中考數(shù)學大題高分秘籍【江蘇專用】專題15二次函數(shù)與相似綜合問題(江蘇真題7道模擬30道)(原卷版+解析)

2023年中考數(shù)學大題高分秘籍（江蘇專用）

專題15二次函數(shù)與相似綜合問題（江蘇真題7道模擬30道）

［真題再現(xiàn)］直面中考真題，實戰(zhàn)培優(yōu)提升

一.解答題（共7小題）

1.（2022?宿遷）如圖，二次函數(shù)），=得/+&+。與x軸交于O（0,0）,A（4,0）兩點，頂點為C,連接

OC、AC,若點B是線段OA上一動點，連接BC,將△ABC沿BC折疊后，點A落在點4'的位置，線

段A'C與x軸交于點。，且點。與0、A點不重合.

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）①求證：XOCDsABD；

②求當?shù)淖钚≈担?/p>

BA

（3）當5乙g〃=85郎,〃時，求宜線A'6與二次函數(shù)的交點橫坐標.

2.（2021?鎮(zhèn)江）將一張三角形紙片ABC放置在如圖所示的平面直角坐標系中，點A（-6,0；,點B（0,

2）,點C（-4,8）,二次函數(shù)產以+c（〃W0）的圖象經過點A,B,該拋物線的對稱軸經過點C,

頂點為D.

（1）求該二次函數(shù)的表達式及點。的坐標；

（2）點M在邊AC上（異于點A,C）,將三角形紙片45c折疊，使得點A落在直線A8上，且點M

落在邊8。上，點M的對應點記為點N,折痕所在直線/交拋物線的對稱軸于點尸，然后將紙片展開.

①請作出圖中點M的對應點N和折痕所在直線/；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

②連接MP,NP,在下列選項中：A.折痕與AB垂直，B.折痕與MN的交點可以落在拋物線的對稱軸

上，C.幽=3,D幽="歷，所有正確選項的序號是______.

MP2MP

③點。在二次函數(shù)）uaf+bx+c（aWO）的圖象上，當△P。。?△「“義時，求點。的坐標.

3.（2（）21?無錫）在平面直角坐標系中，0為坐標原點，直線），=-x+3與x軸交于點8,與），軸交于點C,

二次函數(shù)y=ar+2x+c的圖象過B、C兩點，且與x軸交于另一點A,點M為線段0B上的一個動點，過

點M作直線/平行于y軸交BC于點F,交二次函數(shù)y=a/+”+c的圖象于點E.

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）當以C、E、尸為頂點的三角形與△A8C相似時，求線段EF的長度；

（3）已知點N是y軸上的點，若點N、/關于直線EC對稱，求點N的坐標.

4.（2020?鎮(zhèn)江）如圖①，直線/經過點（4,0）且平行于），軸，二次函數(shù)），=/-2or+c（〃、c是常數(shù)，a

<0）的圖象經過點M（-I,I）,交直線/于點N,圖象的頂點為。，它的對稱軸與x軸交于點C,直

線。M、ON分別與x釉相交于48兩點.

（1）當。=-1時，求點N的坐標及星的值；

BC

（2）隨著。的變化，黑的值是否發(fā)生變化？請說明理由；

BC

（3）如圖②，E是x軸上位于點B右側的點，BC=2BE,交拋物線于點R若FB=FE,求此時的二

5.（2020?連云港）在平面直角坐標系xOy中，把與入軸交點相同的二次函數(shù)圖象稱為“共根拋物線”.如

圖，拋物線L2的頂點為交x軸于點人、8（點A在點A左側），交y釉于點C.拋

乙乙

物線上與心是“共根拋物線”，其頂點為P.

（1）若拋物線乙2經過點（2,-12）,求心對應的函數(shù)表達式；

（2）當?shù)闹底畲髸r，求點尸的坐標；

（3）設點Q是拋物線L1上的一個動點，且位于其對稱軸的右側.若△DPQ與△人BC相似，求其“共根

6.（2019?鎮(zhèn)江）如圖，二次函數(shù)），=-/+務+5圖象的頂點為D,對稱軸是直線/,一次函數(shù)尸＜+1的

圖象與x軸交于點4,且與直線關于I的對稱直線交于點B.

（1）點。的坐標是:

（2）直線/與直線交于點C,N是線段QC上一點（不與點。、C重合），點N的縱坐標為〃.過點

.V作直線與線段?！胺謩e交于點P、Q,使得與△DA4相似.

①當〃=.時，求。P的長；

②若對于每一個確定的〃的值，有且只有一個△OPQ與△OA8相似，請直接寫出〃的取值范圍.

7.（2022?無錫）已知二次函數(shù)y=-L？+法+C,圖象的對稱軸與x軸交于點A（1,0）,圖象與），軸交于

4

點8（0.3）,C、。為該二次函數(shù)圖象上的兩個動點（點C在點。的左側），且NCAQ=90°.

（I）求該二次函數(shù)的表達式；

（2）若點C與點4重合，求tan/CDA的值；

（3）點C是否存在其他的位置，使得tan/CDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點C的

坐標；若不存在，請說明理由.

［專項突破］深挖考點考向，揭示內涵實質

一、解答題

1.（2022?江蘇無錫?無錫市天一實驗學校?？寄M預測）如圖，拋物線丫=一；/+8%+^:與之軸的一個交

點為4（-2,0）,與、軸的交點為網(wǎng)0,4）,對稱軸與x軸交于點P.

備用圖

⑴求拋物線的解析式；

（2）點M為y軸正半軸上的一個動點，連接力M,過點M作4M的垂線，與拋物線的對稱軸交于點N,連接力N.

①若A/IMN與△/OB相似，求點M的坐標；

②若點M在y軸正半軸上運動到某一位置時，△力MN有一邊與線段4P相等，并且此時有一邊與線段4P具有

對稱性，我們把這樣的點M稱為“對稱點”，請直接寫出“對稱點”M的坐標.

2.（2022.江蘇鎮(zhèn)江.統(tǒng)考一模）如佟1,平面直角坐標系無。y中，拋物線y=（x+1）（無一m）與黑軸交于4（一1,0）、

B（點A在點B左側），與y軸交于點C.

⑴連接8C,則NOCB=

(2)如圖2,若OP經過4、B、。三點，連接24、PC,若△/MC與△。8。的周長之比為遙:3,求該拋物線的

函數(shù)表達式;

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接。P,拋物線對稱軸上是否存在一點Q,使得以0、P、Q為頂點的三角形

與404P相似？若存在，求出點Q的坐標：若不存在，說明理由.

3.(2022?江蘇淮安?統(tǒng)考模擬預測)如圖，已知A(-2,0)、B(3,0),拋物線y=ad+加+4經過A、

B兩點，交)，軸于點C.點尸是笫一象限內拋物線上的一動點，點P的橫坐標為〃??過點P作尸M_Lx軸,

垂足為點M,PM交BC于點Q.過點P作PN上BC,垂足為點N.

(1)直接寫出拋物線的函數(shù)關系式:

(2)請用含“7的代數(shù)式表示線段PN的長:

(3)連接PC,在第一象限的拋物線上是否存在點P,使得/8。。+2/尸。％=90。？若存在，請求出〃?的值；

若不存在，請說明理由；

⑷連接AQ，若為等腰三角形，請直接寫出，〃的值.

4.(2021,江蘇宿遷?一模)在平面直角坐標系xQy中，已知拋物線y=a『+b:+c與x軸交于4(-1,0),

⑴求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)如圖1,點。為第四象限拋物線上一點，連接AD,BC交于點、E,連接8。，記^1的面積為S1，2ABE

的面積為S2,求2的最大值；

(3)如圖2,連接AC,BC,過點。作直線/IIBC,點P,。分別為直線/和拋物線上的點.試探究：在第一象

限是否存在這樣的點P，Q，使△PQBs^CAB?若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在,

請說明理由.

5.(2023?江蘇蘇州?一模)在平面直角坐標系宜川中，已知拋物線y=a/+加經過4(4,0),B(1,4)

兩點.尸是拋物線上一點，且在直線AA的上方.

⑴求拋物線的解析式：

(2)?VA043面枳是△以3面積的2倍，求點P的坐標；

(3)如圖，OP交AB于點C,PDII80交A3于點Q.記△CQP,&CPB,△C8O的面積分別為S1，S2,S3.判

斷尹濾否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由?

6.(2022?江蘇淮安?統(tǒng)考一模)婦圖1,拋物線y=。/+5辦+。經過4(3,0),C(0,-4),點6在x軸上，

且HC=8C,過點8作8。lx軸交拋物線于點D,點E,產分別是線段CO,8c上的動點，且CE=B尸，連

接EF.

(1)求拋物線的表達式及點。的坐標；

(2)當ACEF是直角三角形時，求點F的坐標：

(3)如圖2,連接A￡,AF,直接寫出AE+AF的最小值為：.

7.(2022?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考二模)在平面直角坐標系xOy中，拋物線。：尸爾+灰+,(a、b、c為常數(shù)且啟0)

與上軸交于A(T,0)、8(4,0),交)，軸于點C(0,-2),頂點為P.

⑴求拋物線G對應的函數(shù)表達式：

(2)勉物線。2：y=rn{ax2Ibx」c)(m為常數(shù).且m于0)的頂點為Q,

①當力Q+CQ的值最小時，點Q的坐標為；

②連接AC、AQ,若乙"4Q=2乙AC。，求點Q的坐標；

③拋物線。上有一個點M，且位于第一象限，若△PQM與△48C相似，求點。的坐標.

8.(2022?江蘇無錫?宜興市實驗中學?？级?如圖，二次函數(shù)、=a/—6ax+c(aV0)的圖象與x軸的

負半軸和正半軸分別交于4B兩點,與y軸交于點C,頂點為P,對稱軸交不軸于點。，點Q是拋物線對稱軸

上一動點，直線8。交v軸于點E,且5EQ=38Q.

7)x

(1)請直接寫出4B兩點的坐標：A,B；

(2)當頂點P與點Q關于不軸對稱時，S^QCE=Y-

①求此時拋物線的函數(shù)表達式；

②在拋物線的對稱軸上是否存在點心使48EF=2乙。8E.若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明

理由.

9.(2022.江蘇無錫.統(tǒng)考二模)二次函數(shù)y=ad+/?+4的圖象與x軸交于兩點A、B,與y軸交于點C,且

⑴求此二次函數(shù)的表達式;

⑵①如圖I,拋物線的對稱軸機與x軸交于點E,CDlm,垂足為。，點尸(-：,0),動點N在線段。七

6

上運動，連接CACMFN,若以點。、D、N為頂點的三角形與AFEN相似，求點N的坐標：

②如圖2,點M在拋物線上，且點M的橫坐標是1,將射線M4繞點M逆時針旋轉45。，交拋物線于點P,

求點P的坐標；

(3)已知。在.y軸上，7為二次函數(shù)對稱軸上一點，且AQ。/為等腰三角形，若符合條件的Q恰好有2個，

直接寫出7?的坐標.

10.(2022?江蘇蘇州?統(tǒng)考一模)如圖，拋物線與x軸交于點A,/工與y軸交于點C,且點4(一1,0)，點。(0,2),

拋物線的對稱軸為直線x=連接AC,BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)珞△48c沿直線BC折疊，得到△DBC,請問：點A的對應點。是否落在拋物線的對稱軸上？若點。落

在對稱軸上，請求出點。的坐標；若點。沒有落在對稱軸上，請說明理由；

(3)若點E是拋物線位于第一象限內的一個動點，連接AE交直線8c于點F,設第=九，求〃的最大值并求

出此時點E的坐標.

11.(2022?江蘇連云港?統(tǒng)考一模)已知：拋物線y=。/+加+。經過4(-1,0),8(3,0),C(0,3),三點.

⑴求拋物線的解析式;

(2)如圖I,點P為直線8C上方拋物線上任意一點，連PC、PB、PO,PO交直線8C丁點E,設芯=k，求當

〃取最大值時點P的坐標，并求此時k的值：

(3)如圖2,D(m,0)是x的正半軸上一點，過點。作y軸的平行線，與直線BC交于點M,與拋物線交于點M

連結GV,將aCMN沿CN翻折，M的對應點為在圖2中探究：是否存在點。，使得四邊形CMNM，是菱

形？若存在，請求出。的坐標；若不存在，請說明理由.

12.(2022.江蘇泰州?統(tǒng)考一?模)如圖，拋物線y=a/+c(a>0,c>0),拋物線交y軸于點C,直線力8與

拋物線交于4B兩點,與y軸交于點。(0,d).

(1)若d=4,點4(-1,3),且滿足8。=24。，求點8的坐標；

⑵在(1)的條件下，作BElx軸，交》軸于E,試說明4、C、E在同一條直線上;

(3)過點8作BE1%軸，交匯軸于E,若4、C、E始終在同一條直線上，求d、c之間滿足的數(shù)量關系.

13.(2022?江蘇鹽城??？家荒?如圖1,二次函數(shù))，=浸+云+。的圖象交x軸于點A(-I,0),4(3,0),

圖1圖2

(1)求二次函數(shù)的表達式和頂點。的坐標;

(2)如圖2,當直線/過點。時，求△ACO的面積:

(3)如圖3,直線/與拋物線有另一個交點E,且點E使得N3AC-NC8E>45。，求點￡的橫坐標機的取值

范圍;

(4)如圖4,動點尸在直線/上，作/C/G=45。，/G與線段A8交于點G,連接CG,當aABC與△CFG相

似，且SKFG最小時，在直線/上是否存在一點"使得/F"G=45。存在，請求出點”的坐標；若不存在,

請說明理由.

14.(2022?江蘇泰州??？家荒?如圖①，拋物線y=-f+bx+c與x軸交于點4即0),點。(必0),且七,

X2滿足&+工2=2,X]*X2=-3,與y軸交于點B,E(m,0)是x軸上一動點，過點E作石P_Lx軸于點E,交拋

物線于?點P.

(1)求拋物線解析式.

(2)如圖②,直線EP交直線48于點。，連接尸5.

①點E在線段。人上運動，若是等腰三角形時，求點石的坐標；

②點E在工軸的正半軸上運動，著NP4Q+NC4O=45。，請求出機的值.

(3)如圖③，點。是直線EP上的一動點，連接CQ,將線段CQ繞點。逆時針旋轉90。，得到線段。凡當〃?

=1時，請直接寫出尸尸的最小值.

15.(2022?江蘇無錫,校考一模)勉物線juad+c(?<0)與x軸交于4、8兩點，頂點為C,點P在拋物線

上，且位于x軸上方.

(1)如圖1,若尸(1,2),A(-3,0).

①求該拋物線的解析式;

②若。是拋物線上異于點尸一點，滿足求點。的坐標;

⑵如圖2,已知直線附、與)，軸分別交于石、尸兩點.當點P運動時，嚶^是否為定值？若是，試求出

該定值；若不是，請說明理由.

16.(2022.江蘇常州.統(tǒng)考一模)如圖，二次函數(shù)y=；/+/?%+3的圖像經過點/1(8,3),交工軸于點以C

(點B在點。的左側)，與y軸交于點。.

（1）填空：b=；

（2）點P是第一象限內拋物線上一點，宜線尸。交宜線CO于點Q,過點P作x軸的垂線交直線CD于點7,若

PQ=QT,求點P的坐標；

（3）在x軸的正半軸.上找一點￡過點￡作4E的垂線EF交y軸于R若尸與尸。相似，求?！甑拈L.

17.（2022?江蘇連云港?統(tǒng)考一模）如圖，己知拋物線y=-g爐+弓工+2與工軸交于點A、B,與），軸交于

點C.

（1）則點A的坐標為，點8的坐標為，點。的坐標為；

2

（2）設點P（%i，yi）,Q（%2，y2）（其中%＞%2）都在拋物線y=-jx++2上，若M+x2=1,請證明：＞以；

⑶已知點M是線段BC上的動點，點N是線段BC上方拋物線上的動點，若乙CNM=90°,旦ACMN與&OBC

相似，試求此時點N的坐標.

18.（2022?江蘇無錫?校聯(lián)考一模）如圖，拋物線）=0?2比34（。＞0）與x軸交于A,B兩點1點A在點B

的左邊），與y軸交于點C,且08=0C.

⑴求拋物線的解析式；

（2）如圖，若點夕是線段BC（不與8,C重合）上一動點，過點夕作x軸的垂線交拋物線于M點，連接CM,

當"CM和△ABC相似時，求此時點P的坐標；

（3）若點。是直線3c（不與B,C重合）上一動點，過點。作x軸的垂線交拋物線于M點，連接CM,將△PCM

沿CM對折，如果點P的對應點N恰好落在丁軸上，求此時點P的坐標；

19.（2022?江蘇無錫?校聯(lián)考一模）如圖，拋物線y=#+隊+c與x軸交于A、B兩點（點4在點8左邊），

與y軸交于點C直線y=%-2經過8、C兩點.

⑴求拋物線的解析式；

(2)點尸是拋物線上的一動點，過點尸且垂直于x軸的直線與直線8c及x軸分別交于點。、M.PNLBC,

垂足為N.設M(〃z,0).當點尸在直線下方的拋物線上運動時，是否存在一點P,使△尸NC與AAOC

相似.若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

20.(2020.江蘇蘇州?統(tǒng)考二模)如圖1,拋物線y=ax2+(a+3)x+3(a豐0)與工軸交于點蟲4,0),與y

軸交于點B,在x軸上有一動點0)(0<TH<4),過點七作工軸的垂線交直線AB于點N,交拋物線

于點P，過點P作PMLAB于點M.

(1)求。的值和直線A8的函數(shù)表達式：

(2)設△PMN的周長為CrZiAEN的周長為。2，若割=*求〃?的值.

(3)如圖2,在(2)的條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉得到0E',旋轉角為a(0。Va<90。)，連接。力、

E'E,求E\4+：E'B的最小值.

21.(2022.江蘇無錫??？家荒?如圖，已知二次函數(shù)y=a/+b%+c的圖象與x軸交于八和8(3,0)兩點,

與y軸交于C(0,-2),對稱軸為直線x二不連接BC,在直線BC上有一動點P,過點P作y軸的平行線交

二次函數(shù)的圖像于點N,交x軸于點M,

（1）求拋物線與直線8c的函數(shù)解析式；

⑵設點M的坐標為（m,0）,求當以PN為直徑的圓與y軸相切時機的值：

（3）若點P在線段8C上運動，則是否存在這樣的點R使得ACPN與ABPM相似，若存在請直接寫出點P

的坐標，若不存在，請寫出理由.

22.（2022?江蘇無錫??？家荒＃┘褐魏瘮?shù)的圖像如圖所示.

（1）求這個二次函數(shù)的表達式；

（2）若該函數(shù)圖像與x軸正方向交點為A,與x軸負方向交點為B,與），軸交點為C,頂點為。

①求證：匕AOCs△DCB,，

②連接8c交拋物線對稱軸于點E,若拋物線上存在點P滿足SBCP=2S4COE,請直接寫出點P的坐標.

23.（2022.江蘇無錫.一模）如圖1,在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=Q/+bx+c與x軸分別相交于

A（-1,0）、B（3,0）兩點，與），軸相交于點C（0,3）.

（1）求出這條拋物線的解析式及頂點M的坐標；

（2）PQ是拋物線對稱軸上長為1的一條動線段（點〃在點。二方），求AQ+QP+PC的最小值；

（3）如圖2,點。是第四象限內腦物線上一動點，過點。作。F_Lx軸，垂足為F,AAB。的外接圓與。尸

相交于點E.試問：線段EF的長是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由.

24.(2022?江蘇蘇州?統(tǒng)考二模)如圖1,二次函數(shù)y=—；/+工的圖像與x軸交于點。、點人頂點為8,

點M、N的坐標分別為(0,陽)、(0,〃).

圖1圖2

(1)求點B的坐標.

(2)如圖2,將函數(shù)圖像在)，軸左側部分沿x軸翻折，圖像其余部分保持不變，得到的新圖像記為G.

①過點M作)，軸的垂線/,當機時，直線/與圖像G有且只有兩個交點.

②請求出翻折后圖像的函數(shù)關系式.

(3)如圖3,點Q是第二象限內圖像上的動點，當機>1,〃<(),且/QM8=90。時，是否存在點使

得AQM8與△44N相似.若存在，請求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

圖3

25.（2021?江蘇蘇州?校考一模）如圖，拋物線、=。/-2。％+。的圖象經過點。（0,-2）,頂點。的坐標為

與K軸交于48兩點.

（1）求拋物線的解析式.

（2）連接為直線AC上一點，當A/l。時，求空的值.

AB

（3）點尸（0,y）是），軸上一動點，當），為何值時，?FC+BF的值最小.并求出這個最小值.

（4）點C關于x軸的對稱點為"當"FC+B尸取最小值時，在拋物線的對稱軸上是否存在點。，使△QHF

是直角三角形？若存在，請求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

26.（2021?江蘇蘇州?二模）如圖1,已知二次函數(shù)v=ax2+bx+c的圖像經過點4（一1,0）點8（3,0）和點C（0,2）,

連接4C,線段48上有一動點P,過點P作4C的平行線交直線BC于點。，交拋物線于點E.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）移動點P,求線段DE的最大值；

（3）如圖2,過點E作y軸的平行線EF交8c于點R連接PC,若以點C、D、P為頂點的三角形和△EFD是

相似三角形，求此時點P坐標.

27.（2022?江蘇無錫?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，效物線y=a/-竽x+c與x軸交于兩點

?3

A（l,0）和點8（3,0）,與），軸交于點C,連接AC,BC.點。是拋物線對稱軸上一點，對稱軸與x軸交于

點E,與直線BC交于點F.

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接BD,當以點B,D,E為頂點的三角形與△OAC相似時，求點。的坐標；

（3）當點。關于直線8C’的對稱點。落在拋物線上時，直接寫出點G的坐標.

28.（2021?江蘇揚州?三模）如圖所示，已知拋物線y=/一1與x軸交于人、8兩點,與），軸交于點C.

（1）求A、4、C三點的坐標；

（2）過點A作月P〃C8交拋物線于點P,求四邊形AC8P的面枳；

（3）在x軸上方的拋物線上是否存在一點M,過M作MG_Lx軸于點G,使以A、M、G三點為頂點的三角

形與△PCA相似？若存在，請求點的坐標：否則，請說明理由.

29.（2020?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=-2的圖象分別交匯、y

軸于點4、B,拋物線y=/+匕％+，經過點力、點尸為第四象限內拋物線上的一個動點.

（1）求此拋物線對應的函數(shù)表達式；

（2）如圖1所示，過點P作qM//y軸，分別交直線48、x軸于點C、D,若以點P、B、C為頂點的三角形與

以點A、C、。為頂點的三角形相似，求點P的坐標；

（3）如圖2所示，過點P作PQ1A8于點Q,連接P3,當4P3Q中有某個角的度數(shù)等于度數(shù)的2倍時,

請直接寫出點P的橫坐標.

30.（2021?江蘇無錫?統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)），=加+云+。（〃>0）的圖像經過A、B兩點,直線交

x軸交于點C,點。為二次函數(shù)圖像的頂點，若點A的坐標為（一1,4”），點8的坐標為（2,a）.

（1）①用含。的代數(shù)式表示〃、c；

②求點。的坐標.

（2）若直線相與拋物線），=加+云+c的對稱軸交于點￡,且△AOESAAC。，求該二次函數(shù)的表達式.

2023年中考數(shù)學大題高分秘籍（江蘇專用）

專題15二次函數(shù)與相似綜合問題（江蘇真題7道模擬30道）

［真題再現(xiàn)］直面中考真題，實戰(zhàn)培優(yōu)提升

1.（2022?宿遷）如圖，二次函數(shù)丁=工/+法+。與4軸交于。（0,0）,4（4,0）兩點,

2

頂點為C,連接OC、AC,若點4是線段OA上一動點，連接8C,將△44C沿4C折疊

后，點A落在點A'的位置，線段A'。與x軸交于點。，且點。與O、A點不重合.

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）①求證：XOCDs叢，BD；

②求當?shù)淖钚≈担?/p>

BA

（3）當5獷8=85搠皿時，求直線A'8與二次函數(shù)的交點橫坐標.

【分析】（1）利用交點式可得二次函數(shù)的解析式；

（2）①根據(jù)兩角相等可證明兩三角形相似；

②根據(jù)RD,得孚_=型，則些=里.即理的最小值就是空的最小

AzBBDABOCAB0C

值，OC為定值，所以當C。最小為2時,典行最小值是返■:

BA2

（3）解法一：根據(jù)面積的關系可得：XOCDsABD時，相似比為2、歷：1,可得

A，B=AB=1,作輔助線，構建直角三角形，根據(jù)等角的正切可得HG和4G的長，最后

再證明△4GBs/\QOB,可得OQ的長，利用待定系數(shù)法可得48的解析式，最后聯(lián)立

方程可得結論.

解法二：設8。=，，根據(jù)08=3列方程可得/的值，計算AT）,AM的長，表示點M的

坐標，計算8M的解析式，列方程可得結論.

【解答】（I）解：???二次函數(shù)+法+。與x軸交于。（0,o）,A（4,0）兩點，

???二次函數(shù)的解析式為：），=2（x-0）（x-4）=-l.r2-2x：

■22

（2）①證明：如圖1,

由對稱得：OC=AC,

???ZAOC=ZOAC,

???NC04=NA,

■:NA'DB=NODC,

???△OCDsZvi'BD；

②解：,?,△OCQs△卻BD,

,OC_CD

??.'―_9

A'BBD

'：AB=A'B,

.BD=CD

,,ABOC*

???幽的最小值就是空的最小值，

ABOC

y=—.?-2x=—(A--2)2-2,

22

：.C(2,-2),

：.OC=242^

???當CQ_L(M時，CO最小，股的值最小,

AB

當CD=2時,理的最小值為一==亞;

AB2V22

(3)解法一：:S&OCD=^SM'BD,

AS^OCD:SA/V5O=8,

,:△OCDsXA，BD,

S

,AQCD_(_0C_)2=8,

^AAZBDA'B

名=2近

?：0C=2版,

：,A'B=AB=\,

：.BF=2-1=1,

如圖2,連接AW,過點4作4GJ_0A于G,延長C8交A4于H,設拋物線的對稱軸與

???NA”B=N8rC=90°,NABH=NCBD,

:./BCF=/BAH,

tanZ?CF=tanZGAA',

.BF_A'G_1

??麗AG~2'

設A'G=a,則AG=2a,BG=2a-1,

在RtZWGB中，由勾股定理得：BG1+A'G1=A'B1,

，『+(2a-1)2=12,

人4.

/.?1=0(舍)，42=—,

5

：.BG=2a-1=--1=—,

55

*：A'G//OQ,

???△4G8SZ\QO8,

A3_

???5=里即豆=豆，

OQOBOQ3

：.0Q=4,

:.Q(0,4),

設直線A'B的解析式為：y=kx+m,

.m=4

…3ktm=0,

2

解得：3,

m=4

???直線A'B的解析式為：y=-茅+4,

o

3f-4,v-24=0,

解得：

x=2±2719>

3

???直線A'B與二次函數(shù)的交點橫坐標是2±2內

3

(3)解法二：如圖3,過點M作MH_LQ4于〃，

.?._^_=空=^?_=2近，

AyBBDAyD

?：0C=2近

：.A'B=AB=\,

設BD=t,則CD=2后,

???47)=2近-2跖，0。=2&4。=8-83

???。3=0￡>+8。=4?1=3,

.*.8-8/+/=3,

???8。=2迎-

77

NA'=N04C,NA'BD=/ABN,

???△A歸。且△ABM（ASA）,

7

???△A”M是等腰直角三角形，

7

.?.M（區(qū)，?當，

77

易得BM的解析式為：y=--.v+4,

3

:.--,v+4=—x2-2x,

32

解得：3f-4x-24=0,

解得：.=2±2趣,

3

???直線A'8與二次函數(shù)的交點橫坐標是2±2內

3

2.（2021?鎮(zhèn)江）將一張三角形紙片A8C放置在如圖所示的平面直角坐標系中，點A（-6,

0）,點B（0,2）,點C（-4,8）,二次函數(shù)）uad+lw+c（〃X0）的圖象經過點A,

R.該拋物線的對稱軸經過點C頂點為。.

（1）求該二次函數(shù)的表達式及點D的坐標：

（2）點M在邊AC上（異于點A,C）,將三角形紙片A3c折疊，使得點A落在直線

AB上，且點M落在邊BC上，點M的對應點記為點M折痕所在直線/交拋物線的對稱

軸于點尸，然后將紙片展開.

①請作出圖中點M的對應點N和折痕所在直線/；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留

作圖痕跡）

②連接MP，NP,在下列選項中：A.折痕與A6垂直，B.折痕與"N的交點可以落在

拋物線的對稱軸上，C&=3,D幽=J5,所有正確選項的序號是A,D.

MP2MP

③點。在二次函數(shù)產or2+版+。（〃#0）的圖象上，當△PQQSPMN時，求點Q的坐

標.

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可.

（2）①根據(jù)要求作出圖形即可.

②如圖2中，設線段MN的垂直平分線交拋物線對稱軸于P,交MN于點Q,過點M作

MHA.CD,過點。作。/_LCQ于J,QTLMH于T.想辦法證明△尸MN是等腰直角三角

形，可得結論.

③設尸（-4,加）.由△尸。是等腰直角三角形，推出△?DQ是等

腰直角三角形，推出/。〃。=90°,DP=PQ=m+^-,推出Q（?」&+〃?，〃?），構建方

33

程求出m即可.

r36a-6b+2=0

c=2

【解答】解（1）由題意得：?，

解之得：a=—,/?=—,c=2,

63

???當x=?4時，y-X(-4)2-4X1)+2=―，

633

9

：.D(-4,--).

3

（2）①如圖I中，點M直線/即為所求.

②如圖2中，設線段MN的垂直平分線交拋物線對稱軸于P,交MN于點Q,過點M作

MH工CD,過點Q作2JLCD于J,QTA.MH于T.

8),

?.?直線AC的解析式為y=4x+24,直線A8的解析式為產5+2,直線8c'的解析式為），

O

--x+2,

2

，：MN"AB,

???可以假設直線MN的解析式為y=/x+f，

3t-72

_111

由＜y亍+'解得，

12t-24

y=4x+24~TT

:.M12t-24),

1111

3」2-6t

y-—^x+2XT"

由，1.解得＜

y=1x+t4+9t

y~

:?N(12-6t,4+91),

1111

.Q(-60-3t21t-20)

~~22-'22'

?:QJLCD,QT工MH,

-

.z^r-60-3tu/1283tcT21t-2024t-4828-3t

2222222222

：.QJ=QT,

???NR/Q=/MTQ=90°,/QPJ=NQMT,QJ=QT,

:ZJgXMTQ(AAS),

???PQ=MQ,

???NPQM=90°,

：.ZPMN=ZMPQ=45°,

■:PM=PN,

:?NPMN=/PNM=45°,

/.ZMPN=90°,

???△PMN是等腰直角三角形，

???罌="歷，故選項。正確，氏C錯誤，

MP

???將三角形紙片48c折疊，使得點A落在直線4B上，且點A7落在邊8c上,

???折痕與A8垂直，故選項A正確，

故答案為：4/).

③設P(-4,in).

■:XPDQs4PMN、ZXPMN是等腰直角三角形,

.??△PQQ是等腰直角三角形，

9

???NOPQ=90°,DP=PQ=m+q,

/.Q(-4+，〃+/，m)>即Q(-~^+"'""，

把Q的坐標代入尸耳2+黑+2,得到，川=1（-羋+〃?）2+4（-￥+〃?）+2,

636333

整理得，9m2-42m-32=0,

解得〃產學或W（舍棄），

33

:.Q（2,

根據(jù)對稱性可知Q'（-10,電）也滿足條件，

O

綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為（2,」回）或（-10,西）.

Oo

3.（2021?無錫）在平面直角坐標系中，。為坐標原點，直線y=-x+3與工軸交于點4,

與y軸交于點C,二次函數(shù)yuo^+Zr+c的圖象過4、C兩點，且與x軸交于另一點4,

點M為線段08上的一個動點，過點M作直線/平行于y軸交8c于點F,交二次函數(shù)），

=a1+2r+c的圖象于點E.

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）當以C、E、尸為頂點的三角形與△ABC相似時，求線段￡戶的長度；

（3）已知點N是），軸上的點，若點N、/關于直線EC對稱，求點N的坐標.

【分析】（I）由y=-r+3得A（3,0）,C（0,3）,代入y=af+2r+r即得一次函數(shù)

的表達式為y=-/+2r+3；

（2）由＞=-』+2x+3得A（-1,0）,OB=OC,48=4,BC=3近,故N4BC=NM￡B

=NCFE=45°,以C、E、尸為頂點的三角形與△/WC相似，B和產為對應點，設

-m2+2m+3）,則“（/明-6+3）,EF=-m2+3m,CF=&m,?AA^C^ACF￡W，

可得七尸=圖;

—,可得②時,AB=BC

CFEF4EFCF9

（3）連接NE,由點M/關于直線EC對稱，可得C"=Q=CM故-/+3加=5〃?，

解得m=0（舍去）或皿=3■e，即得CN=C/=泥，〃=3&-2,N（0,3e+1）.

【解答】解：（I）在尸-無+3中，令x=0得y=3,令），=0得x=3,

:,B（3,0）,C（0,3）,

把8（3,0）,C（0,3）代入丫=0？+2￥+。得:

'0=9a+6+c,解得卜=-1,

3=cc=3

???二次函數(shù)的表達式為），=-『十2A?十3；

(-1,0),

?:B(3,0),C(0,3),

A013=OC,48=4,BC=3近,

：.ZABC=NMFB=NCFE=45°,

，以C、E、F為頂點的三角形與△ABC相似，B和F為對應點，

設E(〃?，-m2+2in+3),則/(〃?，-m+3),

EF=(-nr+2m+3)-(-ni+3)--nr+3mfCF=^m2+m2—yj~2m,

①△ABCS^CFE時，膽=區(qū)，

CFEF

,4_3V2

V2m-m2+3m

解得加=3或陽=0(舍去)，

2

:,EF=—9,

4

②時，期.=里

EFCF

A43V2

-m2+3mV2in

解得/"=0(舍去)或〃?=9,

3

,\EF=—，

9

綜上所述，或空.

49

(3)連接NE,如圖:

?:點、N、〃關于直線EC對稱，

：?4NCE=/FCE,CF=CN,

???E尸〃)，軸，

:.ZNCE=ZCEF,

:.NFCE=NCEF,

，CF=EF=CN,

由(2)知：

設E(〃?，-/?2+2///+3),貝！|F(〃?，-〃z+3),EF=(-/n2+2///+3)-(-m+3)=-

22

加2+3，〃，CF=^m+m=V2w?

:.-z/r+3/7?=V2w?解得〃7=0(舍去)或〃?=3-血，

ACN=CF=y/2m=342~2,

:?N(0,3V2+D.

4.(2020?鎮(zhèn)江)如圖①，直線/經過點(4,0)且平行于)，軸，二次函數(shù)

(〃、c是常數(shù)，〃〈())的圖象經過點M(-1,1),交直線/于點M圖象的頂點為。，

它的對稱軸與x軸交于點C,直線。M、ON分別與x軸相交于A、B兩點.

(1)當。=-1時，求點N的坐標及星的值；

BC

(2)隨著。的變化，螞的值是否發(fā)生變化？請說明理由；

3C

C)如圖②，是丫軸上位于點〃右側的點，足。行交拋物線于點片若FR=

FE,求此時的二次函數(shù)表達式.

【分析】(1)證明△DMGSADAC,△DCBSADTN,求出AC=S，BC=—,即可求

23

解；

(2)點D(1,1-4a),N(4,1+5”)，則ME=2,DE=-4a,由(1)的結論得：

AC=±9，8。=上粵，即可求解；

-2a-3a

(3)利用求出尸(至一W-,—--,即可求解.

312a