第02講 代數(shù)式（含詳解答案）-全國(guó)重點(diǎn)高中自主招生大揭秘

代數(shù)式

一、單選題

2222

1．（2022·福建·九年級(jí)統(tǒng)考競(jìng)賽）已知正整數(shù)a，b，c，d滿足：abcd，abcd2022，dcba2022，

則這樣的4元數(shù)組(a，b，c，d)共有（）

A．251組B．252組C．502組D．504組

11994

2．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）當(dāng)x時(shí)，多項(xiàng)式(4x3﹣1997x﹣1994)2001的值為（）

2

A．1B．﹣1C．22001D．﹣22001

3．（2022·廣東·九年級(jí)統(tǒng)考競(jìng)賽）已知a2(bc)b2(ac)2022，且a1b，則abc的值為（）

A．2022B．-2022C．4044D．-4044

4．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）設(shè)a71，則3a312a26a12（）

A．24B．25C．4710D．4712

5．（2019秋·河南許昌·七年級(jí)校聯(lián)考競(jìng)賽）定義：若abn，則稱a與b是關(guān)于數(shù)n的“平衡數(shù)”.比如3

與4是關(guān)于1的“平衡數(shù)”，5與12是關(guān)于17的“平衡數(shù)”.現(xiàn)有a3x210kx12與b3x25x2k（k為

常數(shù)）始終是關(guān)于數(shù)n的“平衡數(shù)”，則n

A．11B．12C．13D．14

6．（2019秋·河南許昌·七年級(jí)校聯(lián)考競(jìng)賽）如果單項(xiàng)式7xmyn2與單項(xiàng)式4x2my3n1是同類項(xiàng)，則m2n的

值是

A．1B．-1C．2D．-2

7．（2020秋·江西·七年級(jí)江西省于都中學(xué)校考競(jìng)賽）數(shù)學(xué)課上，老師講了多項(xiàng)式的加減，放學(xué)后，小明回

113

到家拿出課堂筆記，認(rèn)真的復(fù)習(xí)老師課上講的內(nèi)容，他突然發(fā)現(xiàn)一道題：（-x2+3xy-y2）-（-x2+4xy-y2）

222

1

=-x2_____+y2空格的地方被鋼筆水弄污了，那么空格中的一項(xiàng)是（）

2

A．-7xyB．7xyC．-xyD．xy

8．（2022春·山東濟(jì)南·六年級(jí)?？几?jìng)賽）在幼發(fā)拉底河岸的古代廟宇圖書(shū)館遺址里，曾經(jīng)發(fā)掘出大量的黏

土板，美索不達(dá)米亞人在這些黏土板上刻出來(lái)乘法表、加法表和平方表．用這些簡(jiǎn)單的平方表，美索不達(dá)

米亞人這樣計(jì)算：第一步：（103+95）÷2＝99，第二步（103﹣95）÷2＝4；第三步：查平方表；知99的平

方是9801，第四步：查平方表，知4的平方是16，第五步：9801-16=9785=95′103.設(shè)兩因數(shù)分別為a

和b，寫(xiě)出蘊(yùn)含其中道理的整式運(yùn)算（）

(ab)2(ab)2

A．a(chǎn)b

2

(ab)2(a2b2)

B．a(chǎn)b

2

abab

C．()2()2ab

22

abab

D．()2()2ab

22

二、解答題

9．（2022春·山東濟(jì)南·六年級(jí)校考競(jìng)賽）一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘aa......a，記為an，如222238，

n

此時(shí)，3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為log28(即log283)．一般地，若ab(a0且a1,b0)，則n叫

4

做以a為底b的對(duì)數(shù)，記為logab(即logabn)．如381，則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為log381

(即log3814)．

（1）計(jì)算下列各對(duì)數(shù)的值：log24；log216；log264．

（2）觀察（1）中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關(guān)系式，log24,log216,log264之間又滿足怎樣的關(guān)系式；

（3）由（2）的結(jié)果，你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論嗎?

（4）根據(jù)冪的運(yùn)算法則：anamanm以及對(duì)數(shù)的含義說(shuō)明上述結(jié)論．

10．（2022春·山東濟(jì)南·六年級(jí)?？几?jìng)賽）如圖，從左到右，在每個(gè)小格子中都填入一個(gè)整數(shù)，使得其中任

意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等．

（1）可求得x=___，第2009個(gè)格子中的數(shù)為_(kāi)__；

（2）判斷：前m個(gè)格子中所填整數(shù)之和是否可能為2018？若能，求出m的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如果a，b為前三個(gè)格子中的任意兩個(gè)數(shù)，那么所有的|a?b|的和可以通過(guò)計(jì)算

|9?&|+|9?#|+|&?#|+|&?9|+|#?9|+|#?&|得到，若a，b為前19個(gè)格子中的任意兩個(gè)數(shù)，則所

有的|a?b|的和為_(kāi)__．

11111111

11．（2022春·山東濟(jì)南·六年級(jí)校考競(jìng)賽）觀察下列式子：1,,將以上三個(gè)

12223233434

1111111113

式子的兩邊分別相加，得1＝1

1223342233444

1

（1）猜想并寫(xiě)出：＝．

n(n1)

1111

（2）直接寫(xiě)出：＝．

12233420182019

11111111

12．（2022春·山東濟(jì)南·六年級(jí)校考競(jìng)賽）觀察下列等式：1—，—，—，

12223233434

將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：

1111111113

1———1—．

1223342233444

觀察發(fā)現(xiàn)

11111

________；__________．

nn1122334nn1

初步應(yīng)用

利用（1）的結(jié)論，解決以下問(wèn)題：

11

①把拆成兩個(gè)分子為1的正的真分?jǐn)?shù)之差，即_______；

66

11

②把拆成兩個(gè)分子為1的正的真分?jǐn)?shù)之和，即_______；

66

深入探究

1111111111111

定義“”是一種新的運(yùn)算，若2，3，4，則9計(jì)算

1262612204203042563

的結(jié)果是_________．

拓展延伸

第一次用一條直徑將圓周分成兩個(gè)半圓（如圖），在每個(gè)分點(diǎn)標(biāo)上質(zhì)數(shù)k，記2個(gè)數(shù)的和為a1；第二次將兩

11

個(gè)半圓都分成圓，在新產(chǎn)生的分點(diǎn)標(biāo)上相鄰的已標(biāo)的兩個(gè)數(shù)的和的，記4個(gè)數(shù)的和為a；第三次將四

422

111

個(gè)圓都分成圓，在新產(chǎn)生的分點(diǎn)標(biāo)上相鄰的已標(biāo)的兩個(gè)數(shù)的和的，記8個(gè)數(shù)的和為a；第四次將八

4833

111

個(gè)圓都分成圓，在新產(chǎn)生的分點(diǎn)標(biāo)上相鄰的已標(biāo)的兩個(gè)數(shù)的和的，記16個(gè)數(shù)的和為a；……，如

81644

此進(jìn)行了n次．

①an__________（用含有k,n的代數(shù)式表示）；

1111

②若an4420，求的值．

a1a2a3an

13．（2022春·山東濟(jì)南·六年級(jí)校考競(jìng)賽）下列是用火柴棒拼出的一列圖形．

仔細(xì)觀察，找出規(guī)律，解答下列各題：

(1)第4個(gè)圖中共有_________根火柴，第6個(gè)圖中共有_________根火柴；

(2)第n個(gè)圖形中共有_________根火柴(用含n的式子表示)

f(1)f(2)f(2017)

(3)若f(n)=2n?1（如f(?2)=2×(?2)?1，f(3)=2×3?1），求的值．

2017

(4)請(qǐng)判斷上組圖形中前2017個(gè)圖形火柴總數(shù)是2017的倍數(shù)嗎，并說(shuō)明理由?

122220082

14．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）(25分)在,,中，有多少個(gè)不同的整數(shù)(其中，[x]表示

200820082008

不大于x的最大整數(shù))?

15．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）沿著圓周放著一些數(shù)，如果有4個(gè)相連的數(shù)a，b，c，d滿足不等式

(ad)(bc)0，那么就可以交換b，c的位置，這稱為一次操作．

（1）若圓周上的依次放著數(shù)1，2，3，4，5，6，問(wèn)能否經(jīng)過(guò)有限次操作后，對(duì)任意相連的4個(gè)數(shù)a，b，c，

d都有(ad)(bc)0？

（2）若圓周上依次放著數(shù)1，2，3，…，2010，問(wèn)能否經(jīng)過(guò)有限次操作后，對(duì)任意4個(gè)問(wèn)題相連的數(shù)a，b，

c，d都有(ad)(bc)0？

16．（2022春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考競(jìng)賽）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足abc0，a2b2c21，求

a5b5c5abc的值．

17．（2020秋·江西·七年級(jí)江西省于都中學(xué)?？几?jìng)賽）①當(dāng)a2，b3時(shí)，分別求代數(shù)式(ab)2和

a22abb2的值．

②根據(jù)上面計(jì)算結(jié)果猜想這兩個(gè)代數(shù)式的值有何關(guān)系?（若上面計(jì)算結(jié)果你還猜想不出關(guān)系，可以再嘗試幾

組a、b的值進(jìn)行計(jì)算猜想．）

③根據(jù)你的猜想，請(qǐng)計(jì)算當(dāng)a2019，b2020時(shí)，代數(shù)式a22abb2的值．

222222

18．（2019秋·河南許昌·七年級(jí)校聯(lián)考競(jìng)賽）若(a3)|b2|0，求3ab2ab5ab6ab2ab

的值.

2

19．（2022春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考競(jìng)賽）已知：2m2n10，求

2335323

6mn4mn3mnmn2mn3mn的值．

3

三、填空題

413

20．（2022春·山東濟(jì)南·六年級(jí)?？几?jìng)賽）一列數(shù)：a，a，a，an，，其中a，a，且當(dāng)n3

1231329

1

時(shí)，aa(aa)，用含n的式子表示a的結(jié)果是__．

nn13n1n2n

21．（2019秋·河南許昌·七年級(jí)校聯(lián)考競(jìng)賽）把四張大小相同的長(zhǎng)方形卡片（如圖①）按圖②、圖③兩種放

法放在一個(gè)底面為長(zhǎng)方形（長(zhǎng)為m，寬為n）的盒底上，底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，若記圖②中

陰影部分的周長(zhǎng)為C2，圖③中陰影部分的周長(zhǎng)為C3，則C2C3___________.

22．（2022·福建·九年級(jí)統(tǒng)考競(jìng)賽）若素?cái)?shù)p，使得4p2p81是一個(gè)完全平方數(shù)，則p=______．（若一

個(gè)數(shù)能表示成某個(gè)整數(shù)的平方的形式，則稱這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)．）

23．（2020秋·江西·七年級(jí)江西省于都中學(xué)?？几?jìng)賽）某同學(xué)做一道代數(shù)題：“求代數(shù)式

10x99x88x77x66x55x44x33x22x1，當(dāng)x1時(shí)的值”，由于將式中某一項(xiàng)前的“+”號(hào)錯(cuò)看為“-”

號(hào)，誤得代數(shù)式的值為37，那么這位同學(xué)看錯(cuò)了______次項(xiàng)前的符號(hào)．

24．（2019秋·河南許昌·七年級(jí)校聯(lián)考競(jìng)賽）當(dāng)x=1時(shí)，代數(shù)式2ax37bx5的值為3，則

21b6a10_________.

25．（2019秋·河南許昌·七年級(jí)校聯(lián)考競(jìng)賽）已知a、b互為倒數(shù)，c為最小的正整數(shù)，d是最大的負(fù)整數(shù)，

cd

|x5|0，則式子3abx2的值為_(kāi)________.

x

26．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）若一個(gè)正整數(shù)分別加上100和168，可得到兩個(gè)完全平方數(shù)，則這個(gè)正整數(shù)

為_(kāi)_____．

27．（2022·福建·九年級(jí)統(tǒng)考競(jìng)賽）同余數(shù)是一個(gè)三邊均為有理數(shù)的直角三角形的面積，即如果存在三個(gè)正

1

有理數(shù)a，b，c，使得

a2b2c2，且

abn，則稱n為同余數(shù)．如果正整數(shù)n為同余數(shù)，則稱n為整同

2

32041

余數(shù)．由于5是三邊長(zhǎng)分別為，，的直角三角形的面積，6是三邊長(zhǎng)分別為3，4，5的直角三角形

236

175288337

的面積，7是三邊長(zhǎng)分別為，，的直角三角形的面積，所以5，6，7都是同余數(shù)，且是整同余

606060

數(shù)．如何判斷一個(gè)正整數(shù)是否為同余數(shù)至今尚未完全解決．關(guān)于同余數(shù)的第一個(gè)重要結(jié)論是費(fèi)馬（Fermat）

1na

c2n2a

c

在17世紀(jì)證明的1不是同余數(shù)．在

a2b2c2，

abn中，令

x，

y，得

2bb2

y2x3n2x．因此，若正整數(shù)n是同余數(shù)，則二元三次不定方程y2x3n2x有有理數(shù)解；若正整數(shù)n使

得二元三次不定方程y2x3n2x有有理數(shù)解，則n是同余數(shù)．這樣，古老的同余數(shù)問(wèn)題與現(xiàn)代的橢圓曲線

y2x3n2x的有理點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)的點(diǎn)）之間建立了聯(lián)系．閱讀上述材料，請(qǐng)你寫(xiě)出橢圓曲線

y2x3202x上的一個(gè)有理點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)______．

28．（2022春·山東濟(jì)南·六年級(jí)?？几?jìng)賽）現(xiàn)有一列整數(shù),第一個(gè)數(shù)為1,第二個(gè)數(shù)為x.以后每一個(gè)數(shù)都由它

前一個(gè)數(shù)與再前一個(gè)數(shù)差的絕對(duì)值得到.如第三個(gè)數(shù)是由x與1差的絕對(duì)值得到,即為|x1|,第四個(gè)數(shù)是由

|x1|與x差的絕對(duì)值得到,即為|x1|x||,...依次類推.

①若x=2,則這列數(shù)的前10個(gè)數(shù)的和為;

②要使這列數(shù)的前100個(gè)數(shù)中恰好有30個(gè)0,則x=.

參考答案：

1．D

【分析】根據(jù)題意得出a3b2c1d，繼而得出

2022d2c2b2a2dcdcbabadcba2022，再由已知條

件構(gòu)造1010acaa2，即可解答．

【詳解】因?yàn)閍，b，c，d為正整數(shù)，且abcd，

所以a3b2c1d．

所以2022d2c2b2a2dcdcbabadcba2022．

因此dc1，ba1，即dc1，ba1．

所以abcdaa1cc12022，因此ac1010．

又a2c，所以1010acaa2，因此1a504．

所以符合條件的4元數(shù)組a,b,c,d為a,a1,1010a,1011a，其中1a504．

所以符合條件的4元數(shù)組有504組．

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目已知等式構(gòu)造不等式，屬于競(jìng)賽題．

2．B

【分析】由題意得(2x?1)2＝1994，得到4x2?4x-1993=0，將原式轉(zhuǎn)化為

(4x3?4x?1993x?1993?1)2001＝[x(4x2?4x?1993)＋(4x2?4x?1993)?1]2001的值，再將4x2?4x＋1

＝1994代入可得出答案．

11994

【詳解】解：∵x，

2

∴(2x?1)2＝1994，

∴4x2?4x＋1＝1994，

∴4x2?4x-1993=0

(4x31997x1994)2001

(4x34x1993x19931)2001

[x(4x24x1993)(4x24x1993)1]2001

=(1)2001

=-1

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題難度較大，需要對(duì)要求的式子進(jìn)行變形，同學(xué)們要學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，這是數(shù)學(xué)

上很重要的一種思想．

3．B

【分析】將a2（b+c）=b2（a+c），a≠b，變形后可得ab+ca+bc=0，進(jìn)而可得結(jié)果．

【詳解】解：a2（b+c）=b2（a+c），

a2b+a2c=b2a+b2c，

a2b+a2c-（b2a+b2c）=0，

a2b+a2c-b2a-b2c=0，

ab（a-b）+c（a2-b2）=0，

ab（a-b）+c（a+b）（a-b）=0，

（a-b）（ab+ca+bc）=0，

∵a≠b，

∴ab+ca+bc=0，

∵b2（a+c）=b（ab+bc）=b（-ac）=-abc=2022，

∴abc=-2022．

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式以及因式分解，解決本題的關(guān)鍵是掌握平方差公式以及

提公因式法因式分解．

4．A

【分析】首先根據(jù)a71，得出a17，再根據(jù)等式兩邊平方，得出a22a6，再

把3a312a26a12進(jìn)行變形，然后把a(bǔ)22a6代入計(jì)算即可．

【詳解】解：由a71，

可得：a17，

2

∴a1a22a17，

∴a22a6，

∴3a312a26a12

3aa22a6a26a12

18a6a26a12

6a212a12

6a22a12

6612

24．

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了求代數(shù)式的值、二次根式的化簡(jiǎn)、整式的恒等變形，將所求式子進(jìn)行適

當(dāng)?shù)淖冃问墙獗绢}的關(guān)鍵．

5．A

【分析】利用“平衡數(shù)”的定義可得a+b=n，代入計(jì)算即可．

【詳解】解：∵a3x210kx12與b3x25x2k（k為常數(shù)）始終是關(guān)于數(shù)n的“平衡

數(shù)”，

∴a+b=(3x210kx12)(3x25x2k)=(510k)x122k=n，

∴5-10k=0，

1

解得：k=，

2

1

∴n=12-2×=11．

2

故選：A．

【點(diǎn)睛】此題考查了整式的加減的應(yīng)用，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．

6．D

【分析】直接利用同類項(xiàng)的定義得出關(guān)于m，n的方程進(jìn)而得出答案．

【詳解】解：∵單項(xiàng)式7xmyn2與單項(xiàng)式4x2my3n1是同類項(xiàng)，

∴m=2-m，n+2=3n-1，

3

解得，m=1，n=，

2

則m-2n=-2，

故選：D．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了同類項(xiàng)，正確掌握同類項(xiàng)的定義是解題關(guān)鍵．

7．C

【分析】按照整式加減法法則“幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類

項(xiàng)”進(jìn)行計(jì)算，然后對(duì)比結(jié)果，即可得出答案.

2121232

【詳解】解：x3xyyx4xyy

222

113

＝－x2＋3xy－y2＋x2－4xy＋y2

222

1

＝－x2－xy＋y2.

2

所以空格中的一項(xiàng)是－xy.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生對(duì)整式的加減法的綜合運(yùn)用能力.解決本題的重點(diǎn)在于要將所給

的等式的左邊進(jìn)行計(jì)算，然后與右邊進(jìn)行對(duì)比，即可得出答案.注意：在對(duì)比中要注重項(xiàng)的

符號(hào)，以避免功虧一潰.

8．D

【分析】先觀察題干實(shí)例的運(yùn)算步驟，發(fā)現(xiàn)103,95對(duì)應(yīng)的數(shù)即為a,b,從而可得出結(jié)論.

ababa22abb2a22abb2

【詳解】解：由題意得：()2()2

2244

4ab

==ab.

4

故選D

2

【點(diǎn)睛】本題考查的是利用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算，掌握“aba22abb2”是解本題

的關(guān)鍵.

9．（1）2，4，6；（2）4×16=64，log24+log216log264；（3）logam+loganlogamn；

（4）見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義求解可得；

（2）觀察三個(gè)數(shù)字及對(duì)應(yīng)的結(jié)果，找出規(guī)律；

（3）將找出的規(guī)律寫(xiě)成一般形式；

nmnm

（4）設(shè)logam=x，logany，利用aaa轉(zhuǎn)化可推導(dǎo)．

【詳解】（1）∵224,

2416,

2664

∴l(xiāng)og242，log2164，log2646

（2）4、16、64的規(guī)律為：4×16=64

∵2+4=6，∴l(xiāng)og24log216log264

（3）根據(jù)（2）得出的規(guī)律，我們一般化，為：logam+loganlogamn

（4）設(shè)logam=x，logany

則axm，ayn

∴axaymnaxy

∴l(xiāng)ogamn=x+y

∴l(xiāng)ogamn=logam+logan，得證

【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算，解題關(guān)鍵是快速學(xué)習(xí)題干告知的運(yùn)算法則，找出相應(yīng)

規(guī)律．

10．（1）9，-6；（2）能，m=1211；（3）2424

【分析】（1）根據(jù)任意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等，得到x及數(shù)字的排列規(guī)律，

即可計(jì)算第2009個(gè)格子中的數(shù)；

（2）先計(jì)算出這三個(gè)數(shù)的和，再按照規(guī)律計(jì)算；

（3）由于是三個(gè)數(shù)重復(fù)出現(xiàn)，重復(fù)計(jì)算前三個(gè)數(shù)的和得到規(guī)律后即可得到答案.

【詳解】（1）∵任意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等，

∴x=9，&=-6，

∴#=2，

∴這列數(shù)是按9，-6,2循環(huán)排列的，

∵20093=6692，

∴第2009個(gè)格子中的數(shù)是-6,，

故答案為：9，-6；

（2）能，

∵9-6+2=5，20185=4033，且9-6=3，

∴前m個(gè)格子中所填整數(shù)之和可能為2018，

m的值為：403321211；

（3），由于是三個(gè)數(shù)重復(fù)出現(xiàn)，則前19個(gè)格子中的這三個(gè)數(shù)中，9出現(xiàn)7次，-6出現(xiàn)6次，

2出現(xiàn)6次，

代入式子計(jì)算可得

9669267626697629726662424，

故答案為：2424.

【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字類規(guī)律的探究，根據(jù)題意找到數(shù)字的排列規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

112018

11．（1）；（2）

nn12019

【分析】（1）通過(guò)觀察，總結(jié)規(guī)律即可；

（2）應(yīng)用（1）得到的規(guī)律解題即可.

11111111

【詳解】解：（1）由1,,…

12223233434

111

可得：=；

n(n1)nn1

11

故答案為：；

nn1

1111

（2）

12233420182019

1111111

＝1

2233420182019

1

＝1

2019

2018

＝，

2019

2018

故答案為．

2019

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵在于通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并正確應(yīng)用

規(guī)律.

11n11111n1n2

12．k

nn1n12342743

15

52

【分析】根據(jù)材料給出的規(guī)律解答即可

1111111n

【詳解】(1)觀察發(fā)現(xiàn)：；

nn1nn1122334nn1n1

111111

(2)①在(1)的結(jié)論下，即

nn1nn1623

111111

②即

nnn1n16427

1111

(3)觀察可知，b

aaa1a1a2ab1ab

111

b

aaab

1111

9

33124

6122030n1n2

(4)①a12kk，a24kk，a3k，a410kk，ak

3333n3

n1n2

②∵ak4420且k為質(zhì)數(shù)

n3

對(duì)4420分解質(zhì)因數(shù)可知44202251317

∴kn1n2225131755152

∴k5，n50

5n1n213

∴，

an

3an5n1n2

111311131115

∴

a1a2an523345152525252

【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式的化簡(jiǎn)變形

13．(1)17，25

(2)(4n+1)

(3)2017

(4)是，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）觀察發(fā)現(xiàn)每增加一個(gè)圖案增加三根火柴，從而得到規(guī)律，代入求解即可求得

總數(shù)．

（2）根據(jù)以上規(guī)律即可得；

（3）利用高斯求和方法計(jì)算可得；

（4）求出前2017個(gè)圖形中火柴總數(shù)即可得．

（1）

第4個(gè)圖案中火柴有4×4+1=17；

第6個(gè)圖案中火柴有4×6+1=25；

（2）

當(dāng)n=1時(shí)，火柴的根數(shù)是4×1+1=5；

當(dāng)n=2時(shí)，火柴的根數(shù)是4×2+1=9；

當(dāng)n=3時(shí)，火柴的根數(shù)是4×3+1=13；

所以第n個(gè)圖形中火柴有4n+1．

（3）

f(1)=2×1?1=1，

f(2)=2×2?1=3，

f(3)=2×3?1=5，

??????

1357...220171

∴原式

2017

(2201711)2017

22017

=2017.

（4）

4×1+1+4×2+1++4×2017+1

=4×（1+2++2?017）+1×2017

1

=4××（1+?2017）×2017+2017

2

=2×（1+2017）×2017+2017

=4037×2017.

∴是2017倍數(shù).

【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的規(guī)律，對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是

按照什么規(guī)律變化的．通過(guò)分析找到各部分的變化規(guī)律后用一個(gè)統(tǒng)一的式子表示出變化規(guī)律

是此類題目中的難點(diǎn)．

14．1507

【分析】根據(jù)前后兩個(gè)數(shù)的差找出前后兩個(gè)整數(shù)的變化規(guī)律，從而得到前1004個(gè)數(shù)中有重

復(fù)連續(xù)的整數(shù)，最小是0，最大為502，，后1004個(gè)是不重復(fù)的整數(shù)，

n2

【詳解】設(shè)f(n)=.

2008

n2(n1)22n1

①當(dāng)n=1，2，…，1004時(shí)，有f(n)-f(n-1)=-=<1.

200820082008

100421

而[f(1)]=0，[f(1004)]=[]=502，

2018

所以，從0到502的整數(shù)都能取到.

2n1

②當(dāng)n=1005，1006，…，2008時(shí)，有f(n)-f(n-1)=>1.

2008

10052(10041)21

而[f(1005)]===502+1+>503，

200820082008

1005210062200821222

故從是互不同的整數(shù)共1004個(gè).從而，在

20082008200820082008

20082

中，共有503+1004=1507個(gè)不同的整數(shù).

2008

【點(diǎn)睛】此題主要考查了取整計(jì)算，根據(jù)已知得出所有整數(shù)的取值范圍是解題關(guān)鍵．

15．（1）能；（2）能

【詳解】解（1）如圖，連續(xù)進(jìn)行4次操作：

并且易檢驗(yàn)最后一個(gè)圓周上的6個(gè)數(shù)滿足：對(duì)任意4個(gè)相連的數(shù)a，b，c，d，都有

(ad)(bc)0．

（2）答案也是肯定的，考慮這2010個(gè)數(shù)相鄰兩數(shù)之積的和

f1223342009201020101，

若圓周上相連的4個(gè)數(shù)a，b，c，d滿足不等式(ad)(bc)0，即abcdbdac，交

換b與c后，設(shè)圓周上相鄰兩數(shù)之積的總和為f，則

ff(accbbd)(abbccd)(acbd)(abcd)0，即ff1．

所以，每操作一次，相鄰兩數(shù)乘積和至少減少1，而相鄰兩數(shù)乘積和不可能是負(fù)數(shù)和零故經(jīng)

過(guò)有限次操作后，對(duì)任意相連的4個(gè)數(shù)a，b，c，d都有(ad)(bc)0．

5

16．

2

212121

【分析】由abc0和a2b2c21兩式變形得出abc，acb，bca，

222

212112121121211

aa++bb++cc++

224224224

再將原式變形為+，計(jì)算即可．

111

a2b2c2

222

【詳解】∵abc0，

22

∴ab-c，兩邊同時(shí)平方得ab-c，

即a22abb2c2，

∴2abc2-a2b2，

又∵a2b2c21，

∴a2b21-c2，

∴2abc2-1-c22c21，

1

即abc2，

2

11

同理可得acb2，bca2，

22

1

原式=a5b5c5

abc

a4b4c4

=+

bcacab

a4b4c4

+

=111

a2b2c2

222

111111

a4-+b4-+c4-+

=44+4444

111

a2b2c2

222

212112121121211

aa++bb++cc++

224224224

=+

111

a2b2c2

222

111

111

=a2++4+b2++4+c2++4

111

2a22b22c2

222

111

=212121444

a++b++c++++

222bcacab

111

abc

=212121444

a++b++c++++

222abcabcabc

2121211a+bc

=a++b++c++

2224abc

111

=a2+b2+c2+++

222

111

=1+++

222

5

=．

2

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式和平方差公式，解題的關(guān)鍵是對(duì)代數(shù)式進(jìn)行變形．

17．①25，25；②這兩個(gè)代數(shù)式的值相等；③1

【分析】①將已知條件代入，分別求值即可；

②根據(jù)題意，可猜想兩個(gè)代數(shù)是相等關(guān)系；

③結(jié)合②的結(jié)論，簡(jiǎn)便計(jì)算即可．

【詳解】①當(dāng)a2，b3時(shí)，(ab)2(23)225；a22abb2412925；

②根據(jù)上面計(jì)算結(jié)果猜想這兩個(gè)代數(shù)式的值相等；

③當(dāng)a2019，b2020時(shí)，代數(shù)式a22abb2(ab)2(20192020)21．

【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，以及規(guī)律總結(jié)，靈活總結(jié)出規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)

算是解題關(guān)鍵．

18．化簡(jiǎn)結(jié)果是2ab2；-24.

【分析】由(a+3)2+b-2=0，求出a、b的值，然后化簡(jiǎn)多項(xiàng)式并把所求字母的值代入計(jì)

算即可求出結(jié)果．

【詳解】解：由(a+3)2+b-2=0得:a=-3，b=2，

22222

3ab2ab5ab6ab2ab

2222

=3ab2abab2ab

=3ab2ab2

=2ab2．

當(dāng)a=-3，b=2時(shí)，

原式=2(3)22=24.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式加減運(yùn)算及化簡(jiǎn)求值，還考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握整式加減運(yùn)算

法則是關(guān)鍵．

19．0

【分析】首先根據(jù)偶次方和絕對(duì)值的非負(fù)性，可得m，n的值，然后化簡(jiǎn)整式，代入m，n

的值，即可得到答案．

【詳解】2(m2)2n10，

m2,n1，

原式6m2n3(4mn33mn5mn3)2mn6m2n3

6m2n34mn33mn5mn32mn6m2n3

mn3mn，

把m2,n1帶入得

原式(2)13(2)1

0，

故答案為：0．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的化簡(jiǎn)求值，其中利用偶次方和絕對(duì)值的非負(fù)性，求出m，n

的值也是關(guān)鍵的一步．

31

20．

223n

1

【分析】根據(jù)aa(aa)，依次寫(xiě)出相鄰兩項(xiàng)之差，再左右兩邊同時(shí)累加得出

nn13n1n2

1111111

aa，令A(yù)，AA得出A的值，將其代入aa中，表

n132333n32333n3n1

示出an即可．

1

【詳解】解：aa(aa)，

nn13n1n2

1111

有aa(aa)()n2(aa)，aa(aa)()n3(aa)，，

nn13n1n2321n1n23n2n3321

111

aa(aa)，aa()2，

323212193

111

左右兩邊同時(shí)累加得aa，

n132333n

1111111

令A(yù)，則A，

32333n333343n1

11111

AA，解得：A．

3323n1623n

11431

aAa．

n1623n3223n

31

故答案為：．

223n

111

【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型中的數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是找出aa，

n132333n

再利用規(guī)律求解．

21．2m-2n.

【分析】此題要先設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為acm，寬為bcm，再結(jié)合圖形得出2b+a=m，分別表示

圖形②的陰影周長(zhǎng)和圖形③的陰影周長(zhǎng)，作差后即可求出答案.

【詳解】解：設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a，寬為b，由圖可知2b+a=m，

∴②陰影部分的周長(zhǎng)為：C2=2（m+n），

∴③陰影部分的周長(zhǎng)為：C3=2m+2（n-a）+2（n-2b）=2m+4n-2(2b+a)=2m+4n-2m=4n,

∴C2-C3=2（m+n）-4n=2m-2n.

故答案為2m-2n.

【點(diǎn)睛】此題主要考查整式加減的運(yùn)用，做此類題要善于觀察，在第②個(gè)圖形中利用割補(bǔ)法

進(jìn)行計(jì)算，很容易計(jì)算得出結(jié)果．

22．11

【分析】設(shè)4p2p81n2，n為正整數(shù)．等式兩邊同時(shí)乘16，并整理得出

4n8p14n8p112955737．由4n8p1為整數(shù)，4n8p1為正整數(shù)，且

4n8p14n8p1，可分類討論得出關(guān)于n和p的二元一次方程組，解除n和p的值，

再保留符合題意的p的值即可．

【詳解】設(shè)4p2p81n2，n為正整數(shù)．

2

則64p216p168116n2，即8p1129516n2．

∴4n8p14n8p112955737．

由4n8p1為整數(shù)，4n8p1為正整數(shù)，且4n8p14n8p1，得

4n8p114n8p154n8p174n8p135

，或，或，或．

4n8p112954n8p17374n8p15374n8p137

n162n33

n24n9

解得323，或63，或，或．

ppp11p0

44

又p為素?cái)?shù)，所以p11．

所以當(dāng)素?cái)?shù)p11時(shí)，4p2p81是一個(gè)完全平方數(shù)．

故答案為：11．

【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用．通過(guò)完全平方公式變形是

解題關(guān)鍵．

23．8

【分析】先將x=1代入，求出正確值，再進(jìn)行計(jì)算即可．

【詳解】解：當(dāng)x1時(shí)，

10x99x88x77x66x55x44x33x22x1

10987654321

=55，

錯(cuò)誤的算式為：原式10987654321

1098765432118

5518

37

則這位同學(xué)看錯(cuò)了8次項(xiàng)前的符號(hào)．

故答案為：8

【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式的加減-化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，一般要先化簡(jiǎn)，再把給定字母的值代

入計(jì)算，得出整式的值，不能把數(shù)值直接代入整式中計(jì)算．

24．34.

【分析】本題是帶有參數(shù)的代數(shù)式求值問(wèn)題，根據(jù)題意可得2a7b53，求出7b2a8

的值，然后將21b6a10變形后用整體代入的方法即可求值.

【詳解】解：∵當(dāng)x1時(shí)，代數(shù)式2ax37bx5的值為3，

∴2a7b53，

∴7b2a8，

∴21b6a103(7b2a)10=24+10=34．

故答案是：34.

【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值問(wèn)題，將代數(shù)式變形后整體代入是關(guān)鍵.

25．-22.

【分析】由a、b互為倒數(shù)，c為最小的正整數(shù)，d是最大的負(fù)整數(shù)可知ab=1，c=1，d=-1，

再由|x+5|=0可知x=-5，再代入所求代數(shù)式即可得出結(jié)論．

【詳解】解：∵a、b互為倒數(shù)，c為最小的正整數(shù)，d是最大的負(fù)整數(shù)，

∴ab=1，c=1，d=-1，

∵|x+5|=0，

∴x=-5，

1(1)

∴原式=31(5)2=3-25+0=-22.

5

【點(diǎn)睛】本題考查的是代數(shù)式求值，先根據(jù)題意得出ab=1，c=1，d=-1，x=-5是解答此題的

關(guān)鍵．

26．156

【分析】設(shè)此數(shù)為x，且x+168=a2，x100b2，再根據(jù)奇偶性相同即可求得ab的值，即

可求得x的值，即可解題．

【詳解】提示：設(shè)所求正整數(shù)為x，則有x100y2，①

x168z2，②

其中y，z都為正整數(shù)．由②①得z2y268，③

由③有zyzy68，④

又因?yàn)閦y與zy奇偶性相同，所以由④可得zy34，zy2．⑤

解出z18，y16，⑥

將⑥代入①可知x156．

【點(diǎn)睛】本題考查完全平方數(shù)，根據(jù)奇偶性相同