組合變形強(qiáng)度計(jì)算

第6章組合變形強(qiáng)度計(jì)算

6.1組合變形與彈性疊加原理

-6.1.1組合變形的概念

在工程實(shí)際中，有許多桿件在外力作用下會(huì)產(chǎn)生兩種或兩種以上的基本變形，這種情況

稱為組合變形。如圖6-1(a)所示小型壓力機(jī)的框架。為分析框架立柱的變形，將外力向立

柱的軸線簡化(圖6-lb),便可看出，立柱承受了由F引起的拉伸和由M=引起的彎曲。

圖6/

6.1.2彈性疊加原理

彈性輕加原理也稱為線性疊加原理。該原理對于求解彈性力學(xué)問題極為有用，它使我們

可以把一個(gè)復(fù)雜問題化為兩個(gè)或多個(gè)簡單問題來處理。在分析組合變形時(shí)，可先將外力進(jìn)行

簡化或分解，把構(gòu)件上的外力轉(zhuǎn)化成幾組靜力等效的載荷，其中每一組載荷對應(yīng)著一種基本

變形。例如，在行面對例子中，把外力轉(zhuǎn)化為對應(yīng)著軸向拉伸的F和對應(yīng)著彎曲的M。這

樣，可分別計(jì)算每一基本變形各自引起的應(yīng)力、內(nèi)力、和位移，然后將所得結(jié)果疊加，便是

構(gòu)件在組合變形下的應(yīng)力、內(nèi)力、應(yīng)變和位移，這就是疊加原理?，F(xiàn)在再作一些更廣泛的闡

述。

設(shè)構(gòu)件某點(diǎn)的位移與載荷的關(guān)系是線性的，例如，在簡支梁的跨度中點(diǎn)作用集中力F

時(shí)，右端支座截面的轉(zhuǎn)角為

F12

0=

16E7

這里轉(zhuǎn)角°與載荷產(chǎn)的關(guān)系是線性的。記函是一個(gè)系數(shù)，只要明確/垂直于軸線且作用于

跨度中點(diǎn)，則這一系數(shù)與尸的大小無關(guān)。類似的線性關(guān)系還可舉出很多，可綜合為，構(gòu)件A

點(diǎn)因載荷6

引起的位移司與耳的關(guān)系是線性的，即

6=⑻

這里&是一個(gè)系數(shù)，在"的作用點(diǎn)和方向給定后，G與K的大小無關(guān)，亦即a不是K的

函數(shù)。同理，A點(diǎn)因另一載荷引起的位移為

&=G鳥（b）

系數(shù)C2也不是鳥的函數(shù)，若在構(gòu)件上先作用”，然后再作用入。因?yàn)樵谖词芰r(shí)開始作

用大，這與（a）式所表示的情況相同，所以A點(diǎn)的位移為GZ。在作用時(shí)入，因構(gòu)件上

已存在A，它與（b）式所代表的情況不同，所以暫時(shí)用一個(gè)帶撇的系數(shù)cy代替c”得A

點(diǎn)的位移為。2‘巴。這樣，當(dāng)先作用"后作用尸2時(shí)，A點(diǎn)的位移為

b=GZ+C2/（c）

式中的系數(shù)。2,也應(yīng)該與E和尸2的大小無關(guān)，即不是E或尸2函數(shù)。因?yàn)槿绻?’與E和

“2有關(guān)，則。2,與尸2相乘后的。2‘為就不再是線性的。這與力與位移是線性的關(guān)系的前提

相矛盾。現(xiàn)在從構(gòu)件上先解除片，這時(shí)設(shè)A點(diǎn)的位移為-Gf。這里的負(fù)號(hào)表示卸載，G'

上的一撇也是為了區(qū)別于C。但也與A和無關(guān)。"解除后，構(gòu)件上只有,如再解除

F2F2F2,

就相當(dāng)于（b）式代表的情況的卸載過程，所以4點(diǎn)位移應(yīng)為-QE°匕和產(chǎn)2都解除后，

構(gòu)件上無任何外力，是它的自然狀態(tài)，位移應(yīng)等于零。于是

GK+ci.-c；匹-。2.=0

或者寫成

（C,-C1）^+（C2-C2）E=O

根據(jù)上面的論述，式中兩個(gè)系數(shù)部不是載荷的函數(shù)，而且G和「2為任意值時(shí)，上式都應(yīng)該

得到滿足。這就只有兩個(gè)系數(shù)都等于零，才有可能，即

C,-C1=O,C'2-C2=0

2

Cx=C?,C=C2

于是（c）式化為

6=C^+C2F2

比較（a）,（b）和（d）三式，可見，6和5共同作用下的位移，等于耳和尸2分別單獨(dú)作

用時(shí)位移的疊加。如果點(diǎn)到上述加力次序，先加尸2后加6,用完全相似的方法，必須仍可

得到（d）式。這表明位移與加力的次序無關(guān)。以上結(jié)論可以推廣到外力多于兩個(gè)的情況，

也可推廣到應(yīng)變、應(yīng)力、內(nèi)力與外力成線性關(guān)系的情況，

可見，疊加院里的成立，要求位移、應(yīng)力、應(yīng)變和內(nèi)力等與外力成線性關(guān)系。當(dāng)不能保

訐上述線性關(guān)系時(shí)，疊加原理不能便用。

疊加原理只適用于小變形，即線彈性條件，因?yàn)榛痉匠毯瓦吔鐥l件均是在小變形條件

下得到的。此外，對于細(xì)長構(gòu)件的彈性穩(wěn)定性問題，梁的縱向及橫向受力問題及彈塑性問題，

疊加原理都不能適用。

6.2應(yīng)力狀態(tài)分析

-6.2.1二向應(yīng)力狀態(tài)的解析法

工程上，一般構(gòu)件的受力部比較復(fù)雜，因此，在構(gòu)件的某一點(diǎn)處所取得已知單元體方向

的應(yīng)力通常不是最大的應(yīng)力方向。下面來討論二向應(yīng)力狀態(tài)下，已知通過一點(diǎn)的某些截面上

的應(yīng)力后，如何確定通過這一點(diǎn)的其他截面上的應(yīng)力，從而確定主應(yīng)力和主平面。

從受力構(gòu)件上截取一單元體出七d。其一對側(cè)面上應(yīng)力為零，而另兩對側(cè)面上分別作用

有應(yīng)力t如圖6-7（a）所示，這類單元體是二問應(yīng)力狀態(tài)的一般情況。圖6-7（b）

為單元體的正投影。

這里2和Q是法線與X軸平行的面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力：0V和rv是法線與y軸平行

的面上的應(yīng)力。.切應(yīng)力加（或加.），下角標(biāo)x（或y）表示切應(yīng)力作用平面的法線的方向；

應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，而壓應(yīng)力為負(fù)；切應(yīng)力對單元體內(nèi)任意點(diǎn)的矩

為順時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)為正，反之為負(fù)。按照以上規(guī)定，在圖6-7⑶中，b,、b,和j皆為正，

而仁為負(fù)V

假想取任一與冷，平面垂直的斜截面4，如圖&7(b),其外法線〃與)，軸的夾角為。。規(guī)

定由x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)向外法線〃時(shí)，。為正，反之為負(fù)。以截面4'把單元體截開，取左半部

分為研究對象，如圖6-7(C)。斜截面上的正應(yīng)力為，切應(yīng)力為T”，。設(shè)4面的面積

為〃4,則qf面和ae面的面積分別是，Asina和"Acosa,把作用于。。?部分上的力投影

于。.面的外法線〃和切線，的方向，列靜力平衡方程，得

圖22-7

(rt.dA+4cosa)sina-(o\dAcosa)cosa+(r/Msina)cosa-(b、/ZAsina)sina=0

%dA-(r/ZAcos?)cos(z-(b\dAcosa)sina+(。、c/Asina)cosa+(r//Asina)sina=0

由切應(yīng)力互等定埋枸"人二八.*代入以上平衡方程，整埋

224+by%—

(y?=cos-a+(ysin-cr-2rsinacosa=------+------cos2a-rsin2a

““v,vt22r

(6-1)

22

Ta=(<7V-crv)sinacosa+rv(coscr-sina)=—--sin2a+rvcos2a

(6-2)

可見，斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力都是角a的函數(shù)。這樣，在二向應(yīng)力狀態(tài)下，只要

知道一對互相垂直面上的應(yīng)力和區(qū)八,就可以依式(6-1)、式(6-2)求出a為任意值時(shí)

的斜截而上的應(yīng)力和勤。下面來推導(dǎo)主應(yīng)力和確定主平面的角度的公式。

將式(6-1)對。導(dǎo)數(shù)得

./、

docr—b

——-=-2-v-----vsin2?+rcos2cr(a)

daI2vJ

令此導(dǎo)數(shù)等于零，可求得?達(dá)到極值時(shí)的鋌Tg來表示T

巴一,

—--sin2ao+Jcos2ao=。(b)

化簡后得

tan2ao=-----~—(6-3)

名一叫

由式(6-3)可求出%的相差90°的兩個(gè)根，它們確定相互垂直的兩個(gè)平面，其中一個(gè)是

最大正應(yīng)力所在平面，另一個(gè)是最小正應(yīng)力所在的平面。

由三角關(guān)系

cos2ao=-/1=(c)

^/1+tan22ao

.-tan24

sin2a()=±.§=(d)

yj\+tan22ao

將式(6-3)代入式(c)、式(dj.再代入式整理后可求得,…和GQ的計(jì)算表達(dá)式

由式(6-4)所求得的兩個(gè)相差90°的值中哪一個(gè)是巴皿作用面的方位角，哪一個(gè)是。min

作用面的方位角？一般約定用巴表示兩個(gè)正應(yīng)力中代數(shù)值較大的一個(gè)，即則兩個(gè)

.4y

角度中絕對值較小的一個(gè)確定0max所在的平面。比較式(6-2)和式(b),可見滿足式(b)的

。角恰好使《等于零，這表明正應(yīng)力取得極值的截面上，切應(yīng)力必為零，即正應(yīng)力的極值

就是單元體的主應(yīng)力。

用相似的方法，可以確定最大和最小切應(yīng)力以及它們所在的平面。將式(6-2)對。求導(dǎo)

數(shù)，得

=((TV-)cos2a-2rvsin2a(e)

da

令此導(dǎo)數(shù)等于零，可求得〃取得極值時(shí)的。值，用囚來表示，有

er-CT..

tan2a.=-----------(6-5)

由此式也可求出相差90。的兩個(gè)%,其中一個(gè)對應(yīng)的作用面足切應(yīng)力極大值所在的平

面，另一個(gè)對應(yīng)的作用面是切應(yīng)力極小值所在的平面，兩個(gè)切應(yīng)力分別以!”、卻.來表示，

稱為最大切應(yīng)力和最小切應(yīng)力。

由式(6-5)解出和代入式(6-2),求得切應(yīng)力的最大值和最小值為

(7-(7

max人

>=±+Lx(6-6)

TmmJ

2r7

比較式(6-3)和式(6-5),有

tan2%)?tan2a,=一1

所以有

cc不

2%=24+5

TV

%=%+彳

即最大和最小切應(yīng)力所在平面與主平面的夾角為45°。

例6-1討論圓周扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，并分析鑄鐵試件受扭時(shí)的破壞現(xiàn)象。

解：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，在懂截面的邊緣處切應(yīng)力最大，其值為

T

T=一(f)

叱

在圓軸的表層，按圖6-8(a)所示方式取出單元體ABCD,單元體各面上的應(yīng)力如圖6-8(b)

所示

=%=0，G=r(g)

這就是前而所討論的純剪切應(yīng)力狀態(tài)。把式(g)代入式(224),得

由式(6-3)

.n2r

tan2ao=-------r--=一8

%f，

所以，2a0=-90。或-270°

%=-45°或-135°

以上結(jié)果表明，從x油量起，由4=-45°(順時(shí)針方向)所確定的主平面上的主應(yīng)力為

(Tmax,而由4=-13十爐確定的主平面上的主應(yīng)力為4in。按照主應(yīng)力的記號(hào)規(guī)定

a\=bmax=7，a2=°，03=°min='

所以，純剪切的兩個(gè)主應(yīng)力的絕對值相等，都等于切應(yīng)力工，但一為拉應(yīng)力，一為壓應(yīng)

力。

圓截面鑄鐵試件扭轉(zhuǎn)時(shí)，表面各點(diǎn)5?所在的主平面連成傾角為45°的螺旋面，如圖

6-8(a)所示。由于鑄鐵抗拉強(qiáng)度較低，試件將沿這一螺旋面因拉伸而發(fā)生斷裂破壞，如圖

6-8(c)所示。

H

圖6-8

例6-2求如圖6-9所示單元體的主應(yīng)力值及主方向，并確定最大切應(yīng)力值。

圖6-9

解：按應(yīng)力符號(hào)規(guī)則選取

crx=80MPa

4=-40MPa

rx=-60MPa

代入公式求主應(yīng)力及其方位

/一嗎)

+rx=

(yx=105MPa,er?=0,/=-65MPa

.2r

tan20ao=------v--=1

%一%

所以％”=22.5°,4)?=112.5°,即由=22.5°確定的主平面上，作用著主應(yīng)力,

由a02=112.50確定的主平面上，作用著主應(yīng)力o■“向=-65MPa.

求最大切應(yīng)力：

2

?=±——-------+TX=±85/WPtz

所以最大切應(yīng)力為85MPa。

三向應(yīng)力解析分析簡介

6.2.2三向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法

以上所述平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析，也可以利用圖解法進(jìn)行。由式（6-1）和式（6-2）

可知，正應(yīng)力%和切應(yīng)力%都是的函數(shù)，說明在之間存在著函數(shù)關(guān)系。下面來推導(dǎo)之間的

關(guān)系。首先，將式（6-1）和式（6-2）分別改寫成如下形式

(y,---------=------cos2a-rsin2a

Jt22*r

cr-*

「廠°二^^vsin2a+jcos2a

然后將以上兩式各自平方后相加，于是得

此為心為變量的圓的方程，以為橫坐標(biāo)，工.為縱坐標(biāo)，則此圓圓心0佐坐標(biāo)

crr+(yv(TA-<y

為———-,0，半徑為R=此圓稱為應(yīng)力圓或摩爾（Mohr）圓。

2

圓上任一點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，則分別代表圍繞一點(diǎn)的單元體在各個(gè)不同方位截面上的正應(yīng)力與切

應(yīng)力。這種通過作應(yīng)力圓求任意斜截面的應(yīng)力的方法稱為應(yīng)力分析的圖解法。

下面以圖6-10所示二向應(yīng)力狀態(tài)為例，說明應(yīng)力圓的做法。

①作（7"坐標(biāo)系；

②選擇合適的比例尺，作出和截面x和截面y上兩對應(yīng)力所對應(yīng)的點(diǎn)和

0b,如）2（%，金）；

③連接Di和口2兩點(diǎn)，與b軸交于C點(diǎn)；

④以C點(diǎn)為圓心，西或誣為半徑畫圓，即為所要作的應(yīng)力圓。

要求圖6-10(a)中a斜截面上的應(yīng)力，在應(yīng)力圓上將線段CR沿a轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)過2a角，

得E點(diǎn)。E點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)值即分別為a斜截面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力。圖6-10(b)中

的A12兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為

511ax=函=無+的=反+R=生二

--------------------CT+(T(crA-eryY2

cr=OA=OC-CA=OC-R=~~:.-------------十廣

min22*2J

即NRCA為主應(yīng)力所在面方位角的2倍。在應(yīng)力圓中線段CR轉(zhuǎn)向線段CA為順時(shí)針,

那么在圖6-10(a)的單元體上從x軸應(yīng)順時(shí)針轉(zhuǎn)過％角，即為主平面。在圖上，A7A2兩

點(diǎn)相差180°,則在單元體上兩平面相差90°。

G］和G2是匯max，「min的點(diǎn)，其值等于R，兩點(diǎn)相差180°,則在單元體上最大切應(yīng)力和

最小切應(yīng)力所在的平面相差90°.線段G高與線段/正交，說明在單元體上主平面與最

大切應(yīng)力和最小切應(yīng)力所在平面相差45°.

綜上所述，應(yīng)力圓與單元體有如下對應(yīng)關(guān)系：

點(diǎn)面對應(yīng)。應(yīng)力圓上某?點(diǎn)的坐標(biāo)值，分別對應(yīng)著單元體上某一方位面上的正應(yīng)力與切

應(yīng)力。

轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)。應(yīng)力圓半徑旋轉(zhuǎn)時(shí)，單元體上斜截面的外法線繞x軸應(yīng)沿相同轉(zhuǎn)向旋轉(zhuǎn)。

二倍角對應(yīng)。應(yīng)力圓上的角度是相應(yīng)單元體上角度的2倍。

應(yīng)力符號(hào)對應(yīng)。單元體上正號(hào)正應(yīng)力，在應(yīng)力圓上位于縱坐標(biāo)的右方，反之位于左方;

使單元體有逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)趨勢的切應(yīng)力，在應(yīng)力圓上位于橫坐標(biāo)軸的卜.方，反之位于上方。

例6-3已知圖6-11（a）所示單元體的=80M=-40MP”,j=-60Mp。

試用圖解法求主應(yīng)力，并確定主平面位置。

圖6-11

解：（1）建立坐標(biāo)系，以b軸為橫坐標(biāo)軸，「軸為縱坐標(biāo)軸。

（2）按合適的比例,確定。D（外，理）點(diǎn)。

（3）連接。與。點(diǎn)，交橫坐標(biāo)。于C點(diǎn)。

（4）以C點(diǎn)為圓心，以cn或CQ為半徑作圓，即為所要作的應(yīng)力圓。

(5)

(T|=OAi=OC+R

=]05MPa

(T2=0

DF2r

tan2a=v

QCFa-a

?x*J

所以，24=45°,%=22.5°即，在單元體中從x軸以逆時(shí)針方向量取4=22.5°,

◎

確定力所在主平面的法線，如圖6-11(a)所示。

6.3強(qiáng)度理論

材料在單向應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度(塑性材料的屈服極限，脆性材料的強(qiáng)度極限)總可通過拉

伸試驗(yàn)和壓縮試驗(yàn)加以測定；材料在純剪切這種特定平面應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度(剪切強(qiáng)度何以

通過例如圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)來測定。

但是對于材料在一般二向應(yīng)力狀態(tài)下以及三向應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度，則由于不等于零的主

應(yīng)力可以有多種多樣的組合，所以不可能總是由試驗(yàn)加以測定。因而需要通過對材料破壞現(xiàn)

象的觀察和分析尋求材料強(qiáng)度破壞的規(guī)律，提出關(guān)于材料發(fā)生強(qiáng)度破壞的力學(xué)因素的假設(shè)一

一強(qiáng)度理論，以便利用單向拉伸、壓縮以及圓筒扭轉(zhuǎn)等試驗(yàn)測得的強(qiáng)度來推斷復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)

下材料的強(qiáng)度。

材料的強(qiáng)度破壞有兩種類型：

(1)在沒有明顯塑性變形情況下的脆性斷裂。

(2)產(chǎn)生顯著塑性變形而喪失工作能力的塑性屈服。

工程中常用的強(qiáng)度理論接上述兩種破壞類型分為：

(1)研究脆性斷裂力學(xué)因素的第一類強(qiáng)度理論，其中包括最大拉應(yīng)力理論和最大伸長線

應(yīng)變理論。

(2)研究塑性屈服力學(xué)因素的第二類強(qiáng)度理論，其中包括最大切應(yīng)力理論和畸變能密度

理論。

下面分別加以介紹。

63.1最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）

受鑄鐵等材料單向拉伸時(shí)斷口為最大拉應(yīng)力作用面等現(xiàn)象的啟迪，第一強(qiáng)度理論認(rèn)為,

在任何應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力中的拉伸主應(yīng)力力達(dá)到該材料在單軸拉伸試驗(yàn)或

其他使材料發(fā)生脆性斷裂的試驗(yàn)中測定的極限應(yīng)力氣時(shí)就發(fā)生斷裂。因此，第一強(qiáng)度理論

關(guān)于脆性斷裂的判據(jù)為

0二%

而相應(yīng)的強(qiáng)度條件則是

（Tf<[a]（6-11）

式中，為對應(yīng)于脆性斷裂的許用拉應(yīng)力，匕]=%〃，而n為安全系數(shù)。這一理論與均

質(zhì)脆性材料（例如鑄鐵、玻璃、石膏等）的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合。

最大拉應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）

第二強(qiáng)度理論認(rèn)為，在任何應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)一點(diǎn)處的最大伸長線應(yīng)變￡,達(dá)到該材料

在單軸拉仲試驗(yàn)、單軸壓縮試驗(yàn)或其他試驗(yàn)中發(fā)生脆性斷裂時(shí)與斷裂面垂蠱的極限伸長線應(yīng)

變eb時(shí)就會(huì)發(fā)生斷裂。因此，第二強(qiáng)度理論關(guān)于脆性斷裂的判據(jù)為

對于式中材料脆性斷裂的極限伸長線應(yīng)變埒，如是由單軸拉伸試驗(yàn)測定的（例如，對

鑄鐵等脆性金屬材料），那么旺=，>/上；故有斷裂的判據(jù)為

6一E

由廣義胡克定律=40一〃包+%）]得斷裂判據(jù)為

5_〃（%+，）=O

則相應(yīng)的強(qiáng)度條件則為

b]—+cr3）<[cr]（6-12）

式中，卜]對應(yīng)于脆性斷裂的許用拉應(yīng)力，⑸=5/〃，而n為安全系數(shù)。

石料或混凝十.等脆性材料受軸向壓縮時(shí)，往往出現(xiàn)縱向裂縫而斷裂破壞，而最大伸長線

應(yīng)變發(fā)生于橫向，最大伸長理論可以很好的解釋這種現(xiàn)象。但是實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，這一理論僅

僅與少數(shù)脆性材料在某些情況下的破壞相符，并不能用夾解釋脆性破壞的一般規(guī)律，故工程

上應(yīng)用較少。

最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）

低碳鋼在單軸拉伸而屈服時(shí)出現(xiàn)滑移等現(xiàn)象，而滑移面又基本上是最大切應(yīng)力的作用面

（45°斜截面）。據(jù)此，第三強(qiáng)度理論認(rèn)為，在任何應(yīng)力狀態(tài)卜.當(dāng)一點(diǎn)處的最大切應(yīng)力的.達(dá)

到該材料在試驗(yàn)中屈服時(shí)最大切應(yīng)力的極限值口、時(shí)就發(fā)生屈服。第三強(qiáng)度理論的屈服判

據(jù)為

Tinax=Ts

對于由單軸拉伸試驗(yàn)可測定屈服極限。.從而有％=2材料（例如，低碳鋼），上列屈

服判據(jù)可寫為

2-2

即5一，二巴

把％除以安全系數(shù)得許用應(yīng)力口],相應(yīng)的強(qiáng)度條件則為

<[cr]（6-13）

從上述屈服判據(jù)和強(qiáng)度條件可見，這一強(qiáng)度理論沒有考慮復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的中間主應(yīng)力

巴對材料發(fā)生屈服的影響，因此它與試驗(yàn)結(jié)果會(huì)有一定誤差，但結(jié)果偏「安全。

最大畸變能理論（第四強(qiáng)度理論）

注意到三向等值壓縮時(shí)材料不發(fā)生或很難發(fā)生屈服，第四強(qiáng)度理論認(rèn)為，在任何應(yīng)力狀

態(tài)下材料發(fā)生屈服是由于一點(diǎn)處的畸變能密度%達(dá)到極限值匕女所致，即

Jg5）2+包_/）2+（4—6H-q

式中，巧、。2、4是構(gòu)成危險(xiǎn)點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力，把區(qū)除以安全系數(shù)礙許用應(yīng)力口］,

相應(yīng)的強(qiáng)度條件則為

jj[(巧—內(nèi)》f+(6-6f卜[M

(6-14)

這個(gè)理論比第三強(qiáng)度理論更符合已有的一些二向應(yīng)力狀態(tài)下的試驗(yàn)結(jié)果，但在工程實(shí)踐中多

半采用計(jì)算較為簡便的第三強(qiáng)度理論。

6.3.5摩爾一庫侖理論

前面所述四個(gè)強(qiáng)度理論，主要是采用科學(xué)假設(shè)的方法建立的，它們是對決定材料強(qiáng)度失

效或破壞的主要因素，根據(jù)?定的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)，進(jìn)行假設(shè)，然后驗(yàn)i止。所以觀點(diǎn)明確，物理意

義清楚。當(dāng)然，強(qiáng)度失效或破壞的因素很多（特別是微觀、細(xì)觀因素很多），一兩個(gè)主要因

素不可能概括全部，因此理論與實(shí)驗(yàn)之間的偏差是難免的。正是這種原因，以往有些強(qiáng)度理

論盡管物理意義似乎很合理（例如最大伸長線應(yīng)變理論），但由于同實(shí)驗(yàn)結(jié)果偏差太大，也

很快被淘汰。因此，一個(gè)從宏觀角度描述現(xiàn)象的理論能否成立，關(guān)鍵仍在于能否同實(shí)驗(yàn)結(jié)果

相符合。所以基于這種考慮，近代工程科學(xué)中較多地采用唯象學(xué)的方法，即根據(jù)盡可能多的

實(shí)驗(yàn)結(jié)果對現(xiàn)象和數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合分析和描述，確定出其行為過程，而不過多地注意其物理意

義的闡述。摩爾-庫侖強(qiáng)度理論就是綜合實(shí)驗(yàn)結(jié)果建立的。

單向拉伸試驗(yàn)時(shí)，失效應(yīng)力為屈服極限％或強(qiáng)度極限巧,。在匯平面內(nèi)，以失效應(yīng)

力為直徑作應(yīng)力圓04',禰為極限應(yīng)力圓（圖12.24）o同樣，在單向壓縮試驗(yàn)確定的極限應(yīng)

力圓為。3。由純剪切試驗(yàn)確定的極限應(yīng)力圓是以O(shè)C'為半徑的圓。對任意的應(yīng)力狀態(tài),

設(shè)想三個(gè)主應(yīng)力按比例增加，直至材料以屈服或斷裂的形式失效。這時(shí)，由三個(gè)主應(yīng)力可確

定三個(gè)主應(yīng)力圓?，F(xiàn)在只作出三個(gè)應(yīng)力圓中最大的一個(gè)，亦即由2和巧確定的應(yīng)力圓，

如圖12.24中的圓。按上述方式，在cr-r面內(nèi)得到一系列的極限應(yīng)力圓。于是可以

做出它們的包絡(luò)線/G'。包絡(luò)線當(dāng)然與材料的性質(zhì)有關(guān)，不同的材料包絡(luò)線也不一樣；但

對同一材料則認(rèn)為它是唯一的。

對一個(gè)己知的應(yīng)力狀態(tài)外,。2，%，如由6和。3確定的應(yīng)力圓在上述包絡(luò)線之內(nèi)，

則這一應(yīng)力狀態(tài)不會(huì)引起失效。如恰與包絡(luò)線相切，就表明這一應(yīng)力狀態(tài)已達(dá)到失效狀態(tài)。

在實(shí)用中，為了利用有限的試驗(yàn)數(shù)據(jù)便可近似地確定包絡(luò)線，常以單向拉伸和壓縮的兩

個(gè)極限應(yīng)力圓的公切線代替包絡(luò)線，若再除以安全系數(shù),便得如圖12.25所示以阿的公切線

代替包絡(luò)線的情況。圖中和［0］分別為材料的抗拉和抗壓許用應(yīng)力。若由6和6確定

的應(yīng)力圓在公切線ML和M2之內(nèi)，則這樣的應(yīng)力狀態(tài)是安全的。當(dāng)應(yīng)力圓與公切線相切時(shí),

便是許可狀態(tài)的最高界限,

由圖12,25中各線段間的幾何關(guān)系可得到

Zyv

=(a)

其中

*二磯一印二耳一百

OP=ojH-OJ=^-一一產(chǎn)

甌=麗+而＞巖+學(xué)

將以上各式代入式（a）,經(jīng)簡化后得

5-怦=口］

考慮到一定的安全儲(chǔ)備，于是摩爾一庫侖理論的強(qiáng)度條件為

寫成相應(yīng)應(yīng)力形式5也=%一反。

kJ

(12.29)

對抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料,，式(12.29)化為

cr,-cr3<[o-]

成為第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件。

當(dāng)=0或巧=0分別同單向拉伸或單向壓縮實(shí)驗(yàn)吻合。

摩爾一庫侖強(qiáng)度理論可以用來說明材料的脆性斷裂和塑性屈服，但仍然未考慮生的影

響。與前述四個(gè)強(qiáng)度理論相比較，它不是只考慮。，￡,廠各因素中的一個(gè)，而是考慮

了b和T的組合，因此摩爾一庫侖強(qiáng)度理論是比較完善的。

6.4組合變形的強(qiáng)度計(jì)算

6.4.1薄壁壓力容器

如果容器的壁厚t遠(yuǎn)小于容器中面的最小曲率半徑R(如人工’-),則這種容器就稱為

R20

薄壁容器；反之，稱為厚壁容器。

一、圓筒形薄壁容器

設(shè)圓筒形薄壁容器的平均直徑為。，壁厚為/,收到所裝流體的壓力為p,如圖6-17(a)

所示，如果不考慮圓桶自重和圓筒內(nèi)所裝流體的重量，則筒體在內(nèi)壓力作用下只產(chǎn)生軸向伸

長和周向脹大的變形，因此在筒壁的總橫兩截面上只有正應(yīng)力，而無剪應(yīng)力。

用橫截面將圓筒截開，取筒的左半邊部分連同所裝流體?起為隔離體(圖6?17(b)),

由于筒壁很薄，可認(rèn)為筒壁中的應(yīng)力沿壁厚是均勻分布的。

流體作用于隔離體的壓力的合力為

F=P"

圖6-17

由靜平衡方程

Zx=0,o■、加力—〃7。2=0

得

3

(6-15)

x4r

再用兩個(gè)橫截面在離端蓋較遠(yuǎn)處截取長為1的圓筒，并以縱向?qū)ΨQ面將其截為兩半，取

其下半部分連同所裝液體一起為分離體(圖6-17(c)),同樣認(rèn)為應(yīng)力沿壁厚是均勻分布的。

流體作用于分離體的壓力的合力為

F'=plD

靜平衡方程

ZY=0,2(cr、,〃)_〃〃)=U(6-16)

由式(6-15)和式(6-16)得

巴二1鏟，

即圓筒形薄壁容器的筒壁的周向應(yīng)力b,為軸向應(yīng)力CT、的2倍。

圓筒壁上任一點(diǎn)A的應(yīng)力狀態(tài)如圖6-17(a)所示，要說明的是，圓筒內(nèi)表面雖然直接

受內(nèi)壓P的作用，但p遠(yuǎn)小于q和于是由內(nèi)壓p引起的徑向應(yīng)力可以忽略不計(jì)；又圓

筒外表面為自由表面，因此圓筒上任一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)可近似地看作為二向應(yīng)力狀態(tài)。

二、圓球形薄壁容器

設(shè)圓球形薄壁容器的平均直徑為Q,壁厚為，。所受內(nèi)壓為如圖6-18(a)所示。

圖6-18

由于圓球的對稱性，可取半個(gè)圓球連同所裝的流體一起為分離體(圖6-18(b))。流體

作用于分離體的壓力的合力為

L7TD2

r=p-------

4

由靜平衡方程

jrT)-

ZZ=0,OTTDI-/?—^―=0

得

CF=-(6-17)

4r

如果略去徑向應(yīng)力，則球璧上任一點(diǎn)A處的應(yīng)力狀態(tài)如圖6-18(a)所示，為一等值二

向應(yīng)力狀態(tài)。

6.4.2偏心拉壓問題

如果外力的作用線平行于桿件的軸線，但不通過橫截面的形心，則引起偏心拉伸(或壓

縮)，簡稱偏心拉壓。當(dāng)外力在縱向?qū)ΨQ面時(shí)，稱為單向偏心拉壓。在工程實(shí)際中，經(jīng)常會(huì)

遇到單向偏心拉壓的問題，如圖6-19中開口鏈環(huán)和圖6-20中廠房的立柱。如果將載荷向

桿件等直部分48段的軸線平移，則作用在AB段上的外力可視為軸向力P和矩為6的力

偶，軸向力可使桿段產(chǎn)生拉伸(或壓縮)，力偶將使桿段產(chǎn)生彎曲，所以，偏心拉壓本質(zhì)上是

軸向拉壓與彎曲的組合變形問題。

圖6?19偏心拉伸圖6-20偏心壓縮

下面以矩形截面桿為例，如圖6-21所示，說明單向偏心拉壓的應(yīng)力計(jì)算。載荷P位于

縱向?qū)ΨQ面Oxz內(nèi)，桿件承受單向偏心壓縮，其簡圖為圖6-21(b)o將P平移至軸線，如圖

6-21(c)所示，桿件承受壓彎組合變形。

圖6-21單向偏心壓縮

各橫截面的內(nèi)力：F”P,My=Pe(y為中性軸)。易知各個(gè)橫截面的右側(cè)邊緣有最

大壓應(yīng)力:

FNMmaxPPe

c,nax

AWvAW、.

若偏心距e較大，則彎曲最大應(yīng)力大于壓縮應(yīng)力，橫截面左側(cè)邊緣會(huì)出現(xiàn)拉應(yīng)力:

0斡_PeP

gx%AMA

對于脆性材料的受壓立柱，由于材料抗拉能力較差以從強(qiáng)度方面考慮，希望橫截面上的

拉應(yīng)力很小或不出現(xiàn)拉應(yīng)力，這就要求偏心距控制在一定范圍之內(nèi)。

當(dāng)外力不在縱向?qū)ΨQ面時(shí)，稱為雙向偏心拉壓。以圖6-22(a)所示矩形截面桿為例,

載荷P位于Oyz面向點(diǎn)，討論任意橫截面四個(gè)角點(diǎn)的應(yīng)力。

圖6-22雙向偏心拉伸

將力P平移至軸線，如圖6-22(b)所示，附加力偶矩為縱向?qū)ΨQ面Oxy、Oxz內(nèi)的兩個(gè)

力偶，力偶矩矢大小為〃2：=P%,=pZpO

如圖6-22(b)所示，軸向力使桿件受拉，附加力偈和、也使桿件在Oxy和OKZ面

產(chǎn)生彎曲，中性軸分別為z、y軸，因此，桿件承受拉伸和雙向彎曲的組合變形。

各橫截面的內(nèi)力：F『P,Mz=PYp,用小〃Z??？芍鱾€(gè)橫截面有相同的應(yīng)力

分布。利用疊加法，可求得橫截面四個(gè)角點(diǎn)的應(yīng)力。

PM、.M.0??Pyp

.=—+―+--

4AW.2

y26hhlr/6bh/6

MvM.pPZp%

b"一A卜P.

,/仍

AWvVK~6/72/6以2/6

P吃M.pP2pTp〉p

w,也2

v~6hhb/6,blr/6

pMyM：PPzpp%

J」4

~6h2加/6

WxJW-.hb/6

結(jié)果若為負(fù)值，則表示應(yīng)力為壓應(yīng)力。

例6-4鉆床如圖6-23(a)所示，鉆孔時(shí)受到的壓力P=15kN,壓力P的作用線距立柱

軸線的距離為e=400mm,鑄鐵立柱的許用拉應(yīng)力［b』=35MPa,許用壓應(yīng)力［crc］=120

MPa。試確定鑄鐵立柱的直徑。

解：外力分析：首先將力P向立柱軸線簡化，如圖6-23(b)所示，得到一軸向的力P和

力偶M二幾。所以，立柱產(chǎn)生的是拉伸與彎曲的組合變形。

內(nèi)力分析：顯然,立柱各個(gè)橫截面的內(nèi)刀為：軸力￡v=15KN；彎矩

M=15x0.4=6A7V>n

圖6-23例6-4圖

應(yīng)力分析；與軸力對應(yīng)的拉應(yīng)力為

與彎矩對應(yīng)的最大應(yīng)力為

fy'—"max

o------

%

應(yīng)力分布于疊加結(jié)果如圖6-23(c)所示，可得最大拉應(yīng)力發(fā)生在橫截面的右邊緣，其

值為

B=FNIMmax

/max-AW/

最大壓應(yīng)力發(fā)生在橫截面的左邊緣點(diǎn)，其值為和。的差，小于Cmax=07ma,

強(qiáng)度計(jì)算：由于鑄鐵的許用拉應(yīng)力［外］小于許用壓應(yīng)力［0］，而立柱的b,max=5mx因

此，應(yīng)根據(jù)最大拉應(yīng)力Qmax來進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。

Umax=—+<卜］

…4L/J

w7

統(tǒng)一單位，代入數(shù)據(jù)，得到

15xlO36x106

^max=——+——《35

432

解此方程，就可以得到立柱的直徑d。數(shù)學(xué)上求解三次方程比較困難，因此，在工程計(jì)

算中常常采用一種簡便的方法。由例6-4的結(jié)果可以看出，一般情況下，產(chǎn)生拉伸(或壓縮)

和彎曲組合變形的桿件中，彎曲正應(yīng)力是主要的。所以，先按彎曲輕度條件初步確定直徑，

考慮軸力的影響，適當(dāng)增大所取直徑的值，再按偏心拉伸的輕度條件進(jìn)行強(qiáng)度校核，若巴「海

與徐永拉應(yīng)力［6］相差較大，再做調(diào)整，逐步逼近，最終確定出既滿足強(qiáng)度條件有使?max

和［6］接近的直徑，這樣材料的承載能力才是好的。

6.4.3圓軸彎扭組合變形的強(qiáng)度計(jì)算

借助于帶輪或齒輪傳遞功率的傳動(dòng)軸，如圖6-24(a)所示。工作時(shí)在齒輪的齒上均有外

力作用。將作用在齒輪上的力向軸的截面形心簡化便得到與之等效的力和力偶，這表明軸將

承受橫向載荷和扭轉(zhuǎn)載荷，如圖6-24(b)所示。為簡單起見，可以用軸線受力團(tuán)代替圖6-24(b)

中的受力圖，如圖6-24(c)所示，這種稱為傳動(dòng)軸的計(jì)算簡圖。

為對承受彎曲與扭轉(zhuǎn)共同作用下的圓軸進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì)，i般需要彎矩圖和扭矩圖(剪力

一般忽略小計(jì))，并據(jù)此確定傳動(dòng)軸上可能的危險(xiǎn)圖。因?yàn)槭菆A截面，所以當(dāng)危險(xiǎn)面上有兩

個(gè)彎矩和同時(shí)作用時(shí)，應(yīng)按矢量求和的方法，確定危險(xiǎn)面上總彎矩M的大小與方

法(圖6-25(a)(b))o

圖6-25危險(xiǎn)界面上的內(nèi)力分量

根據(jù)械面上的總彎矩M和扭矩的實(shí)際方向，以及它們分別產(chǎn)生的正應(yīng)力和剪應(yīng)力

分布，即可確定承受彎曲與扭轉(zhuǎn)圓軸的危險(xiǎn)點(diǎn)及其應(yīng)力狀態(tài)，如圖6-26(a)、(b)所示。微

元械面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為

M

a=一,r

W%

,,....71(1...

其中，IV=——=一

32"16

式中，d為圓軸的直徑。

圖6-26承受彎曲與扭轉(zhuǎn)圓軸的危險(xiǎn)點(diǎn)及其應(yīng)力狀態(tài)

圖6-26的應(yīng)力狀態(tài)因?yàn)槠涑惺軓澢c扭轉(zhuǎn)的圓軸一般有韌性材料制成,故可用最大剪

應(yīng)力準(zhǔn)則或畸變能密度準(zhǔn)則作為強(qiáng)度設(shè)計(jì)的依據(jù)。于是，得到設(shè)計(jì)準(zhǔn)則:

V(T2+4r2<周,\la2+4r2<[a]

將&和工的表達(dá)式代入上式，并考慮到=2卬，便得到

1M-+A7-xvrj

~W一口(6-18)

J"?+0.75M2K

(6-19)

W4M

引入記號(hào)

=J/r+M7+Zz

Mr3=(6-20)

22

M,4=J"+0.75—=7o.75M_r+A/y(6-21)

式(6-18)、式(6-19)變?yōu)?/p>

Xi(6-22)

(6-23)

式中，用,3和加,7分別稱為基于最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則和基于畸變能密度準(zhǔn)則的計(jì)算彎矩。

將卬=加產(chǎn)/廠代入式(6-22)、式(6-23),便得到承受彎矩與扭轉(zhuǎn)的圓軸直徑的設(shè)計(jì)

公式:

(6-24)

(6-25)

需要指出的是,的表達(dá)式（6-20）或加川的表達(dá)

式（6-21）中的彎矩M=0,即可進(jìn)行同樣的設(shè)計(jì)計(jì)算。

例題6~4圖6-27中所示電動(dòng)機(jī)的功率〃=9%卬，轉(zhuǎn)速〃=715〃min,皮帶輪的直徑

。=250mm,皮帶松邊拉力為今，緊邊拉力為.電動(dòng)機(jī)軸外伸部分長度L=120〃〃〃，

軸的直徑d=40m牡。若已知許用應(yīng)力[cr]=60M&,試用最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則校核電動(dòng)機(jī)軸

的強(qiáng)度。

圖6-27例題6-4圖

解：1.計(jì)算外加力偶的力偶矩以及皮帶拉力

電動(dòng)機(jī)通過帶輪輸出功率，因而承受由皮帶拉力引起的扭轉(zhuǎn)和彎曲共同作用。根據(jù)釉傳

遞的功率、軸的轉(zhuǎn)速與外加力偶矩之間的關(guān)系，作用在帶輪上的外加力偶矩為

PQkW

M=9549x—=9549x------=120.2N?m

en715r/min

根據(jù)作用在皮帶上的拉力與外加力偶矩之間的關(guān)系，有

“D口DM

2FpX^~FPX^=Me

于是，作用在皮帶上的拉力

2M°2x120.2^/77...

Fr,=----=------------=9OA61T.6N

〃rD250/初〃xIOf

2.確定危險(xiǎn)面上的彎矩和扭矩

將作用在帶輪上的皮帶拉力向軸線簡化，得到一個(gè)力和一個(gè)力偶，即有

笈=3",=3x961.6N=2884.8N,M,=120.2N?/〃

軸的左端可以看出自由端，右端可■視為固定端約束。由于問題比較筒單，可以不必畫出

彎矩圖和扭矩圖，就可以宜接判斷出固定端出的橫截面為危險(xiǎn)面，其上之彎矩和扭矩分別為