高中數(shù)學必修一 第五章 5 .5 .2 簡單的三角恒等變換

5.5.2簡單的三角恒等變換

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課程標準：1.能用二倍角公式導出半角公式2了解三角恒等變換的特點、變

換技巧，掌握三角恒等變換的基本思想方法.3.能利用三角恒等變換對三角函數(shù)式

進行化簡、求值以及證明三角恒等式.

教學重點：利用三角恒等變換對三角函數(shù)式化簡、求值和證明.

教學難點：利用三角恒等變換來解決問題.

核心概念掌握

【知識導學】

知識點一半角公式

知識點二積化和差與和差化積公式

(1)積化和差公式

sinacosQ=；[sin(a+夕)+sin(a一4)].

cosasin^=^[sin(a+^)—sin(a—

cosacos/?=^[cos(a+^)+cos(a-/i)].

sinasin/?=-；[cos(a+夕)-cos(a一夕)].

(2)和差化積公式

a~B

sina+sin/?=2sincos2,

a~\~Ba~~B

sina—sin/3=2cos?"sin?"?

Q+夕a-°

cosa+cos/?=2cos?cos)二

a+fia-p

cosa—cos/?=-2sin?sin?.

【新知拓展】

輔助角公式

輔助角公式：osinx+/?cosx

+必皿葉3)卜ang=').

其中角S所在象限由a,b的符號確定，角(p的值由tan9=\ifg定或由sin^=

首齊般。，方a

共同確定.

yjc^+b2

閘價?側

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

]a\[3

⑴已知cosa=g,a￡(0,兀)，則5嶺=一為~.()

TI1啦+1

(2)COS7R—1=^—.()

(3)函數(shù)/(x)=A/5sinx+cosx(xGR)的最小正周期為無.()

答案(1)X(2)7(3)義

2.做一做

⑴若cosa=q,aC(0,兀)，則cos^的值為()

D.土田

B—亞C

■D?3v.??

4(3兀、ci

(2)已知cosa=5，,2KI,則sing等于()

A—遮R遮rh/l口—3

1010J105

(3)函數(shù)於)=sin2x+，5sinrcosx在區(qū)間：，y上的最大值是()

13r-

A.1B.―C，2D.1+V3

(4)若tana=2,則targ=.

—1±A/5

答案(1)A(2)B(3)C(4)―十一

|核心素養(yǎng)形成|

題型一利用半角公式求值

,43兀工aaa,,..

例1已知sina=-g,7i<a<~Y，求sin］,cos/,tan/的值.

［解］V7i<ot<^,sina=—

cos2

金版點睛

由三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)式的值的步驟

(1)若沒有給出角的范圍，則根號前的正負號需要根據(jù)條件討論.一般討論角

所在象限.

(2)由三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)式的值的步驟：

①先化簡所求的式子.

②觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從角和三角函數(shù)名稱入手).

③將已知條件代入所求式子，化簡求值.

［跟蹤訓練1］已知si或一cos楙1Ct

飛'450°<a<540°,求tan]的值.

解由題意,予

14

即1—sina=§,得sina=5?

450°<a<540°,cosa=—

1——

a1~cosa

??turiTT—?=

2sina4

5

題型二三角函數(shù)式的化簡

,..J.?

(Z11+sina+cosa)lsin^―

例2化簡:■(7i<a<27i).

■\j2+2cosGt

［解］原式=

a、

cos2Cz-cosa)

a

cos2

一？??△.兀a.a八

又?7T<a<27l,??/<2<兀,..cos^vO,

a、

cos]?(一cosa)

.,.原式==cosa.

a

"cos2

［變式探究］將本例改為化簡:

(1+sina-cosa)lsin^-

(180o<a<360°).

^/2-2cosa

解原式=

2si町—cosa)sin](—cosa)

八.a

2sin]

V180°<a<360°,.,.90°<^<180°,AsinpO,

二原式=—cosa.

金版點睛

化簡問題中的“三變”

(1)變角：三角變換時通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系，通過拆、湊等手段

消除角之間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式.

(2)變名：觀察三角函數(shù)種類的差異，盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱，如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)

一為切.

(3)變式：觀察式子的結構形式的差異，選擇適當?shù)淖冃瓮緩?如升塞、降寨、

配方、開方等.

［跟蹤訓練2］化簡:

sinf+cosf|-|sinf-cosf,

解(1)原式=

?.多興2…?.苧名,

8,666

從而sm/十cos]<0,sin/—cos/〉。.

6

?二原式=一n2

aa

cos7atai”)2tan]

2

(2)原式=~=2C0:>sa-

1—tan弓1—tan工

=1cos2a-tana=|cosasina=

a.

題型三三角恒等式的證明

3rx2sinjt

例3求證：tar專tan2cosx+cos2x

.3x.x

-

與sin}sin77

AV_y77

[證明]證法一：tarry—tan§=—丁一---

COS爹COS]

.3xx3x,xsin

smgcos]—cos^sin^^-C

3xx3xx

cos萬COS]cos^cos^

siar2sinr

3xx(?3x.x\.(3xx\

COS5cos,cos|15+方+cos(p—9

2sint

cosx+cos2x

.二原式成立.

(3xx\

2sinkS

、t5_2sinx

證法一：Ic一

cosx+cos2xI3xX],3x3.xX

coslC0+

2j+<T2I2

Z(sinycosx^3x.x.3x.x

一cosgsmgsin萬sin]

3xx3元x

2cos萬"cos/cos-ycos/

3元x

=tan^-tan^.

J原式成立.

金版點睛

在三角恒等式的證明中，化繁為簡是化簡三角函數(shù)式的一般原則，按照目標

確定化簡思路，由復雜的一邊化到簡單的一邊.如果兩邊都比較復雜，也可以采用

左右歸一的方法.

［跟蹤訓練可求證：鳴鬻鏟一嘿

證明證法一：左邊=

(sinccos￡+cosasinA)(sinacos￡—cosasin夕)

sin2acos2y?

siYacos?。一cos2asin2夕

sin2acos2/?

__cos2asin2^_tan2yg,由

-sin2acos2^-tan2a-

J原等式成立.

、工』一一』1cos2asi冠

證法一:右邊=1—si/acos2s

siracos?6—cos2asin2,

sin2acos2^

(sinacos。+cosasin￡)(sinacos。一cosasin夕)

sin2acos2y?

sin(a+))sin(a一。)

sin2acos2^一工

J原式成立.

題型四利用輔助角公式研究函數(shù)性質

例4已知函數(shù)/(x)=，§sin(2x—5J+Zsi/Q—R).

⑴求函數(shù);U)的最小正周期；

⑵求使函數(shù)4x)取得最大值的x的集合.

［解］⑴???Ax)=V§sin(2xY)+2sin2(x-總

=2sin(2x一5+1,

，段)的最小正周期為T=E=7T.

⑵當於)取得最大值時，sin(2T)=l,

兀715兀

有2x—g=2E+/,即x=E+五(Z6Z),

二所求x的集合為｛xx=E+含左ezj.

金版點睛

(1)為了研究函數(shù)的性質，往往要充分利用三角變換公式轉化為正弦型(余弦型

)函數(shù)，這是解決問題的前提.

(2)解此類題時要充分運用兩角和(差)公式、二倍角公式、輔助角公式消除差

異，減少角的種類和函數(shù)式的項數(shù)，為討論函數(shù)性質提供保障.

［跟蹤訓練4］已知函數(shù)?x)=4cosxsin(x+/)—1.

(1)求?r)的最小正周期；

(2)求危)在區(qū)間［一全不上的最大值和最小值.

解(1=4cosxsin(x+］—1

=4cos(坐sinx+Tc°sx)—1

=V3sin2x+2cos2x—1

=Ssin2x+cos2x

=2sin(2x+^),

所以/U)的最小正周期為兀.

(2)因為一專WxW?所以一,W普*

兀TT7T

于是當2%+4=/,即尤=%時，7U)max=2;

當2x+^=—聿，即無=*時，兀C)mi"=—1.

題型五三角變換的實際應用

例5如圖，A,8是半徑為1的圓。上任意兩點，以A3為一邊作等邊三角

形A8C.當點A,8處于怎樣的位置時，四邊形OACB的面積最大？最大面積是多

少？

c

［解］如圖，設NAO3=e（0<e<7r）,四邊形O4C8的面積為S.取A3的中點

連接OD,CD,則OOLAB,CDLAB.

在RtZ\0D4中，。4=1,NAOD=g,

n

所以AO=OAsinNAOD=sin],

g

OD=OAcosZAOD=cos/,

8

所以A8=2A￡)=2sin].

因為△ABC為等邊三角形，

Qn

所以CO=ACsinNCAB=2sin]sin6()o=小sin.

所以5=5AABC+S^AOB

=^CDAB+^ODAB

I-1—cos。,1

X----2----+/sin。

1.A也心理

=2Sin^—C0S^+2

=sin(0一(|+坐

7T7T2冗

因為0<興兀，所以一?<e—

所以當即。/時，s取得最大值1+除

5兀

所以當QA與08的夾角為不時，四邊形QAC8的面積最大，最大面積是1

+坐

金版點睛

解答此類問題，關鍵是合理引入輔助角，先將實際問題轉化為三角函數(shù)問題,

再利用三角函數(shù)的有關知識求解.在求解過程中，要注意角的取值范圍.

［跟蹤訓練5］有一塊以。為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上劃出一個內

接矩形A3CO建為綠地，使其一邊AO落在半圓的直徑上，另外兩點B,C落在

半圓的圓周上.已知半圓的半徑長為處如何選擇關于點。對稱的點A,。的位

置，才能使矩形ABC。的面積最大？

解畫出圖形如圖所示.

設NAOB=。，ee(0,5

則AB=asin3,OA=acos。.

設矩形ABC。的面積為S,

則S=2OAAB

=2acos"asin8=6r2-2sin^cos<9=a2sin2^.

因為ee(o,H所以286(0,71).

JrJT

當2(9=2，即時，Smax=a2,

.J2

此時點A,。距離點。均為

隨堂水平達標

已知sina=1^O<a<，，則cos與等于（）

1.

44—啦口啦

A.gB.r

510D10

答案D

371?..8saq又cosa=2c靖-1,「.cos少此受

解析?「sin。=5且0<a<2,

9

八aTta3^/10

??

°中cos/=10?

2sin2a2cos2a空

'sin2acos2a"()