八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)：專題42 一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）

專題4.2一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）【十大題型】

【北師大版】

?題型梳理

【題型1一次函數(shù)的概念辨析】..................................................................1

【題型2待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式】...........................................................3

【題型3一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征】..........................................................6

【題型4一次函數(shù)解析式與三角形面積問(wèn)題】......................................................7

【題型5根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一次函數(shù)解析式］........................................................II

【題型6判斷一次函數(shù)的圖象】..................................................................14

【題型7判斷一次函數(shù)的增減性或經(jīng)過(guò)的象限】...................................................18

【題型8根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的范圍】.....................................................20

【題型9根據(jù)一次函數(shù)的增減性求自變量的變化情況】............................................21

【題型10根據(jù)一次函數(shù)的增減性比較函數(shù)值大小】.................................................23

，舉一反三

【知識(shí)點(diǎn)1一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念】

一般地，若兩個(gè)變量x,y間的關(guān)系可以表示成），=&<+〃（k,b為常數(shù)，kW0）的形式，則稱y是x

的一次函數(shù)（x為自變量，y為因變量）。

特別地，當(dāng)一次函數(shù)y=Zx+Z?中的b=0時(shí)（B|Jy=kx）（k為常數(shù)，k*0）,稱y是x的正比例函

數(shù)。

【題型1一次函數(shù)的概念辨析】

【例I】（2023春?山東莉澤?八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，是一次函數(shù)但不是正比例函數(shù)的是（）

2

AXr>2萬(wàn)X-l、X-l

A.y=--B.y=--c.y=--D.y=—

【答案】c

【分析】根據(jù)一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念解答即可.

【詳解】解：A.是一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意；

B.不是一次函數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意；

C.是一次函數(shù)，但不是正比例函數(shù)，故選項(xiàng)符合題意；

D.不是一次函數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)晴】本題主要考查一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念:若兩個(gè)變量x和），間的關(guān)系式可以表示成％%+從2,

〃為常數(shù)，kHO）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量，），為因變量）；一般地，兩個(gè)變量x,y之

間的關(guān)系式可以表示成形如y=kx（A為常數(shù)，且kHO）的函數(shù)，那么y就叫做工的正比例函數(shù).

【變式1-11（2023春?遼寧葫蘆島?八年級(jí)統(tǒng)考期末）若函數(shù)y=（。-2）/^1+4是一次函數(shù)，則a的值為（）

A.-2B.±2C.2D.0

【答案】A

【分析】根據(jù)一次函數(shù)y=kx+h的定義可知，k、b為常數(shù)，k于0,自變量的次數(shù)為1,即可求解.

【詳解】解：?.?丫=（。-2）/11-1+4是關(guān)于％的一次函數(shù)，

A|a|-1=1?且a—2不0,

|a|=2?且aH2,

:.a=±2且a+2,

???a=-2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的定義，熟練掌握一次函數(shù)的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2]（2023春?全國(guó)?八年級(jí)期中）在下列函數(shù)中，x是自變量，y是因變量，則一次函數(shù)有正比

例函數(shù)有—.（將代號(hào)填上即可）①y=V3x+1；②y=x2+2x；③y=5x；?y=1-4x；⑤y=（+V2.

【答案】①③④③

【分析】根據(jù)一次函數(shù)及正比例函數(shù)的定義，即可一一判定.

【詳解】解:①y=V5x+l是一次函數(shù)，不是正比例函數(shù)；

②y="+2x不是一次函數(shù)；

③y=5%是正比例函數(shù)，因?yàn)檎壤瘮?shù)一定是一次函數(shù)，所以還是一次函數(shù)：

?>,=1-4%是一次函數(shù)；

⑤y=：+&既不是正比例函數(shù)也不是一次函數(shù).

故答案為：①③④，③.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)及正比例函數(shù)的定義，熟知正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例是解決本題的關(guān)鍵.

【變式1-3]（2023春?廣東東莞?八年級(jí)?？计谥校┘褐瘮?shù)y=（攵-2）%+（1-4）.

（1）若該函數(shù)是一次函數(shù)，求&的取值范圍.

（2）若該函數(shù)是正比例函數(shù)，求A的值.

【答案】（l）k02

(2比=-2

【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的定義，即可進(jìn)行解答；

（2）根據(jù)正比例函數(shù)的定義，即可進(jìn)行解答.

【詳解】（1）解：???函數(shù)、=（&-2）%+（爐—4）是一次函數(shù)，

:.k-2豐0,

解得：kH2；

（2）解：???函數(shù)、=（4一2）%+（42一4）是正比例函數(shù)，

,/k-2Ho

.?g-4=0'

解得：k=-2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一般形如y=/c%+b的是一次函

數(shù)（k,。是常數(shù)，k0）,其中x是自變量，了是因變量.形如y=依的是正比例函數(shù)（k工0）,其中％是

自變量，＞是因變量.

【知識(shí)點(diǎn)2正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定】

確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式）'=4、（k。。）中的常數(shù)k。確定一個(gè)一次函數(shù),

需要確定?次函數(shù)定義式）'=履+"（k^O）中的常數(shù)k和b。解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法。

【題型2待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式】

【例2】（2023春?河南新鄉(xiāng).八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知），與3+3成E比例，且當(dāng)x=1時(shí)，y=-8.

（1）求），與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)點(diǎn)（m,2）在⑴中函數(shù)的圖象上,求〃?的值.

【答案】（l）y=-2%-6

（2）-4

【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；

（2）把點(diǎn)M（m,2）代入（1）中解析式,即可求解.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意：設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為y=k（%+3）,

把x=Ly=-8代入得：-8=〃（1+3）,

解得：k=-2.

(1)求)，與X的函數(shù)解析式.

(2)求當(dāng)y=4時(shí)，x的值.

【答案】(l)y=4%+8

(2)x=-1

【分析】(1)設(shè)＞一2=上(2%+3),把x=l,y=12代入可得A=2,從而可得答案；

(2)把y=4代入函數(shù)解析式求解x即可.

【詳解】(I)解：設(shè)y—2=k(2x+3),

把x=Ly=12代入得12—2=5k,解得k=2,

所以y-2=2(2x+3),

所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=4x+8；

(2)當(dāng)y=4時(shí)，4x+8=4,

解答x=-1.

【點(diǎn)睛】本題考查的是成正比例的含義，利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，求解函數(shù)自變量的值，理解成正

比例的含義是解本題的關(guān)鍵.

【變式2-3](2023春?江蘇南通?八年級(jí)統(tǒng)考期末)在平面直角坐標(biāo)系中有力(-1,4),8(-3,2),。(0,5)三點(diǎn).

(I)求過(guò)兒B兩點(diǎn)的直線的函數(shù)解析式；

(2)判斷A,B,C三點(diǎn)是否在同一條直線上？并說(shuō)明理由.

【答案】(l)y=%+5

(2M，B,C三點(diǎn)在同一條直線上，詳見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)4、8坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可；

(2)將點(diǎn)C坐標(biāo)代入(1)中解析式中，判定是否符合函數(shù)解析式即可作出判斷.

【詳解】(I)解：設(shè)過(guò)4B兩點(diǎn)的直線的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+6,

則GM■解唬：5，

???直線48的函數(shù)解析式為y=%+5

(2)解：A,B,。三點(diǎn)在同一條直線上,

理由：當(dāng)％=0時(shí)，y=5,

???點(diǎn)C(0,5)在直線力3上，

即4B,C三點(diǎn)在同一條直線上.

【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、判定點(diǎn)是否在直線上，熟練掌握?次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特

征是解答的關(guān)鍵.

【題型3一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征】

【例3】(2023春?山西長(zhǎng)治?八年級(jí)?？计谥?如果點(diǎn)P(2,A)在直線y=-2x+2上,那么點(diǎn)尸到x軸的距離

為()

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】B

【分析】把點(diǎn)P(2,k)代入直線、=-2%+2求出3即可點(diǎn)。到x軸的距離.

【詳解】解：把點(diǎn)P(2,k)代入直線丫=-2%+2得：

k=-2x2+2=-2,

???點(diǎn)、P到x軸的距離為|-21=2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1](2023春.廣東深圳?八年級(jí)?？计谥?下面哪個(gè)點(diǎn)在函數(shù)y=-3%+4的圖象上()

A.(5,13)B.(-1,1)C.(3,0)D.(1,1)

【答案】D

【分析】將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入解析式，進(jìn)行求解后判斷即可.

【詳解】解：A、當(dāng)％=5時(shí)，y=-3x5+4=-ll,故(5,13)不在函數(shù)圖象上；

B、當(dāng)％=-1時(shí)，y=-3x(-l)+4=7,故不在函數(shù)圖象上；

C、當(dāng)x=3時(shí)，y=-3x3+4=-5,故(3,0)不在函數(shù)圖象上；

D、當(dāng)x=l時(shí)，y=-3x1+4=1,故(1,1)在函數(shù)圖象上；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征.熟練掌握一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，

是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2](2023春?江蘇泰州?八年級(jí)統(tǒng)考期末)已知點(diǎn)P(a-2/)在一次函數(shù)y=3%-2的圖像上，則10-

3Q+b=.

【答案】2

【分析】將點(diǎn)P?-2/)代入一次函數(shù)y=3x-2中即可得出結(jié)果.

【詳解】???點(diǎn)戶(a-2,b)在一次函數(shù)y=3%-2的圖象上,

Z?=3(a-2)-2,

解得3a—b=8

10-3a4-d=10-8=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn).熟練掌握整體代入是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3](2023春?福建廈門(mén)?八年級(jí)廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期末)一次函數(shù)y=kx+k圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)()

A.(1,0)B.(0,1)C.(1,1)D.(-1,0)

【答案】D

【分析】當(dāng)文=-1時(shí)，y=0,由此解答即可.

【詳解】解.：y=k%+Z=k(x+l),

當(dāng)人=-1時(shí)，y=0,

，一次函數(shù)y=kx+k圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一1,0).

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，解答此題的關(guān)鍵是理解一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)都滿足一次函數(shù)

的解析式，滿足一次函數(shù)解析式的點(diǎn)都在一次函數(shù)的圖象上.

【題型4一次函數(shù)解析式與三角形面積問(wèn)題】

【例4】(2023春?江蘇南通?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，WC的頂點(diǎn)A在x軸上，頂

點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,4).若直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),且將口。46c分割成面積相等的兩部分，則直線/的函

數(shù)解析式是()

【答案】D

【分析】首先根據(jù)條件1經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(1,0),且將口OABC分割成面積相等的兩部分，求出E點(diǎn)坐標(biāo)，然后

設(shè)出函數(shù)關(guān)系式，再利用待定系數(shù)法把D,E兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，可得到答案.

【詳解】解：設(shè)D(1,0),

???線1經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(1,0),且將口OABC分割成面積相等的兩部分,

\OD=BE=1,

???頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,4).

，E(5,4)

設(shè)直線I的函數(shù)解析式是y=kx+b,

???圖象過(guò)D(1,0),E(5,4),

.(k+b=0

,8+匕=4'

卜:仁1,

???直線I的函數(shù)解析式是y=x-1.

故選D.

【點(diǎn)睛】此題主要考杳了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是求出E點(diǎn)坐標(biāo).

【變式4-1](2023春?湖南長(zhǎng)沙?八年級(jí)校聯(lián)考期中)一次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)、點(diǎn)(一1,6),

(I)求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；

(2)求這個(gè)一次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.

【答案】(l)y=-2%+4

(2)4

【分析】(1)利用待定系數(shù)法，求一次函數(shù)解析式即可；

(2)先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再求出三角形的面積即可.

【詳解】(1)解：設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y=將點(diǎn)(1,2),(-1,6)代入得:

(k+b=2

l-k+b=6f

解得

???這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y=-2x+4；

(2)解.：設(shè)這個(gè)一次函數(shù)與X軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)8,

把)'=0代入得-2%I4=0,

解得：%=2,

把x=0代入得：y=4,

??"(2,0),B(0,4),

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸圍成的圖形面枳，解題的關(guān)鍵是熟練學(xué)

握待定系數(shù)法.

【變式4-2](2023春?江西上饒?八年級(jí)統(tǒng)考期末)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)力(-3,5)和8(0,2)兩點(diǎn).

(1)求出該一次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵若直線A8與x軸交于點(diǎn)C,求△力。。的面積.

【答案】(l)y=-％+2

(2)5

【分析】(1)用待定系數(shù)法求解即可；

(2)先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式求解.

【詳解】(1)設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b,

???圖象經(jīng)過(guò)4(一3,5),8(0,2)兩點(diǎn),

.[5=-3k4-b

**l2=b

解得：k=-1,b=2

???一次函數(shù)解析式為y=-％+2；

(2)當(dāng)y=0時(shí)，0=-X+2,

:?x=2,

."(2,0)

二?SAAOC=5xOCxyA=-x2x5=5?

答：AAOC的面積為5.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以及三角形的面積，熟練學(xué)

握待定系數(shù)法是解答本題的關(guān)鍵.

【變式4-3］（2023春?山東聊城?八年級(jí)統(tǒng)考期末）把8個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形按如圖所示擺放在直角坐標(biāo)系中,

經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線/將這8個(gè)正方形分成面枳相等的兩部分，見(jiàn)該直線的函數(shù)表達(dá)式是（）

【答案】A

【分析】設(shè)直線/和八個(gè)正方形的最上面交點(diǎn)為A,過(guò)A作/W_L08于易知08=3,利用三角形的面積

公式和已知條件求出人的坐標(biāo)即可得到該直線/的解析式.

【詳解】解：如圖，設(shè)直線/和八個(gè)正方形的最上面交點(diǎn)為A,過(guò)4作于8,易知。8=3,

???經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線/將這八個(gè)正方形分成面積相等的兩部分,

***SMOB=4+1=5,

而。5=3,

，押?3=5,

A/>I。

點(diǎn)坐標(biāo)為（當(dāng)，3）,

?5

設(shè)直線方程為y=h,

則3號(hào)，

10

.,?直線/解析式為），=*.

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了面積相等問(wèn)題、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解圻式,此題難度較大，解題的關(guān)鍵是作人

軸，作ACLx軸，根據(jù)題意即得到：直角三角形/WO,利用三角形的面積公式求出A8的長(zhǎng).

【題型5根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一次函數(shù)解析式】

【例5】（2023春?廣東佛山?八年級(jí)佛山市華英學(xué)校?？计谥校┰谀骋浑A段，某商品的銷售量與銷售價(jià)之間

存在如表關(guān)系：

銷售價(jià)/元90100110120130140

銷售量/件908070605040

設(shè)該商品的銷售價(jià)為％元，銷售量為y件，估計(jì)：當(dāng)115時(shí)，y的值為（）

A.85B.75C.65D.55

【答案】C

【分析】該商品的銷售價(jià)每增加10元，銷售量就減少10件，所以可以分析出銷售量y與銷售價(jià)x符合一次

函數(shù)關(guān)系，再設(shè)出函數(shù)解析式，代入表格中的數(shù)據(jù)求出解析式，再把工=115代入求），的值即可.

【詳解】解：由圖表可以看出y與x符合一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)〉，=依+》（原0）,

把工=90,），=90和x=100,），=80代入得，

f90k+b=90zafk=-1

1100k4-b=80,解&2保U=180,

則y=r+180,

當(dāng)工=115時(shí)，），=-115+180=65.

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的表示方法，根據(jù)題目中的條件分析函數(shù)關(guān)系是關(guān)鍵的一步，并且要熟練掌握

待定系數(shù)法求解析式.

【變式5-1］（2023春?山東東營(yíng)?八年級(jí)東營(yíng)市東營(yíng)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┢囉杀本偼嗑?20千米的天

津，它的平均速度是30千米/時(shí)，則汽車距天津的路程S（千米）與行駛時(shí)間，（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系及自變量

的取值范圍是()

A.S=120-30t(0<t<4)B.S=30t(0<t<4)

C.S=120-30t(t>0)D.S=30t(t=4)

【答案】A

【分析】根據(jù)汽車距天津的距離=總路程-已行駛路程列函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)總路程判斷出/的取值范圍即可.

【詳解】解：???汽車行駛的路程為：303

???汽車距天津的路程S(千米)與行駛時(shí)間/(時(shí))的函數(shù)關(guān)系為：S=120-30J,

71204-30=4,

???自變展/的取值范圍是04t44,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了列一次函數(shù)關(guān)系式，解決本題的關(guān)鍵是理解剩余路程的等量關(guān)系.

【變式5-2](2023春?貴州炎陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期中)甲、乙兩地相距120km,現(xiàn)有一列火車從乙地出發(fā)，以

80km/h的速度向甲地行駛.設(shè)x(h)表示火車行駛的時(shí)間，)，(km)表示火車與甲地的距離.

(1)寫(xiě)出y與x之間的關(guān)系式，并判斷)，是否為x的一次函數(shù)；

(2)當(dāng)尸0.5時(shí)，求y的值.

【答案】(1)y=120-80%(0<%31.5),y是x的一次函數(shù)；(2)80

【分析】(1)根據(jù)題意，首先計(jì)算得出1y與工之間的關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)分析，即可得到答案；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，將40.5代入到一次函數(shù)并計(jì)算，即可得到答案.

【詳解】(1)根據(jù)題意，火車與乙地的距離表示為：80x(km)

,??甲、乙兩地相距也0km

?,?火車與甲地的距離表示為:(120-80x)(km),BPy=120-80X；

當(dāng)火車到達(dá)甲地時(shí),即80%=120

???/=1.5,即火車行駛1.5h到達(dá)甲地

/.>?=120-80x(0<x<1.5)

y是式的一次函數(shù)；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，得：y=120-80%=120-80x0.5=80.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解.

【變式5-3】(2023春?云南文山?八年級(jí)期末)藝術(shù)節(jié)前夕，為了漕添節(jié)H氣氛，某校決定采購(gòu)大小兩種型號(hào)

的氣球裝扮活動(dòng)場(chǎng)地，計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)4盒大氣球，x盒小氣球(x>4).A、8兩個(gè)商場(chǎng)中，兩種型號(hào)的氣球原

價(jià)一樣，都是大氣球50元/盒，小氣球10元/盒，但給出了不同的優(yōu)惠方案：

A商場(chǎng)：買(mǎi)一?盒大氣球，送一?盒小氣球；

8商場(chǎng)：一律九折優(yōu)惠：

（1）分別寫(xiě)出在兩個(gè)商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)時(shí)需要的花費(fèi)y（元）與x（盒）之間的關(guān)系式；

<2）如果學(xué)校最終決定購(gòu)買(mǎi)10盒小氣球，那么選擇在哪個(gè)商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)比較合算？

【答案】（1）4y=10%+160,B：y=9x4-180；（2）A商場(chǎng)更合算

【分析】（1）利用購(gòu)買(mǎi)大氣球盒數(shù)x單價(jià)+小氣球去掉贈(zèng)送的還需購(gòu)買(mǎi)的盒數(shù)x單價(jià)列函數(shù)關(guān)系得出入商場(chǎng)花

費(fèi)，用購(gòu)買(mǎi)大氣球盒數(shù)x單價(jià)+小氣球購(gòu)買(mǎi)的盒數(shù)x單價(jià)之和九折列函數(shù)關(guān)系得出8商場(chǎng)花費(fèi)即可；

（2）先求A、8兩商場(chǎng)花費(fèi)函數(shù)的值，比較大小即可.

【詳解】解：（1）A：y=50x4+10（%-4）=10x4-160,

B：y=（50x4+10x）x90%=9x+180：

（2）當(dāng);v=10時(shí)，A：10x10+160=260元，

B：9x10+180=270元，

V260<270,

???選擇在A商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)比較合算.

【點(diǎn)睛】本題考查列函數(shù)解析式，函數(shù)值，比較大小，掌握列函數(shù)解析式的方法，求函數(shù)值的注意事項(xiàng)是解

題關(guān)鍵.

【知識(shí)點(diǎn)3一次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)】

I、正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

解析式y(tǒng)=kx(kH0)

自變量取值范圍全體實(shí)數(shù)

形狀過(guò)原點(diǎn)的一條直線

k的取值k>0k<0

圖象

示意圖

L0.L

1r

位置經(jīng)過(guò)一、三象限經(jīng)過(guò)二、四象限

趨勢(shì)從左向右上升從左向右下降

y隨x的增大而增大，y隨x的增大而減小

函數(shù)增減性

即：當(dāng)Xi>X2時(shí)，Yi>y2即:當(dāng)Xi>X2時(shí)，％<y2

2、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

解析式y(tǒng)=kx+b(kH0)

自變量取值范圍仝體文數(shù)

形狀過(guò)（0,b）和（―10）的一條直線

1\八

k>0k<0

k、b的

取值

b>0b<0b>0b<0

圖象不tz千

示意圖十

0

經(jīng)過(guò)一、二、三經(jīng)過(guò)一、三、四經(jīng)過(guò)一、二、四經(jīng)過(guò)二、三、四

位置

象限象限象限象限

趨勢(shì)從左向右上升從左向右下降

y隨x的增大而增大.y隨x的增大而減小

函數(shù)增減性

即：當(dāng)X1>X2時(shí)，Yi>y2即：當(dāng)Xi>X2時(shí)，Yi<y2

3、截距

直線y=kx+b與y軸相交于（0,b）,b叫做直線丫=kx+

定義

b在y軸上的截距，簡(jiǎn)稱截距

舉例直線丫=一2*-3的截距是一3

【題型6判斷一次函數(shù)的圖象】

【例6】（2023春?湖南懷化?八年級(jí)統(tǒng)考期末）一次函數(shù)y=kx-k為常數(shù)，k豐0）與止比例藥數(shù)y=-kx

的圖象可能是（）

【答案】D

［分析］分k>0、A<0兩種情況找出函數(shù)y=-kx及函數(shù)y=kx-k的圖象經(jīng)過(guò)的象限，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)即可

得出結(jié)論.

【詳解】解：當(dāng)k>0時(shí)，正比例函數(shù)y=—質(zhì)的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，一次函數(shù)y=此一上的圖象經(jīng)過(guò)第

一、三、四象限；

當(dāng)AV0時(shí)，正比例函數(shù)y=-依的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，一次函數(shù)y=kx-k的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四

象限.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的圖象及一次函數(shù)的圖象，分/c〉0、ZV0兩種情況找出兩函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的

象限是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1］（2023春?重慶榮昌?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知函數(shù)y=kx的圖象如圖所示，那么函數(shù)了=收一上的

圖象大致是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)，=依的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限可判斷出k的符號(hào)，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】解：?.?正比例函數(shù)y=依的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，

:.kV0,

:.-k>0,

???一次函數(shù)y=kx-k的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查的足正比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，先根據(jù)題意判斷出/c的符號(hào)足解

答此題的關(guān)鍵.

【變式6-2](2023春?山東濟(jì)南?八年級(jí)統(tǒng)考期末)已知點(diǎn)(k,b)在第四象限內(nèi)，則一次函數(shù)y=-依+b的圖

象大致是()

++:十

A.B.

%

D.

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件“點(diǎn)(k,b)為第四象限內(nèi)的點(diǎn)”推知晨b的符號(hào)，由它們的符號(hào)可以得到一次函數(shù)y=

-丘+b的圖象所經(jīng)過(guò)的象限.

【詳解】解：???點(diǎn)(k,b)為第四象限內(nèi)的點(diǎn)，

k>0,bV0,

：.-k<0,

???一次函數(shù)y=-依+b的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，觀察選項(xiàng)，A選項(xiàng)符合題意，B、C、D選項(xiàng)不符合

題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置與k、b的關(guān)系.解答本題注意理解：直線y=kx+b

所在的位置與K匕的符號(hào)有直接的關(guān)系.左>0時(shí)，直線必經(jīng)過(guò)一、三象限；/<<0M,直線必經(jīng)過(guò)二、四

象限；b>0時(shí)，直線與y軸正半軸相交；b=0時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)；bvO時(shí)，直線與y軸負(fù)半軸相交.

【變式6-31（2023春?河北承德?八年級(jí)統(tǒng)考期末）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ax-b和y=bx+Q的

圖象可能是（）

【答案】D

【分析】對(duì)于每個(gè)選項(xiàng)，先確定一個(gè)解析式所對(duì)應(yīng)的圖象，根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系確定。、的符

號(hào)，然后根據(jù)此符號(hào)看另一個(gè)函數(shù)圖象的位置是否正確.

【詳解】解：A、若函數(shù)y=Q%—b圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，則Q>0,b>0,此時(shí)函數(shù)y=bx+a的圖

象應(yīng)經(jīng)過(guò)第一、二、三象限；若函數(shù)y=ax-b圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限時(shí)，則a<0,b<0時(shí)，此時(shí)函

數(shù)y=bx+a的圖象應(yīng)經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；

B、若函數(shù)y=ax-b圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限時(shí)，則aVO,b<0時(shí)，此時(shí)函數(shù)、=bx+G的圖象應(yīng)經(jīng)

過(guò)第二、三、四象限，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；

C、若函數(shù)y=ax—b圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，則a>0,b<0,此時(shí)函數(shù)丫=bx+Q的圖象應(yīng)經(jīng)過(guò)第

一、二、四象限；若函數(shù)y=ax—b圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限時(shí)，則a<0,b>0M,止匕時(shí)函數(shù)y=bx+a

的圖象應(yīng)經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；

若函數(shù)y=QX-b圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，則Q>0,b<0,此時(shí)函數(shù)y=bx+Q的圖象應(yīng)經(jīng)過(guò)第

一、三、四象限；若函數(shù)y=QX-力圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限時(shí)，則a>0,b>0時(shí)，此時(shí)函數(shù)y=bx+a

的圖象應(yīng)經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，故選項(xiàng)D正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正確記憶一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)象限與系數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.

【題型7判斷一次函數(shù)的增減性或經(jīng)過(guò)的象限】

【例7】（2023春.湖北襄陽(yáng).八年級(jí)統(tǒng)考期末）一次函數(shù)y=kx+b（k工0）中，），隨x的增大而減小，b<0,

則這個(gè)函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第象限.

【答案】一

【分析】先根據(jù)一次函數(shù)的增減性判斷出々的符號(hào)，再由一次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論.

【詳解】解：???一次函數(shù)產(chǎn)6+方中3,隨x增大而減小

???&vo

VA<0

???此函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第二、三、囚象限，不經(jīng)過(guò)第一象限

故答案為：一.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了?次函數(shù)的性質(zhì)，熟知一次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵.

【變式7-1］（2023春?山東威海?八年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)F?次函數(shù)y=-3x-2,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-2）

B.函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)二、三、四象限

C.函數(shù)圖像與工軸的交點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸

D.y的值隨匯的值的增大而增大

【答案】D

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：令％=0,則y=-2,

???函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-2）,故選項(xiàng)A正確，不符合題意：

函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)二、三、四象限，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；

令y=0,則％=—條

二函數(shù)圖像與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-：,0）,故選項(xiàng)C正確，不符合題意，

?:k=-3<0,

??沙的值隨x的值的增大而減小，收選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)以及?次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握?次函數(shù)的性質(zhì)是解本題

的關(guān)鍵.

【變式7-2]（2023春?山東荷澤?八年級(jí)期末）一次函數(shù)丫=依+8（匕〃為常數(shù)）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-2,

-1）且y隨著x的增大而減小，則該圖像不經(jīng)過(guò)的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】根據(jù)題意分別求得k<0和b<0,再進(jìn)行判斷即可.

【詳解】:一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（-2,—1%

**?-1=-2k+b?

：.b=2k—1,

:一次函數(shù)y=kx+b中了隨著x的增大而減小，

:?k<0,

：.h=2k-KO,

,:k<0,b<.0,

，該圖像不經(jīng)過(guò)的象限是第一象限，

故答案為：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的問(wèn)題，掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3]（2023春?河北廊坊?八年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于一次函數(shù)y=（k—l）為+l—k,下列說(shuō)法：

①當(dāng)k>l時(shí)，圖象從左向右上升，），隨工的增大而增大；

②當(dāng)kVI時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限；

③函數(shù)圖象?定過(guò)點(diǎn)（1,0）.

其中正確的是（）

A.??B.??C.②③D.①②③

【答案】B

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的增減性質(zhì)可對(duì)①作出判斷；根據(jù)左一1及1一女的符號(hào)即可對(duì)②作出判斷；計(jì)算當(dāng)尸1

時(shí)的函數(shù)值即可對(duì)③作出判斷，從而可對(duì)結(jié)果作出判斷.

【詳解】當(dāng)QI時(shí)，1>0,從而一次函數(shù)的圖象從左往右上升，且），隨工的增大而增大，故①正確；

當(dāng)2<1時(shí)，火一1<（）,圖象必過(guò)第二、四象限；又1—Q0,圖象必過(guò)第一象限，所以圖象過(guò)第一、二、四象

限，故②錯(cuò)誤；

當(dāng)尸1時(shí)，y^-1+i-^O,所以函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（1,0）,故③正確：

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，點(diǎn)與直線的位置關(guān)系等知識(shí)，掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是關(guān)

鍵.

【題型8根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的范圍】

【例8】（2023春?湖南永州?八年級(jí)?？计谥校┮阎淮魏瘮?shù)y=（m+2）x+（m—3）,若y隨"勺增大而增大,

且此函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在％軸下方，則m的取值范圍是—.

【答案】-2Vm<3

【分析】先利用一次函數(shù)的性質(zhì)得m+2>0,再利用一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)得到加-3V0,然后求出兩個(gè)不

等式的公共部分即可.

【詳解】???一次函數(shù)y=（m+2）x+（m-3）,y隨匯的增大而增大，

/.m4-2>0,

???函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在“軸下方，

m—3<0,

則：1+上〉

bn-3<0

解得：-2Vm<3,

故答案為：-2<租<3.

【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)的應(yīng)用.

【變式8-1]（2023春?江西九江?八年級(jí)統(tǒng)考期中）若一次函數(shù)y=依-4的函數(shù)值），隨x的增大而增大，則

女的值可能是（）

A.3B.-12C.-4D.0

【答案】A

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，若y隨x的增大而增大，則比例系數(shù)大于0.

【詳解】解：??3=匕-4的函數(shù)值y隨x的增大而增大，

:..k>0,

而四個(gè)選項(xiàng)中，只有A符合題意，

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，要知道，在直線y=kx+b中，當(dāng)k>0時(shí),），隨工的增大而增大；當(dāng)kV0

時(shí)，y隨x的增大而減小.

【變式8-2]（2023春?湖北咸寧?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知力（與,必），8。2，月）是一次函數(shù)y=（。-1）%+1圖象

上不同的兩個(gè)點(diǎn)，若江叁V0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

必一%2

【答案】a<l

【分析】首先根據(jù)已知條件判斷出力-力與與-右異號(hào)，進(jìn)一步可知函數(shù)的增減性，即可求出Q的取值范圍.

【詳解】解：紇迫〈0,

X1-X2

一與X-小異號(hào)，

二在一次函數(shù)y=（a-l）x+1中，y隨x的增大而減小，

/.a—1<0,

解得aV1,

故答案為：a<1.

【點(diǎn)睛】本題考查了?次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握一次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵.

【變式8-3】（2023春?福建福州?八年級(jí)?？计谥校┤酎c(diǎn)5,“）、（X2,山）是一次函數(shù)尸以+2圖象上不

同的兩點(diǎn)，記"1=（X/-X2）（.V/-J2）?當(dāng)機(jī)<0時(shí)，。的取值范圍是（）

A.a>0B.?<OC.a<1D.a>1

【答案】B

【分析】根據(jù)題意〃?=（X/-X2）（y/-），2）<0?可得x/-.12與）,/-,2異號(hào)，即可得出a的取值范圍.

【詳解】解：..?點(diǎn)（心，〃）、（必以）是一次函數(shù)y=ar+2圖象上不同的兩點(diǎn)，〃?=（x；-xj）（yi->,2）

???x/-X2與）'/?）'2異號(hào)，

???該圖象是y隨x的增大而減小，

JaVO.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)圖像，解題的關(guān)鍵是判斷函數(shù)的增減性.

【題型9根據(jù)一次函數(shù)的增減性求自變量的變化情況】

【例9】（2023春?浙江湖州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)/1（2,yj和點(diǎn)8（a,%）在直線V=-x+3±,且%>y2?

則。的值可能是（）

A.-3B.-2C.1D.3

【答案】D

【分析】函數(shù)解析式y(tǒng)=-x+3知kV0,可得y隨x的增大而減小，求出。的取值范圍即可求解.

【詳解】解：由丫=一％+3知kVO,

???），隨八?的增大而減小，

7>1>，2，

>2,

???&的值可能是3,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握一次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵.

【變式9-1］（2023春?陜西西安?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)（%1，-5）［%2,2）都在直線y=—2x+b上，則勺與小的

大小關(guān)系為（）

A.xx>x2B.%!=x2C.xx<x2D.無(wú)法比較

【答案】A

【分析】由左=一2<0,利用一次函數(shù)的性質(zhì)，可得出y隨尤的增大而減小，再結(jié)合一5<2,即可得出句>x2.

【詳解】解：k=—2<0,

二y隨工的增大而減小，

又,.點(diǎn)（右,-5）（g,2）都在直線y=-2x+b上，且一5<2,

???勺>x2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，牢記”>0,y隨工的增大而增大；k〈0,y隨x的增大而減小”是解題

的關(guān)鍵.

【變式9-2］（2023春?湖南邵陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)力卜［,白），點(diǎn)8（不，）是直

線y=kr+b（k>0）上兩點(diǎn)，則%1，%2的大小關(guān)系是（）

A.xr>x2B.xr<x2C.Xi>x2D.<x2

【答案】A

【分析】根據(jù)直線y=kx+b（k>0）,判定），隨著自變量x的增大而增大，自變量x也會(huì)隨），的增大而增大.

【詳解】解：???直線y=k%+b（k<0）,

???）：隨著自變量上的增大而增大，

???自變量x也隨），的增大而增大，

??%]>%29

故選A.

【點(diǎn)睛】本考查了一次函數(shù)的增減性質(zhì)，正確判斷一次函數(shù)的增減性并靈活運(yùn)用，熟練掌握y隨x變化或x

隨y變化，性質(zhì)是一致的，這是解題的關(guān)鍵.

【變式9-3]（2023春?湖北恩施?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)力（犯2）,86,-3）在一次函數(shù)、=（一1_i）x+b的

圖象上，則用，〃的大小關(guān)系是〃in.（填或“="）

【答案】V

【分析】根據(jù)一次函數(shù)y=（-k2-l）x4-b的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：1<0,

???）：隨x的增大而減小，

又，：2>-3,

m<n

故答案為：<.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，牢記“當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而

減小”是解題的關(guān)鍵.

【題型10根據(jù)一次函數(shù)的增減性比較函數(shù)值大小】

【例10】（2023春?全國(guó)?八