初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-9年級(jí)專題11 是偶然還是必然-概率初步

專題11是偶然還是必然—概率初步

閱讀與思考

統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門研究如何收集、整理、分析數(shù)據(jù)，并在此基礎(chǔ)上作出推斷的學(xué)科．

在自然界和人類社會(huì)中，嚴(yán)格確定性的現(xiàn)象十分有限，不確定性現(xiàn)象卻是大量存在的，而概率正是

對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)描述．?dāng)?shù)學(xué)中用概率來表示事件發(fā)生的機(jī)會(huì)大小，概率是一個(gè)比值，用字母P表

示，計(jì)算公式是：

該事件發(fā)生的所有可能結(jié)果

事件發(fā)生的概率P=

所有可能結(jié)果

在具體的計(jì)算中，常用到樹形圖、列表、窮舉等方法．

統(tǒng)計(jì)與概率互為基礎(chǔ)，概率這一概念是建立在概率這一統(tǒng)計(jì)量穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上的，而推斷、估計(jì)等

統(tǒng)計(jì)方法的科學(xué)性有賴于概率理論的嚴(yán)密性．

例題與求解

【例1】一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，2，2，3，3，4；另一枚質(zhì)地均勻

的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，3，4，5，6，8．同時(shí)擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)之和

為7的概率是．

（“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

解題思路：用列表法列出所有情形．

【例2】一項(xiàng)“過關(guān)游戲”規(guī)定：在第n關(guān)要擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于

n35

3，則算過關(guān)；否則不算過關(guān)．現(xiàn)有下列說法：①過第一關(guān)是必然事件；②過第二關(guān)的概率是；

436

③可以過第四關(guān)；④過第五關(guān)的概率大于0．其中，正確說法的個(gè)數(shù)為（）

A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)

解題思路：對(duì)于（2），在理解“過關(guān)”意義的基礎(chǔ)上，逐步計(jì)算相關(guān)概率．

【例3】如圖，用紅、藍(lán)、黃三色將圖中區(qū)域A，B，C，D染色，要求有公共邊界的相鄰區(qū)域不能染相

同的顏色，則滿足區(qū)域A恰好染藍(lán)色的概率為．

解題思路：用樹形圖列出所有可能情形，或從整體考慮．

【例4】小明準(zhǔn)備給小陳打電話，由于保管不善，電話本上的小陳手機(jī)號(hào)碼中，有兩個(gè)數(shù)字已模糊不清．如

果用x，y表示這兩個(gè)看不清的數(shù)字，那么小陳的手機(jī)號(hào)碼為139x370y580（手機(jī)號(hào)碼由11個(gè)數(shù)字組成），

小明記得這11個(gè)數(shù)字之和是20的整數(shù)倍．求小明一次撥對(duì)小陳手機(jī)號(hào)碼的概率．

解題思路：建立關(guān)于x，y的不定方程，由此可得x，y可能的對(duì)應(yīng)值的所有情況．

【例5】楊華與李紅用五張相同規(guī)格的硬幣紙片做拼圖游戲．硬紙片正面如下圖1所示，背面完全一致．將

它們背面朝上洗勻后，同時(shí)抽出兩張．

規(guī)則如下：

當(dāng)兩張硬紙片上的圖形可拼成電燈或小人時(shí)，楊華得1分；

當(dāng)兩張硬紙片上的圖形可拼成房子或小山時(shí)，李紅得1分；

問題：游戲規(guī)則對(duì)雙方公平嗎？請(qǐng)說明理由；若你認(rèn)為不公平，如何修改游戲規(guī)則才能使游戲?qū)﹄p

方公平？

解題思路：游戲?qū)﹄p方公平是指雙方積分相同．解題的關(guān)鍵是分別求出楊華、李紅的得分．

【例6】一個(gè)正三角形ABC的每一個(gè)角各有一只螞蟻，每只螞蟻開始朝另一只螞蟻?zhàn)鲋本€運(yùn)動(dòng)，目標(biāo)

角是隨機(jī)選擇．求螞蟻不相撞的概率．

（微軟公司招聘面試試題）

解題思路：三只螞蟻在每個(gè)角上都有兩種選擇的方向（順時(shí)針或逆時(shí)針），因每只螞蟻選擇的不確定

性，故組成的各種情形似乎繁雜．出題用意就在于考查應(yīng)試者摒除習(xí)慣因素的干擾、切中要害、化繁為

簡的能力．

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1．如圖1，圖中有一個(gè)黑球，圖2有3個(gè)同樣大小的球疊成的圖形，最下一層的2個(gè)球?yàn)楹谏?，其余?/p>

白色；圖3為6個(gè)同樣大小的球疊成德圖形，最下一層的3個(gè)球?yàn)楹谏?，其余為白色；…則從第n

個(gè)圖中隨機(jī)取一個(gè)球，是黑球的概率為．

（株洲市中考試題）

2．有四張正面分別標(biāo)有數(shù)字-3，0，1，5的不透明卡片，它們除數(shù)字不同外其余全部相同．現(xiàn)將他們背

1ax1

面朝上，洗勻后從中任取一張，將該卡片上的數(shù)字記為a，則使關(guān)于x的分式方程2

x22x

有正整數(shù)解的概率為．

（重慶市中考試題）

3．小丁、小明、小倩在一起做游戲時(shí)，需要確定做游戲的先后順序．他們約定用“剪刀、布、錘子”

的方式確定．那么，在一個(gè)回合中三個(gè)人都出“布”的概率是．

（海南省中考試題）

4．對(duì)于平面內(nèi)任意一個(gè)凸四邊形ABCD，現(xiàn)從以下四個(gè)關(guān)系式①AB=CD；②AD=BC；③AB//CD；④

∠A=∠C中任取兩個(gè)作為條件，能夠得出這個(gè)四邊形ABCD是平行四邊形的概率是．

（廣州市中考試題）

5．在0，1，2三個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)，組成兩位數(shù)，則在組成的兩位數(shù)中是奇數(shù)的概率為（）

1113

A．B．C．D．

4624

（泰安市中考試題）

6．從分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5的五張卡片中任意取出兩張，把第一張卡片上的數(shù)字作為十位數(shù)字，

第二張卡片上的數(shù)字作為個(gè)位數(shù)字，組成一個(gè)兩位數(shù)，則所組成的數(shù)是3的倍數(shù)的概率為（）

1321

A．B．C．D．

51052

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

7．經(jīng)過某十字路口的汽車，可能繼續(xù)直行，也可能向左或向右轉(zhuǎn)．若這三種可能性大小相同，則兩汽

車經(jīng)過該十字路口全部繼續(xù)直行的概率為（）

1211

A．B．C．D．

3392

（呼和浩特市中考試題）

8．盒子里有十個(gè)球，每個(gè)球上寫有1～10中的一個(gè)數(shù)字，不同的球上數(shù)字不同，其中兩個(gè)球上的數(shù)字

之和可能是3，4，…，19．現(xiàn)從盒中隨意取兩個(gè)球，這兩個(gè)球上的數(shù)之和最有可能出現(xiàn)的是（）

A．2B．10C．11D．20

9．一個(gè)口袋中有三個(gè)黑球和若干個(gè)白球，在不允許將球倒出來數(shù)的前提下，小明為估計(jì)其中的白球數(shù)，

采用了如下的方法：從口袋中隨機(jī)摸出一球，記下顏色，然后把它放回口袋中，搖勻后再隨機(jī)摸出

一球，記下顏色，……不斷重復(fù)上訴過程．小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根據(jù)上述數(shù)

據(jù)，小明可估計(jì)口袋中的白球大約有（）

A．18個(gè)B．15個(gè)C．12個(gè)D．10個(gè)

（青島市中考試題）

10．“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．小

亮同學(xué)隨機(jī)地在大正方形及其內(nèi)部區(qū)域投針．若直角三角形的兩條直角邊長分別是2和1，則針扎

到小正方形（陰影）區(qū)域的概率是（）

1115

A．B．C．D．

3455

（臨沂市中考試題）

11．有四張卡片（背面完全相同），分別寫有數(shù)字1，2，-1，-2．把它們背面朝上洗勻后，甲同學(xué)抽取

一張，記下這個(gè)數(shù)字后放回洗勻，乙同學(xué)再從中抽出一張，記下這個(gè)數(shù)字．用字母b，c分別表示

甲、乙兩同學(xué)抽出的數(shù)字．

（1）用列表法求關(guān)于x的方程x2bxc0有實(shí)數(shù)解的概率；

（2）求（1）中方程有兩個(gè)相同實(shí)數(shù)解的概率．

12．將背面完全相同，正面分別寫有數(shù)字1，2，3，4的四張卡片混合后，小明從中隨機(jī)地抽取一張，

把卡片上的數(shù)字作為被減數(shù)；將形狀、大小完全相同，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3的三個(gè)小球混合后，

小華從中隨機(jī)地抽取一個(gè)，把小球上的數(shù)字作為減數(shù)，然后計(jì)算出這兩個(gè)數(shù)的差．

（1）請(qǐng)你用畫樹形圖或列表的方法，求這兩個(gè)數(shù)差為0的概率；

（2）小明與小華做游戲，規(guī)則是：若這兩數(shù)的差為非負(fù)數(shù)，則小明贏；否則，小華贏．你認(rèn)為該

游戲公平嗎？請(qǐng)說明理由．如果不公平，請(qǐng)你修改游戲規(guī)則，使游戲公平．

（重慶市中考試題）

B級(jí)

1．一只盒子中有紅球m個(gè)，白球10個(gè)，黑球n個(gè)，每個(gè)球除顏色外都相同．從中任取一個(gè)球，取得

是白球的概率與不是白球的概率相同．那么，m與n的關(guān)系是．

（山東省競(jìng)賽試題）

2．某廣場(chǎng)地面鋪滿了邊長為36cm的正六邊形地磚．現(xiàn)在向上拋擲半徑為63cm的圓碟，圓碟落地

后與地磚間的間隙不相交的概率大約是．

（太原市競(jìng)賽試題）

3．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加校田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)4×100m接力跑比賽．如果任意安排四位同學(xué)的跑步順

序，那么，恰好由甲將接力棒交給乙的概率是（）

1111

A．B．C．D．

46812

（浙江省競(jìng)賽試題）

4．一條繩子被任意割成兩段，較長的一段至少是較短的一段的x倍的概率為（）

12112

A．B．C．D．E．

2xx1xx1

（美國高中數(shù)學(xué)考試題）

5．把一顆六個(gè)面編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，若兩個(gè)正面

朝上的編號(hào)分別為m，n，則二次函數(shù)yx2mxn的圖象與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)的概率是（）

54171

A．B．C．D．

129362

（全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

6．長為1，2，3，4，5的線段各一條，從這五條線段中任取三條，能構(gòu)成鈍角三角形的概率為（）

1712

A．B．C．D．

101055

7．一張數(shù)學(xué)游戲在兩個(gè)同學(xué)甲、乙之間進(jìn)行．裁判在黑板上先寫出正整數(shù)2，3，…，2006，然

后隨意擦去一個(gè)數(shù)，接下來由乙、甲兩人輪流擦去其中一個(gè)數(shù)（即乙先擦去其中的一個(gè)數(shù)，然

后甲再擦去另一個(gè)數(shù)，如此下去）．若最后剩下的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則判甲勝；否則，判乙勝．按

照這種游戲規(guī)則，求甲獲勝的概率．

（四川省競(jìng)賽試題）

8．任意選擇一對(duì)有序整數(shù)(b，c)，其中每一個(gè)整數(shù)的絕對(duì)值小于或等于5，每一對(duì)這樣的有序整

數(shù)被選擇的可能性是相等的．求方程x2bxc0沒有相異正實(shí)根的概率．

（美國高中數(shù)學(xué)考試題）