初中數(shù)學自主招生難度講義-9年級專題13旋轉(zhuǎn)變換

專題13旋轉(zhuǎn)變換（錄入：王云峰）

閱讀與思考

在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一定的角度，這樣的圖形變換稱為旋轉(zhuǎn)，這個定

點叫旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角度叫旋轉(zhuǎn)角．

旋轉(zhuǎn)變換不改變圖形的形狀和大?。ㄟ^旋轉(zhuǎn)，圖形上的每一點都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向轉(zhuǎn)動同

樣大小的角度．旋轉(zhuǎn)變換前后的圖形有下列性質(zhì)：

（1）對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；

（2）對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角等于旋轉(zhuǎn)角；

（3）對應線段相等，對應線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應線段的垂直平分線都經(jīng)過旋轉(zhuǎn)中心．

例題與求解

【例1】如圖，邊長為1的正△A1B1C1的中心為O，將正△A1B1C1繞中心O旋轉(zhuǎn)到△A2B2C2，使得

A2B2丄B1C1，則兩個三角形的公共部分（即六邊形ABCDEF）的面積為＿＿．

（“新知杯”上海市競賽試題）

解題思路：S六邊形ABCDEF＝S3S，解題的關(guān)鍵是尋找CB1，CB2，CD，C1D之間的關(guān)系．

A2B2C2B2CD

AA1

2A

F

BO

C2

B1E

C

DC1

B2

【例2】如圖，已知△AOB，△COD都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠CQD＝90°，N，M，Q，P分

別為AB，CB，CD，AD的中點．

求證：四邊形NMQP為正方形．

解題思路：連結(jié)BD，AC，并延長AC交于點E，則△OAC可以看作是由△OBD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)

90°得到的，且∠AED＝90°，這是證明本例的關(guān)鍵．

B

M

NE

C

Q

PD

A

O

【例3】如圖，巳知在△ABC中，AB＝AC，P為形內(nèi)一點，且∠APB＜∠APC．

求證：PB＞PC．（北京市競賽試題）

解題思路：以A為中心，將△APB旋轉(zhuǎn)一個∠BAC，使AB邊與AC邊重合，這時△APB到了△AP'C

的位置．

A

P

P

BC

【例4】點B，C，E在同一直線上，點A，D在直線CE的同側(cè)，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠

CED，直線AE，BD交于點F．

（1）如圖1，若∠BAC＝60°，則∠AFB＝＿＿＿＿；如圖2，若∠BAC＝90°，則∠AFB＝＿＿＿＿；

（2）如圖3，若∠BAC＝，則∠AFB＝＿＿＿＿（用含的式子表示）；

（3）將圖3中的△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)（點F不與點A，B重合），得圖4或圖5．在圖4中，∠AFB

與∠的數(shù)量關(guān)系是＿＿＿；在圖5中，∠AFB與∠的數(shù)量關(guān)系是＿＿＿．

請你任選其中一個結(jié)論證明．（武漢市中考試題）

D

DD

AA

FF

AF

BCEBCEBCE

圖1圖2圖3

D

D

F

A

FBQ

A

CE

CE

B

圖4圖5

解題思路：從特殊到一般，在動態(tài)的旋轉(zhuǎn)過程中，有兩組不變的關(guān)系：△ABC∽△EDC，△BCD∽

△ACE，這是解本例的關(guān)鍵．

【例5】如圖，已知凸五邊形ABCDE中，AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC＝2∠DBE．

求證：∠ABC＝60°．（北京市競賽試題）

解題思路：將△ABE以B為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)∠ABC，使得AB與BC重合，落在△CBE'位置，

則△ABE≌△CBE′，AE＝CE′，BE＝BE′，∠CBE′＝∠ABE．

E

A

BD

C

E

【例6】如圖，已知正方形ABCD內(nèi)一動點E到A，B，C三點的距離之和的最小值為26，求此正

方形的邊長．（廣東省競賽試題）

解題思路：本例是費馬點相關(guān)的問題的變形，解題的關(guān)鍵是確定最小值時E點的位置，通過旋轉(zhuǎn)變

換，把EA，EB，EC連結(jié)起來．

AD

E

BC

能力訓練

A級

1．如圖，巳知正方形ABCD中，點E在邊DC上，DE＝2，EC＝1，把線段AE繞點A旋轉(zhuǎn)，使點E落

在直線BC上的點F處，則F，C兩點的距離為＿＿＿＿．（上海市中考試題）

B

ADE

PA

D

P

BC

BC

AC

第1題第2題第3題

2．如圖，P是正△ABC內(nèi)的一點，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若將△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，

得到△P'AB，則點P與點P'之間的距離為＿＿＿＿，∠APB＝＿＿＿＿．

（青島市中考試題）

3．如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°．將CD以點D

為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ED，連結(jié)AE，則△ADE的面積是＿＿＿＿．

4．如圖，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，點D在邊BC上，BD＝2CD．把△ABC繞著

點D逆時針旋轉(zhuǎn)m（0＜m＜180）度后，如果點B恰好落在初始Rt△ABC的邊上，那么m＝＿＿＿＿．

（上海市中考試題）

ACB

BBA

G

DF

K

DAH

CP

CB

DDEC

第4題第5題第6題

5．如圖，將邊長為1的正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°至AB'C'D′的位置，則這兩個正

方形重疊部分的面積是＿＿＿＿．

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

6．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm．以斜邊BC上距離點B6cm的點P為

中心，把這個三角形按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，則旋轉(zhuǎn)前后兩個三角形重疊部分的面積為＿＿＿．

（黃岡市競賽試題）

7．如圖，將△ABC繞點C（0，1）旋轉(zhuǎn)180°得到△A'B'C，設點A'的坐標為（a，b），則點A

的坐標為（）

A．（a，b）B．（a，b1）C．（a，b1）D．（a，b2）

（河南省中考試題）

y

A

B

A

A

Ox

C

PP

A

BBCBC

第7題第8題第9題

8．如圖，已知P是等邊△ABC內(nèi)部一點，∠APB︰∠BPC︰∠CPA＝5︰6︰7．則以PA，PB，PC

為邊的三角形的三個角的大小之比（從小到大）是（）

A．2︰3︰4B．3︰4︰5C．4︰5︰6D．不能確定

（全國初中數(shù)學通訊賽試題）

9．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，P是△ABC內(nèi)一點，則（）

A．PA＋PB＋PC＜AB＋AC

B．PA＋PB＋PC＞AB＋AC

C．PA＋PB＋PC＝AB＋AC

D．PA＋RB＋PC與AB＋AC的大小關(guān)系不確定

（武漢市競賽試題）

10．已知：如圖1，O為正方形ABCD的中心，分別延長OA到點F，OD到點E，使OF＝2OA，

OE＝2OD．連結(jié)EF，將△FOE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)角得到△F′OE′（如圖2）．

E

FE

FAD

AD

OO

BCBC

圖1圖2

（1）探究A'E與BF′的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

（2）當＝30°時，求證：△AOE'為直角三角形．

（南通市中考試題）

11．在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF＝，點M，N分別是BE，CF

的中點．

（1）若點A與點D重合，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上（如圖1），則AM與AN的數(shù)量關(guān)系是＿＿＿

＿，∠MAN與的數(shù)量關(guān)系是＿＿＿＿；

（2）將圖1中的△DEF繞點A（D）旋轉(zhuǎn)（如圖2），第（1）問的兩個結(jié)論是否仍成立？若成立，

請證明；若不成立，請說明理由．

BME

MBF

E

N

CNFA(D)CA(D)

圖1圖2

B級

1．如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC＝120°的等腰三角形，∠MDN＝

60°，則△AMN的周長＝＿＿＿＿．

（重慶市競賽試題）

Ay

C

M

N

BC

Ox

DBNMA

第1題第2題第3題

2．如圖，在等腰Rt△ABC的斜邊AB上取兩點M，N，使∠MCN＝45°，記AM＝m，MN＝x，BN

＝n，則以線段x，m，n為邊長的三角形的形狀是（）

A．銳角三角形B．直角三角形

C．鈍角三角形D．隨x，m，n的變化而變化

（安徽省競賽試題）

4

3．如圖，直線y＝x4與x軸，y軸分別交于A，B兩點，把△AOB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后

3

得到△AO'B'，則點B′的坐標是（）

A．（3，4）B．（4，5）C．（7，4）D．（7，3）

（麗水市中考試題）

4．如圖，正方形ABCD中，已知AB＝3，點分別在BC，CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，

求△AEF的面積．

（“希望杯”邀請賽試題）

A

A

AD

FPD

BDB

CC

BC圖①圖②

E

第4題第5題

5．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．

求證：BC＋DC＝AC；

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，P為四邊形ABCD內(nèi)一點，且∠APD＝

120°，求證：PA＋PD＋PC≥BD．

（江蘇省競賽試題）

6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，△ADE是正三角形，點D在邊BC上，已知BD

︰DC＝2︰3，當△ABC的面積是50cm2時，求△ADE的面積．

（日本數(shù)學奧林匹克試題）

C

A

O

EP

BC

DAB

第6題第7題

7．如圖，已知O是銳角三角形ABC內(nèi)一點，∠AQB＝∠BOC＝∠COA＝120°，P是△ABC內(nèi)任一

點．求證：PA＋PB＋PC≥OA＋OB＋OC．

（杭州市競賽試題）

8．（1）如圖1，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），B，C，G在同一條直線上，M為

線段AE的中點．探究：線段MD，MF的關(guān)系；

（2）如圖2，若將正方形CGEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°，使得正方形CGEF的對角線CE在正方形

ABCD的邊BC的延長線上，M為AE的中點．試問：（1）中探究的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；

若不成立，請說明理由．

（3）如圖3，若將正方形CGEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，M為AE的中點．試問：第（1）問中探究

的結(jié)論是否成立？

（大連市競賽試題）

FAD

DF

FEA

MB

AMC

DBE

CM

BG

CE

圖1GG

圖2圖3

9．已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE＝EF，∠BEF＝90°．按圖1的位置，使點F在BC上，

取DF的中點G，連結(jié)EG，CG．

（1）探索EG，CG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并證明；

（2）將圖中△BEF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°，再連結(jié)DF，取DF中點G（如圖2），第（1）問中的結(jié)

論是否仍然成立？請你證明；

（3）將圖1中△BEF繞點B轉(zhuǎn)動任意角度（在0°～90°之間），再連結(jié)DF，取DF的中點G（如圖

3），第（1）問中的結(jié)論是否仍成立？不必證明．

AD

AD

AD

G

G

GE

EBCE

BC

BC

FFF

圖1圖2圖3

10．在平面直角坐標系中，已知O為坐標原點，點A（3，0），B（0，4）．以點A為旋轉(zhuǎn)中心，把

△ABO順時針旋轉(zhuǎn)，得△ACD．記旋轉(zhuǎn)角為，∠ABO為．

（1）如圖1，當旋轉(zhuǎn)后點D恰好落在AB邊上時，求點D的坐標；

（2）如圖2，當旋轉(zhuǎn)后滿足BC∥x軸時，求與之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）當旋轉(zhuǎn)后滿足∠AOD＝時，求直線CD的解析式．

（天津市中考試題）

yy

CC

BBA

DD

P

OAxOAxBC

第11題

圖1圖2

第10題

11．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AD，點P在△ABC內(nèi)，且PA＝3，PB＝5，PC＝

2，求△ABC的面積．

（“《數(shù)學周報》杯”全國初中數(shù)學競賽試題）

專題13旋轉(zhuǎn)變換

例1如圖，連接OB1，OB2，B1B2，則OB1＝OB2，∠OB1B2＝∠OB2B1.又∠OB1C＝30°＝∠OB2C，∴

∠CB1B2＝∠CB2B1，故CB1＝CB2.同理，B2D＝DC1.設CB1＝x，則CB2＝x，CD＝3x，DC1＝DB2＝2x，

1

于是＋＋＝，故＝－＝

x3x2x1xS六邊形SABC3SBCD

33ABCDEF2222

3133333

3x3xx2.

424244

1111

例2∵N，M分別為線段AB，CB的中點，∴MN＝AC.同理MQ＝BD，PQ＝AC，PN＝BD.

2222

∵AC＝BD，∴MN＝MQ＝PQ＝PN，∴四邊形NMQP為菱形.∵MN∥AC，MQ∥BD，∴AC⊥BD，∴∠

NMQ＝90°，∴菱形NMQP為正方形.

例3APM≌APC，AP＝AP，APB＝APC，PC＝PB.連接PP，由AP＝AP得

APP＝APP，而APB＜APC，即APC＜APC，∴PPC＜PPC，于是PC＞PC，

即PB＞PC.

111

例4（1）60°45°（2）90°－（3）∠AFB＝90°－∠AFB＝90°＋對∠AFB

222

1

＝90°－證明如下：∵AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，∴△ABC∽△EDC，得∠ACB＝∠ECD，

2

BCAC

，∠BCD＝∠ACE，∴△BCD∽△ACE，得∠CBD＝∠CAE.∵∠AQF＝∠BQC，∠CBD＝∠

DCEC

180BAC1

CAF，∴∠AFB＝∠ACB＝90.

22

例5∵EBE＝ABC＝2DEB，∴EBD＝EBD.連接DE.∵BD＝BD，EBD＝EBD，

BE＝BE，∴EBD≌EBD，得ED＝ED＝CD＝CE，∴CDE為正三角形，DCE＝60°，

1

又BC＝CD＝CE’，則EBD＝DCE＝30°.∴ABC＝EBE＝2EBD＝60.

2

例6將△ABE繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得△FBG，連接GE，F(xiàn)C，則△BEG為等邊三角形，GE＝BE，

∴FC≤FG＋GE＋EC，即FC≤EA＋EB＋EC，∵FC為定長，∴當E點落在FC上時，F(xiàn)C＝EA＋EB＋

EC為最小值.∵∠FBC＝150°，F(xiàn)B＝BC，∴∠BCF＝∠BFC＝15°，而∠GEB＝60°，∴∠EBC＝45°，

x

即E在正方形ABCD的對角線BD上.作FH⊥BC交CB延長線于H，設BC＝x，則FB＝x，F(xiàn)H＝，

2

3x3

HB＝x，在Rt△FHC中，由(26)2()2(xx)2，得x＝2或x＝－2（舍去），即正方

222

形的邊長為2.

例6題圖

A級

1.1或52.6150°3.14.80或1205.2-3提示:如圖,過B'作MN//AD，分別AB,CD于M,N,點B’C’

331

交CD于K，則B’M=AB’sin60°=,B’N=1-,AM=,Rt△AKB≌Rt△AKD,∠KAB’=∠KAD=15°,

222

∠ADB’=75°,△ADK∽△DNB’,

DKAD1

,DK=2-3,重疊部分面積=2S△AKD=21(23)23

NB'DN2

12

6.過P作PM丄AC于M,PN丄DF于N，可證明四邊形PMGN為正方形,PM=,S重疊=S正方形

5

122144

PMGN=().7.D8.A9.B提示:將△CPA繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△C’AP’,連結(jié)PP’,△APP’為

525

等邊三角形.PB+PP’+P’C=PA+PB+PC＞AB+AC’=AB+AC.

10.(1)AE’=BF’.(2)證法較多，如取OE’中點G,連結(jié)AG.11.(1)AM=AN,∠MAN=.(2)第(1)問的結(jié)論仍成

立，理由如下:由△ABE≌△ACF得BE=CF,∠ABM=∠CAN,進一步可以證明△ABM≌△CAN.

B級

1.2提示:MN=BM+CN2.B提示:△ACM≌△BCD.∠ACM=∠BCD,CM=CD,∠MCN=∠NCD=45°,又

CN=CN,則△MNC≌△DNC,MN=ND=x,AM=BD=m,又∠DBN=45°+45°=90°,故m2+n2=x2.3.D

4.33提示:將△ADF'繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,到△ABG.

的位置,則△AEF≌△AEG.∠AEF=∠AEG=∠FEC=60°,BE=1,EC=BC-BE=31,

1

EF=EG=2(31),S△AEF=S△ABG=EG·AB=33.

2

5.(1)提示:延長BC至E,使CE=CD連結(jié)DE,證明△ACD≌△BED.(2)將△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)60°到△ACB’,

連結(jié)B’D,B’P,則四邊形AB’DP符合(1)的條件,于是B’P=PA+PD連結(jié)AC,則△ABD≌△

ACB’.BD=B’C,B’C≤PB’+PC=PA+PD+PC,從而BD≤PA+PD+PC.

6.直接解題有困難,△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°,240°拼成正△MBC(如圖),則正△ADE