初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級(jí)專(zhuān)題19 最值問(wèn)題

專(zhuān)題19最值問(wèn)題

閱讀與思考

在實(shí)際生活與生產(chǎn)中，人們總想節(jié)省時(shí)間或費(fèi)用，而取得最好的效果或最高效益，反映在數(shù)學(xué)問(wèn)題上，

就是求某個(gè)量的和、差、積、商的最大值和最小值，這類(lèi)問(wèn)題被稱(chēng)之為最值問(wèn)題，在現(xiàn)階段，解這類(lèi)問(wèn)題

的相關(guān)知識(shí)與基本方法有：

1、通過(guò)枚舉選取.

2、利用完全平方式性質(zhì).

3、運(yùn)用不等式（組）逼近求解.

4、借用幾何中的不等量性質(zhì)、定理等.

解答這類(lèi)問(wèn)題應(yīng)當(dāng)包括兩個(gè)方面，一方面要說(shuō)明不可能比某個(gè)值更大（或更?。?，另一方面要舉例說(shuō)

明可以達(dá)到這個(gè)值，前者需要詳細(xì)說(shuō)明，后者需要構(gòu)造一個(gè)合適的例子.

例題與求解

【例1】若c為正整數(shù)，且abc，bcd，dab，則（ab）（bc）（cd）（da）

的最小值是.

（北京市競(jìng)賽試題）

解題思路：條件中關(guān)于C的信息量最多，應(yīng)突出C的作用，把a(bǔ)，b，d及待求式用c的代數(shù)式表示.

【例2】已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a2b21，則a4abb4的最小值是（）

19

A.B.0C.1D.

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(全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

解題思路：對(duì)a4abb4進(jìn)行變形，利用完全平方公式的性質(zhì)進(jìn)行解題.

【例】如果正整數(shù)滿(mǎn)足，求的最大值

3x1,x2,x3,x4,x5x1x2x3x4x5=x1x2x3x4x5x5.

解題思路：不妨設(shè)，由題中條件可知

x1x2x3x4x5

11111

=1.結(jié)合題意進(jìn)行分析.

x2x3x4x5x1x3x4x5x1x2x4x5x1x2x3x5x1x2x3x4

【例4】已知x,y,z都為非負(fù)數(shù)，滿(mǎn)足xyz1，x2y3z4，記w3x2yz，求w的

最大值與最小值.

（四川省競(jìng)賽試題）

解題思路：解題的關(guān)鍵是用含一個(gè)字母的代數(shù)式表示w.

【例5】某工程車(chē)從倉(cāng)庫(kù)上水泥電線(xiàn)桿運(yùn)送到離倉(cāng)庫(kù)恰為1000米的公路邊栽立，要求沿公路的一邊

向前每隔100米栽立電線(xiàn)桿一根，已知工程車(chē)每次之多只能運(yùn)送電線(xiàn)桿4根，要求完成運(yùn)送18根的

任務(wù)，并返回倉(cāng)庫(kù)，若工程車(chē)每行駛1千米耗油m升（在這里耗油量的多少只考慮與行駛的路程有關(guān)，

其他因素不計(jì)）.每升汽油n元，求完成此項(xiàng)任務(wù)最低的耗油費(fèi)用.

（湖北省競(jìng)賽試題）

解題思路：要使耗油費(fèi)用最低，應(yīng)當(dāng)使運(yùn)送次數(shù)盡可能少，最少需運(yùn)送5次，而5次又有不同運(yùn)送方

法，求出每種運(yùn)送方法的行駛路程，比較得出最低的耗油費(fèi)用.

【例6】直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為5和12，斜邊長(zhǎng)為13，P是三角形內(nèi)或邊界上的一點(diǎn)，P

到三邊的距離分別為，，，求的最大值和最小值，并求當(dāng)取最大值和

d1d2d3d1+d2+d3d1+d2+d3

最小值時(shí)，P點(diǎn)的位置.

（“創(chuàng)新杯”邀請(qǐng)賽試題）

解題思路：連接P點(diǎn)與三角形各頂點(diǎn)，利用三角形的面積公式來(lái)解.

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1.社a，b，c滿(mǎn)足a2b2c29，那么代數(shù)式(ab)2(bc)2(ca)2的最大值是.

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

2.在滿(mǎn)足x2y3,x0,y0的條件下，2xy能達(dá)到的最大值是.

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

3.已知銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿(mǎn)足A＞B＞C.用表示A-B，B-C，以及90-A中的最小值，

則的最大值是.

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

c

4.已知有理數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a＞b＞c，且a+b+c=0，.那么的取值范圍是.

a

（數(shù)學(xué)夏令營(yíng)競(jìng)賽試題）

5.在式子x1x2x3x4中，代入不同的x值，得到對(duì)應(yīng)的值，在這些對(duì)應(yīng)的值中，最小的

值是（）.

A.1B.2C.3D.4

6.若a，b，c，d是整數(shù)，b是正整數(shù)，且滿(mǎn)足bcd，dca，bac，那么abcd的最

大值是（）.

A.-1B.-5C.0D.1

(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

7.已知xya,zy10,則代數(shù)式x2y2z2xyyzxz的最小值是（）.

A.75B.80C.100D.105

(江蘇省競(jìng)賽試題)

8.已知x，y，z均為非負(fù)數(shù)，且滿(mǎn)足xyz=30，3xyz50，又設(shè)M5x4y2Z，則M

的最小值與最大值分別為（）.

A.110，120B.120，130C.130，140D.140，150

x12yz3

9.已知非負(fù)實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足，記w3x4y5z.求w的最大值和最小值

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（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

10.某童裝廠(chǎng)現(xiàn)有甲種布料38米，乙鐘布料26米，現(xiàn)計(jì)劃用這兩種布料生產(chǎn)L，M兩種型號(hào)的童裝共50

套，已知做一套L型號(hào)的童裝需用甲種布料0