初中數(shù)學自主招生難度講義-8年級專題29幾何變換

專題29幾何變換

閱讀與思考

幾何變換是指把一個幾何圖形變換成另一個幾何圖形的方法，若僅改變圖形的位置，而不改

F1F2

變圖形的形狀和大小，這種變換稱為合同變換，平移、對稱、旋轉(zhuǎn)是常見的合同變換.

1.平移變換

如圖，如果把圖形上的各點都按一定方向移動一定距離得到圖形后，則由到的變換叫

1F1F2F1F2

平移變換.

平移變換前后的對應線段相等且平行，對應角的兩邊分別平行且方向一致.

2.對稱變換

如圖，將平面圖形變換到與它成軸對稱的圖形，這樣的幾何變換就叫做關于直線（對稱軸）

2F1F2l

的對稱變換.

對稱變換前后的對應線段相等，對應角相等，其對稱軸是連結各對應點線段的垂直平分線.

3.旋轉(zhuǎn)變換

如圖，將平面圖形繞這一平面內(nèi)一定點旋轉(zhuǎn)一個定角，得到圖形，這樣的變換叫旋轉(zhuǎn)

3F1MF2

變換，M叫旋轉(zhuǎn)中心，叫旋轉(zhuǎn)角.

旋轉(zhuǎn)變換前后的圖形是全等的，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

例題與求解

【例l】如圖，∠AOB=450，角內(nèi)有點P，PO=10，在角的兩邊上有兩點Q，R（均不同于O），則△PQR

的周長的最小值為_______________.（黃岡市競賽試題）

解題思路：作P點關于OA，OB的對稱點，確定Q，R的位置，化折線為直線，求△PQR的最小值.

【例2】如圖，P是等邊△ABC的內(nèi)部一點，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比是5:6:7，則以PA，

PB，PC為邊的三角形的三個角的大小之比（從小到大）是（）

A.2:3:4B.3:4:5

C.4:5:6D.不能確定

（全國通訊賽試題）

解題思路：解本例的關鍵是如何構造以PA，PB，PC為邊的三角形，若把△PAB，△PBC，△PCA中的

任一個，繞一個頂點旋轉(zhuǎn)600，就可以把PA，PB，PC有效地集中在一起.

【例3】如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求證：AB+BD=CD.

（天津市競賽試題）

解題思路：用截長法或補短法證明，實質(zhì)都利用AD翻折造全等.

【例4】如圖，六邊形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥FE，CD∥AF，對邊之差BC-FE=ED-AB=AF-CD

＞0，求證：該六邊形的各角都相等.

（全俄數(shù)學奧林匹克競賽試題）

解題思路：設法能將復雜的條件BC-FE=ED-AB=AF-CD＞0，用一個基本圖形表示，題設條件有平行

條件，考慮實施平移變換.

【例5】已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，∠MCN=450

（1）如圖1，當M、N在AB上時，求證：MN2AM2BN2

（2）如圖2，將∠MCN繞C點旋轉(zhuǎn)，當M在BA的延長線時，上述結論是否成立？若成立，請證明；

若不成立，請說明理由.

（天津市中考試題）

解題思路：MN2AM2BN2符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為直角三角形可將△ACM沿直線CM對

折，得△DCM.連DN，只需證DN=BN，∠MDN=900；或?qū)ⅰ鰽CM(或△BCM)旋轉(zhuǎn).

【例6】如圖，∠DAC=120，∠DBC=240，∠CAB=360，∠ABD=480，求∠DCA的度數(shù).

（日本算術奧林匹克試題）

解題思路：已知角的度數(shù)都是12的倍數(shù)，360240600，這使我們想到構作正三角形.

能力訓練

1.在如圖所示的單位正方形網(wǎng)格中，將△ABC向右平移3個單位后得到△ABC，則BAA的度數(shù)是

_______.

（泰安市中考試題）

(第1題)（第2題）（第3題）

2.如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點，PA=6，PB=8，PC=10，則∠APB=_________.

4k49

3.如圖，直線yx與雙曲線y(k0)交于點A，將直線yx向右平移個單位后，與雙曲

132x132

kAO

線y交于點B，與x軸交于點C.若2，則k=______________.（武漢市中考試題）

2xBC

4.如圖，△ABC中，∠BAC=450，AD⊥BC，DB=3，DC=2，則△ABC的面積是___________.

5.如圖，P為正方形內(nèi)一點，若PA:PB:PC1:2:3，則∠APB的度數(shù)是（）.

A.1200B.1350C.1450D.1500

6.如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線交于點O，把邊BA、CD分別繞點B、C同時逆時針旋轉(zhuǎn)600，

1

得四邊形ABCD,下列結論：①四邊形ABCD為菱形；②SS正方形；③線段OD的

四邊形ABCD2ABCD

長為31.其中正確的結論有（）.

A.0個B.1個C.2個D.3個

7.如圖，A，B兩個電話機離電話線l的距離分別是3米，5米，CD=6米，若由L上一點分別向A，B

連電話線，最短為（）.

A.11米B.10米C.9米D.8米

8.如圖，在△ABC中，∠BAC=1200，P是△ABC內(nèi)一點，若記xPAPBPC，yABAC，

則（）.

A.xyB.xyC.xyD.x與y的大小關系不確定

9.如圖，已知D是△ABC中BC邊的中點，過D作DE⊥DF，分別交AB于E，交AC于F，求證：

BECFEF.

（天津市競賽試題）

10.如圖，△ABC，△ABC其各邊交成六邊形DEFGHK，且EF∥KH，GH∥DE，F(xiàn)G∥KD，

KHEFFGKDDEGH0.求證：△ABC，△ABC均為為正三角形.

（“縉云杯”邀請賽試題）

11.如圖，已知△ABC中，AB=AC，P，Q分別為AC，AB上的點，且AP=PQ=QB=BC，求∠PCQ.

（北京市競賽試題）

12.如圖，已知在平面直角坐標系中，A，B兩點的坐標分別為A(2,3)，B(4,1).

(1)若P(x,0)是x軸上的一個動點，當△PAB的周長最短時，求x的值；

（2）若C(a,0),D(a3,0)是x軸上的兩個動點，當四邊形ABCD的周長最短時，求a的值；

（3）設M，N分別為x軸，y軸上的動點，問：是否存在這樣的點M(m,0)和N(0,n)，使四邊形ABMN

的周長最短？若存在，求出m,n的值；若不存在，請說明理由.

（浙江省湖州市中考試題）

13.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，分別以兩腰AB，CD為邊向兩邊作正方形ABGE和正方形DCHF，設

線段AD的垂直平分線l交線段EF于點M，EP⊥l于P，F(xiàn)Q⊥l于Q，求證：EP=FQ.

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

14.如圖所示，已知Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，連結EC，取EC中點M，連結

DM和BM.

（1）若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖1，求證：BM=DM，且BM⊥DM；

（2）如圖2中的△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)小于450的角，那么（1）中的結論是否仍成立？如果不成立，

請舉出反例；如果成立，請給予證明.

（廣州市中考試題）

15.如圖，在△ABC中，∠BAC=450，AD⊥BC于D，若BD=3，CD=2，求△ABC的面積.

（山東省競賽試題）

專題29幾何變換

例1102

例2A提示：將ABP繞B點順時針旋轉(zhuǎn)60得CBD，則ABP≌CBD，BPD為等邊三角形.

例3提示:延長BD至E,使BEAB,連接AE,ABC2E.

例4提示:過E作ER∥CD,過C作CP∥AB,過A作AQ∥EF,則PQR為等邊三角形.

例5(1)如圖a，由DCM≌ACM則DCAC,DMAM,DCMACM,CDMA.又由

CACB，得CDCB.由DCN45DCM,

得DCNBCN,又CNCN,

則DCN≌BCN,有DNBN,CDNB,

∴MDNCDMCDNAB90

∴MN2MD2DN2即MN2AM2BN2

(2)關系式:MN2AM2BN2仍成立,方法同上,如圖b

例6如圖,作ACD關于AD所在直線的軸對稱圖形APD,則

APDACD,PADCAD12,PAB60,APABAC，連接PB，則PAB為正三角，得

PBD12.DAB123648DBA,ADBD,PADPBD,

故APDBPD30.ACDAPD30

能力訓練

1.45

2.150

4

3.12提示:如圖,設A(a,a)過A作ADx軸,交于點D,過B作BEx軸,交于點E

3

AOADODa2912

由AODBCE,2,則CE,BEa,B(a,a)

BCBECE23223

4291

A,B都在雙曲線上,aaa(a),解得a3,a0(舍去)k3412

332212

4.15提示:分別以AB,AC為對稱軸作D點的對稱點E,F,連接FC,EB相交于G,證明四邊形AFGE

為正方形

5.B

6.C

7.B

8.D

9.提示:延長FD至G,使DGFD,連接EG

10.提示:作EQ//FG,PG//KH,KR//DE，交成等邊三角形PQR

11.提示:作CD//BQ,連PD,CD，四邊形QBCD為菱形,DQQB,由APQBCD,AQPC

APCD,得DCPPAQ,PDPQQBQD,QPD為等邊三角形,

又CDPAPQA,QPC2A,QPD3A60

A20,BACB80

又QBBC,QCB50PCQ30

12.提示:

(1)作B(4,1)關于x軸對稱點B'(4,1),連AB',AB'交x軸于P,PAB周長最短,P(3.5,0)

將點向左平移個單位得，再作關于的對稱點，連交軸于，

(2)B(4,1)3B1(1,1)B1xB2(1,1)AB2xC

再將C向右平移3個單位得點D，C(1.25,0),a1.25

(3)作點A關于y軸對稱點A'(2,3),作點B關于x軸的對稱點B'(4,1),連A'B'交x軸于M,交y軸

5

于NM(2.5,0),N(0,)

3

13.提示:過N作NQ'//DF,作NP'//AE,作NS//DC,NR//AB.由PP'NLNR,RNABAEP'N