初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-9年級(jí)專題15 從全等到相似

專題15從全等到相似

閱讀與思考

相似三角形的知識(shí)應(yīng)用廣泛，可以證明角的相等、線段成比例等問(wèn)題．通過(guò)尋找（或構(gòu)造）相似

三角形獲得比例線段或等角，用以論證或計(jì)算的方法，我們稱為相似三角形法，這是幾何學(xué)中應(yīng)用最廣

泛的方法之一．

全等三角形是相似三角形相似比等于1的特殊情況，相等是它的主旋律，從全等到相似的過(guò)程，不

僅是認(rèn)識(shí)形式上的變化，而且在思維方法上也是一個(gè)飛躍，在相似形的問(wèn)題中出現(xiàn)的線段間的關(guān)系比全

等形中的等量形式更為復(fù)雜，不僅有比例式，還有等積式、平方式，甚至是線段乘積的和差、線段比的

和差．證明這類問(wèn)題，常常要通過(guò)命題的轉(zhuǎn)換或中間量的過(guò)渡．

熟悉下面這些“A”型、“X”型，子母型等相似三角形．

例題與求解

【例1】如圖，□ABCD中，直線PS分別交AB，CD的延長(zhǎng)線于P，S，交BC，AC，AD于Q，E，

R，圖中相似三角形的對(duì)數(shù)（不含全等三角形）共有對(duì)．（武漢市競(jìng)賽試題）

解題思路：從尋找最基本的相似三角形入手，注意相似三角形的傳遞性．

【例2】如圖，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3．如果邊AB上的點(diǎn)P使得以P，A，D為

頂點(diǎn)的三角形和以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形相似，那么這樣的點(diǎn)P有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

解題思路：通過(guò)代數(shù)化，將P點(diǎn)的個(gè)數(shù)的討論轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)的討論．

要使兩個(gè)三角形相似，并沒(méi)有具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以結(jié)論具有不確定性，應(yīng)注意分類討論．

【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是中線，P是AD上一點(diǎn)，過(guò)C作CF∥AB，延長(zhǎng)BP交

AC于E，交CF于F．求證：BP2PEPF．（吉林省中考試題）

解題思路：由于BP，PE，PF在一條直線上，所以必須通過(guò)等線段的代換促使問(wèn)題的轉(zhuǎn)化．

證明比例式或等積式是幾何問(wèn)題中的常見題型，解決它的常用方法是：①找相似：三點(diǎn)定形法；

②作平行：根據(jù)要證明的式子，找到一個(gè)分點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)作平行線，能寫出要證式子中的一個(gè)比或與其

相關(guān)的比；③變?cè)剑喊ǖ攘看鷵Q、等積代換和等比代換．

AC2AH

【例4】已知△ABC中，BCAC，CH是AB邊上的高，且滿足．試探討∠A與∠B

BC2BH

的關(guān)系，并加以證明．（武漢市競(jìng)賽試題）

解題思路：由題設(shè)易想到直角三角形中的基本圖形、基本結(jié)論，可猜想出∠A與∠B的關(guān)系．解題

的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用勾股定理、比例線段的性質(zhì)，推導(dǎo)判定兩個(gè)三角形相似的條件．

如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似，由此得出的等積式在計(jì)算

與證明中應(yīng)用極為廣泛，其特點(diǎn)是：

①一線段是兩個(gè)三角形的公共邊；②另兩條線段在同一直線上．

構(gòu)造逆命題是提出問(wèn)題的一個(gè)常用方法，例4是在直角三角形被斜邊上的高分成的相似三角形得出

結(jié)論基礎(chǔ)上提出的一個(gè)逆命題．你能提出新的問(wèn)題嗎？并加以證明．

【例5】如圖1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC．在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在

一個(gè)三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點(diǎn)．

（1）如圖2，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，ABCA，CD是AB上的中線，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥

CD，垂足為E，試說(shuō)明E是△ABC的自相似點(diǎn)；

（2）在△ABC中，ABC．

①如圖3，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點(diǎn)P（寫出作法并保留作圖痕跡）；

②若△ABC的內(nèi)心（∠A，∠B，∠C角平分線的交點(diǎn)）P是該三角形的自相似點(diǎn)，求該三角形三

個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．（南京市中考試題）

解題思路：本例設(shè)問(wèn)形式多樣，從概念的判斷說(shuō)理到作圖求解，由淺入深，而認(rèn)識(shí)并深刻理解“自

相似點(diǎn)”的概念，是解題的關(guān)鍵．

圖1圖2圖3

【例6】如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向B以2cm/s的

速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)．如果P，Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表

示移動(dòng)時(shí)間（0t6），那么：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△QAP為等腰三角形？

（2）求四邊形QAPC的面積，提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q，A，P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

（河北省中考試題）

解題思路：對(duì)于（3），借助三角形相似的判定方法，由于未指明對(duì)應(yīng)關(guān)系，探求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間應(yīng)

注意分類討論．

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1．如圖，已知12，BD，ABDE5，BC4，那么AD=．

（第1題）（第2題）（第3題）

2．如圖，在△ABC中，AB9，AC6，點(diǎn)M在AB上且AM3，點(diǎn)N在AC上．如果連接

MN，使得△AMN與原三角形相似，則AN=．

14

3．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，ADBC，CDBC，E，F(xiàn)為兩腰上

33

AEDF

的中點(diǎn)．下面的四個(gè)結(jié)論：①CE2BE；②△ADE∽△EDC；③S△S△；④．其

ADECEFABDC

中結(jié)論正確的有．（填序號(hào)即可）（宜昌市中考試題）

4．在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的一點(diǎn)，且

AEBFDGAH

k(k0)．閱讀下段材料，然后回答后面問(wèn)題．

BEFCGCHD

AEAHBFDG

如圖，連接BD，∵，，∴EH∥BD，∴FG∥BD，F(xiàn)G∥EH．

BEHDFCGC

（1）連接AC，則EF與GH是否一定平行，答：．

（2）當(dāng)k值為時(shí)，四邊形EFGH為平行四邊形．

（3）在（2）的情形下，對(duì)角線AC與BD只須滿足條件時(shí)，EFGH為矩形；

（4）在（2）的情形下，對(duì)角線AC與BD只須滿足條件時(shí)，EFGH為矩形．

（黃岡市中考試題）

5．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，下列條件：①BDAC90；②BDAC；③

CDAC

；④AB2BDBC，其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有（）

ADAB

A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)

（山西省中考試題）

（第5題）（第6題）（第7題）（第8題）

6．如圖，□ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，BE:EC2:3，AE交BD于點(diǎn)F，則BF:FD等于（）

A．2:5B．3:5C．2:3D．5:7

（重慶市中考試題）

7．將三角形紙片（△ABC）按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上，即為點(diǎn)B′，折痕為EF．已

知ABAC3，BC4，若以點(diǎn)B′，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，那么BF的長(zhǎng)度為（）

1212

A．2B．C．2或D．不確定

77

（山東省中考試題）

8．如圖，在△ABC中，AB8，BC7，CA6，延長(zhǎng)BC至P，使得△PAB∽△PCA，則PC

等于（）

A．7B．8C．9D．10

（重慶市競(jìng)賽試題）

9．已知：正方形的邊長(zhǎng)為1．

（1）如圖1，可以算出一個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)2，求兩個(gè)正方形并排拼成的矩形的對(duì)角線長(zhǎng)，進(jìn)

而猜想出n個(gè)正方形并排拼成的矩形的對(duì)角線長(zhǎng)；

圖1

（2）根據(jù)圖2，求證：△BCE∽△BED；

（3）由圖3，在下列所給的三個(gè)結(jié)論中，通過(guò)合情推理選出一個(gè)正確的結(jié)論加以證明：①

BECBDE45；②BECBED45；③BECDFE45．

圖2圖3

（三明市中考試題）

10．如圖，在△ABC中，ACB2ABC．求證：AB2AC2ACBC．

（黃岡市競(jìng)賽試題）

11．（1）如圖1，等邊△ABC中，D為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊向上作等邊△EDC，連接AE，

求證：AE∥BC；

（2）如圖2，將（1）中的等邊△ABC的形狀改為以BC為底邊的等腰三角形，所作△EDC改成相

似于△ABC，請(qǐng)問(wèn)：是否仍有AE∥BC？證明你的結(jié)論．（蘇州市中考試題）

圖1圖2

12．如圖，分別以銳角△ABC的邊AB，BC，CA為斜邊向外作等腰Rt△DAB，等腰Rt△EBC，等

腰Rt△FAC．求證：（1）AE=DF；（2）AE⊥DF．

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

B級(jí)

1．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，ABCD，一直線交BA延長(zhǎng)線于E，交DC延長(zhǎng)線于J，

DC

交AD于F，BD于G，AC于H，BC于I．已知EFFGGHHIIJ，則

AB

．（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）

（第1題）（第2題）（第3題）

2．如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，B90，AD2，BC4，點(diǎn)P在高AB上滑動(dòng)．若

△DAP∽△PBC，AP3時(shí)，PB．（重慶市競(jìng)賽試題）

3．如圖，四邊形ABCD為正方形，A，E，F(xiàn)，G在同一條直線上，且AE5cm，EF3cm，那

么FG．（香港初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

a

4．如圖，Rt△ABC中，C90，ACCDBD，DE⊥AB于E．設(shè)AEa，BEb，則

b

（）

A．3:2B．4:3C．5:4D．6:5

（重慶市競(jìng)賽試題）

（第4題）（第5題）

5．如圖，在△ABC中，D是邊AC上一點(diǎn)，下面四種情況中，△ABD∽△ACB不一定成立的情況

是（）

A．ADBCABBDB．AB2ADAC

C．ABDACBD．ABBCACBD

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

1

6．已知一個(gè)梯形被一條對(duì)角線分成兩個(gè)相似三角形，如果兩腰的比為，那么兩底的比為（）

4

1111

A．B．C．D．

24816

（江蘇省競(jìng)賽試題）

7．如圖，O是四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，已知BADBCA180，AB5，AC4，AD3，

BO7

，求BC．（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）

OD6

（第7題）（第8題）

8．如圖，△ABC中，角A:B:C4:2:1，AD，BE分別平分∠BAC，∠ABC．求證：

AB2ADBE．（沈陽(yáng)市競(jìng)賽試題）

9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別用a，b，c表示．

（1）如圖1，在△ABC中，A2B，且A60，求證：a2b(bc)；

（2）如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”．本

題第1問(wèn)中的三角形是一個(gè)特殊的倍角三角形，那么對(duì)于任意的倍角△ABC，如圖2，其中A2B，

關(guān)系式a2b(bc)是否仍然成立？并證明你的結(jié)論．

1

10．在△ABC中，A90，點(diǎn)D在線段BC上，EDBC，BE⊥DE于E，DE與AB相