中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題21 與圓有關(guān)的概念及性質(zhì)（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）（學(xué)生版+解析）

專題21與圓有關(guān)的概念及性質(zhì)（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反

三）

【考點(diǎn)1圓的基本概念】........................................................................1

【考點(diǎn)2垂徑定理及其推論】....................................................................3

【考點(diǎn)3弧、弦、圓心角的關(guān)系］...............................................................5

【考點(diǎn)4圓周角】...............................................................................7

【考點(diǎn)5三角形的外接圓】......................................................................8

【考點(diǎn)6圓內(nèi)接四邊形】.......................................................................10

【考點(diǎn)7相交弦】..............................................................................11

【考點(diǎn)8四點(diǎn)共圓】............................................................................11

【考點(diǎn)9圓中的定值問題】.....................................................................13

【考點(diǎn)10圓中的最值問題】.....................................................................15

【要點(diǎn)1圓的概念】

L定義①：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形

成的圖形叫做圓.

固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑.以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓，記作“OO”，讀作“圓O”.

定義②：圓可以看做是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合.

2.連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡

稱弧，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧

叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧.

【要點(diǎn)2確定圓的條件】

不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.

注意：這里的“三個(gè)點(diǎn)”不是任意的三點(diǎn)，而是不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，而在同一直

線上的三個(gè)點(diǎn)不能畫一個(gè)圓.“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線

上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，過一點(diǎn)可畫無數(shù)個(gè)圓，過兩點(diǎn)也能畫無數(shù)個(gè)圓，過不在同一

條直線上的三點(diǎn)能畫且只能畫一個(gè)圓.

【考點(diǎn)1圓的基本概念】

【例1】（2022?山東東營統(tǒng)考中考真題）如圖，在。。中，弦ACU半徑08,480C=40。，

則440C的度數(shù)為.

【答案】1000##100度

【變式1-1]（2022?廣西柳州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中,43=4,G是BC

的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，旦EG=2,連接OE,將線段。E繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

得到線段。立連接。凡則線段CF長的最小值為.

【變式1-2]（2022?山東濰坊?中考真題）《墨子?天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓.〃

度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美.如圖，正方形/BCD的面積為4,以它的對(duì)角線的交點(diǎn)為位似中

心，作它的位似圖形若A8':48=2:1,則四邊形A8O的外接圓的周長為

【變式1-3]（2022?河北滄州?統(tǒng)考二模）石家莊市水上公園南側(cè)新建的摩天輪吸引了附近

市民的目光.據(jù)工作人員介紹，新建摩天輪直徑為100m,最低點(diǎn)距離地面1m,摩天輪的

圓周上均勻地安裝了24個(gè)座艙（本題中將座艙視為圓周上的點(diǎn)），游客在距離地面最近的

位置進(jìn)艙，運(yùn)行一圈時(shí)間恰好是13分14秒，寓意“一生一世〃.小明從摩天輪的底部出發(fā)開

始觀光，摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)1周.

地面

⑴小明所在座艙到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離地面的高度為01；

⑵在小明進(jìn)座艙后間隔3個(gè)座艙小亮進(jìn)入座艙（如圖，此時(shí)小明和小亮分別位于P、Q兩點(diǎn)）,

①求兩人所在座艙在摩天輪上的距離（弧PQ的長）；

②求此時(shí)兩人所在座艙距離地面的高度差；

⑶受周圍建筑物的影響，當(dāng)乘客與地面的距離不低于76m時(shí)，可視為最佳觀賞位置，求最

佳觀賞時(shí)間有多長（不足一分鐘按一分鐘記）.

【要點(diǎn)3垂徑定理及其推論】

（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

推論3：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.

【考點(diǎn)2垂徑定理及其推論】

【例2】（2022?湖南長沙?統(tǒng)考中考真題）如圖，A、B、。是。。上的點(diǎn)，0CJ.AB,垂足

為點(diǎn)。，且。為OC的中點(diǎn)，若。力=7,則8c的長為.

【變式2-1］（2022?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如

圖所示，測得弦力B長20厘米，弓形高CD為2厘米，則彘面半徑為厘米.

D

【變式2-2]（2022?四川涼山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，。0是△A8c

的外接圓，點(diǎn)A，B，O在格點(diǎn)上，則cosNACB的值是.

【變式2-3]（2022?甘肅蘭州?統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐

問題情境：我國東周到漢代一些出土實(shí)物上反映出一些幾何作圖方法，如侯馬鑄銅遺址出土

車害范、芯組成的（如圖1）,它的端面是圓形，如圖2是用“矩〃（帶直角的角尺）確定端

面網(wǎng)心、的方承：將“矩〃的直角尖端A沿圓周移動(dòng),直到4B=4法在圓上標(biāo)記A,B,C三

點(diǎn)；將"矩〃向右旋轉(zhuǎn)，使它左側(cè)邊落在48點(diǎn)上，"矩〃的另一條邊與圓的交點(diǎn)標(biāo)記為D點(diǎn),

這樣就用“矩〃確定了圓上等距離的4,B,C,。四點(diǎn)，連蚤A。，BC相交于點(diǎn)，這樣就用“矩〃

確定了圓上等距離的A,B,C,。四點(diǎn)，鏈接AO,8C相較于點(diǎn)。，即。為圓心.

圖3圖4圖5

⑴問題解決：請(qǐng)你根據(jù)"何題情境”中提供的方法，用三角板還愿我國古代幾何作圖確定圓心

O.如圖3,點(diǎn)人R,C在00上，ABLAC,HAR=AC,請(qǐng)作出圓心O.（保留作圖痕

跡，不寫作法）

⑵類比遷移：小梅受此問題的啟發(fā)，在研究了用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法

后發(fā)現(xiàn)，如果AB和AC不相等，用三角板也可以確定圓心0.如圖4,點(diǎn)A,B,C在上，

ABLAC,請(qǐng)作出圓心0.（保留作圖痕跡，不寫作法）

⑶拓展探究：小梅進(jìn)?步研究，發(fā)現(xiàn)古代由"矩”度量確定圓上等距離點(diǎn)時(shí)存在誤差，用平時(shí)

學(xué)的用物作用的方法確定圓心可以減少誤差.如圖5,點(diǎn)兒B,C是。。上任意三點(diǎn)，請(qǐng)用

不帶刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心。.（保留作圖痕跡，不寫作法）請(qǐng)寫出你確定圓心的理由：

【要點(diǎn)4弧、弦、角、距的概念】

（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.

（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它

們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.

說明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”

是指同為優(yōu)弧或劣弧.

（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等,

三項(xiàng)“知一推二%一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等.這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心

旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合.

【考點(diǎn)3弧、弦、圓心角的關(guān)系】

【例3】（2022?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，48,。。是。0的兩條直徑，E是劣弧的中

點(diǎn)，連接RC,DE.若N/8C=22。，則NCDE的度數(shù)為?）

【變式3-1]（2022?浙江湖州?統(tǒng)考中考真題）在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，

每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格圖形/WCD中，N分另]是

AB,8C上的格點(diǎn)，BM=4,BN=2.若點(diǎn)P是這個(gè)網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連接PM,PM則

所有滿足/MPN=45。的△PMN中，邊PM的長的最大值是（）

D

BN

A.472B.6C.2mD.3V5

【變式3-2］（2022?湖南懷化?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)4B,C,。在。。上，AB=CD.求

(2)AABE-△DCE.

【變式3-3］（2022?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考三模）已知：。0兩條弦4。與8。相交于點(diǎn)￡"。=8。.

圖2圖3

（1）如圖1，求證：CE=BE；

(2)如圖2,直徑于點(diǎn)N,連接DF,求證：DF=2ON；

(3)如圖3,在（2）的條件下，連接ND交8產(chǎn)于點(diǎn)G,若4。=11,BN=乖,求ON的長.

【要點(diǎn)5圓周角定理及其推論】

圓ZAO3是處所xe的圓心角，

周定理：圓周角的度數(shù)等于它所NC是命所對(duì)的?1周角，

角對(duì)的弧的圓心角度數(shù)

定

理的一半ZC=-ZAOB

2

.NC和NO都是汆所對(duì)的圓周

角

推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓ZC=ZD

周角相等

A3是OO的直徑

CNC是傘所對(duì)的圓周角

推論2：直徑所對(duì)的圓周角是

ZC=90°

直角，90。的圓周角NC是翁所對(duì)的圓周角

所對(duì)的弦是直徑

ZC=90°

48是OO的直徑

【考點(diǎn)4圓周角】

【例4】（2022?山東濟(jì)寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)4,C,。，B在。。上，AC=BC,ACB

=90°.若CO=a,tan/。8。三，則4。的長是.

【變式4-1]（2022?湖北恩施?統(tǒng)考中考真題）如圖，P為。。外一點(diǎn)，PA.PB為。。的切

線，切點(diǎn)分別為人、B，直線PO交OO于點(diǎn)。、E,交八8于點(diǎn)C.

⑴求證：ZADE=APAE.

⑵若NAOE=30°,求證：AE=PE.

⑶若PE=4,CD=6,求CE的長.

【變式4-2]（2022?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考中考真題）已知CH是。0的直徑，點(diǎn)A,點(diǎn)8是。。

上的兩個(gè)點(diǎn)，連接0408,點(diǎn)D,點(diǎn)、石分別是半徑0408的中點(diǎn)，連接CD,CE,8",且410。=

2乙CHB.

⑴如圖1,求證：乙ODC=LOEC；

(2)如圖2,延長CE交8H于點(diǎn)立若CD104求證：FC=FH；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn)G是8H上一點(diǎn)，連接4G,BG,HG,0F,若AG:BG=5:3,HG=2,

求。尸的長.

【變式4-3](2022?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題)如圖所示，在。0的內(nèi)接AAMN中，乙MAN=

90°,AM=2AN,作ABJ.MN于點(diǎn)P,交。0于另一點(diǎn)B,。是AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A,

M重合)，射線MC交線段84的延長線于點(diǎn)。，分別連接4C和BC,BC交MNf點(diǎn)E.

(1)求證：△CMACBD.

(2)若MN=10,MC=NC,求BC的長.

⑶在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)tan4M￡)8=:時(shí)，求翳的值.

【考點(diǎn)5二角形的外接圓】

【例5】(2022?湖南邵陽統(tǒng)考中考真題)如圖,。。是等邊AABC的外接圓,若A8=3,則

OO的半徑是()

A

【變式5-1］（2022?浙江寧波?校考模擬預(yù)測）如圖，已知點(diǎn)4（4,0）方（0,3）,直線/經(jīng)過

A、5兩點(diǎn)，點(diǎn)C（x,y）為直線/在第一象限的動(dòng)點(diǎn)，作△A。。的外接圓OM,延長CM交OM

于點(diǎn)Q,則△OCQ的面積最小值為（）

Q

AACALc24c96

A.4B.4.5C.—D.一

525

【變式5-2］（2022?廣西玉林?統(tǒng)考中考真題）如圖，在5x7網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為

1,點(diǎn)O,A,B,C,D,E均在格點(diǎn)上，點(diǎn)O是△/WC的外心，在不添加其他字母的情況下,

則除△A8C外把你認(rèn)為外心也是O的三角形都寫出來.

【變式5-3］（2022?上海靜安?統(tǒng)考二模）如圖，已知外接圓的圓心。在高AQ上，點(diǎn)

E在8C延長線上，EC=AB.

(1)求證：乙B=ZZ.AUCi

（2）當(dāng)。4=2,COSN84O=當(dāng)時(shí)，求DE的長.

【例6】（2022?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形A8C。是。。的內(nèi)接四邊形，若乙40c=

160°,則乙48c的度數(shù)是（）

【變式6-1]（2022?吉林長春?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形/BCD是。。的內(nèi)接四邊形.若

A.138°B.121°C.118°D.112°

【變式6-2]（2022?新疆?統(tǒng)考中考真題）如圖，。。是CABC的外接圓，4B是。。的直徑,

點(diǎn)。在。。上，AC=CD,連接40,延長。B交過點(diǎn)C的切線于點(diǎn)E.

C

(1)求證：Z-ABC=/-CADx

(2)求證：BE1CE；

(3)若4c=4.RC=2.求。"的長.

【變式6-3］（2022?四川成都?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtZiABC中，^ACB=90°,以BC為

直徑作。0,交48邊于點(diǎn)D,在CO上取一點(diǎn)E,使8E=CC,連接。E,作射線CE交AB邊于

點(diǎn)F.

⑴求證：Z.A=Z-ACFx

（2）若AC=8,CQSZ-ACF={,求3/及DE的長.

【考點(diǎn)7相交弦】

【例7】（2022?黑龍江哈爾濱?中考真題）如圖，?O中，弦兒3,8相交于點(diǎn)P,Z4=42*,

乙1PD=77?，則N3的人小是（）

A.鏟B.35°C,34*D.44°

【變式7-1］（2022秋?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，圓內(nèi)一釜弦CD與直徑AB相交成30。角，且

分直徑成1cm和5cm兩部分，則這條弦的弦心距是

【變式7-2］（2022?四川巴中?校考一模）圓內(nèi)一條弦與直徑相交成30。的角，且分直徑

和5c〃?兩段，則這條弦的長為.

【變式7-3］（2022秋?浙江杭州?九年級(jí)校聯(lián)考期中）一條弦AB把圓的宜徑分成3和11

兩部分，弦和直徑相交成30。角，則AB的長為.

【考點(diǎn)8四點(diǎn)共圓】

【例8】（2022秋?湖南長沙?九年級(jí)長沙縣湘郡未來實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，已知AABC

中，乙4c8=90。，AC=4,BC=3,4CPB=々A,過點(diǎn),C作CP的垂線，與8P的延長線交于

點(diǎn)Q,貝UCQ的最大值為（）

B

/\

AC

A.4B.5C.—D.—

45

【變式8-1】（秋?浙江溫州?九年級(jí)期末）如圖，即△4BC中，AB=BC,ZABC=90°,0、為

AC的中點(diǎn)，K為6c上一點(diǎn)，NC.LBC,旦NC-BK,AK分別交6N、06于M、F,AC交

BN于E,連接0M,下列結(jié)論：①AKLBN；@OE=OFx③NOMN=45。；④若N0A產(chǎn)

【變式8-2】（春?湖北武漢?九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖,在△ABC中，點(diǎn)、D為BC上一點(diǎn),

zADC=60。，點(diǎn)E在線段4。上，/-BEC=120°,若BC=33AE=2顯,則AC的最大值

為.

【變式8-3】（春?湖北武漢?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）問題提出如圖1,點(diǎn)E為等腰△力8c內(nèi)

一點(diǎn)，AB=AC,Z.BAC=a,將力E繞著點(diǎn)人逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到A。，求證：△/BEwa/lCO.

嘗試應(yīng)用如圖2,點(diǎn)。為等腰內(nèi)△ABC外一點(diǎn)，AB=AC,BD1CD,過點(diǎn)A的直線分別

交。B的延長線和CD的延長線于點(diǎn)MM,求證：S-bN+S—cM

M

問題拓展如圖3,A/BC中，AB=AC,點(diǎn)D,E分別在邊AC,BC上，^BDA=ABEA=60°,

AE,BD交于點(diǎn)H.若CE=a,AH=b,直接寫出BE的長度（用含。，力的式子）.

【考點(diǎn)9圓中的定值問題】

【例9】（2022秋?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）A48c內(nèi)接于0。，過點(diǎn)。作?！?C于點(diǎn)H,延

長0,交。。于點(diǎn)。連接AD.

圖I圖2

（1）如圖1,求證：4BAD=Z.MD；

⑵如圖2,若OH=DH,求ZB4C的度數(shù);

⑶如圖3,在（2）的條件下，過點(diǎn)8作BK1AD于點(diǎn)K,連接HK,若HK=|,試說明線段48

與AC的差為定值.

【變式9-1]（2022秋?江蘇鹽城?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，如圖：正方形ABC。，AB=4,

動(dòng)點(diǎn)E以企個(gè)單位每秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)尸以2個(gè)單位每秒的速

度從點(diǎn)8出發(fā)，沿射線8c向右運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)￡、點(diǎn)”同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).連接

EF,以石廠為直徑作OO,該圓與直線AC的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)G.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為九

A________________DA________________DA,_______________D

⑴當(dāng)點(diǎn)尸在8。邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖①，

①填空：FC=_____,AE=_____（用含有/的代數(shù)式表示）；

②連接。凡DF,求證：△OEF是等腰直角三角形.

⑵在運(yùn)動(dòng)的過程中，線段EG的長度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求出

這個(gè)定值.

⑶在運(yùn)動(dòng)的過程中，要使得圓心O始終在正方形A8C。的內(nèi)部（不含邊界），請(qǐng)直接寫出

點(diǎn)f的取值范圍.

【變式9-2]（2022?福建,九年級(jí)專題練習(xí)）已知四邊形H8C0內(nèi)接于OO,AC1BD,垂足

為E,CFLAB,垂足為月交BD于點(diǎn)、G,連接71G.

⑴求證：CG=CD：

（2）如圖1,若4G=4,BC=10,求。。的半徑；

⑶如圖2,連接。尸，交AC于點(diǎn)H,若〃BD=30。，CH=6,試判斷方+*是否為定值,

若是，求出該定值；若不是，說明理由.

【變式9-3]（2022?廣東廣州?一模）已知，AB是O。的直徑，AB=4，LAC=BC.

⑴求弦BC的長；

⑵若點(diǎn)。是A8下方O。上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,8重合），以C。為邊，作正方形CDE凡

如圖1所示，若M是。廠的中點(diǎn)，N是8。的中點(diǎn)，求證：線段的長為定值：

⑶如圖2,點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，且AP=2,連接CP,PB,一動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒2個(gè)單位

的速度沿線段。產(chǎn)勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，再以每秒1個(gè)單位的速度沿線段PB勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8,

到達(dá)點(diǎn)8后停止運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)時(shí)間?的最小值.

【考點(diǎn)10圓中的最值問題】

【例10】（2022?安徽合肥?校聯(lián)考三模）如圖，是。。的直徑，AB=8,點(diǎn)M在O0上，

乙MAB=20。,可是M8的中點(diǎn)，P是直徑48上的一動(dòng)點(diǎn)，若MN=2,則APMN周長的最小值

【變式10-1]（2022?四川德陽?統(tǒng)考一模）在RSA0C中,ZC=90°,4c=10,5c=12,

點(diǎn)。為線段8c上一動(dòng)點(diǎn).以C。為OO直徑，作A。交G0于點(diǎn)E,則8E的最小值為（）

【變式10-2]（2022?山東棗莊??？家荒＃┤鐖D，A3是。。的直徑，A3=2,點(diǎn)C在。。上,

NC八8=30。，/）為弧的中點(diǎn)，E是直徑人B上一動(dòng)點(diǎn)，則CE+OK最小值為（）

C.V3D.2

【變式10-3】（2022?河北保定?統(tǒng)考三模）如圖，MN是。。的直徑，MN=4,NAMN=30°,

點(diǎn)3為弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)。是直徑MV上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則如+PB的最小值為（）

A.4B.4V2C.2我D.2

專題21與圓有關(guān)的概念及性質(zhì)（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反

三）

【考點(diǎn)1圓的基本概念】.......................................................................17

【考點(diǎn)2垂徑定理及其推論】...................................................................22

【考點(diǎn)3弧、弦、圓心角的關(guān)系】..............................................................27

【考點(diǎn)4圓周角】..............................................................................34

【考點(diǎn)5三角形的外接圓】.....................................................................44

【考點(diǎn)6圓內(nèi)接四邊形】.......................................................................49

【考點(diǎn)7相交弦】..............................................................................53

【考點(diǎn)8四點(diǎn)共圓】...........................................................................56

【考點(diǎn)9圓中的定值問題】.....................................................................64

【考點(diǎn)10圓中的最值問題】.....................................................................74

【要點(diǎn)1圓的概念】

L定義①：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形

成的圖形叫做圓.

固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑.以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓，記作“OO”，讀作“圓O”.

定義②：圓可以看做是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合.

2.連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡

稱弧，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧

叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧.

【要點(diǎn)2確定圓的條件】

不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.

注意：這里的“三個(gè)點(diǎn)”不是任意的三點(diǎn)，而是不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，而在同一直

線上的三個(gè)點(diǎn)不能畫一個(gè)圓.“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線

上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，過一點(diǎn)可畫無數(shù)個(gè)圓，過兩點(diǎn)也能畫無數(shù)個(gè)圓，過不在同一

條直線上的三點(diǎn)能畫且只能畫一個(gè)圓.

【考點(diǎn)1圓的基本概念】

【例1】（2022?山東東營統(tǒng)考中考真題）如圖，在。。中，弦ACU半徑08,480C=40。，

則440C的度數(shù)為.

【答案】100。##100度

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出NOCA的度數(shù)，再根據(jù)等邊對(duì)等角求出NO/1C的度數(shù)，

即可利用三角形內(nèi)角和定理求出/AOC的度數(shù).

【詳解】解：???力。II0B,

ZOCA=A灰心40。,

,/OA=OC,

NOAC=乙004=40。，

ZAOC=180。-/0AC-N004=100°,

故答案為：100°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的

性質(zhì)，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1]（2022?廣西柳州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABC7）中，"=4,G是BC

的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，旦EG=2,連接OE,將線段DE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

得到線段。F，連接CR則線段C/7長的最小值為.

【答案】2V5-2

【分析】如圖，由EG=2,確定E在以G為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)，連接AE,再證明

△/IDE=△CDF（SAS）,可得4E=CF,可得當(dāng)4E,G三點(diǎn)共線時(shí)，4E最短，則CF最

短，再利用勾股定理可得答案.

【詳解】解：如圖，由EG=2,可得E在以G為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)，連接AE,

,/正方形48CQ,

.-.AD=CD,/.ADC=90°,

.??乙4DC=NED尸=90。，

Z.ADE=乙CDF,

DE=DF,

AADE三ACDF(SAS),

：.AE=CF,

.，當(dāng)4E,G三點(diǎn)共線時(shí)，4E最短，貝iJC產(chǎn)最短，

YG位BC中點(diǎn)，BC=AB=4,

：.BG=2,

此時(shí)4G=yjBG2+AB2=V22+42=2遍，

此時(shí)力E=2通一2,

所以的最小值為：2V5-2.

故答案為：2V5-2

【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的化簡，

熟練的利用圓的基本性質(zhì)求解線段的最小值是解本題的關(guān)鍵.

【變式1-2](2022?山東濰坊?中考真題)《墨子?天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓.”

度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美.如圖，正方形4BCD的面積為4,以它的對(duì)角線的交點(diǎn)為位似中

心，作它的位似圖形ABO,若=2:1,則四邊形AB'C'ZT的外接圓的周長為

【答案】4V27T

【分析】根據(jù)正方形A8CD的面積為4,求出718=2,根據(jù)位似比求出48'=4,周長即可

得出;

【詳解】解：???正方形A8CD的面積為4,

二AB=2,

???A'B'-.AB=2:1,

???A'B'=4,

：?A'C=V42+42=4x^2,

所求周長=4\/2TT：

故答案為：4近7T.

【點(diǎn)睛】本題考查位似圖形，涉及知識(shí)點(diǎn)：正方形的面積，正方形的對(duì)角線，圓的周長，解

題關(guān)鍵求出正方形48C0的邊長.

【變式1-3］（2022?河北滄州?統(tǒng)考二模）石家莊市水上公園南側(cè)新建的摩天輪吸引了附近

市民的目光.據(jù)工作人員介紹，新建摩天輪直徑為100m,最低點(diǎn)距離地面1m,摩天輪的

圓周上均勻地安裝了24個(gè)座艙（本題中將座艙視為圓周上的點(diǎn)），游客在距離地面最近的

位置進(jìn)艙，運(yùn)行一圈時(shí)間恰好是13分14秒，寓意“一生一世”.小明從摩天輪的底部出發(fā)開

始觀光，摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)1周.

⑴小明所在座艙到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離地面的高度為3

⑵在小明進(jìn)座艙后間隔3個(gè)座艙小亮進(jìn)入座艙（如圖，此忖小明和小亮分別位于P、Q兩點(diǎn)）,

①求兩人所在座艙在摩天輪上的距離（弧PQ的長）；

②求此時(shí)兩人所在座艙距離地面的高度差：

⑶受周圍建筑物的影響，當(dāng)乘客與地面的距離不低于76m時(shí)，可視為最佳觀賞位置，求最

佳觀賞時(shí)間有多長（不足一分鐘按一分鐘記）.

【答案】⑴101

（2）①三兀m：②25m

（3）5分鐘

【分析】（1）根據(jù)題意得出最高點(diǎn)是直徑加1m即可；

（2）①求出圓心角乙POQ的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可；

②求出NQ的長即可，利用直角三角形的邊角關(guān)系求出ON的長，進(jìn)而求出QN即可；

（3）求出達(dá)到最佳觀賞位置時(shí)，座椅所處的位置，進(jìn)而求出所夾的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù),

由圓心角所占周角的百分比，得出最佳觀賞時(shí)間占13分14秒的百分比,通過計(jì)算可得答案.

【詳解】（1）解:如圖，由題意可知，=AQ=100m,

當(dāng)座椅轉(zhuǎn)到點(diǎn)力時(shí)，距離地面最高，此時(shí)71M=4Q+QM=100+1=101（m）,

故答案為：101：

M

（2）①???圓周上均勻的安裝24個(gè)座椅，因此每相鄰兩個(gè)座椅之間所對(duì)的圓心角為翳=15。,

（POQ=4x15°=60°,

...PQ的長為管=哀仙），

答：兩人所在座艙在摩天輪上的距離（弧PQ的長）為m7rm；

②由題意得，兩人所在座艙距離地面的高度差就是NQ的長，

在RtAPON中，OP=50,乙PON=60。,

ON=-2OP=25,

:.NQ=OQ-ON=25,

即兩人所在座艙距離地面的高度差為25m；

（3）如圖，當(dāng)。M=76m時(shí)，對(duì)應(yīng)的座椅為點(diǎn)8、點(diǎn)C,當(dāng)座椅在84c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀賞位置

最佳，

此時(shí)，。0=76-1-50=25（m）,

?；OB=0C=50m,

乙BOD=乙COD=60°,

???8C的長是圓周長的5

因此最佳觀賞位置所持續(xù)的時(shí)間為：13分14秒的占

?5

???13'14〃5',

3

答：最佳觀賞時(shí)間有多長約有5分鐘.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提，掌

握弧長計(jì)算公式是正確計(jì)算的關(guān)鍵.

【要點(diǎn)3垂徑定理及其推論】

（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

推論3：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.

【考點(diǎn)2垂徑定理及其推論】

【例2】（2022?湖南長沙統(tǒng)考中考真題）如圖，A、B、。是。。上的點(diǎn)，OC_L/I8,垂足

為點(diǎn)。，且。為OC的中點(diǎn)，若04=7,則8c的長為.

【答案】7

【分析】根據(jù)垂徑定理可得OC垂直平分A8,根據(jù)題意可得力B平方。C,可得四邊形力。8c是

菱形，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖,連接08,&4,

???A、B、C是。。上的點(diǎn)，0C1力8,

???AD=DB,

?:。為OC的中點(diǎn)，

OD=DC?

四邊形4。8c是菱形，0A=7,

:.BC=A0=7.

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，菱形的性質(zhì)與判定，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1](2022?四川自貢?統(tǒng)考中考真題)一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如

圖所示，測得弦力8長20厘米，弓形高。。為2厘米，則道面半徑為厘米.

【答案】26

【分析】令圓。的半徑為。展「，則。。立2根據(jù)勾股定理求出0。2+8。2=0不，進(jìn)而求出

半徑.

【詳解】解：如圖，由題意，得0。垂直平分48,

/.3c=10厘米，

令圓O的半徑為OB=r,則OC=r-2,

在KtABOC中

OC2+BC2=OB2,

(r-2)2+102=,

解得06.

故答案為:26.

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理和勾股定理求線段長，熟練地掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)足解決問題的關(guān)

鍵.

【變式2?2］（2022?四川涼山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，是△A8C

的外接圓，點(diǎn)小B,。在格點(diǎn)上，則cosNACA的值是.

【分析】取48中點(diǎn)￡),曰圖可知，48=6,AD=BD=3,OD=2,由垂徑定理得OOJ_AB,則

OBHOD2+BD?=V22+32=V13,coszDOB=^===—,再證/ACB=ADOB,即

OBV1313

可解.

【詳解】解：取中點(diǎn)D,如圖，

/.OD工AB,

：■Z008=9?！?

OB=>JOD2+BD2=V22+32=V13,cosZDOB=—=冬=—，

OB<1313

OA=OB,

ZBOD=-AAOB,

2

ZACB=-AAOB

2,

：.ZACB=tDOB,

COSZACB=COSZ,

13

故答案為：誓.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，取A8中點(diǎn)。，得尺必ODB

是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2022?甘肅蘭州?統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐

問題情境：我國東周到漢代一些出土實(shí)物上反映出一些幾何作圖方法，如侯馬鑄銅遺址出土

車喜范、芯組成的（如圖1）,它的端面是圓形，如圖2是用“矩”（帶直角的角尺）碓定端

面圓心的方法：將“矩”的直角尖端4沿圓周移動(dòng)，直到=在圓上標(biāo)記A,B,C三

點(diǎn)；將“矩〃向右旋轉(zhuǎn)，使它左側(cè)邊落在4,3點(diǎn)上，“矩〃的另一條邊與圓的交點(diǎn)標(biāo)記為。點(diǎn),

這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A,B,C,。四點(diǎn)，連接AD,8C相交于點(diǎn)，這樣就用“矩〃

確定了圓上等距離的A,B,C,。四點(diǎn)，鏈接人。，BC相較于點(diǎn)O,即0為圓心.

⑴問題解決：請(qǐng)你根據(jù)"叵題情境''中提供的方法，用三角板坯原我國古代幾何作圖確定圓心

O,如圖3,點(diǎn)A,B,。在。0上，AB1AC,且48=AC,請(qǐng)作出圓心O.（保留作圖痕

跡，不寫作法）

⑵類比遷移：小梅受此問題的啟發(fā)，在研究了用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法

后發(fā)現(xiàn)，如果A8和AC不相等，用三角板也可以確定圓心0.如圖4,點(diǎn)4,B,。在。0上，

ABLAC,請(qǐng)作出圓心O.（保留作圖痕跡，不寫作法）

⑶拓展探究：小梅進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)古代由“矩〃度量確定圓上等距離點(diǎn)時(shí)存在誤差，用平時(shí)

學(xué)的盡那作用的方法確定圓心可以減少誤差.如圖5,點(diǎn)A,B,C是。。上任意三點(diǎn)，請(qǐng)用

不帶刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心0.（保留作圖痕跡，不寫作法）請(qǐng)寫出你確定圓心的理由：

【答案】（1）見解析

⑵見解析

(3)見解析

【分析】(1)作NA8O=90。，B。與圓相交于。，連接BC、4)相交于點(diǎn)。，即可；

(2)作NA8Q=90。，8D與圓相交于。，連接8C、相交于點(diǎn)0,即可；

(3)作A8的垂直平分線作4c的垂直平分線MMDE交MN于0,即可，則垂徑定

理得出確定圓心的理由即可.

(1)

解.：如圖所示，點(diǎn)。就是圓的圓心.

圖3

作NA8Q=90。，8。與圓相交于。，連接BC、A。相交于點(diǎn)0,

???ZCABSABC=90°,

二BC、4。是圓的直徑，

???點(diǎn)0是圓的圓心.

(2)

解：如圖所示，點(diǎn)。就是圓的圓心.

作NABZX90。，BD與圓相交于。，連接BC、AD相交于點(diǎn)。,

■「ZCA8=NA8C=90。，

..BC、4。是圓的直徑，

.??點(diǎn)。是圓的圓心.

(3)

解：如圖所示，點(diǎn)0就是圓的圓心.

作"的垂直平分線OE,作人C的垂直平分線MMOE交MN于0,

?「OE垂直平分AB,

經(jīng)過圓心,即圓心必在直線QE上,

MN垂直平分4C,

「?MN經(jīng)過圓心，即圓心必在直線MN上，

。七與”、的交點(diǎn)0是圓心.

確定圓心的理由：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心.

【點(diǎn)睛】本題考杳圓周角定理的推論，垂徑定理的推論，尺規(guī)作線段垂宜平分線，熟練掌握

直角的圓周角所對(duì)的弦是直徑是解題的關(guān)鍵.

【要點(diǎn)4弧、弦、角、距的概念】

（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.

（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它

們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.

說明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”

是指同為優(yōu)弧或劣弧.

（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等,

三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等.這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心

旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合.

【考點(diǎn)3弧、弦、圓心角的關(guān)系】

【例3】（2022?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，48,CD是。。的兩條直徑，E是劣弧的中

點(diǎn)，連接BC,DE.若4ABe=22。，則NCDE的度數(shù)為（）

A.22°B.32°C.34°D.44°

【答案】C

【分析】連接0E,由題意易得乙OCB=乙ABC=22°,則有NCOB=136°,然后可得4COE=

68。，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理可求解.

【詳解】解：連接OE如圖所示：

?「OB=OC,Z-ABC=22°,

乙OCB=Z-ABC=22°,

/.乙COB=136°,

E是劣弧8。的中點(diǎn)，

Z.COE=-^COB=68°,

2

ADE=-Z.COE=34°；

2

故選c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理及垂徑定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理及垂徑定理是解題的關(guān)

鍵.

【變式3-1]（2022?浙江湖州?統(tǒng)考中考真題）在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，

每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格圖形ABC。中，M,N分別是

4B,8c上的格點(diǎn)，BM=4,BN=2.若點(diǎn)〃是這個(gè)網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連接PM,PN,則

所有滿足NMPN=45。的△PMN中，邊PM的長的最大值是（）

D

BNC

A.4V2B.6C.2mD.3隗

【答案】C

【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的員I周角等于所對(duì)圓心角的一半，過點(diǎn)M、N作以點(diǎn)。為圓心，

NMCW=90。的圓，則點(diǎn)夕在所作的圓上，觀察圓。所經(jīng)過的格點(diǎn)，找出到點(diǎn)M距離最大的

點(diǎn)即可求出.

【詳解】作線段MN中點(diǎn)。，作MN的垂直平分線0Q,并使以。為圓心，OM

為半徑作圓，如圖，

因?yàn)?。。為MN垂直平分線且OQ=：MN,所以O(shè)Q=MQ=NQ,

：.ZOMQ=/ONQ=45。，

/.ZM()N=90°,

所以弦MN所對(duì)的圓。的圓周角為45。，

所以點(diǎn)。在圓。上，PM為圓O的弦，

通過圖像可知，當(dāng)點(diǎn)。在P'位置時(shí)，恰好過格點(diǎn)且P'M經(jīng)過圓心O,

所以此時(shí)PM最大，等于圓。的直徑，

BM=4,BN=2,

MN=V22+42=2V5,

MQ=OQ=yf5,

：.OM=V2MQ=&x遙=V10,

P'M=20M=2V10,

故選c.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓的相關(guān)知識(shí)，熟練掌握同弧所對(duì)的圓周角相等、直徑是圓上最大的弦,

會(huì)靈活用已知圓心角和弦作圓是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2](2022?湖南懷化?統(tǒng)考中考真題)如圖，點(diǎn)4B,C,。在上，AB=CD.求

證：

(1)AC=BD：

(2)AABE-△DCE.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】(1)兩個(gè)等弧同時(shí)加上一段弧后兩弧仍然相等；再通過同弧所對(duì)的弦相等證明即

可；

(2)根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，對(duì)頂角相等即可證明相似.

【詳解】(1)：AB=CD

*'.AB+AD=CD+AD

/.BAD=ADC

/.BD=AC

(2)ZB=ZC

ZAEB=NDEC

」.△ABEs△DCE

【點(diǎn)睛】本題考查等弧所對(duì)弦相等、所對(duì)圓周角相等，掌握這些是本題關(guān)鍵.

【變式3-3](2022?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考三模)己知：。。兩條弦AC與相交于點(diǎn)=".

(1)如圖1,求證：CE=BE；

⑵如圖2,直徑8FJ.4C于點(diǎn)N,連接。/，求證：DF=20N；

⑶如圖3,在(2)的條件下，連接力。交8小于點(diǎn)G,若49=11,BN=瓜求ON的長.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

⑶ON=苧

【分析】(1)如圖所示，連接8C,只需要證明得至I]/CBQ=N6C4,即可記明

BE=CE；

(2)如圖所示，過點(diǎn)。作OM_L8。于M,連接OA,先證明OM是△8。尸的中位線，得到

OM=\DF,再證明/?/△BO監(jiān)/?/△AON得至ljON=OM,即可證明。/=20M=20N；

(3)連接48,4。,4尸,過點(diǎn)。作OK_LAO于K,先證明aAN的△4VG得到GN=BN=炳,

設(shè)ON=x,則OB=O力==+遙，BF=2x+2V5,FN=2%+遙，OG=x-瓜由勾股

定理得0K2=OA2-AK2=(%+V5)2-f-V,證明△ABN-△FAN,得到竺=—,推出

AN?=BN,FN=2氐+5,在RAANG中，AG2=AN2+GN2=275%+10,證明

△ANG…OKG,推出第=等則嚕歲L春，據(jù)此求解即可.

(1)

解:如圖所示，連接8C,

*/AC=BD,

/.AC=BD,

：.AC-BC=BD-BC,即48=C。,

ZCBD=^BCA,

BE-CE\

(2)

解：如圖所示，過點(diǎn)O作于M,連接。4,

:.BM=DM,ZBMO=90°,

??,M是8。的中點(diǎn)，。是B尸的中點(diǎn),

:?0M是44。尸的中位線：

/.OM=-DF,

2

：AC±BF,AC二BD,

AN=-AC=-BD=BM

22t

在Rt>BOM和RtLAON中，

(BM=AN

(