初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級(jí)專題21梯形

專題21梯形

閱讀與思考

梯形是一類具有一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的特殊四邊形，梯形的主要內(nèi)容是等腰梯形、直

角梯形等相關(guān)概念及性質(zhì).

解決梯形問題的基本思路是：通過適當(dāng)添加輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形或平行四邊形，常見的輔

助線的方法有：

（1）過一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線（平移腰）；

（2）過一個(gè)頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線（平移對(duì)角線）；

（3）過較短底的一個(gè)頂點(diǎn)作另一底的垂線；

（4）延長(zhǎng)兩腰，使它們的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，將梯形還原為三角形．

如圖所示：

例題與求解

【例1】如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，∠D＝2∠B，AD和CD的長(zhǎng)度分別為a，b，那么

AB的長(zhǎng)是___________.（荊州市競(jìng)賽試題）

解題思路：平移一腰，構(gòu)造平行四邊形、特殊三角形．

【例2】如圖1，四邊形ABCD是等腰梯形，AB//CD．由四個(gè)這樣的等腰梯形可以拼出圖2所示的

平行四邊形．

（1）求四邊形ABCD四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；

（2）試探究四邊形ABCD四條邊之間存在的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）現(xiàn)有圖1中的等腰梯形若干個(gè)，利用它們你能拼出一個(gè)菱形嗎？若能，請(qǐng)你畫出大致的示意圖．

（山東省中考試題）

解題思路：對(duì)于（1）、（2），在觀察的基礎(chǔ)上易得出結(jié)論，探尋上、下底和腰及上、下底之間的關(guān)

系，從作出梯形的常見輔助線入手；對(duì)于（3），在（2）的基礎(chǔ)上，展開想象的翅膀，就可設(shè)計(jì)出若干

種圖形．

【例3】如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面

積是49cm2，求梯形的高.

（內(nèi)蒙古自治區(qū)東四盟中考試題）

解題思路：由于題目條件中涉及對(duì)角線位置關(guān)系，不妨從平移對(duì)角線入手．

【例4】如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，點(diǎn)P在線段

AD上，問：滿足條件∠BPC＝900的點(diǎn)P有多少個(gè)？

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

解題思路：根據(jù)AB＋DC＝AD這一關(guān)系，可以在AD上取點(diǎn)構(gòu)造等腰三角形．

【例5】如圖，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，對(duì)角線AC，BD相交于O，∠ACD＝600，點(diǎn)S，P，

Q分別為OD，OA，BC的中點(diǎn)．

（1）求證：△PQS是等邊三角形；

（2）若AB＝5，CD＝3，求△PQS的面積；

（3）若△PQS的面積與△AOD的面積的比是7：8，求梯形上、下兩底的比CD：AB．

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

解題思路：多個(gè)中點(diǎn)給人以廣泛的聯(lián)想：等腰三角形性質(zhì)、直角三角形斜邊中線、三角形中位線等.

【例6】如圖，分別以△ABC的邊AC和BC為一邊，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，點(diǎn)P是

EF的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)P到邊AB的距離是AB的一半．

（山東省競(jìng)賽試題）

解題思路：本題考查了梯形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是要構(gòu)造能運(yùn)用條件EP＝

PF的圖形．

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1.等腰梯形中，上底：腰：下底＝1：2：3，則下底角的度數(shù)是__________.

（天津市中考試題）

2.如圖，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝3，BC＝5，將腰DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)900至

DE，連接AE，則△ADE的面積為______________.（寧波市中考試題）

3．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝600，∠1＝∠2，且梯形的周長(zhǎng)為30cm，則這個(gè)

等腰梯形的腰長(zhǎng)為______________.

如圖，梯形中，，是中位線，是邊上任一點(diǎn)，如果2，那

4.ABCDAD//BCEFGBCSGEF22cm

么梯形ABCD的面積為__________.（成都市中考試題）

5.等腰梯形的兩條對(duì)角線互相垂直，則梯形的高h(yuǎn)和中位線的長(zhǎng)m之間的關(guān)系是()

A．m＞hB．m＝hC．m＜hD．無(wú)法確定

6.梯形ABCD中，AB//DC，AB＝5，BC＝32，∠BCD＝450，∠CDA＝600，則DC的長(zhǎng)度是()

21

A.73B．8C.9D.83E.833

32

（美國(guó)高中考試題）

7．如圖，在等腰梯形ABCD中，AC＝BC＋AD，則∠DBC的度數(shù)是()

A.300B.450C.600D.900

（陜西省中考試

8．如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，點(diǎn)P在BC上移動(dòng)，則

當(dāng)PA＋PD取最小值時(shí)，△APD中邊AP上的高為()

248

A．17B．17C．17D．3

171717

（鄂州市中考試題）

9．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝CD，點(diǎn)P為BC邊上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥CD，

BG⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，G．求證：PE＋PF＝BG．

（哈爾濱市中考試題）

10.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E，F(xiàn)分別為AB，AC中點(diǎn)，BD與EF相交于G．

1

求證：GF(BCAD)．

2

11.如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，CE⊥BF于點(diǎn)O．

求證：（1）四邊形EBCF是等腰梯形；

（2）EF2BC22BE2．（深圳市中考試題）

12.如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF//BC交CD于點(diǎn)F，AB

＝4，BC＝6，∠B＝600．

（1）求點(diǎn)E到BC的距離；

（2）點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PM⊥EF交BC于點(diǎn)M，過M作MN//AB交折線ADC

于點(diǎn)N，連接PN，設(shè)EP＝x．

①當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上時(shí)（如圖2），△PMN的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出△PMN的周長(zhǎng)；

若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．

②當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上時(shí)（如圖3），是否存在點(diǎn)P，使△PMN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所

有滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（江西省中考試題)

B級(jí)

1.如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，延長(zhǎng)BD到E，使DE＝DB，作

EF⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則AF＝__________.

（山東省競(jìng)賽試題）

2.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝10cm，AC與BD相交于G，且∠AGD＝600，設(shè)E

為CG中點(diǎn)，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)為_________.

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

3.用四條線段：a14,b13,c9,d7作為四條邊，構(gòu)成一個(gè)梯形，則在所構(gòu)成的梯形中，中位

線的長(zhǎng)的最大值為_________.（湖北賽區(qū)選拔賽試題）

4.如圖，梯形ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD相交于O點(diǎn)，且AO：CO＝3：2，則兩條對(duì)角線將梯形

分成的四個(gè)小三角形面積之比為（安徽省中考試題）

SAOD:SDOC:SCOB:SAOB_________.

第4題圖第5題圖第6題圖

5.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點(diǎn)，若△DEC的面積為S，則四邊形ABCD的

面積為()

579

A．SB．2SC．SD．S

244

（重慶市競(jìng)賽試題）

6.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝200，∠C＝700，E，M，F(xiàn)，N分別為AB，BC，CD，

DA的中點(diǎn)，已知BC＝7，MN＝3，則EF的值為()

1

A．4B．4C．5D．6

2

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

7.如圖，梯形ABCD中，AB//DC，E是AD的中點(diǎn)，有以下四個(gè)命題：①若AB＋DC＝BC，則∠BEC

＝900；②若∠BEC＝900，則AB＋DC＝BC；③若BE是∠ABC的平分線，則∠BEC＝900；

④若AB＋DC＝BC，則CE是∠DCB的平分線.其中真命題的個(gè)數(shù)是()

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

（重慶市競(jìng)賽試題）

8.如圖，四邊形ABCD是一梯形，AB//CD，∠ABC＝900，AB＝9cm，BC＝8cm，CD＝7cm，M是

AD的中點(diǎn)，從M作AD的垂線交BC于N，則BN的長(zhǎng)等于()

A．1cmB．1.5cmC．2cmD．2.5cm

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

如圖，在梯形中，，是腰的中點(diǎn)，⊥求證：

9.ABCDAB//DCMBCMNAD.S四邊形ABCDMNAD

（山東省競(jìng)賽試題）

10.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，分別以兩腰AB，CD為邊向兩邊作正方形ABGE和正方形DCHF，

設(shè)線段AD的垂直平分線l交線段EF于點(diǎn)M.求證：點(diǎn)M為EF的中點(diǎn).

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

11.已知一個(gè)直角梯形的上底是3，下底是7，且兩條對(duì)角線的長(zhǎng)都是整數(shù)，求此直角梯形的面積.

（“東方航空杯”上海市競(jìng)賽試題）

k

12.如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y(k0,x0)的圖象經(jīng)過矩形OABD的邊BD的

x

1

三等分點(diǎn)（DFBD）交AB于E，AB＝12，四邊形OEBF的面積為16.

3

（1）求k值.

（2）已知C(13,0)，點(diǎn)P從A出發(fā)以0.5cm/s速度沿AB、BD向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C同時(shí)出發(fā)，以

1.5cm/s的速度沿CO，OA，AB向B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).從運(yùn)

動(dòng)開始，經(jīng)過多少時(shí)間，四邊形PQCB為等腰梯形（如圖2）.

（3）在（2）條件下，在梯形PQCB內(nèi)是否有一點(diǎn)M，使過M且與PB，CQ分別交于S，T的直線

把PQCB的面積分成相等的兩部分，若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)及CM的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

專題21梯形

例1a＋b

例2⑴上底角為120°，下底角為60°；

⑵梯形的上底等于下底的一半，且等于腰長(zhǎng)；

⑶能拼出菱形，以下圖形供參考：

例37cm提示：過A作AE∥BD交CB延長(zhǎng)線于E，則S△AEC＝S梯形ABCD.

例4(1）如圖a，若E為AD中點(diǎn)，則∠BEC＝90°且CE,BE分別平分∠BCD，∠ABC；

⑵如圖b，在BC上取一點(diǎn)M，使AB＝MB，連結(jié)AM,DM，則∠AMD＝90°；

⑶如圖c，將a，b組合，則四邊形GEHM為矩形.

圖a圖b圖c

∴當(dāng)P為AD中點(diǎn)時(shí)，可以證明∠BPC＝90°；在AD上截取AP＝AB，可以證明∠BPC＝90°，故滿足條

件∠BPC＝90°的點(diǎn)P有2個(gè).

例5⑴連結(jié)SC,PB.∴△OCD,△OAB均為等邊三角形，S，P，Q分別為OD,OA,BC中點(diǎn)，

11

∴SQ＝BC＝AD＝SP＝PQ.故△SPQ為等邊三角形.

22

1133

⑵∵SB＝DO＋OB＝,CS＝3,BC＝7.

222

17372493

∴△SPQ的邊長(zhǎng)SQ＝BC＝.∴S△SPQ＝×()＝.

224216

3a

(3）設(shè)CD＝a，AB＝b(a<b),BC2＝SC2＋BS2＝(a)2＋(b＋)2＝a2＋b2＋ab.

22

322S△AODb3

∴S△SPQ＝(a＋ab＋b).又＝，則S△AOD＝ab.

16S△CODa4

S△AODb3S△PQS73223

又＝,則S△AOD＝ab.∵＝,∴8×(a＋ab＋b)＝7×ab.

S△CODa4S△AOD8164

a1

即2a2－5ab＋2b2＝0，化簡(jiǎn)得＝.故CD：AB＝1:2.

b2

例6如圖，分別過E,F,C,P作AB的垂線，垂足依次為R，S，T，Q，則PQ就是點(diǎn)P到AB的距離，且

1

有ER∥PQ∥CT∥FS，故四邊形ERSF為直角梯形，PQ＝(ER＋FS).

2

易證Rt△AER≌Rt△CAT，Rt△BFS≌Rt△CBT，∴ER＝AT，F(xiàn)S＝BT，又AT＋BT＝AB＝ER＋FS，

1

故PQ＝AB.

2

A級(jí)

1.60°2.33.6cm4.82cm25.B6.D7.C

8.C提示:如圖，作點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)D'，連結(jié)DD'交BC于E，連結(jié)AD'交BC于P，過D作

DF⊥AP于F,故PA＋PD此時(shí)最小.

由BE＝AD＝2，EC＝3，則可得：DE＝4，∴DD'＝8,則AD'＝217.

8

又∵AD'·DF＝AD·DD',則DF＝17.

17

9.提示：過P點(diǎn)作PQ⊥BG于Q，證明PE＝BQ.

1

10.提示：連結(jié)DF并延長(zhǎng)交于BC于H，則GF＝BH，AD＝CH.11.略

2

12.⑴3

⑵①當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PMN形狀不發(fā)生改變，其周長(zhǎng)為3＋7＋4.

②當(dāng)點(diǎn)在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PMN的形狀發(fā)生改變，但DMNC恒為等邊三角形，過E作EGBC于

G。

當(dāng)PM=PN時(shí)，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2；

當(dāng)PM=MN時(shí)，x=EP=GM=6-1-3=5-3；

當(dāng)PN=MN時(shí)，x=EP=GM=6-1-1=4

B級(jí)

1.42.5cm

3.10.5提示：以7，14作兩底的梯形中位線最長(zhǎng)

4.6：4：6：95.B6.A7.D

8.C提示：連結(jié)AN，DN，則AB2+BN2=CN2+DC2，而CN=BC-BN

提示：連結(jié)