新課標(biāo)2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第三部分教材知識(shí)重點(diǎn)再現(xiàn)回顧4平面向量學(xué)案文新人教A版

PAGE1-回顧4平面對(duì)量[必記學(xué)問]平面對(duì)量共線的坐標(biāo)表示的兩種形式(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2＝x2y1，此形式對(duì)隨意向量a，b(b≠0)都適用．(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x2y2≠0，則a∥b?eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).須要留意的是可以利用eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)來判定a∥b，但是反過來不肯定成立．向量法證明三點(diǎn)共線(1)對(duì)于eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1，反之，也成立．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三點(diǎn)共線，則(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)或(x2－x1)(y3－y1)＝(x3－x1)(y2－y1)或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)·(y3－y1)．同樣地，當(dāng)這些條件中有一個(gè)成立時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線．平面對(duì)量的數(shù)量積已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立)|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))兩向量的夾角與數(shù)量積設(shè)兩個(gè)非零向量a與b的夾角為θ，則當(dāng)θ＝0°時(shí)，cosθ＝1，a·b＝|a||b|；當(dāng)θ為銳角時(shí)，cosθ>0，a·b>0；當(dāng)θ為直角時(shí)，cosθ＝0，a·b＝0；當(dāng)θ為鈍角時(shí)，cosθ<0，a·b<0；當(dāng)θ＝180°時(shí)，cosθ＝－1，a·b＝－|a||b|.[必會(huì)結(jié)論]三點(diǎn)共線的判定A，B，C三點(diǎn)共線?eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線；向量eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))中三終點(diǎn)A，B，C共線?存在實(shí)數(shù)α，β使得eq\o(PA,\s\up6(→))＝αeq\o(PB,\s\up6(→))＋βeq\o(PC,\s\up6(→))，且α＋β＝1.三角形“四心”向量形式的充要條件設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn)，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則(1)O為△ABC的外心?|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(a,2sinA).(2)O為△ABC的重心?eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(3)O為△ABC的垂心?eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→)).(4)O為△ABC的內(nèi)心?aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0.[必練習(xí)題]1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，m)，且(a＋b)∥(a－b)，則實(shí)數(shù)m的值為()A．2 B．－2C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：選D.因?yàn)閍＝(2，1)，b＝(－1，m)，所以a＋b＝(1，1＋m)，a－b＝(3，1－m)．又因?yàn)?a＋b)∥(a－b)，所以1×(1－m)＝(1＋m)×3，解得m＝－eq\f(1,2).故選D.2．△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，2eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，則向量eq\o(CA,\s\up6(→))在向量eq\o(CB,\s\up6(→))方向上的投影為()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(1,2) D.eq\f(3,2)解析：選D.依題意知，圓心O為BC的中點(diǎn)，即BC是△ABC的外接圓的直徑，AC⊥AB.又AO＝OB＝AB＝1，因此∠ABC＝60°，∠ACB＝30°，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(CA,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))方向上的投影為|eq\o(CA,\s\up6(→))|cos30°＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)，故選D.3．若兩個(gè)非零向量a，b滿意|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，則向量a＋b與a的夾角為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)解析：選A.因?yàn)閨a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，所以a·b＝0.又|a＋b|＝2|b|，所以|a＋b|2＝4|b|2，|a|2＝3|b|2，所以|a|＝eq\r(3)|b|，cos〈a＋b，a〉＝eq\f(（a＋b）·a,|a＋b||a|)＝eq\f(a2＋a·b,|a＋b||a|)＝eq\f(|a|2,2|b||a|)＝eq\f(|a|,2|b|)＝eq\f(\r(3),2)，故a＋b與a的夾角為eq\f(π,6).4．已知單位向量e1，e2，且〈e1，e2〉＝eq\f(π,3)，若向量a＝e1－2e2，則|a|＝