變換F

(j

)為：這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。常用非周期信號的傅里葉變換（一）求1←→?構(gòu)造

f

(t)=e-

t

，

>0←→

所以又因此

1←→2

(

)方法一：則頻譜的概念及圖形描述方法二：將(t)←→1代入反變換定義式將

→-t，t→-

，有再根據(jù)傅里葉變換定義式，得常用非周期信號的傅里葉變換（一）5.符號函數(shù)構(gòu)造則所以因?yàn)椴粷M足絕對可積條件常用非周期信號的傅里葉變換（一）頻譜圖幅度頻譜圖相位頻譜圖常用非周期信號的傅里葉變換6.階躍函數(shù)時(shí)域波形幅度頻譜0相位頻譜00常用非周期信號的頻譜小結(jié)δ(t)ε(t)e-

t

ε(t)gτ(t)sgn

(t)e–

|t|112πδ(ω)常用函數(shù)F變換對周期信號的傅里葉變換同理1．正、余弦的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換幅度頻譜圖相位頻譜圖周期信號的傅里葉變換2.一般周期信號的傅里葉變換(1)周期信號fT(t)的傅氏變換由沖激序列組成，沖激函數(shù)僅存在于諧波頻率處；(2)譜線的幅度不是有限值，因?yàn)镕(jω)代表頻譜密度。周期信號的傅里葉變換例1：δT(t)←→?傅里葉級數(shù)傅里葉變換時(shí)域圖……

頻譜圖……

周期信號的傅里葉變換例2：周期信號如圖，求其傅里葉變換。解：周期信號f(t)可看作一時(shí)限非周期信號f0(t)的周期拓展。即f(t)=

T(t)*f0(t)F(jω)=Ω

Ω(ω)F0(jω)f0(t)=g2(t)←→

周期信號的傅里葉變換3.傅里葉系數(shù)與傅里葉變換關(guān)系比較(1)(2)設(shè)THEEND周期信號的傅里葉變換傅里逆變換傅里葉逆變換1.利用公式求傅里葉逆變換例1-11o1o公式：F(j)模和相位如下圖所示。求其對應(yīng)的連續(xù)時(shí)間信號。傅里葉逆變換解：傅里葉逆變換2.利用性質(zhì)和常用信號傅里葉變換對求傅里葉逆變換

利用對稱性質(zhì)求傅里葉逆變換步驟Step1先求出F(j

)的時(shí)域形式F(t);Step2再求出F(t)的傅里葉變換FT[F(t)]=2

f(-

）;Step3最后再令=-t,求得f(t)。傅里葉逆變換例2求F（j??）=jπsgn??求所對應(yīng)的時(shí)間函數(shù)f(t)。解：（1）先求出F（j??）的時(shí)域函數(shù)形式F(t)：（2）再求出F（t）的傅里葉變換：所以由于（3）最后令??=-t，求得f(t):傅里葉逆變換例3

由于已知某信號的頻率為，求f(t)。則由頻域卷積定理得傅里葉逆變換3.部分分式展開法先用長除法降階，再將余式進(jìn)行部分分式展開解:由于分子、分母階數(shù)相同，故先用長除法降階：即作反變換得例4已知某信號的頻率為,求f(t)。1THEEND傅里葉逆變換信號的能量譜與功率譜信號的能量譜與功率譜1．帕塞瓦爾（Parseval）定理證明1證畢。歸一化信號能量上式表明：信號f(t)的能量可以通過頻譜函數(shù)求得。

信號的能量譜與功率譜由相關(guān)定理知所以又能量有限信號的自相關(guān)函數(shù)為由（1）式和（2）式可得所以證明2若f(t)←→F(jω)證畢。信號的能量譜與功率譜定義單位頻率的信號能量稱為能量密度函數(shù)或能量（頻）譜，記為E

(ω)。若頻帶df內(nèi)信號的能量為E(ω)df，因而信號在整個(gè)頻率范圍的總能量為由帕塞瓦爾定理可得E(ω)=|F(jω)|2（J/Hz）

R(τ)←→

E(ω)能量譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一對傅里葉變換對。2．能量譜密度（能量譜）E(ω)E(ω)信號的能量譜與功率譜3.功率譜密度(功率譜)則f(t)的平均功率為從能量無窮大的信號中截取一段信號f(t)的自相關(guān)函數(shù)信號的能量譜與功率譜定義單位頻率的信號功率稱為功率密度函數(shù)簡稱功率譜，記為P(ω)若頻帶df內(nèi)信號的功率為P

(ω)df，則信號在整個(gè)頻率范圍的平均功率P

(ω)=因此R(τ)←→P

(ω)功率有限信號的功率譜與自相關(guān)函數(shù)是一對傅里葉變換。P

(ω)P(ω)維納-辛欽關(guān)系式信號的能量譜與功率譜例1：求余弦信號的自相關(guān)函數(shù)和功率譜。解：由自相關(guān)函數(shù)的定義功率譜為:P

(ω)=信號的能量譜與功率譜R(τ)←→

E(ω)能量有限信號的能量譜與自相關(guān)函數(shù)是一對傅里葉變換對。小結(jié)R(τ)←→P

(ω)功率有限信號的功率譜與自相關(guān)函數(shù)是一對傅里葉變換。周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)將傅里葉級數(shù)和傅里葉變換的分析方法應(yīng)用于離散時(shí)間信號稱為序列的傅里葉分析。由于

也是周期為N的序列，即周期序列記為fN(k)，N為周期，則fN(k)=fN(k+lN)，l為任意整數(shù)。類似于周期連續(xù)信號的傅里葉級數(shù)展開，周期序列也可展開成許多虛指數(shù)信號之和，其中為基波數(shù)字角頻率，k為序列號。故周期序列記為fN(k)的傅里葉級數(shù)展開式也具有周期性。周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)取第一個(gè)周期，則fN(k)可展開為兩端同乘e-jmΩk，并在一個(gè)周期求和，有即注意：

是周期為2π的周期函數(shù)。待定系數(shù)

周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)上式右端對k求和時(shí)，僅當(dāng)n=m時(shí)為非零且值等于N，故上式可寫為即這里周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)FN(n)稱為離散傅里葉系數(shù)。周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DiscreteFourierSeries,DFS)。令則

注意：fN