初中數(shù)學自主招生難度講義-9年級專題14平行線分線段成比例

專題14平行線分線段成比例

閱讀與思考

平行線分線段成比例定理是證明比例線段的常用依據(jù)之一，是研究比例線段及相似形的最基本、最

重要的理論．

運用平行線分線段成比例定理解題的關鍵是尋找題中的平行線．若無平行線，需作平行線，而作平

行線要考慮好過哪一個點作平行線，一般是由成比例的兩條線段啟發(fā)而得．此外，還要熟悉并善于從復

雜的圖形中分解出如下的基本圖形：

例題與求解

【例1】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，且AF

交BE于P，CE交DF于Q，則PQ的長為＿＿＿＿．

（上海市競賽試題）

解題思路：建立含PQ的比例式，為此，應首先判斷PQ與AD（或BC）的位置關系，關鍵是從復

雜的圖形中分解出基本圖形，并能在多個成比例線段中建立聯(lián)系．

AED

PQ

BC

F

【例2】如圖，在△ABC中，D，E是BC的三等分點，M是AC的中點，BM交AD，AE于G，H，

則BG︰GH：HM等于（）

A．3︰2︰1B．4︰2︰1C．5︰4︰3D．5︰3︰2

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

解題思路：因題設條件沒有平行線，故須過M作BC的平行線，構造基本圖形．

A

M

GH

BC

DE

【例3】如圖，□ABCD中，P為對角線BD上一點，過點P作一直線分別交BA，BC的延長線于Q，

R，交CD，AD于S，T．

求證：PQ?PT＝PR?PS．

（吉林省中考試題）

PQPR

解題思路：要證PQ?PT＝PR?PS，需證＝，由于PQ，PT，PR，PS在同一直線上，故不能

PSPT

直接應用定理，需觀察分解圖形．

Q

AD

PS

BR

C

【例4】梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．

（1）如圖1，如果P，E，F(xiàn)分別是BC，AC，BD的中點，求證：AB＝PE＋PF；

（2）如圖2，如果P是BC上的任意一點（中點除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB＝PE＋PF這

個結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由．

（上海市閔行區(qū)中考試題）

ADAD

FEFE

BPCBPC

圖1圖2

解題思路：（1）不難證明；對于（2），先假設結論成立，從平行線出發(fā)證明AB＝PE＋PF，即要證

PEPF

明＋＝1，將線段和差問題的證明轉(zhuǎn)化為與成比例線段相關問題的證明．

ABAB

【例5】如圖，已知AB∥CD，AD∥CE，F(xiàn)，G分別是AC和FD的中點，過G的直線依次交AB，

AD，CD，CE于點M，N，P，Q．

求證：MN＋PQ＝2PN．

解題思路：考慮延長BA，EC構造平行四邊形，再利用平行線設法構造有關的比例式．

（浙江省競賽試題）

E

Q

P

CD

G

FN

AMB

【例6】已知：△ABC是任意三角形．

（1）如圖1，點M，P，N分別是邊AB，BC，CA的中點，求證：∠MPN＝∠A；

AM1AN1

（2）如圖2，點M，N分別在邊AB，AC上，且＝，＝，點P1，P2是

AB3AC3

邊BC的三等分點，你認為∠MP1N＋∠MP2N＝∠A是否正確？請說明你的理由；

（3）如圖3，點M，N分別在邊AB，AC上，且P1，P2，…，P2009是邊BC的2010等分點，則∠

MP1N＋∠MP2N＋…＋∠MP2009N＝＿＿＿＿．

（濟南市中考試題）

A

AA

MN

MN

MN

BCBC

BCPP

PP1P21P22009

圖1圖2圖3

解題思路：本題涉及的考點有三角形中位線定理、平行四邊形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)．

能力訓練

A級

abcabcabc

1．設K＝＝＝，則K＝＿＿＿＿．

cba

（鎮(zhèn)江市中考試題）

2．如圖，AD∥EF∥BC，AD＝15，BC＝21，2AE＝EB，則EF＝＿＿＿＿．

AA

AD

AD

NF

DG

EFEG

H

CBCBC

BCBMFE

第2題第3題第4題第5題

3．如圖，在△ABC中，AM與BN相交于D，BM＝3MC，AD＝DM，則BD︰DN＝＿＿＿＿．

（杭州市中考試題）

4．如圖，ABCD是正方形，E，F(xiàn)是AB，BC的中點，連結EC交DB，交DF于G，H，則EG︰

GH︰HC＝＿＿＿＿．

（重慶市中考試題）

5．如圖，在正△ABC的邊BC，CA上分別有點E，F(xiàn)，且滿足BE＝CF＝a，EC＝FA＝b（a＞b），

a

當BF平分AE時，則的值為（）

b

51525152

A．B．C．D．

2222

6．如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD上的一點，且AF︰FD＝1︰5，連結CF并延

長交AB于E，則AE︰EB等于（）

A．1︰10B．1︰9C．1︰8D．1︰7

A

E

FA

A

Q

EF

BCBCBC

DPD

第6題第7題第8題

7．如圖，PQ∥AB，PQ＝6，BP＝4，AB＝8，則PC等于（）

A．4B．8C．12D．16

3

8．如圖，EF∥BC，F(xiàn)D∥AB，BD＝BC，則BE︰EA等于（）

5

A．3︰5B．2︰5C．2︰3D．3︰2

9．（1）閱讀下列材料，補全證明過程．

已知，如圖，矩形ABCD中，AC，BD相交于點O，OE⊥BC于E，連結DE交OC于點F，作FG

⊥BC于G．求證：點G是線段BC的一個三等分點．

（2）請你依照上面的畫法，在原圖上畫出BC的一個四等分點．（要求：保留畫圖痕跡，不寫畫法及

證明過程）

（山西中考試題）

AD

AD

ODCEF

O

F

G

BCAB

EGEBC

第9題第10題第11題

1

10．如圖，已知在□ABCD中，E為AB邊的中點，AF＝FD，F(xiàn)E與AC相交于G．

2

1

求證：AG＝AC．

5

11．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，EF經(jīng)過梯形對角線的交點O，且EF∥AD．

（1）求證：OE＝OF；

OEOE

（2）求＋的值；

ADBC

112

（3）求證：＋＝．

ADBCEF

（宿遷市中考試題）

12．如圖，四邊形ABCD是梯形，點E是上底邊AD上的一點，CE的延長線與BC的延長線交于

點F，過點E作BA的平行線交CD的延長線于點M，MB與AD交于點N．

求證：∠AFN＝∠DME．

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

P

F

M

N

AD

E

BC

Q

B級

1．如圖，工地上豎立著兩根電線桿AB，CD，它們相距15cm，分別自兩桿上高出地面4m，6m

的A，C處，向兩側地面上的E，D和B，F(xiàn)點處，用鋼絲繩拉緊，以固定電線桿，那么鋼絲繩AD與

BC的交點P離地面的高度為＿＿＿＿m．

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

A

AD

CD

AOF

F

EBDFBB

QCECE

第1題第2題第3題

2．如圖，□ABCD的對角線交于O點，過O任作一直線與CD，BC的延長線分別交于F，E點．設

BC＝a，CD＝b，CF＝c，則CE＝＿＿＿＿．

（黑龍江省中考試題）

3．如圖，D，F(xiàn)分別是△ABC邊AB，AC上的點，且AD︰DB＝CF︰FA＝2︰3，連結DF交BC

邊的延長線于點E，那么EF︰FD＝＿＿＿＿．

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

4．如圖，設AF＝10，F(xiàn)B＝12，BD＝14，DC＝6，CE＝9，EA＝7，且KL∥DF，LM∥FE，MN

∥ED，則EF︰FD＝＿＿＿＿．

（江蘇省競賽試題）

AD

A

FE

F

LMAEM

E

BCBCBD

KDNFC

第4題第5題第6題

5．如圖，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，CD＝80，那么EF的值是（）

A．10B．12C．16D．18

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

6．如圖，CE，CF分別平分∠ACB，∠ACD，AE∥CF，AF∥CE，直線EF分別交AB，AC于點

M，N．若BC＝a，AC＝b，AB＝c，且c＞a＞b，則EM的長為（）

caabcbabc

A．B．C．D．

2222

（山東省競賽試題）

7．如圖，在□ABCD的邊AD延長線上取一點F，BF分別交AC與CD于E，G．若EF＝32，

GF＝24，則BE等于（）

A．4B．8C．10D．12E．16

（美國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

8．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD，E是對角線AC的中點，直線BE交AD于點F，

則AF︰FD的值是（）

53

A．2B．C．D．1

32

（黃岡市競賽試題）

F

DCAD

E

DGF

CMNP

EF

E

ABABBC

第7題第8題第9題

9．如圖，P是梯形ABCD的中位線MN所在直線上的任意一點，直線AP，BP分別交直線CD于

E，F(xiàn)．

MN1AEBF

求證：＝()．

NP2EPFP

（寧波市競賽試題）

10．如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于O，直線l平行于BD且與AB，DC，BC，AD

及AC的延長線分別交于點M，N，R，S和P．

求證：PM·PN＝PR·PS．

（山東省競賽試題）

A

BODA

CEC

l

MSBD

NPRF

第10題第11題

11．如圖，AB⊥BC，CD⊥BC，B，D是垂足，AD和BC交于E，EF⊥BD于F．我們可以證明：

111

＝成立（不要求證出）．以下請回答：若將圖中垂直改為AB∥CD∥EF，那么，

ABCDEF

111

（1）＝還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．

ABCDEF

（2）請找出S△ABD，S△BED和S△BDC的關系式，并給出證明．

（黃岡市競賽試題）

12．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，過D點的直線PQ交邊AC于點P，交邊AB

的延長線于點Q．

112

（1）如圖1，當PQ⊥AC時，求證：＝；

AQAPAD

（2）如圖2，當PQ不與AD垂直時，（1）的結論還成立嗎？證明你的結論；

11n

（3）如圖3，若∠BAC＝60°，其它條件不變，且＝，則n＝＿＿＿＿（直接寫出結

AQAPAD

果）

A

AA

P

PP

BC

BCBCD

DD

QQQ

圖1圖2圖3

專題14平行線分線段成比例

abAPDQa

例1提示：由,推得PQ∥AD。

abPFQFb

例2D

PQPBPR

例3提示：

PSPDPT

PFBPPECP

例4（1）略（2）結論仍然成立提示：,.

CDBCABBC

例5延長BA，EC，設交點為O，則四邊形OADC為平行四邊形，不妨設QP=a，MN=b，PG=x,GN=y.

DG1PGDG1x1

∵F是AC的中點，∴DF的延長線必過O點，且.∵AB∥CD，∴，即，

OG3GMOG3yb3

GNDG1y1

yb3x①，∵AD∥CE，∴，即，ax3y②，由①②可得

QGOG3ax3

ab2(xy)，即MNPQ2PN

例6（1）∵點M，P，N分別是AB，BC，CA的中點，∴線段MP，PN是△ABC的中位線，∴MP∥

AN，PN∥AM，∴四邊形AMPN是平行四邊形，∴∠MPN=∠A。（2）∠MP1N+∠MP2N=∠A正確.

AMAN1MN1

如圖所示，連接MN，∵,AA，∴△AMN∽△ABC，∴∠AMN=∠B，，

ABAC3BC3

1

∴MN∥BC，MNBC，又∵點P1,P2是邊BC的三等分點，∴MN與BP1平行且相等，MN與P1P2

3

平行且相等，MN與P2C平行且相等，∴四邊形MBP1N，MP1P2N,MP2CN都是平行四邊形，∴MB∥NP1,

MP1∥NP2,MP2∥AC,∴∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A，∴∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠

BMP2=∠A。（3）∠A.

A級

1.-2或12.173.7：14.5：4：65.C6.A7.C8.C9.略10.提示：延長FE交CB的延長線于

AGAF1OEOE

H，易證△AEF≌△BEH，.11.（1）略（2）1（3）提示：1,EF=2OE。