二項式系數(shù)的性質(zhì)課件-高二下學期數(shù)學人教A版(2019)選擇性

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一般地，對于n∈N*有二項式定理:

一般地，對于n∈N*有二項式定理:二項式系數(shù)通項…………(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)21112113311464115101051(a+b)61615201561三、歸納性質(zhì)1）請看系數(shù)有沒有明顯的規(guī)律？2）上下兩行有什么關系嗎？3）根據(jù)這兩條規(guī)律，大家能寫出下面的系數(shù)嗎?(a+b)0=11《詳解九章算法》記載的表楊輝

三角楊輝

以上二項式系數(shù)表,早在我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了，這個表稱為楊輝三角。在《詳解九章算法》一書里，還說明了表里“一”以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和，楊輝指出這個方法出于《釋鎖》算書，且我國北宋數(shù)學家賈憲（約公元11世紀）已經(jīng)用過它。這表明我國發(fā)現(xiàn)這個表不晚于11世紀。在歐洲，這個表被認為是法國數(shù)學家帕斯卡（1623-1662）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個表叫做帕斯卡三角。這就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的。a).表中每行兩端都是1。b).除1外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和。4+6=102+1=3例如：當n不大時，可用該表來求二項式系數(shù)。C23C22C12+==3C25C24C14+==10因為：二項式系數(shù)的性質(zhì)111211331146411510105116152015612134610①每行兩端都是1Cn0=Cnn=1②從第二行起，每行除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+++++++++++++++第1行———第2行——第6行-第5行--第4行—第3行—-11121133114641151010511615201561二項式系數(shù)的性質(zhì)先增后減對稱函數(shù)定義：如果A、B都是非空數(shù)集，那A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函數(shù)?？煽闯墒羌希?，1，…，n｝到二項式系數(shù)的集合的映射?！飳τ诙検较禂?shù)，k與之間也有對應關系，即：k012

…k…n…二項式系數(shù)與函數(shù)…

從映射、函數(shù)的觀點看，二項式系數(shù)可以看作是一個定義域為{0，1，2，…，n}的函數(shù)當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值。

即：k是自變量，k自變量二項式系數(shù)是函數(shù)值，組合數(shù)公式就是相應函數(shù)的解析式。123二項式函數(shù)值二項式系數(shù)與函數(shù)①當n=6時，二項式系數(shù)（0≤k≤6）用圖象表示：7個孤立的點13……n…12322nOrf(k)6361420

①與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等1：對稱性2：增減性與最大值①先增后減②關于k=3對稱②k=3時取得最大值f（k）n為奇數(shù)；如n=7f（k）rnO615201n為偶數(shù)；如n=620103035On743②k=3和k=4時取得最大值①關于k=對稱二項式系數(shù)的性質(zhì)

與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等性質(zhì)1：對稱性性質(zhì)2：增減性與最大值先增后減當n是偶數(shù)時，中間的一項的二項式系數(shù)取得最大值；當n是奇數(shù)時，中間的兩項二項式系數(shù)和相等，且同時取得最大值。即

即

和解題型:求展開式中的特定項當時，二項式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性知它的后半部是逐漸減小的，且在中間取得最大值。

當n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大時；當n是奇數(shù)時，中間的兩項，相等，且同時取得最大值。Ckn=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)k

=Ck-1n?kn–k+1Ck-1nkn–k+1Ckn所以相對于的增減情況由決定由于kn–k+1>1

k<n+12因而2.增減性與最大值n(n-1)(n-2)…(n-k+2)(k-1)

由于>1=kn–k+1?性質(zhì)3：各二項式系數(shù)的和二項式系數(shù)的性質(zhì)2n+++…+令x=1；這就是說，

的展開式的各二項式系數(shù)的和等于：1、在(a＋b)20展開式中，與第五項二項式系數(shù)相同的項是().C課堂練習:A.第6項B.第7項

C.第6項和第7項D.第5項和第7項CA.第15項B.第16項C.第17項D.第18項2、在(a＋b)11展開式中，二項式系數(shù)最大的項().3，化簡+++

+=例1、證明的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和。ban)(+證明：1a10-CCn+rnan1-bban++++=bCCnnrnrnn……ban)(+在展開式中1+=1n)(-Cnnn)(-10nC1nCC2n3nC--+…+b=-1，令a=1，則得++0nCC2n…-++1nC…3nC)(()0=

++0nCC2n…++1nC…3nC=就是即在ban)(+的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項系數(shù)的和。證畢。上述證明過程中用到了什么方法？賦值法例題講解123……n…123注意：

求解二項式系數(shù)和時，靈活運用賦值法可以使問題簡單化。通常選取賦值時取－1，1，0。

（1）

一般地，展開式的二項式系數(shù)有如下基本性質(zhì)：

（2）（4）

（3）當n為偶數(shù)時，最大

當n為奇數(shù)時，=且最大

（對稱性）(1)二項式系數(shù)的三個性質(zhì)(2)數(shù)學思想：函數(shù)思想

a

單調(diào)性；b

圖象；c

最值.小結(jié)

作業(yè)：課本34頁5，6

123……n…123第0行

1第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

1461第5行

151第6行

161561第n-1行

11

第n行

11……………

……………………

第7行

172121711035++++=3551520104“斜線和”=

125第5行

15101051第6行

1615201561第7行

172135352171第1行

11第0行

1第2行

121第3行

1331第4行

14641……138132134如圖，寫出斜線上各行數(shù)字的和，有什么規(guī)律？第8行

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