中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《梯形問題》專項測試卷(帶答案)

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《梯形問題》專項測試卷(帶答案)

學(xué)校:班級：姓名：___________考號：

1.已知，如圖，在直角楞形COAB中，CBII0A,以0為原點建立平面直角坐標(biāo)系，A、

B、C的坐標(biāo)分別為A(10,0)>B(4,8)、C(0,8),D為OA的中點，動點P自A

點出發(fā)沿A^BIC^O的路線移動，速度為每秒1個單位，移動時間記為t秒.

(1)求過點O、B、A三點的拋物線的解析式：

(2)求AB的長；若動點P在從A到B的移動過程中，設(shè)AAPD的面積為S,寫出S與t

的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；

(3)動點P從A出發(fā)，幾秒鐘后線段PD將梯形COAB的面積分成1：3兩部分？求出此

時P點的坐標(biāo).

2.已知：如圖，在直角楞形COAB中，OCIIAB,以0為原點建立平面直角坐標(biāo)系，A,

B,C三點的坐標(biāo)分別為A(8,0),B(8,10),C(0,4),點D為線段BC的中點，

動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿折線OABD的路線移動，移動的時間為I

秒.

(1)求直線BC的解析式；

(2)若動點P在線段OA上移動，當(dāng)I為何值時，四邊形OPDC的面積是梯形COAB面積

(3)動點P從點O出發(fā)，沿折線OABD的路線移動過程中，設(shè)AOPD的面積為S,請直

接寫出S與［的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量I的取值范圍；

(4)試探究：當(dāng)動點P在線段AB上移動時，能否在線段OA上找到一點Q,使四邊形

CQPD為矩形？并求出此時動點P的坐標(biāo).

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3.如圖，以RsABO的直角頂點。為原點，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y

軸，建立平面直角坐標(biāo)系.已知OA=4,0B=3,一動點P從O出發(fā)沿OA方向，以每秒1

個單位長度的速度向A點勻速運動，到達(dá)A點后立即以原速沿A0返回；點Q從A點出發(fā)

沿AB以每秒1個單位長度的速度向點B勻速運動.當(dāng)Q到達(dá)B時，P、Q兩點同時停止運

動，設(shè)P、Q運動的時間為t秒（t>0）.

（1）試求出△APQ的面積S與運動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在某一時刻將△APQ沿著PQ翻折，使得點A恰好落在AB邊的點D處，如圖①.求

出此時△APQ的面積.

（3）在點P從。向A運動的過程中，在y軸上是否存在著點E使得四邊形PQBE為等腰

梯形？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（4）伴隨著P、Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線DF交PQ于點D,交折線QB-BO

-OP于點F.當(dāng)DF經(jīng)過原點O時，請直接寫出t的值.

4.如圖，在RtZiABO中，OB=8,tan/OBA二旦若以0為坐標(biāo)原點，0A所在直線為x

4

軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點C在x軸負(fù)半軸上，且OB=4OC.若拋物線

y=ax，bx+c經(jīng)過點A、C.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點為P,求四邊形OAPB的面枳；

（3）有兩動點M,N同時從點O出發(fā)，其中點M以每秒2個單位長度的速度沿折線OAB

按O3AfB的路線運動，點N以每秒4個單位長度的速度沿折線按OfB玲A的路線運動，

當(dāng)M、N兩點相遇時，它們都停止運動.設(shè)M、N同時從點0出發(fā)I秒時，aOMN的面積

為S.

①請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；

②判斷在①的過程中，t為何值時，AOMN的面積最大？

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5.如圖（1）,以梯形OABC的頂點O為原點，底邊0A所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)

系.梯形其它三個頂點坐標(biāo)分別為：A（14,0）,B（11,4）,C（3,4）,點E以每秒2

個單位的速度從O點出發(fā)沿射線OA向A點運動，同時點F以每秒3個單位的速度，從O

點出發(fā)沿折線OCB向B運動，設(shè)運動時間為t.

（1）當(dāng)t=4秒時，判斷四邊形COEB是什么樣的四邊形？

（2）當(dāng)t為何值時，四邊形COEF是直角梯形？

（3）在運動過程中，四邊形COEF能否成為一個菱形？若能，請求出I的值；若不能，請

簡要說明理由，并改變E、F兩點中任一個點的運動速度，使E、F運動到某時刻時，四邊

形COEF是菱形，并寫出改變后的速度及I的值

6.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（0,4）,點C的坐標(biāo)為

（12,0）,點D的坐標(biāo)為（8,4）,動點E從點A出發(fā)，沿y軸正方向以每秒1個單位

的速度移動；同時動點F從點A出發(fā)，在線段AD上以每秒2個單位的速度向點D移動.當(dāng)

點F與點D重合時，E、F兩點同時停止移動.設(shè)點E移動時間為t秒.

（1）求當(dāng)t為何值時，三點C、E、F在同一直線上；

（2）設(shè)順次連接OCFE,設(shè)這個封閉圖形的面積為S,求出S與［之間的函數(shù)關(guān)系及自變量

t的取值范圍；

（3）求當(dāng)I為何值時，以0、E、F為頂點的三角形是等腰三角形？

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7.如圖，已知A,B兩點坐標(biāo)分別為（28,0）和（（），28）,動點P從A開始在線段AO

上以每秒3個單位長度的速度向原點O運動.動直線EF從x軸開始以每秒1個單位長度的

速度向上平行移動（即EFIIx軸），并且分別與y軸、線段AB交于點E,F,連接FP,設(shè)

動點P與動直線EF同時出發(fā)，運動時間為1秒.

（1）當(dāng)t二l秒時，求梯形OPFE的面積；

（2）t為何值時，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？

（3）當(dāng)梯形OPFE的面積等于4APF的面積時，求線段PF的長.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線AB：y=-卷+3分別與x軸、y軸分別交于點

A、點B.動點P、Q分別從0、A同時出發(fā)，其中點P以每秒1個點位長度的速度沿0A

方向向A點勻速運動，到達(dá)A點后立即以原速度沿AO返向；點Q以每秒1個單位長度的

速度從A點出發(fā)，沿A-B-O方向向O點勻速運動.當(dāng)點Q到達(dá)點O時，P、Q兩點同時

停止運動.設(shè)運動時間為I（秒）.

（1）求點A與點B的坐標(biāo)；

（2）如圖I,在某一時刻將△APQ沿PQ翻折，使點A恰好落在AB邊的點C處，求此時

△APQ的面積；

（3）若D為y軸上一點，在點P從0向A運動的過程中，是否存在某一時刻，使得四邊

形PQBD為等腰梯形？若存在，求出t的值與D點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（4）如圖2,在P、Q兩點運動過程中，線段PQ的垂直平分線EF交PQ于點E,交折線

QB-BO-OP于點F.問：是否存在某一時刻I,使EF恰好經(jīng)過原點O?若存在，請求出

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9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點，A、B、C二點的坐標(biāo)分別為A（30,0）.D

（24,6）,C（8,6）.點P、Q同時從原點出發(fā)，分別作勻速運動，其中點P沿OA向終

點A運動，速度為野秒3個單位，點Q沿OC、CB向終點B運動，速度為每秒2個單位.當(dāng)

這兩點有一點達(dá)到自己的終點時，另一點也停止運動.設(shè)運動時間為t（秒）.

（1）當(dāng)點Q在OC上運動時，試求點Q的坐標(biāo)；（用t表示）

（2）當(dāng)點Q在CB上運動時；

①當(dāng)t為何值時，四邊形OPQC為等腰梯形？

②是否存在實數(shù)3使得四邊形PABQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說

明理由.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形ABCD的頂點A、B分別在x、y軸的正半軸

上，頂點D在x軸的負(fù)半軸上.已知NC=NCDA=90。，AB=10,對角線BD平分/ABC,

且tanzDBO=A

3

（1）求直線AB的解析式；

（2）若動點P從點A出發(fā)，以每秒5個單位長的速度沿著線段AB向終點B運動；同時動

點Q從點D出發(fā)，以每秒4個單位長的速度沿著線段DA終點A運動，過點Q作QH_LAB,

垂足為點H,當(dāng)一點到達(dá)終點時;另一的也隨之停止運動.設(shè)線段朋的長度為y,點P運動

時間為3求y與I的函數(shù)關(guān)系式；（請直接寫出自變量t的取值范圍）

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(3)在(2)的條件下，將△APQ沿直線PQ折疊后，AP對應(yīng)線段為AT,當(dāng)t為何值時,

ATIICD,并通過計算說明，此時以義為半徑的。P與直線QH的位置關(guān)系.

7

11.如圖1,在RtAABC中，ZA=90°,AB=AC,BC=4加，另有一等腰梯形DEFG

(GFIIDE)的底邊DE與BC重合，兩腰分別落在AB,AC±,且G,F分別是AB,AC

C(￡)

的中點.

(1)求等腰梯形DEFG的面積；

(2)操作：固定△ABC,將等腰梯形DEFG以每秒1個單位的速度沿BC方向向右運動，

直到點D與點C重合時停止.設(shè)運動時間為x秒，運動后的等腰梯形為DEFG(如圖2).

探究1：在運動過程中，四邊形BDG，G能否是菱形？若能，請求出此時x的值；若不能，

請說明理由；

探究2：設(shè)在運動過程中AABC與等腰梯形DEFG重疊部分的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)

系式.

12.如圖,在等腰梯形ABCD中,ABHDC,ZDAB=45%AB=10cm,CD=4cm.等腰直

角三角形PMN的斜邊MN=10cm,A點與N點重合，MN和AB在一條直線上，設(shè)等接梯

形ABCD不動，等腰直角三角形PMN沿AB所在直線以lcm/s的速度向右移動，直到點N

與點B重合為止.

(1)等腰直角三角形PMN在整個移動過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由—

形變化為形；

(2)設(shè)當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳MN移動x(s)時，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD

重疊部列勺面積為y(cm2),求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)①x=4(s),②x=8(s)時，求等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重置部分

的面積.

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13.如圖，在等腰梯形ABCD中，ABHCD,ZA=60°,AD=DC=CB=2,點P是AD上一動

點，點Q是線段AB上一動點且AP=AQ,在等腰梯形ABCD內(nèi)以PQ為一邊作矩形

PQMN,點N在CD上.設(shè)AQ=x,矩形PQMN的面積為y.

（1）求等腰梯形ABCD的面積；

（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)x為何值時，矩形PQMN是正方形；

（4）矩形PQMN面積最大時，將APQN沿NQ翻折，點P的對應(yīng)點為點P,請判斷此時

△BMP的形狀.

14.如圖,在直角坐標(biāo)系內(nèi),已知等腰梯形ABCD,ADIIBCIIx軸,AB=CD,AD=2,

BC=8,AB=5,B點的坐標(biāo)足（-1,5）.

（I）直接寫出下列各點坐標(biāo).A（,）C（,）D（,）；

（2）等腰梯形ABCD繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積（保留「）；

（3）直接寫出拋物線y=x?左右平移后，經(jīng)過點A的函數(shù)關(guān)系式；

（4）若拋物線y=x2可以上下左右平移后，能否使得A,B,C,D四點都在拋物線上？若

能，請說理由；若不能，將“拋物線y=x2〃改為“拋物線丫=|僦2",試確定m的值，使得拋物

線丫=1^2經(jīng)過上下左右平移后能同時經(jīng)過A,B,C,D四點.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、C、D的坐標(biāo)分別是（1,2加）、（4,0）、3,

2的），點M是AD的中點.

（1）求證：四邊形AOCD是等腰梯形；

（2）動點P、Q分別在線段OC和MC上運動，且保持NMPQ=60。不變.設(shè)PC=x,MQ=y,

求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）中：試探究當(dāng)點P從點O首次運動到點E（3,0）時，Q點運動的路徑長.

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16.如圖1,在等腰梯形ABCD中，ABHCO,E是A0的中點，過點E作EFIIOC交BC

于F,AO=4,OC=6,ZAOC=60°.現(xiàn)把梯形ABCO放置在平面直角坐標(biāo)系中，使點。與

（2）點P為線段EF上的一個動點，過點P作PM_LEF交OC于點M,過M作MNIIAO

交折線ABC于點N,連接PN.設(shè)PE=x.△PMN的面積為S.

①求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②APMN的面積是否存在最大值，若不存在，請說明理由.若存在，求出面積的最大

值；

（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，/EDG=90°,且DG=3,

HGIIBC）.現(xiàn)在開始操作：固定等腰梯形ABCO,將直角梯形EDGH以每秒1個單位的

速度沿0C方向向右移動，直到點D與點C重合時停止（如圖2）?設(shè)運動時間為I秒，運

動后的直角梯形為ETTGH，；探究：在運動過程中，等腰梯ABCO與直角梯形EDXHF重

合部分的面積y與時間t的函數(shù)關(guān)系式.

17.如圖，RSAOB中，ZOAB=90%以0為坐標(biāo)原點，0A所在的直線為x軸建立平面

直角坐標(biāo)系，將AOAB沿OB折疊后，點A落在笫一象限的點C處，已知B點坐標(biāo)是

（大門，2）；一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過O、C、A三個點.

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）直線0C上是否存在點Q,使得△AQB的周長最小？若存在請求出Q點的坐標(biāo)，若不

存在請說明理由；

（3）若拋物線的對稱軸交OB于點D,設(shè)P為線段DB上一點，過P點作PMIIy軸交拋物

線丁點M,問：是否存在這樣的點P,使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在請求出P點

坐標(biāo)，若不存在請說明理由.

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c

18.如圖1,等腰梯形ABCD中，ADIIBC,AB=CD=、R,AD=5,BC=3.以AD所在的

直線為x軸，過點B且垂直于AD的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.拋物線y=ax2+bx+c

經(jīng)過O、C、D三點.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)（1）中的拋物線與BC交于點E,P是該拋物線對稱軸上的一個動點（如圖2）：

①若直線PC把四邊形AOEB的面積分成相等的兩部分，求直線PC的函數(shù)表達(dá)式；

②連接PB、PA,是否存在4PAB是直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐

標(biāo)，并直接寫出相應(yīng)的4PAB的外接圓的面積；若不存在，請說明理由.

19.在等腰梯形ABCD中，已知AB=6,BC=2亞，ZA=45\以AB所在直線為x軸，A

為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，將等腰梯形ABCD饒A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到等展梯

形OEFG（0、E、F、G分別是A、B,C、D旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點）（圖1）

（1）寫出C、F兩點的坐標(biāo)；

（2）等腰梯形ABCD沿x軸的負(fù)半軸平行移動，設(shè)移動后的OA=x（圖2）,等腰梯形ABCD

與等腰梯形OEFG重置部分的面積為y,當(dāng)點D移動到等腰梯形OEFG的內(nèi)部時，求y與x

之間的關(guān)系式；

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20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（10,0）,ZOBA=90°,BCIIOA,OB=8,點E從

點B出發(fā)，以每秒1個單位長度沿BC向點C運動，點F從點O出發(fā)，以每秒2個單位長

度沿OB向點B運動.現(xiàn)點E、F同時出發(fā)，當(dāng)點F到達(dá)點B時，E、F兩點同時停止運動.

（1）求梯形OABC的高BG的長；

（2）連接E、F并延長交OA于點D,當(dāng)E點運動到幾秒時，四邊形ABED是等腰梯形；

（3）動點E、F是否會同時在某個反比例函數(shù)的圖象上？如果會，請直接寫出這時動點E、

F運動的時間t的值；如果不會，請說明理由.

21.如圖,在直角梯形ABCD中，ADIIBC,ZB=90%AD=13厘米，BC=16厘米,CD=5

厘米，AB為OO的直徑，動點P沿AD方向從點A開始向點D以I厘米/秒的速度運動，

動點Q沿CB方向從點C開始向點B以2厘米/秒的速度運動，點P、Q分別從A、C兩點

同時出發(fā)，當(dāng)其中一點停止時，另一點也隨之停止運動.

（1）求。O的直徑；

（2）求四邊形PQCD的面積y關(guān)于P、Q運動時間t的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)四邊形PQCD

為等腰梯形時，四邊形PQCD的面積；

（3）是否存在某一時刻I,使直線PQ與＜30相切？若存在，求出I的值；若不存在，請說

22.如圖1,在等腰梯形ABCD中，BCIIAD,BC=8,AD=2。，AB=DC=10,點P從A點

出發(fā)沿AD邊向點D移動，點Q自A點出發(fā)沿ATB1C的路線移動，且PQIIDC,若

AP二x,梯形位于線段PQ右側(cè)部分的面積為S.

（1）分別求出點Q位于AB、BC上時，S與x之間函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范

圍；

（2）當(dāng)線段PQ將梯形ABCD分成面積相等的兩部分時，x的值是多少？

（3）在（2）的條件下，設(shè)線段PQ與梯形ABCD的中位線EF交于O點，那么OE與OF

的長度有什么關(guān)系？借助備用圖2說明理由；并進(jìn)一步探究：對任何一個梯形，當(dāng)一直線1

經(jīng)過梯形中位線的中點并滿足什么條件時，其一定平分梯形的面積？（只要求說出條件，不

需證明）

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BCB

23.現(xiàn)有邊長為180厘米的正方形鐵皮，準(zhǔn)備將它設(shè)計并制成一個開口的水槽，使水槽能

通過的水的流量最大.

某校九年級（2）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)討論得出結(jié)論：在水流速度一定的情況下，水槽的橫截

面面積越大，則通過水槽的水的流量越大.為此，他們對水槽的橫截面，進(jìn)行了如下探

索：

（1）方案①：把它折成橫截面為矩形的水槽，如圖.

若NABC=90。，設(shè)BC=x用米，該水槽的橫截面面積為y厘米2,請你寫出y關(guān)于x的函數(shù)

關(guān)系式（不必寫出x的取值范圍），并求出當(dāng)x取何值時，y的值最大，最大值又是多少？

方案②：把它折成橫截面為等腰梯形的水槽，如圖.

若/ABC=I2O。，請你求出該水槽的橫截面面積的最大值，并與方案①中的y的最大值比

較大小.

（2）假如你是該興趣小組中的成員，請你再提供一種方案，使你所設(shè)計的水槽的橫截面面

積更大.畫出你設(shè)計的草圖，標(biāo)上必要的數(shù)據(jù)（不要求寫出解答過程）.

24.某校數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組準(zhǔn)備設(shè)計一種高為6am的簡易廢紙箱.如圖I,廢紙箱的一

面利用墻，放置在地面上，利用地面作底，其它的面用一張邊長為60cm的正方形硬紙板圍

成.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：由于廢紙箱的高是確定的，所以廢紙箱的橫截面圖形面積越大，則它的

容積越大.

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/，///////////////’J/1//1//」///)

L

橫截面圖形xcm\60*吵，

□____________Cxcm\________/

y與x的函2

v=--x2+30%V=-1V3X+30V3X

數(shù)關(guān)系式一

j?取最大值

時x(cm)3020

的值

](cm?)取

45030073

得的最大值

y取最大值////////////////

時的設(shè)計示

意圖

(1)該小組通過多次嘗試，最終選定下表中的簡便且易操作的三種橫截面圖形，如圖2,

是根據(jù)這三種橫截面圖形的面積y(cm2)與x(cm)(見表中橫截面圖形所示)的函數(shù)關(guān)系

式而繪制出的圖象.請你根據(jù)有信息，在表中空白處填上適當(dāng)?shù)臄?shù)、式，并完成y取最大

值時的設(shè)計示意圖；

(2)在研究性學(xué)習(xí)小組展示研究成果時，小華同學(xué)指出：圖2中“底角為60。的等腰梯形”

的圖象與其他兩個圖象比較，還缺少一部分，應(yīng)該補畫,你認(rèn)為他的說法正確嗎？清簡要

說明理由.

25.如圖(1),四邊形ABCD內(nèi)部有一點P,使得S^APD+SABPC二SAPAB+SAPCD，那么這

樣的點P叫做四邊形ABCD的等積點.

(1)如果四邊形ABCD內(nèi)部所有的點都是等積點，那么這樣的四邊形叫做等積四邊形.

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①請寫出你知道的等積四邊形：,,,_

___________,（四例）

②如圖（2）,若四邊形ABCD是平行四邊形且SAABP=8,SA,\PD=7,SABPC=I5,則

SAPCD=?

（2）如圖（3）,等腰梯形ABCD,AD=4,BC=10,AB=5,直線1為等腰梯形的對稱軸,

分別交AD于點E,交BC于點F.

①請在直線1上找到等腰梯形的等積點，并求出PE的長度.

②請找出等腰梯形ABCD內(nèi)部所有的等積點，并畫圖表示.

26.如圖，直角梯形ABCD和正方形EFGC的邊BC、CG在同一條直線上，ADIIBC,

于點B,AD=4,AB=6,BC=8,直由梯形ABCD的面積與正方形EPGC的面積相

等,將直角梯形ABCD沿BG向右平行移動，當(dāng)點C與點G重合時停止移動.設(shè)梯形與正

方形重疊部分的面積為S.

（1）求正方形的邊長；

（2）設(shè)直角梯形ABCD的頂點C向右移動的距離為x,求S與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)直角梯形ABCD向右移動時，它與正方形EFGC的重疊部分面積S能否等于直角梯

形ABCD面積的一半？若能，請求出此時運動的距離x的值；若不能，請說明理由.

27.已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為M（2,0）,直線y=x+2與該二次函數(shù)的圖象交于A、

B兩點，其中點A在y軸上（如圖示）

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）P為線段AB上一動點（A、B兩端點除外），過P作x軸的垂線與二次函數(shù)的圖象交

于點Q，設(shè)線段PQ的長為1,點P的橫坐標(biāo)為x,求出1與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自

變量x的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，線段AB上是否存在一點P,使四邊形PQMA為梯形？若存在，

求出點P的坐標(biāo)，并求出梯形的面積；若不存在，請說明理由.

第13頁共68頁

28.如圖1所示，直角梯形OABC的頂點C在x軸正半軸上，ABHOC,NABC為直角，

過點A、O作直線1,將直線1向右平移，設(shè)平移距離為I(120),直角梯形OABC被直線

1掃過的面枳(圖中陰影部分)為s,s關(guān)t的函數(shù)圖象如圖2所示，OM為線段，MN為拋

物線的一部分，NQ為射線.

(1)求梯形上底AB的長及直角梯形OABC的面積；

(2)如圖3,矩形ODEF的兩邊OD、OF分別落在坐標(biāo)軸上，且OD=4,OF=3,將矩形

ODEP沿x軸的正半軸平行移動，設(shè)矩形ODEF的頂點O向右平移的距離為x(0<x<7),

求矩形ODEF與梯形OABC重疊部分面積S與x的函數(shù)關(guān)系式.

(3)當(dāng)平移距離x=____________時，重疊部分面積S取最大值_____________.

29.如圖，在△ABC中，ZC=90°,BC=8,AC=6,另有一直角梯形DEFH(HFIIDE.

NHDE=90。)的底邊DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4,ZDEF=ZCBA,AH：

AC=2：3

(1)延長HF交AB于G,求AAHG的面積.

(2)操作：固定△ABC,將直角梯形DEFH以每秒1個單位的速度沿CB方向向右移動，

直到點D與點B重合時停止，設(shè)運動的時間為t秒，運動后的直角梯形為DEFH(如圖).

探究1：在運動中，四邊形CDH，H能否為正方形？若能，請求出此時I的值；若不能，請

說明理由.

探究2：在運動過程中，△ABC與直角梯形DEFH，重疊部分的面積為y,求y與I的函數(shù)關(guān)

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參考答案

1.己知，如圖，在直角楞形COAB中，CBIIOA,以0為原點建立平面直角坐標(biāo)系，A、

B、C的坐標(biāo)分別為A(10,0)、B(4,8)、C(0,8),D為OA的中點，動點P自A

點出發(fā)沿ATB9C3O的路線移動，速度為每秒1個單位，移動時間記為I秒.

(1)求過點O、B、A三點的拋物線的解析式；

(2)求AB的長；若動點P在從A到B的移動過程中，設(shè)△APD的面積為S,寫出S與I

的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；

(3)動點P從A出發(fā)，幾秒鐘后線段PD將梯形COAB的面積分成1：3兩部分？求出此

時P點的坐標(biāo).

解解：(1)設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax?+bx+c(axO)

答：(c=0

依題意，得(100a+10b=0，

I16a+4b=8

故所求拋物線的解析式為y=-1X2+M；

33

(2)作BE_LOA與E,OE=BC=4,

?.在RSABE中，AE=OA-OE=6,BE=OC=8,

***AB=VAE2+BE2=1°-

解法一：作OF_LAB于F,DH_LAB于H,

OA?BE=AB?OF,

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0F=°a?BE=8,DH=1OF=4,

AB2

/.S=lAP?DH=ix4=2t(0<t<10)；

22

解法二：?「SaAPD￡SAABD=J：AD?BE=1X5X8=20.

^△ABD前22

...S=2t(0<t<10)；

（3）點P只能在AB或OC上才能滿足題意，

S栩形COAB=2（BC+OA）?OC=L（4+10）x8=56,

22

（i）當(dāng)點P在AB上時，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x,y）,

由SAAPD=—S悌形COAB，

4

得JoD?y==x56,解得丫=菅，

由SAAPD=-AP*DH=J：tx4=l4,得t=7.

22

此時，作BGJ_OA于G,由勾股定理得（AO-x）2+y2=AP2,即(10-x)2+(瑪

5

2=72,

解得xJ?,即在7秒時有點門（4，28）滿足題意；

555

（li）當(dāng)點P在OC上時，設(shè)點P的坐標(biāo)為（0,y）.

由SAAPD二1s相形COAB，得」AD?y二1x56,解得y=&,

4245

此時t=10+4+（8?&）=16-?.即在t=162秒時，有點P2（0,出）滿足題意;

5555

綜上，在7秒時有點Pi（蘭，型），在16工秒時有點P2（0，豆）使PD將梯形COAB

5555

的面積分成1：3的兩部分.

y.、

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2.己知：如圖，在直角梯形COAB中，OCIIAB,以0為原點建立平面直角坐標(biāo)系，A,

B,C三點的坐標(biāo)分別為A(8,0),B(8,10),C(0,4),點D為線段BC的中點，

動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿折線OABD的路線移動，移動的時間為t

秒.

(1)求直線BC的解析式；

(2)若動點P在線段OA上移動，當(dāng)t為何值時，四邊形OPDC的面積是梯形COAB面積

(3)動點P從點O出發(fā)，沿折線OABD的路線移動過程中，設(shè)AOPD的面積為S,請直

接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；

(4)試探究：當(dāng)動點P右線段AB上移動時，能否在線段OA上找到一點Q,使四邊形

CQPD為矩形？并求出此時動點P的坐標(biāo).

解解：(1)設(shè)BC所在直線的解析式為y=kx+b,

答：因為直線BC過B[8,10),C(0,4)兩點，可得:

f8k+b=10

49

b=4

解得k=乜，b=4,

因此BC所在直線的解析式是y=&+4；

4

(2)過D作DE_LOA,

則DE為梯形OABC的中位線，OC=4,AB=IO,

則DE=7,又OA=8,得S梯形OABC=56,

則四邊形OPDC的面積為16,SACOD=8,

?*.SAPOD=8?

即1?tx7=8,

2

得t*

7

第17頁共68頁

（3）分三種情況

①0Vt48,（P在0A上）

7

S三角形OPD二一t

2

（2）8<t<18,（P在AB上）

S三角形OPD=S梯形OCBA-S三角形OCD-s三角形OAP-S三角形PBD

=56-8-4（t-8）-2（18-t）=44-2t

（此時AP=i-8,BP=18-t）

③過D點作DM垂直y軸與M點

/.CM=3,DM=4,CD=5,

ZBCH的正弦值為」

5

CP長為28-t

PH=22.4-0.8t

S三角形OPD二s三角形OFC-s三角形ODC

△x4（22.4-0.8t）-8

2

-1---8--4.-8lt;.

55

（4）不能.理由如下：作CM_LAB交AB于M,

則CM=0A=8,AM=0C=4,

/.MB=6.

在RIABCM中，BC=IO,

CD=5,

若四邊形CQPD為更形，則PQ=CD=5,

且PQIICD,

RtAPAQsRtABDP,

設(shè)BP=x,貝IJPA=10-x,

.x5

510-x

化簡得x2?10x+25=0,x=5,即PB=5,

PB=BD,這與^PBD是直角三角形不相符因此四邊形CQPD不可能是矩形.

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3.如圖，以RQABO的直角頂點。為原點，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y

軸，建立平面直角坐標(biāo)系.己知OA=4,OB=3,一動點P從O出發(fā)沿OA方向，以每秒1

個單位長度的速度向A點勻速運動，到達(dá)A點后立即以原速沿AO返回：點Q從A點出發(fā)

沿AB以每秒1個單位長度的速度向點B勻速運動.當(dāng)Q到達(dá)B時，P、Q兩點同時停止運

動，設(shè)P、Q運動的時間為t秒（t>0）.

（1）試求出△APQ的面積S與運動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在某一時刻將△APQ沿著PQ翻折，使得點A恰好落在AB邊的點D處，如圖①.求

出此時△APQ的面積.

（3）在點P從O向A運動的過程中，在y軸上是否存在著點E使得四邊形PQBE為等腰

梯形？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（4）伴隨著P、Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線DF交PQ于點D,交折線QB-BO

-OP于點F.當(dāng)DF經(jīng)過原點O時，請直接寫出t的值.

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解解：(1)在RSAOB中,OA=4,OB=3

答:

AB=742+32-5

①P由O向A運動時，OP=AQ=t,AP=4-t

過Q作QH_LAP于H點.

由QHIIBO,得

yH_ub得嗚

???SZIAPQ3Ap咂K("t)3

5t

即SZ^Q二-*2塔(0<t<4)

②當(dāng)4V區(qū)5時，即P由A向O運動時，AP=t4AQ=t

sinzBAO陛/

t5

QHg,

5

二?sAAPQ=^(t-4)

ZD

_326

一

---1--01—5t;

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一條2點（o<t<4）

105

綜上所述，SAAPQ=,

^t2（4<t<5）

1UD

（2）由題意知，此時AAPQ合△DPQ,ZAQP=9O°,

cosA=~^=°包4

APAB5

當(dāng)0<t<4.\_L_2即

4-t59

當(dāng)4Vt45時，一^=-1t=-16（舍去）

t-45

S21APQ二一磊”號卷

（3）存在，有以下兩種情況

①若PEIIBQ,則等腰梯形PQBE中PQ=BE

過E、P分分別作LM_LAB于M,PN_LAB于N.

則有BM=QN,由PEIIBQ,

得純龍，

OB-OA

BM=~（3-索）；

54

又???AP=4-t,

AN=—（4-t），

5

二QN=^|（4-t）-t?

由BM二QN,得心（3--t），（4-t）-t

545

.28

??t-...'

27

?,■E（0,［）；

②若PQIIBE,則等腰梯形PQBE中

BQ=EP且PQ_LOA于P點

由題意知AP=vAQ^t

55

OP+AP=OA,

??.哼二4

.t.20

9

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OEW,

3

???點E（0,-王）

3

由①②得E點坐標(biāo)為（0,2）或（0,?國）.

93

（4）①當(dāng)P由O向A運動時，OQ=OP=AQ=[.

可得NQOA=NQAO/.ZQOB=ZQBO

OQ=BQ=t.\BQ=AQJAE

2

②當(dāng)P由A向O運動時，OQ=OP=8-t

BQ=5-1,QG=4（5-t）,0G=3--|（5-t）

55

在RQOGQ中，OQ2=QG2+OG?

22

即（8?t）2=爛（5-力]+[3-^（5-t）]

55

4.如圖，在R/ABO中，OB=8,tan/OBA=2若以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA所在直線為x

4

軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點C在x軸負(fù)半軸上，且OB=4OC.若拋物線

y二ax，bx+c經(jīng)過點A、B、C.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點為P,求四邊形OAPB的面積；

第22頁共68頁

（3）有兩動點M,N同時從點0出發(fā)，其中點M以每秒2個單位長度的速度沿折線OAB

按OfA^B的路線運動，點N以每秒4個單位長度的速度沿折線按O玲B玲A的路線運動，

當(dāng)M、N兩點相遇時，它們都停止運動.設(shè)M、N同時從點O出發(fā)t秒時，aOMN的面積

為S.

①請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；

②判斷在①的過程中，I為何值時，AOMN的面積最大？

解：(1)???tan/OBA=盤二乜，

答：0B4

/.OA=OB?tanZOBA=8xJ=6,則A的坐標(biāo)是(6.0).

4

OB=4OC,

OC=』OB=2,則C的坐標(biāo)是(-2,0).

4

?「拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、B、C,

36a+6b+c=0

則,(:二-8

4a-2b+c=0

2

a-3

解得:c=-8,

則拋物線的解析式是：y=-2x2-A-8；

33

第23頁共68頁

二

（2）拋物線的頂點的橫坐標(biāo)x=——==2,

2X^

---

縱坐標(biāo)是：y=Nx22-耳2-8=-笆.

333

則P的坐標(biāo)是：（2,-笆）.

3

S四邊形OAPB=S悌形ODPB+SAAPD=（8+/）x2x-+i＜（6-2）*與

(3)當(dāng)0＜區(qū)2時，SAOMN=—x4tx2t=4r；

2

當(dāng)【=2時，S最大，最大值為16；

當(dāng)2VtV3時，BN=4t-8,AN=10-(4t-8)=18-4t.

作NQ_Lx軸于Q點，則原八°B=8二4,

ANAB105

第24頁共68頁

NQ=ix(18-4t).

5

x-2

SOMN=—2tx_lx(18-4t)=-1+—t；

A2555

當(dāng)td時S最大，最大值為蚪；

45

當(dāng)3《tV4時，MN=AOAB的周長-4t-2t=24-6t.

作OQ_LAB于Q點.

SAO?\B=-^OAXOB-ABXOQ,

22

...OQ=3=A.

105

SAOMN=-X-^X(24-6t)=-烏+

2555

當(dāng)1=3時S最大，最大值為王.

5

綜上所述，在整個運動過程中，當(dāng)t=g時SAOMN最大，最大值為螞.

45

5.如圖(1),以梯形OABC的頂點O為原點，底邊OA所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)

系.梯形其它三個頂點坐標(biāo)分別為：A(14,0),B(11,4),C(3,4),點E以每秒2

個單位的速度從O點出發(fā)沿射線OA向A點運動，同時點F以每秒3個單位的速度，從O

點出發(fā)沿折線OCB向B運動，設(shè)運動時間為t.

(1)當(dāng)1=4秒時，判斷四邊形COEB是什么樣的四邊形？

(2)當(dāng)t為何值時，四邊形COEF是直角梯形？

(3)在運動過程中，四邊形COEF能否成為一個菱形？若能，請求出t的值；若不能，請

簡要說明理由，并改變E、F兩