中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)《二次函數(shù)綜合題》測(cè)試卷-附帶答案

中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)《二次函數(shù)綜合題》測(cè)試卷?附帶答

案

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

1.(2024?上海奉賢二模24)如圖，在直角坐標(biāo)平面X。)，中，拋物線)，二以2一2辦+。與穴軸

交于點(diǎn)A、B,與軸正半軸交于點(diǎn)。，頂點(diǎn)為。，點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1,0).

(I)寫出這條拋物線的井口方向，并求頂點(diǎn)尸的坐標(biāo)(用”的代數(shù)式表示)；

(2)將拋物線向下平移后經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，頂點(diǎn)P平移至〃.如果銳角NCPP的正切值為

求。的值；

(3)設(shè)拋物線對(duì)稱軸與/軸交于點(diǎn)。，射線PC與工軸交于點(diǎn)E，如果/EDC=/BPE,

求此拋物線的表達(dá)式.

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2.（2024?上海虹口二模24）新定義：已知拋物線），=?2+尿（其中出七二0）,我們

把拋物線y=cx2+ar+〃稱為）,=,4+公+。的“輪換拋物線”.例如：拋物線

），=2尤2+3工+1的“輪換拋物線”為），=J+2x+3.

已知拋物線C］：）=4〃療+（46—5）x+m的“輪換拋物線”為G，拋物線J、C2與）'軸

分別交于點(diǎn)石、尸，點(diǎn)E在點(diǎn)廠的上方，拋物線G的頂點(diǎn)為尸.

（1）如果點(diǎn)七的坐標(biāo)為（0,1）,求拋物線Q的表達(dá)式；

（2）設(shè)拋物線C2的對(duì)稱軸與直線y=3x+8相交于點(diǎn)。，如果四邊形PQE/7為平行四邊

形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）已知點(diǎn)M（-4,〃）在拋物線G上，點(diǎn)N坐標(biāo)為，2,—7,當(dāng)NMNSMEF時(shí)，

求加的值.

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3.（2024?上海黃浦二模24）問題：己知拋物線心y=^-2x,拋物線W的頂點(diǎn)在拋物線

L上（非拋物線L的頂點(diǎn)）且經(jīng)過拋物線L的頂點(diǎn).請(qǐng)求出一個(gè)滿足條件的拋物線W的表

（1）解這個(gè)問題的思路如下：先在拋物線L上任取一點(diǎn)（非頂點(diǎn)），你所取的點(diǎn)是?

再將該點(diǎn)作為拋物線W的頂點(diǎn)，可設(shè)拋物線W的表達(dá)式是一②；然后求出拋物線L

的頂點(diǎn)是一③；再將拋物線L的頂點(diǎn)代入所設(shè)拋物線W的表達(dá)式，求得其中待定系

數(shù)的值為一④；最后寫出拋物線W的表達(dá)式是?

（2）用同樣的方法，你還可以獲得其他滿足條件的拋物線W,請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粋€(gè)拋物線W的表

達(dá)式.

（3）如果問題中拋物線〃和W在工軸上所截得的線段長(zhǎng)相等，求拋物線卬的表達(dá)式.

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4.（2024.上海金山二模24）已知：拋物線y=/+云+。經(jīng)過點(diǎn)A（3,0）、8（0,-3）,頂點(diǎn)

為P.

（I）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）平移拋物線，使得平移后的拋物線頂點(diǎn)0在直線45上，且點(diǎn)。在y軸右側(cè).

①若點(diǎn)8平移后得到的點(diǎn)。在x軸上，求此時(shí)拋物線的解析式；

②若平移后的拋物線與丁軸相交于點(diǎn)。，且△BOQ是直角三角形，求此時(shí)拋物線的解析

式.

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5.（2024?上海靜安二模24）如圖，在平面直角坐標(biāo)系入3,中，已知拋物線關(guān)于直線工二|

對(duì)稱，且經(jīng)過點(diǎn)40,3）和點(diǎn)8（3,0）,橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)C在此拋物線上.

（2）聯(lián)結(jié)48、BC、AC,求tan/BAC的值；

（3）如果點(diǎn)P在對(duì)稱軸右方的拋物線上，且NQ4C=45。，過點(diǎn)。作PQ_L），軸，垂足為

Q,請(qǐng)說明ZAPQ=/BAC,并求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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6.（2024.上海閔行二模24）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線），二gf十區(qū)+。與工

軸相交于A（—1,0）、B兩點(diǎn),且與），軸交于點(diǎn)。（0,-2）.

1

X

2

I

-2-10I23iix

-I

-2

-3

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）如果點(diǎn)。是工正半軸上一點(diǎn)，ZADC=2ZACO,且四邊形A。。。是菱形，請(qǐng)直接

寫出點(diǎn)。和點(diǎn)Q的坐標(biāo)（不需要說明理由）；

（3）由平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形，對(duì)

于平面內(nèi)的?個(gè)多邊形，畫出它的任意?邊所在的直線，如果其余各邊都在這條直線的一側(cè)，

那么這個(gè)多邊形叫做“凸多邊形”：否則叫做“凹多邊形”.如果點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，縱坐標(biāo)為/,且四邊形AC跖是凹四邊形（線段AE與線段8C不相交），求/

的取值范圍.

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7.（2024.上海浦東二模24）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線＞二-X+2與4軸、），

軸分別交于點(diǎn)八、點(diǎn)8,拋物線G：丁=-產(chǎn)+辰+。經(jīng)過點(diǎn)A、B兩點(diǎn),頂點(diǎn)為點(diǎn)C.

（1）求氏c的值；

（2）如果點(diǎn)。在拋物線G的對(duì)稱軸上，射線平分NCAO,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）將拋物線C平移,使得新拋物線G的頂點(diǎn)E在射線BAI.,拋物線。2與5軸交于點(diǎn)F,

如果△助方是等腰三角形，求拋物線。2的表達(dá)式.

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8.（20241：海普陀二模24）在平面直角坐標(biāo)系X0V中（如圖），已知拋物線

y=-〃2『+〃（〃工0）與x軸交于點(diǎn)A、B,拋物線的頂點(diǎn)?在第一象限，且

（1）當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（4,3）時(shí)，求這個(gè)拋物線的表達(dá)式；

（2）拋物線y=。（/-/力：「+〃（〃。0）表達(dá)式中有三個(gè)待定系數(shù)，求待定系數(shù)〃與〃之間的

數(shù)后關(guān)系：

（3）以點(diǎn)P為圓心，Q4為半徑作0P,與直線），=x+g相交于點(diǎn)M、N.當(dāng)點(diǎn)P在

直線y=上時(shí)，用含。的代數(shù)式表示A/N的長(zhǎng).

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9.（2024?上海青浦二模24）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，拋物線），=以？+法-3的圖像與

x軸交于點(diǎn)4—3,0）和點(diǎn)8（1,0）.與y軸交于點(diǎn)C,D是線段QA上一點(diǎn).

（1）求這條拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）如圖,過點(diǎn)。作/X；Ix軸，交該拋物線干點(diǎn)G,當(dāng)=時(shí)，求

的面積；

（3）點(diǎn)。為該拋物線上第三象限內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)。。=1,且NDC5+NP3C=45。時(shí)，求點(diǎn)

P的坐標(biāo).

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10.（2024.上海松江二模24）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X?中，己知點(diǎn)4（2,0）、點(diǎn)3（0,2）,

拋物線）,=一/+瓜+。經(jīng)過點(diǎn)A,且頂點(diǎn)。在線段A8上（與點(diǎn)A、B不重合）.

（2）將拋物線向右平移加（相＞0）個(gè)單位，頂點(diǎn)落在點(diǎn)P處，新拋物線與原拋物線的對(duì)

稱軸交于點(diǎn)。，連接PO,交x軸于點(diǎn)E.

①如果m=2,求M7DP的面積；

②如果上C=￡'P,求加的值.

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11.(2024?上海徐匯二模24)如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，拋物線

y=ax2-4ax+4(。＞0)與x軸交于點(diǎn)A(l,0)和點(diǎn)8,與丁軸交于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)3的坐標(biāo)；

(2)已知點(diǎn)M(0,m),聯(lián)結(jié)8C,過點(diǎn)用作MG_L8C,垂足為G,點(diǎn)。是人軸上的動(dòng)

點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)G。、MD,以G。、MO為邊作平行四邊形GOMN.

①當(dāng)機(jī)=2時(shí)，且uGZXWN的頂點(diǎn)N正好落在)'軸上，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

2

②當(dāng),〃20時(shí)，且點(diǎn)。在運(yùn)動(dòng)過程中存在唯一的位置，使得aGOMN是矩形，求〃7的值.

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12.（2024?上海楊浦二模24）定義：我們把平面內(nèi)經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)并且與這條直線相切

的圓叫做這個(gè)點(diǎn)與已知直線的點(diǎn)切圓.如圖1,已知直線/外有一點(diǎn)〃，圓Q經(jīng)過點(diǎn)”且與

直線/相切，則稱圓。是點(diǎn)”與直線/的點(diǎn)切圓.閱讀以上材料，解決問題：

己知直線。4外有一點(diǎn)P,PA1OA,OA=4,AP=2,圓M是點(diǎn)P與直線。4的點(diǎn)切

圓.

圖I圖2

（1）如果圓心M在線段QP上，那么圓M的半徑長(zhǎng)是（直接寫出答案）.

（2）如圖2,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)、Q4為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)P在第

一象限，設(shè)圓心M的坐標(biāo)是（工,丁）.

①求），關(guān)于x的函數(shù)解析式；

②點(diǎn)B是①中所求函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，連接BP并延長(zhǎng)交此函數(shù)圖象于另一點(diǎn)C.如果

CP:BP=1:4,求點(diǎn)8的坐標(biāo).

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13.（2024.上海嘉定二模24）在平面直角坐標(biāo)系xO.V（如圖）中，己知拋物線y=av2+bx+3

經(jīng)過點(diǎn)41,0）、B（-2,3）兩點(diǎn)，與＞軸的交點(diǎn)為。點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線/.

（2）已知以點(diǎn)。為圓心，半徑為圓記作圓C,以點(diǎn)A為圓心的圓記作圓人如果圓

A與圓。外切，試判斷對(duì)稱軸直線/與圓A的位置關(guān)系，請(qǐng)說明理由；

（3）已知點(diǎn)。在y軸的正半軸上，且在點(diǎn)C的上方，如果N8OC=NB4C,請(qǐng)求出點(diǎn)。的

坐標(biāo).

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14.（2024?上海長(zhǎng)寧二模24）（本題滿分12分，第（1）小題4分，第（2）小題8分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ad+2x+c與X軸分別交于點(diǎn)A、8（點(diǎn)A在

點(diǎn)B左側(cè)），與），軸交于點(diǎn)。（0,6）,其對(duì)稱軸為直線x=2.

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)尸是上述拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AF分別與），軸、線段交于

點(diǎn)D、E.

①當(dāng)b=OF時(shí)，求CZ）的長(zhǎng)；

②聯(lián)結(jié)AC,如果△Ab的面積是△COE面積的3倍，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

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15.（2024?上海寶山二模24）（本題滿分12分,第⑴小題滿分4分，第（2）小題滿分4分，

第⑶小題滿分4分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖11），已知開口向下的拋物線y=o^-2x+4經(jīng)過點(diǎn)

P（0,4）,頂點(diǎn)為A.

（1）求直線PA的表達(dá)式；

（2）如果將繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)A落在拋物線上的點(diǎn)Q處，求拋物線的表

達(dá)式；

（3）將（2）中得到的拋物線沿射線以平移，平移后拋物線的頂點(diǎn)為從與），軸交于點(diǎn)C.

如果尸C=求心〃NP8C的值.v

P。4）

O

圖II

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16.（2024.上海寶山二模24）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線）,=且工+3與x

-3

軸相交于點(diǎn)A,與），軸相交于點(diǎn)8,拋物線=+云+c經(jīng)過點(diǎn)8和點(diǎn)C（L0）,頂點(diǎn)

為。.

（1）求拋物線c的表達(dá)式及頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）設(shè)拋物線與1軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E,若點(diǎn)夕在），軸上，當(dāng)/~七。=90。時(shí)，求點(diǎn)P的

坐標(biāo)；

（3）將拋物線G平移，得到拋物線C2.平移后拋物線G的頂點(diǎn)。落在x軸上的點(diǎn)M處，

將△M48沿直線A8翻折，得到△QA8,如果點(diǎn)。恰好落在拋物線C2的圖像上，求

平移后的拋物線G的表達(dá)式.

參考答案

1.（2024?上海奉賢二模24）如圖，在直角坐標(biāo)平面xOy中，拋物線），=以2-2〃工+。與x軸

交于點(diǎn)A、B,與），軸正半軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為P，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1,0）.

（1）寫出這條拋物線的開口方向，并求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)（用〃的代數(shù)式表示）;

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(2)將拋物線向下平移后經(jīng)過點(diǎn)(0,1),頂點(diǎn)。平移至P.如果銳角/CPP的正切值為g,

求。的值；

(3)設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)。，射線PC與％軸交于點(diǎn)E，如果/EDC=/BPE,

求此拋物線的表達(dá)式.

【答案】(1)拋物線開口向下，

3

(2)a=——

2

(3)y=-x2+2x+3

【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，角度問題，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)與判

定；

(1)將點(diǎn)(一1,0)代入解析式可得c=-3a,根據(jù)拋物線與y軸正半軸交于點(diǎn)C,得出”0,

即拋物線開口向下，然后化為頂點(diǎn)式求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；

(2)過點(diǎn)C作CH_LP產(chǎn)于點(diǎn)〃，設(shè)向下平移加個(gè)單位〃2>0,平移后的拋物線為

y=a(x—l『一4?！?，根據(jù)題意得出尸77=2,得出一3々一2=一〃z，點(diǎn)：(0,1)代入

y=a(x—l)2—4。一機(jī)，得出a—4?！?1,聯(lián)立解方程組，即可求解；

EDEC

(3)根據(jù)題意可得&EDCS二則——二—,根據(jù)題意得出直線PC的解析式為

EPEB

y=-ax-^a,進(jìn)而得出后(一3,0),由拋物線對(duì)稱軸與工軸交于點(diǎn)O,得出10a0),則

ED=4,EB=6,勾股定理可得CE,尸E,進(jìn)而代入比例式，即可求解.

【小問1詳解】

解：:拋物線y=4/2-%r+c與4軸交于點(diǎn)(一1,0)

，a+加+c=0

c=-3a

???拋物線與y軸正半軸交于點(diǎn)c,

/.-3?>0

a<0

，拋物線開口向下，

二拋物線解析式為y=ajc-2ax-=—4a

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???o（ii）

【小問2詳解】

解：如圖所示，過點(diǎn)C作CH^LP產(chǎn)于點(diǎn)H，

設(shè)向卜.平移用個(gè)單位機(jī)〉0,平移后的拋物線為），=。（刀—if—4。一，〃

???夕（1,―帽），銳角/C"尸的正切值為g，

：?CH=1,則戶〃=2，9（1,7〃一相）

-3a-2=-4a-m?

將點(diǎn)（0,1）代入y=1）2-4a-in

a-4a-m=\?

7

m=—

9

聯(lián)立①②得j

a=--

2

【小問3詳解】

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,:y=ajc-2ox-3a=a(;c+l)(x-3)

當(dāng)y=0時(shí)，x}=-l,x2=3

???3(3,0)

VC(0,-3tz),尸(la)

設(shè)直線PC的解析式為y=kx+t

t=-3a

??

k+t=-4a

k=-a

t=-3a

???直線PC解析式為y=-ax-3a,

當(dāng)y=0時(shí)，x=-3

.??E(-3,0)

???拋物線對(duì)稱軸與％軸交于點(diǎn)D,

???￡)(1,0)

ED=4,EB=6,

勾股定理可得CE=ylco1+ECr=J9+9/=3,1+/，

PE=ylED2+PDr=，16+1而=4vm

?：/CED=/BEP,/EDC=/BPE

：?AEDCS^EPB

■ED_EC

"~EP=~EB

.43.1+/

4/1+4?6

解得：a=T(正值舍去)

???拋物線解析式為尸-/+2x+3.

2.(2024?上海虹口二模24)新定義：已知拋物線)，=ca2+Z?x+c(其中曲。。0),我們把

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拋物線y=c/+〃/+人稱為），=〃/++c的“輪換拋物線”.例如：拋物線

），=2f+3x+l的“輪換拋物線”為），=犬+2尤+3.

已知拋物線C"y=4〃i/+（4機(jī)—5）x+〃?的“輪換拋物線”為J拋物線G、。2與y軸

分別交于點(diǎn)E、/，點(diǎn)E在點(diǎn)尸的上方，拋物線G的頂點(diǎn)為夕.

（1）如果點(diǎn)￡的坐標(biāo)為（0,1）,求拋物線g的表達(dá)式；

（2）設(shè)拋物線G的對(duì)稱軸與直線）'=3工+8相交于點(diǎn)。，如果四邊形PQE/7為平行四邊

形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）已知點(diǎn)M（-4,/?）在拋物線C2上，點(diǎn)N坐標(biāo)為-2,-7g）,當(dāng)2MNs4PEF時(shí)，

求〃？的值.

2

【答案】（1）y=x+4x-\（2）（3）,〃=T或?qū)?/p>

【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，重點(diǎn)考查二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形性質(zhì)及相似

三角形性質(zhì)，

（1）將點(diǎn)E（O］）代入表達(dá)式，求出機(jī)的值，根據(jù)“輪換拋物線”定義寫出即可；

（2）根據(jù)輪換拋物線定義得出拋物線表達(dá)式及點(diǎn)心尸坐標(biāo)，并求出P、。坐標(biāo)，根據(jù)

平行四邊形性質(zhì)得出PQ=EF列方程并解出，〃值，進(jìn)而解決問題；

（3）先求M（-4,4m-5）,結(jié)合求出的點(diǎn)P、E、尸坐標(biāo)得虛尸％2及。尸2,根據(jù)相似三角

形性質(zhì)得出關(guān)于小的方程，解方程即可解決.

【小問1詳解】

解：拋物線a：y=4/加+（4〃?-5）x+"?與y軸交于點(diǎn)f坐標(biāo)為（0,1）,

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當(dāng)/=0,>=1代入，得機(jī)=1,

\4/〃-5=-1?

「?拋物線G表達(dá)式為y=4/—x+1,

???拋物線C1的“輪換拋物線”為G表達(dá)式為>=犬+4%-1；

【小問2詳解】

解：拋物線G：y=4〃笳+（4〃?-5）/+機(jī)，

當(dāng)R=0時(shí)，y=m,即與），軸交點(diǎn)為E（O,m）,

??,拋物線C|：）=4/九/+（4根-5）x+〃z的“輪換拋物線”為C”

「?拋物線J表達(dá)式為y=nvc+4〃吠+（4〃”5）,

同理拋物線C2與），軸交點(diǎn)為b（0,4〃-5）,

拋物線C對(duì)稱軸為直線A=--=-2,

2m

當(dāng)x=—2時(shí)，y=-5,

「?拋物線G頂點(diǎn)坐標(biāo)為。（一2,-5）,

當(dāng)工=一2時(shí)，y=3x+8=2,

???拋物線G的對(duì)稱軸與直線y=3犬+8交點(diǎn)Q（—2,2）,

點(diǎn)上在點(diǎn)尸的上方，

\ni>4m-5?

解得：m<—,

3

\EF=m-4m-5）=5-3m,

四邊形PQE尸為平行四邊形,

\PQ=EF,即2?（?5）=5?3m,

解得：m=~—,

3

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(2

:.E0,——

13

【小問3詳解】

解：?.?點(diǎn)在拋物線G上,

當(dāng)x=-4時(shí),y=//tv2+4mr+(4，〃?5)=4m-5,即M(?4,4必5),

12,-7力，P(-2,-5),E(O,/n),/(0,4〃?-5),

點(diǎn)N坐標(biāo)為

；：2『〃2機(jī)？,

\PN2=(-2+2)2+*5+7,PF=(-2+(4z-5+5)=4+16

vSPEF=^EF?\xp\；(5-3〃z)?25-3m,

S2=JPN?M引=；?|5+7：?(2+4)=：

PMNs&PEF,

妻；笆

SPMNWPN?

,5-3m4+16/w2

V-=^5-，

24

17

解得:in=-

}32

3.（2024?上海黃浦二模24）問題：已知拋物線L：y=r-2x,拋物線W的頂點(diǎn)在拋物線

L上（非拋物線L的頂點(diǎn)）且經(jīng)過拋物線心的頂點(diǎn).請(qǐng)求出一個(gè)滿足條件的拋物線W的表

達(dá)式.

第22頁共61頁

（I）解這個(gè)問題的思路如下：先在拋物線L上任取一點(diǎn)（非頂點(diǎn)）,你所取的點(diǎn)是①；

再將該點(diǎn)作為拋物線W的頂點(diǎn)，可設(shè)拋物線W的表達(dá)式是②；然后求出拋物線L

的頂點(diǎn)是一③；再將拋物線L的頂點(diǎn)代入所設(shè)拋物線W的表達(dá)式，求得其中待定系

數(shù)的值為④；最后寫出拋物線W的表達(dá)式是

（2）用同樣的方法，你還可以獲得其他滿足條件的拋物線W,請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粋€(gè)拋物線W的表

達(dá)式.

（3）如果問題中拋物線￡和卬在x軸上所截得的線段長(zhǎng)相等，求拋物線W的表達(dá)式.

【答案】（1）y=-x2（2）y=-（x-2）2

（3）+1或y=++1

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題目所給方法，給定頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）計(jì)算即可解題；

（2）仿照（1）中的方法，給定坐標(biāo)為（2,0）計(jì)算即可解題；

（3）拋物線W的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（利,〃22一26）（加工1）,把拋物線/，的頂點(diǎn)是代入求出

”的值，然后再根據(jù)拋物線L和W在x軸上所截得的線段長(zhǎng)相等得到拋物線M過（陽+1,0）,

代入得T+〃/-26=0、求出〃?值，即可得到解析式.

【小問I詳解】

先在拋物線L上任取一點(diǎn)（非頂點(diǎn)），你所取的點(diǎn)是（0,0）；再將該點(diǎn)作為拋物線卬的頂點(diǎn)，

可設(shè)拋物線W的表達(dá)式是y=o?；然后求出拋物線L的頂點(diǎn)是再將拋物線L的

頂點(diǎn)代入所設(shè)拋物線W的表達(dá)式，求得其中待定系數(shù)的值為。=-1;最后寫出拋物線W的

表達(dá)式是y=.

【小問2詳解】

解：y=x2-2x=（x-l）2-1,

???拋物線L的頂點(diǎn)是（1,-1）,

取拋物線W的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,

設(shè)拋物線W的解析式為y=把（1,一1）代入得：。二一1,

第23頁共61頁

:.拋物線w的解析式為y=-（x-2）2：

【小問3詳解】

解.：令y=0,則/一2工=0,解得：%,=0,X2=2,

???拋物線L在工軸上所截得的線段長(zhǎng)為2，

設(shè)拋物線W的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（加,帆2-2機(jī)）（加工1）,

設(shè)解析式為y=a（x-/〃）2+〃z2-2/〃，把（1,一1）代入得：a（ni-\）2+77Z2-2//z=-l，

整理得（a+l）（〃2-l『=o,即。二一1,

/.y=-（x-/n）"+m2-Im,

又???拋物線L和W在x軸上所截得的線段長(zhǎng)相等，

???拋物線M在x軸上所截得的線段長(zhǎng)為2，

2

???拋物線M過（m+1,0）,代入得t+m-2m=0，

解得：加二應(yīng)+1或m=-亞+1,

???拋物線的解析式為），=一（不一夜一l『+i或）,=一（工+&一1『+].

4.（2024?上海金山二模24）已知：拋物線y=/+云+（.經(jīng)過點(diǎn)水3,0）、8（0,-3）,頂點(diǎn)

為P.

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（2）平移拋物線，使得平移后的拋物線頂點(diǎn)Q在直線AB上，且點(diǎn)。在），軸右側(cè).

①若點(diǎn)B平移后得到的點(diǎn)。在x軸上，求此時(shí)拋物線的解析式；

②若平移后的拋物線與y軸相交于點(diǎn)。，且△4。。是直角三角形，求此時(shí)拋物線的解析

式.

【答案】（I）），=/2A3,頂點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（1,一1）

第24頁共61頁

（2）?y=x2-4x+3：②y=f-24-1

【分析】（1）把點(diǎn)A和點(diǎn)4的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式，用待定系數(shù)法求解即可；

（2）①先求直線的解析式，設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)是再根據(jù)拋物線平稱的規(guī)律求解

即可；

②拋物線與），軸的交點(diǎn)是。（0,r+/-3）,分兩種情況：/8。。=90。或/次2。=90。，

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【小問1詳解】

9+3Z?+c=0

由題意得：.，

c=-3

???8=-2,c=-3,拋物線的解析式為y=x2-2x-3,

丁二工2一2工一3二（工一1）~一4,頂點(diǎn)。的坐標(biāo)是（1,-4）.

【小問2詳解】

①設(shè)直線AB的解析式是）'=〃氏+〃，

3m+71=0

???〈-，

72=-3

/.m=1,〃=一3,

???直線AB的解析式是y=X-3,

設(shè)。點(diǎn)的坐標(biāo)是（?"一3）,其中，＞0,此時(shí)拋物線的解析式是），=（工一。2十，一3,

???點(diǎn)B平移后得到的點(diǎn)C在x軸上，

???拋物線向上平移了3個(gè)單位，

，，-3=-1,即7=2，

???此時(shí)拋物線的解析式是y=（x-2『+2-3,即），=f-41+3.

②拋物線y=（x-/）2+7-3,與.y軸的交點(diǎn)是。（0,/+/-3）,

如果N4OQ=9（）。，即OQ_Ly軸不合題意，

如果N3QD=90。,

??ZAO8=900,AO=BO^

第25頁共61頁

，NOW=N。朋=45。，

???/QBD=NBDQ=45。,

/.QB=QD,

作QE_Ly軸，則BE=DE，

QE=^BD,

VQE=t,BD=hf,

解得％=。(不合題意，舍去)或4=1，

/?/=1?

此時(shí)拋物線的解析式是y=(x-+1—3,即)，=V-21一1.

5.(2024.上海靜安二模24)如圖，在平面直角坐標(biāo)系上。)，中，已知拋物線關(guān)于直線X=|對(duì)

稱，且經(jīng)過點(diǎn)4(),3)和點(diǎn)8(3,0),橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)C在此拋物線上.

(2)聯(lián)結(jié)A3、BC、AC,求tan/BAC的值；

(3)如果點(diǎn)P在對(duì)稱軸右方的拋物線上，且NA4C=45。，過點(diǎn)P作尸。JLy軸，垂足為

第26頁共61頁

Q,請(qǐng)說明NAR2=N84C,并求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(I)該拋物線的表達(dá)式為)，=；/一坐工+3；

1<1744A

(2)tanZBAC=-(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為—.

3139J

【分析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法求解；

(2)先證得以03是等腰直角三角形，可得NABO=45。，AB=0OA=3O,過點(diǎn)。

作CE_Lx軸于E，則N23￡C=9O0,CE=1,。匹=4,進(jìn)而證得是等腰直角三角形，

可得NC%：=45。，BC=6CE=4i，推出NA3C=90。，再運(yùn)用三角函數(shù)定義即可求

得答案；

(3)連接A3,先證得/4PQ=NB4C,得出tanNAQQ=tan/8AC=:，即梨=?,設(shè)

37。

j(1A

=,n

PQ=m,則AQ~?可得。。=3+1%得出夕mf3+-m,代入拋物線解析式求得

“二?,即可求得答案.

3

【小問1詳解】

解：.?拋物線關(guān)于直線工=—對(duì)稱，

2

=a(x-^]+Z,把40,3)、3(3,0)代入，

一?設(shè)拋物線的解析式為y

12)

[250

—a+kz=3

m4

得：j，

-a+k=0

14

i

a=—

2

解得：，

k=--

8

\(5f1

y=—x————=--X2-—x+3>

-212)8：52

15

???該拋物線的表達(dá)式為y=~x^2—x+3o；

22

【小問2詳解】

第27頁共61頁

解：在y=-9工+3中，令工=4,得y=1x42-』x4+3=l

2222

...C(4,l),

A(0,3)、8(3,0),

OA=OB=3,

是等腰直角三角形,

?.ZABO=45°,AB=4iOA=30,

如圖，過點(diǎn)。作CE_Lx軸于￡,則N8￡C=90。，CE=T,OE=4,

:.BE=OE-OB=4-3=\,

BE=CE，

「.△BCE是等腰直角三角形,

.-.ZCBE=45°,RC=gCE=6,

/.ZABC=180°-ZAB6>-ZCBE=90°,

..tanNRAC=空=岸」；

AB3夜3

【小問3詳解】

由（2）知JOB是等腰直角三角形,

/.ZBAO=45°,

第28頁共61頁

ZPAC=45°,

ZPAQ+ABAC=180°-ABAO-/PAC=90°,

???P。_Ly軸，

:.APQA=90°,

NB4Q+ZA尸Q=90。，

：.ZAPQ=^BAC,

tanZAPQ=tanZ.BAC=；,

?絲」

"PQ3'

設(shè)PQ="2,則AQ=，〃，

OQ=OA+AQ=3+g“z,

JQ11

I3)

點(diǎn)夕在對(duì)稱軸右方的拋物線上，

3H—ifi——〃?—-m+3f且m>一,

3222

解得：〃2=:，

217..1fl7f517o44

當(dāng)膽=—時(shí)，V=—X———X-----1-3=——，

3*2I3J239

一（1744]

二點(diǎn)戶的坐標(biāo)為—I-

6.（2024?上海閔行二模24）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知拋物線y=十陵+。與工

軸相交于4（一1,0）、8兩點(diǎn)，且與），軸交于點(diǎn)。（0,-2）.

第29頁共61頁

（1）求拋物線的表達(dá)式:

（2）如果點(diǎn)。是.丫正半軸上一點(diǎn)，ZADC=2ZACO,且四邊形AQC。是菱形，請(qǐng)直接

寫出點(diǎn)。和點(diǎn)Q的坐標(biāo)（不需要說明理由）：

（3）由平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形，對(duì)

于平面內(nèi)的一個(gè)多功形，畫出它的仟意一切所在的直線，如果其余各i力都在這條直線的一側(cè)，

那么這個(gè)多邊形叫做“凸多邊形”：否則叫做“凹多邊形”.如果點(diǎn)￡是拋物線對(duì)稱軸上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，縱坐標(biāo)為/,且四邊形ACBE是凹四邊形（線段AE與線段BC不相交），求，

的取值范圍.

【答案】(1)y=ix2-1x-2⑵嗚。｝

.22

（3）0<r<—或？<一5

4

【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可;

（2）先求出3點(diǎn)坐標(biāo)，勾股定理逆定理求出NAC8=90。，根據(jù)NADC=2NACO,得到。

為AN的中點(diǎn)，再根據(jù)菱形的性質(zhì)，求出。點(diǎn)坐標(biāo)即可:

（3）求出直線ACBC的解析式，分別求出兩條直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合凹四邊形

的定義，討論求解即可.

【小問1詳解】

解：把A（—1,0）,。（0,-2）代入），=,/+云+0,得:

2

b=V,

-X(-1)2-/J+C=0

2V7,解得：＜

c=-2

第30頁共61頁

’22

【小問2詳解】

*/y=—x2--x-2，

?22

i3

當(dāng)丁二一x2—x—2=0時(shí)，解得：玉=-1，W=4,

22

6(4,0),

???A(-1,0),C(0,-2)

???AB=5,AC="+22=68。="+2?=2行,

：-AC2+BC2=AB\

???ZACB=90°,

，ZACO+N8co=90。，

???ZCBO+ZBCO=90c，

??,ZACO=ZCBO,

*：ZADC=2ZACO^

???乙\DC=24)BC,

連接CO,則：ZADC=/DCB+/CBD=2NOBC，

???/DCB=/CBD,

/.ZDCB=ZACO,CD=BD,

ZDCB+ZDCA=ZACO+ZOAC=90°，

：.ZDCA=ZOAC,

/.CD=AD=BD，

???。為48的中點(diǎn)，

???唱4

???AQCO是菱形，

??.AQ//CD,

3

把點(diǎn)C光向右平移二個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)。,

第31頁共61頁

3

，把點(diǎn)。先向右平移7?個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)A,

2

FT；

13「

.y=-x2—x—2,

’22

???對(duì)稱軸為直線x二g

2

.?.對(duì)稱軸與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為。f,0),

1//

VA（-1,O）,8（4,0）,C（0,-2）,

1

???設(shè)宜線BC的解析式為y=履一2,把3(4,0)代入，得：k2-

135

y=-x-2,當(dāng)x=一時(shí)，y=——

.22-4

3_5

???直線3C與對(duì)稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為產(chǎn)2,-4

(3

同法可得：直線AC的解析式為：>二一2工一2,直線AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為M；,-5

???點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，縱坐標(biāo)為3且四邊形ACBE是凹四邊形，

???當(dāng)點(diǎn)E在。,尸之間或點(diǎn)E在點(diǎn)M下方時(shí)，滿足題意，

/.0</<—或/<—5.

4

第32頁共61頁

7.（2024?上海浦東二模24）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，已知直線y=-1+2與x軸、），軸

分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)從拋物線G:y=-/+Z?x+c經(jīng)過點(diǎn)人、B兩點(diǎn),頂點(diǎn)為點(diǎn)C.

（2）如果點(diǎn)。在拋物線G的對(duì)稱軸上，射線A3平分NCAO,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）將拋物線G平移,使得新拋物線G的頂點(diǎn)石在射線BA上,拋物線C2與），軸交于點(diǎn)F,

如果△2?￡尸是等腰三角形，求拋物線的表達(dá)式.

【答案】（1）b=l,c=2：

（3）y=—+1,一立+3或y=-（.r-1）2+1

【解析】

【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解：

（2）證明▲”）7/為等腰直角三角形，則點(diǎn)。0在AC上，點(diǎn)Q0D'代入AC的解析式，即

可求解；

（3）分情況討論：當(dāng)BE=BF時(shí),列出方程，即可求解；當(dāng)鹿=E/或8/=￡F時(shí)，同

理可解.

第33頁共61頁

【小問1詳解】

解：把x=0代入），二一1+2得），=2,

???點(diǎn)B坐標(biāo)是（0,2）,

把y=O代入y=r+2,得X=2,

???點(diǎn)八坐標(biāo)是（2,0）,

c=2

將點(diǎn)A、8坐標(biāo)代入y二一廠+灰+c,得，

0=-22+22>+C，

h=\

解得

c=2

，拋物線的表達(dá)式是y=-x2+x+2.

【小問2詳解】

由（1）知，拋物線的表達(dá)式為），=一％2+x+2,則其對(duì)稱軸為直線x=

作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)課DD'交AB于點(diǎn)T,

VAB平分ZCAD,

???由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：DT=D'T，

過點(diǎn)D作x軸的平行線交AZTECH,連接

V4（2,0）,5（0,2）,

???40AB=45°，則NDHB=45°，

第34頁共61頁

則，D7H為等腰直角三角形，

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：▲￡>'7H為等腰比角三角形,

???_DDH為等腰直角三角形，則點(diǎn)排在AC上，

設(shè)點(diǎn)，

^y=ni=-.x+2,則x=2—6，

:.H(2-/77,/??),

：,DH=2-m--=--m=D'H，

22

點(diǎn)O'(?—川，])，

設(shè)育線為)'=依+〃，

2。+〃=0_3

????19，解得：，“-2.

—〃+〃=一°

〔24〔〃二3

3

，直線4c的表達(dá)y=-：x+3,

2

將點(diǎn)加代入上式得：|=-|(2-w)+3,

解得：m=l,則點(diǎn)嗎/)

【小問3詳解】

設(shè)點(diǎn)￡(〃?,一根+2)(例>0),

則拋物線的表達(dá)式為：y=-(x-m)2-m+2,

當(dāng)x=0時(shí)，y=-(x-/?!)2-in+2=-tn2一m+2,

即點(diǎn)尸(0,->一加+2),而8(0,2),

?**BF=J(一〃"一〃z+2-2)2=nr+m>BE=+(-/?+2-2)2=\[lm，

FE=yjm2+(一>丫_品2+/,

2

當(dāng)BE=BF時(shí),則fn4m=42m，

第35頁共61頁

解得：m=0（舍去）或加=血—1，

則拋物線表達(dá)式為：），=一（工一加+1）2-&+3：

當(dāng)BE=EF或BF=EF時(shí),則血機(jī)=了或/+m=\/m2+/??4，

解得：〃?=1（不合題意的值已舍去），

即拋物線的表達(dá)式為：y=-（x-l）2+l,

綜上，拋物線的表達(dá)式為：），=一（無一1『+1或》=一（人一血+1丫一血+3.

8.（2024.上海普陀二模24）在平面直角坐標(biāo)系X。），中（如圖），已知拋物線

y=+〃（〃工0〉與x軸交于點(diǎn)A、B,拋物線的頂點(diǎn)夕在第一象限，且

ZAPB=90°.

（1）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,3）時(shí)，求這個(gè)拋物線的表達(dá)式；

（2）拋物線y=a^x-m\+〃（。W0）表達(dá)式中有三個(gè)待定系數(shù)，求待定系數(shù)a與〃之間的

數(shù)量關(guān)系；

（3）以點(diǎn)尸為圓心，Q4為半徑作0P,0P與直線），=x+］相交于點(diǎn)M、N.當(dāng)點(diǎn)P在

直線y=上時(shí)，用含口的代數(shù)式表示MN的長(zhǎng).

【答案】（I）y=--（r-4）24-3（2）a=--（3）MN=一^~

'3'7〃2a

【分析】（1）4q鉆是等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（4,3）時(shí)，則y=a（x—4『+3拋

物線的對(duì)稱軸為直線x=4,得出4（1,0）,B（7,0）,然后待定系數(shù)法求解析式，即可求解；

（2）根據(jù)（1）的方法求得〃一，0）,待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而得二一;；

（3）根據(jù)尸（〃?,〃）在），二：x上得出〃?=2〃，根據(jù)（2）的結(jié)論得出。=一1,4（加一七0）

第36頁共61頁

即4(〃,0),與直線y=相交于點(diǎn)M、N.設(shè)直線y=x+］交x軸于點(diǎn)E，交了軸

于點(diǎn)F，得出P4〃MN,則」?PAS-BOE，求得PD=工〃,在Rt.PM。中勾股定

4

理求得MO,進(jìn)而求得肋V,即可求解.

【小問1詳解】

解：依題意，..小/是等腰直角三角形，

當(dāng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,3)時(shí)，則)，=。(工一4『+3拋物線的對(duì)稱軸為直線x=4,

如圖所示，過點(diǎn)P作PC_Lx軸于點(diǎn)C,

???PC=-AB=AC=CB=3

2

???4(1,0),5(7,0)

將A(l,0)代入y=〃(x—4『+3

0=t/(l-4)2+3

解得：

???拋物線解析式為J=-1(X-4)2+3；

【小問2詳解】

解：???拋物線丁=。(為一間2+，(。/0)與工軸交于點(diǎn)八、8,拋物線的頂點(diǎn)?在第一象限,

第37頁共61頁

???-PBC是等腰直角三角形，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（根,〃），

???PC=AC=n,

代入y=z)~+〃(aHO)

/.a(/加一n—\2+n=0

即an2+〃=0，

???拋物線的頂點(diǎn)P在第?象限,則〃>0

【小問3詳解】

,:P（7M?n）在y=—xAL

n=-m,即m=