2024-2025學年河北省保定市高一下冊3月月考數(shù)學質(zhì)量檢測試題（附答案）

2024-2025學年河北省保定市高一下學期3月月考數(shù)學質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周長是（

）A． B． C． D．2．紫砂壺是中國特有的手工陶土工藝品，經(jīng)典的有西施壺，石瓢壺，潘壺等，其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺，如圖給了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：），那么該壺的容積約為（

）A． B． C． D．3．“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知一組數(shù)據(jù)：55，64，92，76，88，67，76，90，則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（

）A．90 B．88 C．82 D．765．點到直線的距離最大時，其最大值以及此時的直線方程分別為（

）A．； B．；C．； D．；6．若第一象限內(nèi)的點關(guān)于直線的對稱點在直線上，則的最小值為（

）A．1 B．4 C．10 D．167．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（

）A．若對空間中任意一點O，有，則P，A，B，C四點共面B．若空間向量，滿足，則與夾角為銳角C．若直線l的方向向量為，平面的一個法向量為，則l//D．若空間向量8．在平面直角坐標系中，已知圓，點，若圓上存在點，滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知曲線，則以下說法正確的是（

）A．點在曲線內(nèi)部 B．曲線關(guān)于原點對稱C．曲線與坐標軸圍成的面積為 D．曲線的周長是10．古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值且的點的軌跡是一個圓，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，，點P滿足，設點P的軌跡為曲線C，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線C與圓有且僅有三條公切線B．曲線C關(guān)于直線對稱的曲線方程為C．若點在曲線C上，則的取值范圍是D．在x軸上存在異于A，B的兩點E，F(xiàn)，使得11．如圖，在棱長為2的正方體中，為線段上的動點，則下列說法正確的是（

）A．點到平面的距離為定值B．直線與所成角的取值范圍為C．的最小值為D．若為線段上的動點，且平面，則的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為4,則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為方差為.13．已知圓臺的上底面的半徑為，下底面的半徑為，高為，則該圓臺的外接球的體積為.14．一條光線從點射出，與x軸相交于點，經(jīng)x軸反射，反射光線所在的直線為l.若曲線上有且僅有兩個點到直線l的距離為1，則實數(shù)m的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．（13分）已知圓心為C的圓經(jīng)過點，且圓心C在直線上．(1)求圓C的方程；(2)已知直線l過點且直線l截圓C所得的弦長為2，求直線l的方程．16．（15分）某學校為提高學生對《紅樓夢》的了解，舉辦了"我知紅樓"知識競賽，現(xiàn)從所有答卷卷面成績中隨機抽取100份作為樣本，將樣本數(shù)據(jù)（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，并作出如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)約為多少；(3)若落在中的樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)是52，方差是6；落在中的樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)是64，方差是3，求這兩組數(shù)據(jù)的總平均數(shù)和方差.

17．（15分）甲、乙兩位隊員進行某種球類對抗賽，每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏2個球者獲勝，通過分析甲、乙過去對抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為，乙發(fā)球甲贏的概率為，不同球的結(jié)果互不影響，已知某局甲先發(fā)球．(1)求該局打4個球甲贏的概率;(2)求該局打5個球結(jié)束的概率．18．（17分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，，，二面角的大小為，點為線段上一點.(1)證明：平面平面.(2)若，求四棱錐的體積.(3)點為線段上一動點，求直線與平面所成角的正弦的最大值.答案題號12345678910答案DBCAAAABBCACD題號11答案ABD1．D【分析】根據(jù)直觀圖運用斜二測畫法，還原原圖即可解決.【詳解】因為，由直觀圖可知，，所以還原平面圖形中，，在中，，則三角形的周長為．故選：D．2．B【分析】根據(jù)題意可知圓臺上底面半徑為3，下底面半徑為5，高為4，由圓臺的結(jié)構(gòu)可知該壺的容積為大圓錐的體積減去小圓錐的體積，設大圓錐的高為，所以，求出的值，最后利用圓錐的體積公式進行運算，即可求出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)題意，可知石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺，圓臺上底面半徑為3，下底面半徑為5，高為4，可知該壺的容積為大圓錐的體積減去小圓錐的體積，設大圓錐的高為，所以，解得：，則大圓錐的底面半徑為5，高為10，小圓錐的底面半徑為3，高為6，所以該壺的容積.故選：B.3．C【分析】充分必要條件的判斷：把兩個命題分別作為條件和結(jié)論，判定由條件能否推出結(jié)論即可.【詳解】當時，，，顯然，兩直線平行，滿足充分條件；當與直線平行時，，則∴或，當時顯然成立，當時，，，整理后與重合，故舍去，∴，滿足必要條件；∴“”是“直線與直線平行”的充要條件故選：C4．A【分析】根據(jù)百分位數(shù)計算規(guī)則計算可得.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排列為：55，64，67，76，76，88，90，92，又，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是.故選：A5．A【分析】求出直線所過的定點，再確定最大值條件即可求解.【詳解】將直線變形得，由，解得，因此直線過定點，當時，點到直線的距離最大，最大值為，又直線的斜率，所以直線的方程為，即.故選：A

6．A【分析】設對稱點的坐標，由對稱的定義建立等量關(guān)系，將求得的對稱點坐標代入解析式，求得關(guān)系，由基本不等式求得最小值.【詳解】設點是點關(guān)于直線的對稱點，則兩點的中點在對稱直線上且兩點的直線與對稱直線垂直，則，解得點在直線上，∴，即，∴，當且僅當，即時，取等號.故選：A.7．A.【詳解】A：在中，故P，A，B，C四點共面，對；B：當，同向共線時也成立，但與夾角不為銳角，錯；C：由，即，故D：在上的投影向量為8．B【分析】設點坐標，然后表示出和，建立方程后得到點的軌跡方程，由兩個圓存在公共點，得到圓與圓的位置關(guān)系，從而得到圓心距和半徑的關(guān)系，求出的取值范圍.【詳解】設，則，.因為，所以，即，所以點的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓.又因為點在圓上，所以圓與圓有公共點，所以，即，解得.故選：B.9．BC【分析】選項A，結(jié)合圖象，當時，或，可判斷；選項B，將換成，將換成，方程不變，可得；選項C，結(jié)合方程的對稱性，在第一象限時，圖象為圓的一部分，根據(jù)圓的方程可得其在第一象限與坐標軸圍成的面積，進而可得；選項D，同C結(jié)合方程的對稱性，求在第一象限部分的長度即得.【詳解】選項A：當時，得，即，因，故，故或，因，故點在曲線外部，故A錯誤；選項B：將換成，將換成，方程不變，故曲線關(guān)于原點對稱，故B正確；選項C：將將換成，方程不變，故曲線關(guān)于軸對稱，設曲線在第一象限與坐標軸圍成的面積為，則曲線與坐標軸圍成的面積為，當時，方程，即，其圓心坐標為，半徑為，如圖，當時，得或，故弦長，由，故，則，故，故C正確；選項D：由題意可知曲線的周長為，故D錯誤，故選：BC10．ACD【分析】設點，由，得，即曲線為圓心為，半徑為2的圓，再結(jié)合選項依次判斷即可．【詳解】設點，因為，所以，整理得，，即曲線為圓心為，半徑為2的圓，對于A，圓，即，該圓的圓心為，半徑為3，兩圓的圓心距為：，所以兩圓外切，故兩圓有且僅有三條公切線，故A正確；對于B，曲線C的圓心關(guān)于直線對稱的點為，所以曲線C關(guān)于直線對稱的曲線方程為：，故B錯誤；對于C，設，即，由圖知當直線與圓相切時，t取得最大值或最小值，此時圓心到直線的距離為2，由，解得或，所以的取值范圍是：，故C正確；對于D，設，則，化簡得，，依題意，需使，解得，或（因點E，F(xiàn)異于A，B，應舍去）所在存在滿足題意，故D正確．故選：ACD.11．ABD【分析】選項A：由，從而平面判斷；選項B：由直線與所成的角即直線與所成的角，由為的中點和與（或）重合角最大和最小判斷；選項C：將沿直線翻折，使其與平面共面，連接，再在中，利用余弦定理求解判斷；選項D：過作于點，連接，則，從而平面，再由平面，得到平面平面，從而平面求解.【詳解】選項A：如圖1，由題易知，因為平面，平面，所以平面，所以動點到平面的距離等于點到平面的距離，為定值，A正確.選項B：直線與所成的角即直線與所成的角，當為的中點時，所成的角最大，為，當與（或）重合時，所成的角最小，為，所以與所成角的取值范圍為，B正確.選項C：將沿直線翻折，使其與平面共面，記翻折后點對應的點為，連接，如圖2，則，在中，由余弦定理可得：，即的最小值為，C錯誤.選項D：如圖3，過作于點，連接，則，平面，平面，所以平面，又平面，，，平面，所以平面平面，則平面，又平面，平面平面，所以.設，則，，且，所以，當且僅當時等號成立，D正確.故選；ABD12.13;6413．/【分析】作出圖形，設圓臺上、下底面的圓心分別為、，則外接球球心在直線上，設，根據(jù)圓臺的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，解出的值，可求出球的半徑，結(jié)合球體的體積公式可求得球的體積.【詳解】設圓臺上、下底面的圓心分別為、，取該圓臺的軸截面，則該圓臺的外接球球心在直線上，連接、，設，則，由，即，即，解得，因為該圓臺的外接球半徑為，因此，所以該圓臺的外接球的體積為.故答案為；.14．【分析】先根據(jù)對稱確定直線的方程，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知反射光線所在的直線經(jīng)過點，設反射光線的所在直線的方程為，點，在直線方程上，，解得，反射光線的所在直線的方程為，即.曲線可化為，可得其圓心為，半徑,根據(jù)點到直線的距離公式可得點到的距離.因為圓上有且僅有兩個點到直線l的距離為1，所以或.故答案為.15．(1)(2)或【分析】根據(jù)圓心在弦的中垂線上，也在直線上求解可得圓心，進而求得半徑即可得圓的方程；先討論直線l斜率不存在時，再設直線l的點斜式，根據(jù)垂徑定理求解即可.【詳解】（1）由題意圓心在弦的中垂線上，又中點，，則弦的中垂線斜率，故中垂線方程：，即，聯(lián)立可得，，即，故圓的半徑.故圓的方程：（2）當直線斜率不存在時，直線l與圓不相交；當直線斜率存在時，設方程，因為直線l截圓C所得的弦長為2，故圓心到的距離.則到的距離，則，即，解得或.故方程，即或.16．(1)0.030(2)79分(3)，【分析】（1）根據(jù)每組小矩形的面積之和為1列式即可求解；（2）由頻率分布直方圖求第百分位數(shù)的計算公式即可求解；（3）利用分層抽樣的平均數(shù)和方差的計算公式即可求解.【詳解】（1）由，解得；（2）因為，，所以樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)在內(nèi)，可得，所以樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)為分；（3）樣本數(shù)據(jù)落在的個數(shù)為，落在的個數(shù)為，，總方差.17．(1)(2)【分析】（1）設相應事件，可知，結(jié)合獨立事件概率乘法法則運算求解；（2）設相應事件，可知事件D，E為互斥事件，且，根據(jù)獨立事件以及互斥事件概率求法運算求解.【詳解】（1）設甲發(fā)球甲贏為事件A，乙發(fā)球甲贏為事件B，該局打4個球甲贏為事件C，由題意可知：，，且，可得，所以該局打4個球甲贏的概率為．（2）設該局打5個球結(jié)束時甲贏為事件D，乙贏為事件E，打5個球結(jié)束為事件F，可知事件D，E為互斥事件，且，則，，可得，所以該局打5個球結(jié)束的概率為．18．(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）取的中點，利用二面角的定義及余弦定理推理證得，再利用線面垂直、面面垂直的判定推理得證.（2）由（1）結(jié)合錐體體積公式計算得解.（3）以為原點建立空間直線坐標系，利用空間向量求出線