高中數(shù)學主題三 情境創(chuàng)新之數(shù)學應用

主題三情境創(chuàng)新之數(shù)學應用

匐熱點聚焦

1.［復興號動車組列車］復興號動車組列車是中國標準動車組的中文命名，由中國鐵路總公司牽頭組織研制、具有完

全自主知識產(chǎn)權、達到世界先進水平的動車組列車.2019年12月30日，CR400BF-C智能復興號動車組在京張高鐵

實現(xiàn)時速350km自動駕駛,不僅速度比普通列車快,而且車內(nèi)噪聲更小.我們用聲強I（單位:W/nd表示聲音在傳播

途徑中每平方米面積上的聲能流密度,聲強級L（單位:dB）與聲強I的函數(shù)關系式為:L=101g（aI）,已知I=1013W/m2

時,L=10dB.若要將某列車的聲強級降低30dB,則該列車的聲強應變?yōu)樵晱姷模ǎ?/p>

A.10-5B.10“C.ICTD.IO”

2.［2021南京學情調(diào)研］［5G］5G時代已經(jīng)到來,5G的發(fā)展將直接帶動包括運營、制造、服務在內(nèi)的通信行業(yè)整體的

快速發(fā)展,進而對GDP增長產(chǎn)生直接貢獻,并通過產(chǎn)業(yè)間的關聯(lián)效應和波及效應,間接帶動國民經(jīng)濟各行業(yè)的發(fā)展，

創(chuàng)造出更多的經(jīng)濟價值.如圖3T所示的統(tǒng)計圖是某單位結合近幾年的數(shù)據(jù),對今后幾年的5G直接經(jīng)濟產(chǎn)出做出的

預測.

5c經(jīng)濟產(chǎn)出/億元

30000■

Z25Z(CX0M0)■

2()(XX)

器5(XX)」」川川

20202021202220232024202520262027202820292030年份

口運營商口信息眼務商■設備制造商i

圖3-1

則以下結論錯誤的是（）

A.運營商的5G直接經(jīng)濟產(chǎn)出逐年增加

B.設備制造商的5G直接經(jīng)濟產(chǎn)出前期增長較快,后期放緩

C.設備制造商在各年的5G直接經(jīng)濟產(chǎn)出中一直處于領先地位

D.信息服務商與運營商的5G直接經(jīng)濟產(chǎn)出的差距有逐步拉大的趨勢

3.［第七次全國人口普查］中國在2020年11月1日零時開始開展第七次全國人口普查，甲、乙等6名志愿者參加4

個不同社區(qū)的人口普查工作,要求每個社區(qū)至少安排1名志愿者,1名志愿者只去一個社區(qū),且甲、乙不在同一社區(qū),

則不同的安排方法共有（）

A.1240種B.1320種C.1248種D.1224種

4.［新型冠狀病毒疫苗研發(fā)］新冠肺炎疫情發(fā)生后,我國加緊研發(fā)新型冠狀病毒疫苗,某醫(yī)藥研究所成立疫苗研發(fā)項

目，組建甲、乙兩個疫苗研發(fā)小組,且兩個小組獨立開展研發(fā)工作.已知甲小組研發(fā)成功的概率為|,乙小組研發(fā)成功

的概率為去該研發(fā)項目的獎金為100萬元,分配方案是:若只有某一小組研發(fā)成功,則該小組獲得全部獎金;若兩個

小組都研發(fā)成功,則平分全部獎金;若兩個小組均未研發(fā)成功,則均不獲得獎金.則以下說法錯誤的是（）

A.該研究所疫苗研發(fā)成功的概率為J

6

B.乙小組獲得全部獎金的概率為:

6

C.在疫苗研發(fā)成功的情況下,是由甲小組研發(fā)成功的概率為3

D.甲小組獲得獎金的期望值為60萬元

5.［2021長沙長郡中學模擬］［生態(tài)環(huán)保］習近平總書記深刻指出，倡導環(huán)保意識、生態(tài)意識,構建全社會共同參與的

環(huán)境治理體系,讓生態(tài)環(huán)保思想成為社會生活中的主流文化.為使排放的廢氣中含有的污染物量減少,某化工企業(yè)探

索改良工藝，已知改良前所排放的廢氣中含有的污染物量為2mg/cm\首次改良后所排放的廢氣中含有的污染物量

為1.94mg/cm3.設改良前所排放的廢氣中含有的污染物量為(單位:mg/cn?),首次改良后所排放的廢氣中含有的污

染物量為n(單位:mg/cm'),則第n次改良后所排放的廢氣中的污染物量r.(單位:mg/cn?)滿足函數(shù)模型r“=r「(r「

n)X5°"(peR,neN*).

(l)r?=.

(2)依據(jù)當?shù)丨h(huán)保要求,企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物量不能超過0.08mg/cm3.則至少進行次改良才

能使該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物量達標.(參考數(shù)據(jù)：1g2~0.3)

6.［2021河北六校第一次聯(lián)考］［西氣東輸工程］我國的西氣東輸工程把西部的資源優(yōu)勢變?yōu)榻?jīng)濟優(yōu)勢,實現(xiàn)了氣能源

需求與供給的東西部銜接,工程建設也加快了西部及沿線地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展.輸氣管道工程建設中,某段管道鋪設要經(jīng)

過一處峽谷,峽谷內(nèi)恰好有一處直角拐角，水平橫向移動輸氣管經(jīng)過此拐角，從寬為27米峽谷拐入寬為8米的峽谷.

如圖3-2所示，

位于峽谷懸崖壁上兩點E,F的連線恰好經(jīng)過拐角內(nèi)側頂點0(點E,0,F在同一水平面內(nèi))，設EF與較寬側峽谷懸崖壁

所成角為0，要使輸氣管順利通過拐角，則其長度不能超過米.

哥數(shù)學文化

7.［高斯算法］德國數(shù)學家高斯在年幼時進行的1+2+3+…+100的求和運算中體現(xiàn)了“倒序相

加”的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律而產(chǎn)生,此方法也稱為高斯

算法.現(xiàn)有函數(shù)f(x)7各啟(m>0),則f(l)+f(2)+f(3)+…+f(m+2018)等于()

3m+6057

A門

A.-m-+-2--0-18B.2-m--+4--0-3-6

C.m+4036D.2m+4037圖3-3

66

8.［割圓術］劉徽（約公元225年―295年）是魏晉期間偉大的數(shù)學家,是中國古典數(shù)學理論的奠基人之一.他提出的

“割之彌細,所失彌少,割之又割，以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣”（即割圓術）蘊含了極限思想.割圓術的

核心思想是將一個圓的內(nèi)接正n邊形等分成n個等腰三角形（圖3-3為n=9時的情形），當n變得很大時,這n個等

腰三角形的面積之和近似等于圓的面積.運用割圓術的思想，得到sin2°的近似值為（）

A.-B.—C.—D.—

90180270360

9.［2021濟南名校聯(lián)考］［鱉膈］在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉膈,在鱉膈A-BCD中，

AB_L平面BCD,BC，CD,且AB=BC=CD,M為AD的中點，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為（）

AhB*C.叵D*

3322

10.［2021江西紅色七校第一次聯(lián)考］［數(shù)學名著］《九章算術》是我國古代著名的數(shù)學經(jīng)典，書中對勾股定理的論述,

比西方早一千多年,其中有這樣一個問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺.問徑幾

何？”其意為:今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小,用鋸去鋸該木材,鋸口深1寸,鋸道長1尺，問這塊圓柱

形木材的直徑是多少?長為0.5丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中,截面圖如圖3-4所示（陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)

的部分）.已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算該木材鑲嵌在墻內(nèi)部分的體積為立方寸.（注:一丈=10尺

=100寸，Ji-3.14,sin22.5°吟答案四舍五入，只取整數(shù)）

因生產(chǎn)、生活實踐

11.［生活實踐］在邊長為30米的正六邊形廣場正上空懸掛一個照明光源，已知這個光源發(fā)出的光線（可視為圓錐）過

旋轉(zhuǎn)軸的截面是一個等腰直角三角形,要使整個廣場都照明，光源懸掛的高度至少為（）

A.30米B.20米C.15魚米D.15米

12.［食物鏈］食物鏈亦稱“營養(yǎng)鏈”，是指生態(tài)系統(tǒng)中各種生物為維持其本身的生命活動，必須以其他生物為食物的

這種由食物聯(lián)結起來的鏈鎖關系.這種攝食關系，實際上是太陽能從一種生物轉(zhuǎn)到另一種生物的關系,也即物質(zhì)能量

通過食物鏈的方式流動和轉(zhuǎn)換.如圖3-5為某個生態(tài)環(huán)境中的食物鏈，若從鷹、麻雀、兔、田鼠以及蝗蟲中任意選

取兩種，則這兩種生物恰好構成攝食關系的概率為（）

圖3-5

A3Mc|D-l

13.［2021湖南長郡中學期中］［數(shù)學建模］蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑，“門”的

造型是東方之門的立意基礎，“門”的內(nèi)側曲線呈拋物線型，如圖3-6(1),兩棟建筑第八層由一條長60m的連橋連

接,在該拋物線兩側距連橋150m處各有一窗戶，兩窗戶的水平距離為30m,如圖3-6(2),則此拋物線頂端0到連橋

AB的距離為)

圖3-6

A.180mB.200mC.220mD.240m

14.［2021湖北十一校聯(lián)考］［解三角形模型］為了增強數(shù)學的應用性,強化學生的理解,某學校開展了一次戶外探究.

當?shù)赜幸蛔剑叨葹?T,同學們先在地面選擇一點A,在該點處測得這座山在西偏北21.7。方向,且山頂T處的仰

角為30°;然后從A處向正西方向走140米后到達地面B處，測得該山在西偏北81.7°方向，山頂T處的仰角為

60°.同學們建立了如圖3-7所示模型，則山高0T為()

A.20V7米B.25g米C.20vH米D.25舊米

BA

圖3-7

15.［青花瓷］青花瓷,中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品種之一.如圖是一個落地

青花瓷,其外形稱為單葉雙曲面,且它的外形上下對稱，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋

轉(zhuǎn)所形成的曲面.若該花瓶的最小直徑為16cm,瓶口直徑為20cm,瓶高20cm,則該雙曲線的

離心率為.

答案

主題三情境創(chuàng)新之數(shù)學應用

1.C已知1=10"w/n?時,L=10dB,所以10=101g(aX10，，解得a=10".故L=101g(10'2xi)=10(T2+lgI),由已

知,設該列車聲強級降低前后的聲強級分別為LbL2.聲強分別為I),L,則L2-LF10(-12+lgL)-10(-12+lg

I2)=10(lgI-lgI2)=101gJi=30,所以lg^=3,解得器10三故選C.

2.C根據(jù)已知統(tǒng)計圖,觀察白色矩形，可得運營商的5G直接經(jīng)濟產(chǎn)出逐年增加,A正確.觀察黑色矩形和灰色矩形，

可得設備制造商的5G直接經(jīng)濟產(chǎn)出前期增長較快,后期放緩,到2029年被信息服務商超過,B正確,C錯誤.觀察灰

色矩形和白色矩形,可得信息服務商與運營商的5G直接經(jīng)濟產(chǎn)出的差距有逐步拉大的趨勢,D正確.故選C.

3.B解法一先安排除甲、乙以外的4名志愿者，再安排甲、乙2人，共有四種情況:①除甲、乙以外的4名志愿

者去不同的社區(qū),有A￡A2=288種安排方法;②除甲、乙以外的4名志愿者中2人去同一個社區(qū),剩余2人去不同的

社區(qū)，甲、乙2人中1人去剩下的1個社區(qū)，1人去其余志愿者所去的3個社區(qū)中的一個,有鬣禺禺A：=864種安排方

法;③除甲、乙以外的4名志愿者中2人去同一個社區(qū)，剩余2人也去同一個社區(qū)，甲、乙2人去剩下的2個社區(qū)，

有第A：=72種安排方法;④除甲、乙以外的4名志愿者中3人去同一個社區(qū)，另外1人和甲、乙去剩下的3個社區(qū)，

有《A%=96種安排方法.故不同的安排方法共有288+864+72+96=1320(種).

解法二先把6名志愿者分成4組,有C界等65種方法,再將4組志愿者分到4個社區(qū),有A%=24種方法,所以共有

65X24=1560種安排方法.若甲、乙去同一個社區(qū)，有(禺+第)A%=240種安排方法,因此滿足題意的不同安排方法共

有1560-240=1320(種).故選B.

4.D由題,當甲、乙兩個小組至少有一個小組研發(fā)成功時,該研究所疫苗研發(fā)成功,其概率為卜(1-9X(l-i)4故

A選項正確；乙小組獲得全部獎金,即甲小組沒有研發(fā)成功,而乙小組研發(fā)成功,概率為(1-；)故B選項正確;設

事件A為“疫苗研發(fā)成功”，事件B為“甲小組研發(fā)成功”，則P(BA)與群故C選項正確;設甲小組獲得的獎

6

金數(shù)為&(單位:萬元)，則&的可能取值為0,50,100,且P(g=100)qx(l-；)=；,P(&=50)《X衿,P(g=0)=；,所以

E(€)=100Xi+50X|+0Xi=50,故D選項錯誤.故選D.

5.(1)2-0.06X5°5"°)(nXN*)由題意得ro=2,ri=l.94,所以當n=l時，ri=ro~(ro-ri)X5""即1.94=2-(2-

1.94)X505+P,解得p=-0.5.所以r?=2-0.O6X5o-5n-°-5(neN*).

(2)6由題意可得r產(chǎn)2-0.06X5°5n"5WO.08,整理得5。局-。-5》空，即^-^2,可得nN華+1,由1g2^0.3,得

0.06l-lg2

n^+1^5.3,又nCN*,所以n26.故至少進行6次改良才能使該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物量達標.

6.13V13如圖1)3-1所示,過點0分另U作0A1AE于A,OB±BF于B,貝！JZOEA=ZBOF=9,在RtAOAE中，0A=27,貝l]

則f，（9）=一號一駕二增產(chǎn)譽=咨券學,令f，（。0）=0,得tar?9得

令汽。）=急磊（。＜。9sin?。cosz0sin20cosz0sin20cosz08

,3

tS0ain<26。。+<=C>OS20O=1,解得t《cos0o=^:3VT黑13-當0<0<0。時，f'(0)<0；當0。<0《時，f'(0)>0.貝lj

02sin0n=--------，“

{O

f（0）.M=f（。。）嚼+蠢=13g,故輸氣管的長度不能超過13g米.

1313

7.A設x+y初+2°19,則f(x)+f(y)3』+肅麗二就泊二卷翳音.所以f⑴+f⑵+f(3)+“?+f(m+2

018)=i{[f(l)+f(m+2018)]+[f(2)+f(m+2017)]+-+[f(m+2018)+f(l)])=ix|x(m+2018)上詈登.故選A.

8.A將一個單位圓等分成180個扇形,則每個扇形的圓心角度數(shù)均為2。.因為這180個扇形對應的等腰三角形的

面積之和近似等于單位圓的面積，所以180Wx/Xsin2°=90sin2°、頁，所以sin2°心合,所以選A.

9.A如圖D3-2,取AC的中點為N,連接MN,BN,則MN〃CD且MN^CD,所以NBMN即異面直線BM與CD的夾角或其補

角.因為ABJ_平面BCD,CDu平面BCD,所以ABLCD,又BC1CD,ABnBC=B,所以CD_L平面ABC,所以MN_L平面ABC,所

以MN_LBN.設AB=BC=CD=2,則MN=1,BN=V2,BM=V3,在RtABMN中，cosNBMN””里,所以異面直線BM與CD夾角的余

BM3

弦值為冬

圖D3-2

10.317如圖D3-3,連接OA,0B,由題意可知,AB=10寸,OA=OC,D為弦AB的中點,所以在RtAAOD

中，0A2=0D2+AD2=(0C-l)2+(y)2,解得0A=13寸，貝ijsinZD0A=^=^,所以/DOA-22.5°,所以/B0A^45°，又S域彩

c__

JTX132?66.33(平方寸)，SAAOB^X10X(131)=60(平方寸)，所以弓形面積S-S第彩神七4地2臺臺.33

3602

60=6.33(平方寸)，所以該木材鑲嵌在墻內(nèi)部分的體積為6.33X50=316.5K317(立方寸).

圖D3-3

11.A設正六邊形廣場為ABCDEF,光源懸掛的最低點為P,則正六棱錐P-ABCDEF的底面動長為3