北師大新版九年級(jí)上學(xué)期《4.6利用相似三角形測高》2019年同步練習(xí)卷

北師大新版九年級(jí)上學(xué)期《4.6利用相似三角形測高》2019年同

步練習(xí)卷

選擇題（共1小題）

1.如圖，以點(diǎn)。為支點(diǎn)的杠桿，在A端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速拉起，當(dāng)

杠桿OA水平時(shí)，拉力為F-,當(dāng)杠桿被拉至?xí)r，拉力為Fi，過點(diǎn)Bi作BiC±OA,

過點(diǎn)4作垂足分別為點(diǎn)C、D.

①△OSCs/XOAiD；

@OA-OC=OB-OD；

?OC'G=OD'FV,

④P=為.

其中正確的說法有（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

二.填空題（共1小題）

2.在△ABC中，ZACB=9Q°,8c=8,AC=6,以點(diǎn)C為圓心，4為半徑的圓上有一動(dòng)點(diǎn)

三.解答題（共48小題）

3.如圖，是一個(gè)照相機(jī)成像的示意圖.

（1）如果像高M(jìn)N是35mm,焦距是5Qmm,拍攝的景物高度AB是4.9m,拍攝點(diǎn)離景物有

多遠(yuǎn)？

（2）如果要完整的拍攝高度是的景物，拍攝點(diǎn)離景物有4加，像高不變，則相機(jī)的焦距

應(yīng)調(diào)整為多少？

4.如圖，花叢中有一路燈桿48.在燈光下，小明在￡＞點(diǎn)處的影長。E=3米，沿8。方向

行走到達(dá)G點(diǎn)，0G=5米，這時(shí)小明的影長G4=5米.如果小明的身高為1.7米，求路

燈桿A8的高度（精確到0.1米）.

5.學(xué)習(xí)投影后，小明、小穎利用燈光下自己的影子長度來測量一路燈的高度，并探究影子

長度的變化規(guī)律.如圖，在同一時(shí)間，身高為1.6機(jī)的小明（A8）的影子長是3機(jī)，

而小穎（EH）剛好在路燈燈泡的正下方X點(diǎn)，并測得加=6".

（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出形成影子的光線，并確定路燈燈泡所在的位置G；

（2）求路燈燈泡的垂直高度GH；

（3）如果小明沿線段38向小穎（點(diǎn)X）走去，當(dāng)小明走到中點(diǎn)Bi處時(shí)，求其影子Bi。

的長；當(dāng)小明繼續(xù)走剩下路程的上到處處時(shí)，求其影子&C2的長；當(dāng)小明繼續(xù)走剩下

3

路程的工到用處，…按此規(guī)律繼續(xù)走下去，當(dāng)小明走剩下路程的」一到當(dāng)處時(shí)，其影

4n+1

子B?Cn的長為（直接用n的代數(shù)式表示）

A

HB、B

6.如圖，在一個(gè)長40"z、寬30機(jī)的長方形小操場上，王剛從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AnBnC的路

線以3根/s的速度跑向C地.當(dāng)他出發(fā)4s后，張華有東西需要交給他，就從A地出發(fā)沿

王剛走的路線追趕.當(dāng)張華跑到距B地22神的。處時(shí)，他和王剛在陽光下的影子恰好

3

重疊在同一條直線上.此時(shí)，A處一根電線桿在陽光下的影子也恰好落在對(duì)角線AC上.

（1）求他們的影子重疊時(shí)，兩人相距多少米？（OE的長）

（2）求張華追趕王剛的速度是多少？（精確到0.1%/s）

7.馬戲團(tuán)讓獅子和公雞表演蹺蹺板節(jié)目.蹺蹺板支柱的高度為1.2米.

（1）若吊環(huán)高度為2米，支點(diǎn)A為蹺蹺板PQ的中點(diǎn)，獅子能否將公雞送到吊環(huán)上，為什

么？

（2）若吊環(huán)高度為3.6米，在不改變其他條件的前提下移動(dòng)支柱，當(dāng)支點(diǎn)A移到蹺蹺板尸。

的什么位置時(shí)，獅子剛好能將公雞送到吊環(huán)上？

8.小胖和小瘦去公園玩標(biāo)準(zhǔn)的蹺蹺板游戲，兩同學(xué)越玩越開心，小胖對(duì)小瘦說：“真可惜！

我只能將你最高翹到1米高，如果我倆各邊的蹺蹺板都再伸長相同的一段長度，那么我

就能翹到1米25,甚至更高！”

（1）你認(rèn)為小胖的話對(duì)嗎？請(qǐng)你作圖分析說明；

（2）你能否找出將小瘦翹到1米25高的方法？試說明.

5。/

八一

她而P

9.問題背景在某次活動(dòng)課中，甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽光下對(duì)校園中一些

物體進(jìn)行了測量.下面是他們通過測量得到的■些信息：

乙組：如圖2,測得學(xué)校旗桿的影長為900c".

丙組：如圖3,測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計(jì)）的高度為

200cm,影長為156c7”.任務(wù)要求：

（1）請(qǐng)根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度；

（2）如圖3,設(shè)太陽光線與。。相切于點(diǎn)M.請(qǐng)根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈

燈罩的半徑.（友情提示：如圖3,景燈的影長等于線段NG的影長；需要時(shí)可采用等式

1562+2082=2602）

10.王大伯要做一張如圖1的梯子，梯子共有8級(jí)互相平行的踏板，每相鄰兩級(jí)踏板之間的

距離都相等.已知梯子最上面一級(jí)踏板的長度421=05”，最下面一級(jí)踏板的長度人為

=0.8〃z.木工師傅在制作這些踏板時(shí)，截取的木板要比踏板長，以保證在每級(jí)踏板的兩

個(gè)外端各做出一個(gè)長為4cm的樺頭（如圖2所示），以此來固定踏板.現(xiàn)市場上有長度為

2.1m的木板可以用來制作梯子的踏板（木板的寬厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要

求），請(qǐng)問：制作這些踏板，王大伯最少需要買幾塊這樣的木板？請(qǐng)說明理由.（不考慮

鋸縫的損耗）

11.在同一時(shí)刻兩根木竿在太陽光下的影子如圖所示，其中木竿AB=2米，它的影子BC=

1.6米，木竿的影子有一部分落在墻上，尸/=1.2米，MN=0.8米，求木竿PQ的長

度.

0

12.如圖，要測量人民公園的荷花池48兩端的距離，由于條件限制無法直接測得，請(qǐng)你

用所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)出一種測量方案，寫出測量步驟.用直尺或圓規(guī)畫出測量的示

弋----

意圖，并說明理由（寫出求解或證明過程）.----

13.某班研究性學(xué)習(xí)小組，到校外進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)如圖所示的支架必2,于是

他們利用手中已有的工具進(jìn)行一系列操作，并得到了相關(guān)數(shù)據(jù)，從而可求得支架頂端P

到地面的距離.

實(shí)驗(yàn)工具：①3米長的卷尺；②鉛垂線（一端系著圓錐型鐵塊的細(xì)線）.

實(shí)驗(yàn)步驟：

第一步，量得支架底部A、8兩點(diǎn)之間的距離；

第二步，在AP上取一點(diǎn)C,掛上鉛垂線。，點(diǎn)。恰好落在直線A8上，量得和的

長；

第三步，在B尸上取一點(diǎn)E,掛上鉛垂線EF,點(diǎn)尸恰好落在直線A8上，量得跖和8尸的

長.

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：

線段ABCDADEFBF

長度（米）2.510.81.20.6

問：（1）根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，請(qǐng)你計(jì)算支架頂端P到地面的距離（精確到0.1米）;

（2）假定你是該小組成員，請(qǐng)你用一句話談?wù)劚敬螌?shí)踐活動(dòng)的感受.

14.小明和幾位同學(xué)做手的影子游戲時(shí)，發(fā)現(xiàn)對(duì)于同一物體，影子的大小與光源到物體的距

離有關(guān).因此，他們認(rèn)為：可以借助物體的影子長度計(jì)算光源到物體的位置.于是，他

們做了以下嘗試.

（1）如圖1,垂直于地面放置的正方形框架A8C。，邊長為30c機(jī)，在其正上方有一燈

泡，在燈泡的照射下，正方形框架的橫向影子A'B,D'C的長度和為6。八那么燈泡

離地面的高度為.

（2）不改變圖1中燈泡的高度，將兩個(gè)邊長為30cm的正方形框架按圖2擺放，請(qǐng)計(jì)算此

時(shí)橫向影子A'B,D'C的長度和為多少？

（3）有“個(gè)邊長為。的正方形按圖3擺放，測得橫向影子A'B,D'C的長度和為6,求

燈泡離地面的距離.（寫出解題過程，結(jié)果用含a,6,〃的代數(shù)式表示）

15.把一個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)正三角形分別分割成3個(gè)三角形，使等腰直角三角形中的

3個(gè)小三角形和正三角形中的3個(gè)小三角形分別相似？請(qǐng)畫出三角形的分割線，在小三角

形的各個(gè)角上標(biāo)出度數(shù).

正三角形等膊直角三角形

16.一塊直角三角形木板的一條直角邊長為1.5米，面積為1.5平方米，要把它加工成

一個(gè)面積最大的正方形桌面，甲、乙兩位同學(xué)的加工方法分別如下所示，請(qǐng)你用學(xué)過的

知識(shí)說明哪位同學(xué)的加工方法符合要求.(加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留)

17.一塊三角形廢料如圖所示，ZA=30°,NC=90°,AB=12.用這塊廢料剪出一個(gè)矩

形COEF,其中，點(diǎn)。、E、尸分別在AC、AB、BC±.要使剪出的矩形CZJEF面積最大,

點(diǎn)E應(yīng)選在何處?

18.如圖，路燈A離地8米，身高1.6米的小王(CD)的影長DB與身高一樣，現(xiàn)在他沿

方向走10米，到達(dá)E處.

(1)請(qǐng)畫出小王在E處的影子EH；

(2)求即的長.

A

19.某校八年一班的一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課安排了測量操場上懸掛國旗的旗桿的高度.甲、乙、丙

三個(gè)學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)的測量方案如圖所示：甲組測得圖中8。=60米，。。=3.4米，CD=

1.7米；乙組測得圖中，8=1.5米，同一時(shí)刻影長尸。=0.9米，￡2=18米；丙組測得

圖中，EF//AB,FH//BD,8。=90米，m=0.2米，人的臂長(FH)為0.6米.請(qǐng)你任

20.如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A,再在河的這一邊

選定點(diǎn)B和C,使然后，再選點(diǎn)E,使ECLBC,用視線確定和4E的交

點(diǎn)D此時(shí)如果測得3。=60米，。。=30米，EC=25米，求兩岸間的大致距離AB.

E

21.小玲用下面的方法來測量學(xué)校教學(xué)大樓的高度：如圖，在水平地面上放一面平面鏡,

鏡子與教學(xué)大樓的距離出=25米.當(dāng)她與鏡子的距離CE=2.5米時(shí)，她剛好能從鏡子中

看到教學(xué)大樓的頂端2.已知她的眼睛距地面高度。C=1.6米.請(qǐng)你幫助小玲計(jì)算出教

學(xué)大樓的高度A8是多少米(注意：根據(jù)光的反射定律：反射角等于入射角).

B

22.有一塊三角形的余料ABC,要把它加工成矩形的零件，已知：BC=8cm,高AO=12cm,

矩形EFGH的邊EF在BC邊上，G、H分別在AC,A2上，設(shè)HE的長為ycm、EF的長

為xcm

(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.

(2)當(dāng)無取多少時(shí)，EFGH是正方形？

23.如圖，A、8兩點(diǎn)被池塘隔開，在外任選一點(diǎn)C,連接AC、BC分別取其三等分點(diǎn)

M、N量得MN=38m.求AB的長.

24.如圖1,己知四邊形A8CD,點(diǎn)尸為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn).如果那么我們稱

點(diǎn)尸為四邊形ABCO關(guān)于A、8的等角點(diǎn).如圖2,以點(diǎn)8為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為

x軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為6.

(1)若A、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,4)、D(6,4),當(dāng)四邊形ABCD關(guān)于A、8的等角

點(diǎn)尸在。C邊上時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

(2)若A、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,4)、D(6,4),當(dāng)四邊形ABC。關(guān)于A、8的等角

點(diǎn)尸在QC邊上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若A、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,4)、D(10,4),點(diǎn)P(無，y)為四邊形ABCD關(guān)

于A、B的等角點(diǎn)，其中x>2,y>0,求y與x之間的關(guān)系式.

25.右邊兩圖是一個(gè)等腰Rt^ABC和一個(gè)等邊△￡>￡￡要求把它們分別割成三個(gè)三角形,

使分得的三個(gè)三角形互相沒有重疊部分，并且AABC中分得的三個(gè)三角形和中分

得的三個(gè)小三角形分別相似，請(qǐng)畫出兩個(gè)三角形中的分割線，標(biāo)出分割得到的小三角形

中兩個(gè)角的度數(shù).

26.一塊三角形材料如圖所示，ZA=30°,ZC=90°,48=12,用這塊材料剪出一個(gè)矩

形CDEF,其中。、E、尸分別在8C、AB,AC上.

（1）若設(shè)AE=尤，貝ijAP=；（用含尤的代數(shù)式表示）

（2）要使剪出的矩形C。所的面積最大，點(diǎn)E應(yīng)選在何處?

27.身高1.6米的安心同學(xué)在某一時(shí)刻測得自己的影長為1.4米，此刻她想測量學(xué)校旗桿的

高度.但當(dāng)她馬上測量旗桿的影長時(shí)，發(fā)現(xiàn)因旗桿靠近一幢建筑物，影子一部分落在地

面上，一部分落在墻上（如圖）.她先測得留在墻上的影子。=1.2米，又測地面部分的

影長BC=3.5米，你能根據(jù)上述數(shù)據(jù)幫安心同學(xué)測出旗桿的高度嗎？

N

28.如圖，小東用長為32〃的竹竿做測量工具測量學(xué)校旗桿的高度，移動(dòng)竹竿，使竹竿、

旗桿頂端的影子恰好落在地面的同一點(diǎn)，此時(shí)，竹竿與這一點(diǎn)相距8;〃、與旗桿相距22m,

ZD=70°,ZB=50°,Z￡=30°,分別過兩個(gè)三角形

的一個(gè)頂點(diǎn)畫直線/、m,使直線/將△ABC分為兩個(gè)小三角形，直線相將△OEP分成兩

個(gè)小三角形，并使△ABC分成的兩個(gè)小三角形分別與△￡）所分成的兩個(gè)小三角形相似,

并標(biāo)出每個(gè)小三角形各個(gè)內(nèi)角的度數(shù).（畫圖工具不限，不要求寫作法，只要畫出一種分

法.）

30.作圖題（不寫作法，保留作圖痕跡）

畫出邊長是左邊四邊形2倍的相似形;

（2）如圖所示，在△ABC中畫出長寬之比為2：1的矩形，使長邊在上.

A

31.如圖，在斜坡的頂部有一鐵塔AB,在陽光的照射下，塔影。E留在坡面上，已知鐵塔

底座寬0）=14機(jī)，塔影長。E=36機(jī)，小明和小華的身高都是1.6加，小明站在點(diǎn)E處，

影子也在斜坡面上，小華站在沿DE方向的坡腳下，影子在平地上，兩人的影長分別為

4m與2m,那么求塔高AB.

32.一塊直角三角形木版的一條直角邊為1.5〃z,面積為157，要把它加工成一個(gè)面積

最大的正方形桌面，小明打算按圖1進(jìn)行加工，小華準(zhǔn)備按圖2進(jìn)行裁料，他們誰的加

工方案符合要求？

圖1圖2

33.為了測量圖（1）和圖（2）中的樹高，在同一時(shí)刻某人進(jìn)行了如下操作：

圖（1）：測得竹竿C。的長為0.8米，其影CE長1米，樹影AE長2.4米.

圖（2）：測得落在地面的樹影長2.8米，落在墻上的樹影高1.2米，請(qǐng)問圖（1）和圖（2）

中的樹高各是多少？

34.已知：如圖，在△ABC中，AB=3,AC=2,能否在AC上(不同于A,C)找到點(diǎn)D,

過點(diǎn)。作。E〃A3交于BC于E,過點(diǎn)E作斯〃AC交A2于R連接即，將△ABC分

割成四個(gè)相似的小三角形，但其中至少有兩個(gè)小三角形的相似比不等于1?若能，求出點(diǎn)

。位置；若不能，請(qǐng)說明理由.

35.一塊直角三角形木板，它的一條直角邊AB長面積為1.5"/.甲、乙兩位木匠分

別按圖①、②把它加工成一個(gè)正方形桌面.請(qǐng)說明哪個(gè)正方形面積較大(加工損耗不計(jì)).

36.如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖中有一個(gè)格點(diǎn)三角形&8仁(注：頂點(diǎn)均

在網(wǎng)格線交點(diǎn)處的三角形稱為格點(diǎn)三角形)

(1)請(qǐng)直接寫出AABC中AB邊上的高線長：；

(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫一個(gè)格點(diǎn)三角形。ER使得?△ABC,且相似比為2：1；

(3)若建立平面直角坐標(biāo)系后，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,4)、B(1,0)、C(4,

2).請(qǐng)?jiān)趫D中確定格點(diǎn)M,使得的面積為7.5,請(qǐng)直接寫出所有符合題意的格點(diǎn)

在物理學(xué)中我們學(xué)過光的反射定律.數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐小組想利用光的反射定律測量池塘對(duì)岸一

棵樹的高度AB測量和計(jì)算的部分步驟如下：

①如圖，在地面上的點(diǎn)C處放置了一塊平面鏡，小華站在3C的延長線上，當(dāng)小華從平面

鏡中剛好看到樹的頂點(diǎn)A時(shí).測得小華到平面鏡的距離8=2米，小華的眼睛E到地面

的距離￡0=1.5米；

②將平面鏡從點(diǎn)C沿8C的延長線向后移動(dòng)10米到點(diǎn)尸處，小華向后移動(dòng)到點(diǎn)a處時(shí)，小

華的眼睛G又剛好在平面鏡中看到樹的頂點(diǎn)A,這時(shí)測得小華到平面鏡的距離FH=3米;

③計(jì)算樹的高度A8：設(shè)米，BC=y米.

VZABC=ZEDC=90°,ZACB^ZECD

：.MABCsXEDC

-AB_BC……

"ED^DC

任務(wù)：請(qǐng)你根據(jù)材料中得到的測量數(shù)據(jù)和計(jì)算步驟，將剩余的計(jì)算部分補(bǔ)充完整.

38.如圖，如圖用一根鐵絲分成兩段可以分別圍成兩個(gè)相似的五邊形，已知它們的面積比是

1：4,其中小五邊形的邊長為-4）cm,大五邊形的邊長為（f+2x）cm（其中x>0）.求

這這根鐵絲的總長.

(油4所(x2+2x)cm

39.小明用這樣的方法來測量建筑物的高度：如圖所示，在地面上（￡處）放一面鏡子,他

剛好從鏡子中看到建筑物（48）的頂端8,他的眼睛離地面1.25米（CZ）=L25米）,如

果小明離鏡子1.50米（CE=1.50米）,與建筑物的距離是181.50米（04=181.50米）.那

么建筑物的高是多少米?

40.一塊三角形的余料，底邊8C長18米，高4。=10米，如圖.要利用它裁剪一個(gè)長寬

比是3：2的長方形，使長方形的長在上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在A3、AC上，求長方形的長

EH和寬￡尸的長.

41.如圖，在△ABC中，ZB=90°,ZA=60°,AB=1,作等腰三角形△ACZ）,使NCA。

=30°,且點(diǎn)。和B位于AC異側(cè)，連結(jié)2。交AC于點(diǎn)。

（1）請(qǐng)?jiān)谒o圖形基礎(chǔ)上畫出符合要求的其中一個(gè)草圖，并在圖中找出相似三角形后說明

理由

（2）在（1）的條件下，求出4?長.

42.如圖，小明在打網(wǎng)球時(shí)，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)4米的位置上，求球拍擊球

43.如圖，一條東西走向的筆直公路，點(diǎn)A、B表示公路北側(cè)間隔150米的兩棵樹所在的位

置，點(diǎn)C表示電視塔所在的位置.小王在公路南側(cè)直線行走，當(dāng)他到達(dá)點(diǎn)尸的位置

時(shí)，觀察樹A恰好擋住電視塔，即點(diǎn)P、A、C在一條直線上，當(dāng)他繼續(xù)走180米到達(dá)點(diǎn)

。的位置時(shí)，以同樣方法觀察電視塔，觀察樹B也恰好擋住電視塔.假設(shè)公路兩側(cè)48〃

PQ,且公路的寬為60米，求電視塔C到公路南側(cè)尸。的距離.

44.如圖，甲、乙兩樓樓頂上的點(diǎn)A和點(diǎn)E與地面上的點(diǎn)C這三點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)、B、

。分別在點(diǎn)E、A的正下方且。、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，B、C相距50米，D、C

相距80米，乙樓高2E為2。米，求甲樓高AD

45.一塊材料的形狀是銳角三角形ABC,邊BC=120mm,高4。=80〃皿，把它加工成正方

形零件如圖，使正方形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB,AC上.

(1)求證：AAEFsAABC；

(2)求這個(gè)正方形零件的邊長.

46.如圖，△ABC是一塊面積為2700c“，的三角形木板，其中3。=90。/1,現(xiàn)在要將這塊木

板加工成一個(gè)正方形的桌面，如圖所示，正方形。即是要加工成的桌面，點(diǎn)。、M

分別在A8、AC邊上，點(diǎn)E、歹在BC邊上，根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出這個(gè)正方形桌面的邊長.

47.如圖（1）是一種廣場三聯(lián)漫步機(jī)，其側(cè)面示意圖如圖（2）所示，其中AB=AC=12051,

48.閱讀下列材料：小華遇到這樣一個(gè)問題：

已知：如圖1,在△A8C中，三邊的長分別為48=/而，AC=、歷，BC=2,求的正切

值.

小華是這樣解決問題的：

如圖2所示，先在一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長均為1）中畫出格點(diǎn)△ABC（△ABC

三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），然后在這個(gè)正方形網(wǎng)格中再畫一個(gè)和△ABC相似的格

點(diǎn)、ADEF,從而使問題得解.

（1）如圖2,△OEF中與NA相等的角為,/A的正切值為.

（2）參考小華的方法請(qǐng)解決問題：若的三邊分別為LM=2,MN=2&,LN=2jm

求/N的正切值.

E

49.小亮和小穎想用下面的方法測量學(xué)校教學(xué)樓的高度：如圖，小亮蹲在地上，小穎站在小

亮和教學(xué)樓之間，兩人適當(dāng)調(diào)整自己的位置，當(dāng)樓的頂部M、小穎的頭部8及小亮的眼

睛A恰好在一條直線上時(shí)，兩人分別標(biāo)定自己的位置C、D,然后測出兩人之間的距離

CZ)=2相，小穎與教學(xué)樓之間的距離DN=38%(C、D、〃在同一直線上)，小穎的身高

20=16〃，小亮蹲地觀測時(shí)眼睛到底面的距離AC=L九請(qǐng)你根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)幫助他

們求出教學(xué)樓的高度M.

一

BI

口

置

50.已知：如圖所示，要在高A￡)=80M7機(jī)，底邊BC=120機(jī)7〃的三角形余料中截出一個(gè)正方

形板材PQMN,AD與PN交于E.求正方形的邊長.

北師大新版九年級(jí)上學(xué)期《4.6利用相似三角形測高》

2019年同步練習(xí)卷

參考答案與試題解析

選擇題（共1小題）

1.如圖，以點(diǎn)。為支點(diǎn)的杠桿，在A端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速拉起，當(dāng)

杠桿OA水平時(shí)，拉力為F；當(dāng)杠桿被拉至04時(shí)，拉力為用，過點(diǎn)Bi作BiC±OA,

過點(diǎn)4作垂足分別為點(diǎn)C、D.

①△OSCs/XOAiD；

@OA-OC=OB-OD；

@OC'G=OD'Fi；

其中正確的說法有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行判斷出SC〃4。，然后求

出△OBiCs/XOAiD,判斷出①正確；

根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可得到②正確；

根據(jù)杠桿平衡原理：動(dòng)力義動(dòng)力臂=阻力X阻力臂列式判斷出③正確；

求出F的大小不變，判斷出④正確.

【解答】解：：囪。，。!，ArDLOA,

J.BiCZ/AiD,

：.AOBiC^/\OAiD,故①正確；

.OC_QB1

"ODOAf）

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，OB=OBi，OA=OAV

：.OA-OC=OB-OD,故②正確；

由杠桿平衡原理，OC-G=OD-FX,故③正確;

.1.F1的大小不變，

F—Fi，故④正確.

綜上所述，說法正確的是①②③④.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，杠桿平衡原理，熟練掌握相似三角形的判定

方法和性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共1小題）

2.在△ABC中，ZACB=90°,BC=8,AC=6,以點(diǎn)C為圓心，4為半徑的圓上有一動(dòng)點(diǎn)

D,連接A。，BD,CD,則《BD+AD的最小值是

【分析】如圖，在CB上取一點(diǎn)F,使得CF=2,連接CD,AF.由△尸推出更

BD

=空=工，推出DF=LBD,推出根據(jù)。尸+AONAF即可解決問題；

CD2

【解答】解：如圖，在CB上取一點(diǎn)R使得CP=2,連接C￡?,AF.

B

；.C￡）=4,CF=2,C2=8,

：.Crr=CF'CB,

?CD=CB

"CFCF'

,?NFCD=ZDCB,

:ZCDs^DCB,

???DF=CF=1,

BDCD2

:.DF=LBD,

2

LBD+AD=DF+AF,

2

?：DF+AD^AF,AF=感^^二2不員,

:.LBD+AD的最小值是2國,

2

故答案為2A/IQ.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的應(yīng)用，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題.

三.解答題（共48小題）

3.如圖，是一個(gè)照相機(jī)成像的示意圖.

（1）如果像高A/N是35根機(jī)，焦距是50/ww,拍攝的景物高度AB是49小拍攝點(diǎn)離景物有

多遠(yuǎn)？

（2）如果要完整的拍攝高度是2根的景物，拍攝點(diǎn)離景物有4羽，像高不變，則相機(jī)的焦距

應(yīng)調(diào)整為多少？

35mm

【分析】(1)利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高等于相似比即可列出比例式求解;

(2)和上題一樣，利用物體的高和拍攝點(diǎn)距離物體的距離及像高表示求相機(jī)的焦距即可.

【解答】解：根據(jù)物體成像原理知：￡\LMNsALBA,

.MN_LC

"AB^LD-

(I),像高M(jìn)V是35加"z,焦距是50sM7,拍攝的景物高度AB是4.9利,

?0.035=4.9

"0.05ID-

解得：LD=7,

.??拍攝點(diǎn)距離景物7米;

(2)拍攝高度是2加的景物，拍攝點(diǎn)離景物有4〃,，像高不變,

?352000

"LC=4000)

解得：LC=70,

，相機(jī)的焦距應(yīng)調(diào)整為70mm.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到相似三角形，并熟知相

似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比等于相似比.

4.如圖，花叢中有一路燈桿AB.在燈光下，小明在。點(diǎn)處的影長。E=3米，沿BD方向

行走到達(dá)G點(diǎn)，0G=5米，這時(shí)小明的影長G4=5米.如果小明的身高為1.7米，求路

燈桿A8的高度（精確到0.1米）.

A

-DEGH

【分析】根據(jù)AB8"，CDLBH,FG±BH,可得：AABEsdCDE,則有型=.DE一和

ABDE+BD

四=一第一，而型=/，即DE=HG,從而求出BO的長，再代入前

ABHG+GD+BDABABDE+BDHG+GD+BD

面任意一個(gè)等式中，即可求出AB.

【解答】解：根據(jù)題意得：AB1BH,CDLBH,FGLBH,（1分）

在RtAABE和RtACZ)￡中,

'：AB±BH,CD1BH,

：.CD//AB,

可證得：

△CDEsAABE

.?.史=DE①,（4分）

AB-DE+BD

同理：一些一②，（5分）

ABHG+GD+BD

又CD=FG=1.7m,

由①、②可得：

DE_HG

DE+BD=HG+GD+BD'

即3_5,

3+BD=10+BD'

解之得：BD=1.5m,（6分）

將BD=75代入①得：

AB=5.95m^6.0m.（7分）

答：路燈桿48的高度約為6.0m.（8分）

（注：不取近似數(shù)的，與答一起合計(jì)扣1分）

【點(diǎn)評(píng)】解這道題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，本題只要把實(shí)際問題抽象到相似三

角形中，利用相似比列出方程即可求出.

5.學(xué)習(xí)投影后，小明、小穎利用燈光下自己的影子長度來測量一路燈的高度，并探究影子

長度的變化規(guī)律.如圖，在同一時(shí)間，身高為1.6機(jī)的小明（AB）的影子長是3機(jī)，

而小穎（EH）剛好在路燈燈泡的正下方X點(diǎn)，并測得加=6".

（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出形成影子的光線，并確定路燈燈泡所在的位置G；

（2）求路燈燈泡的垂直高度GH；

（3）如果小明沿線段5H向小穎（點(diǎn)X）走去，當(dāng)小明走到①/中點(diǎn)Bi處時(shí)，求其影子81cl

的長；當(dāng)小明繼續(xù)走剩下路程的上到歷處時(shí)，求其影子歷C2的長；當(dāng)小明繼續(xù)走剩下

3

路程的工到用處，…按此規(guī)律繼續(xù)走下去，當(dāng)小明走剩下路程的,到瓦處時(shí)，其影

4n+1

子BnQn的長為祖.（直接用n的代數(shù)式表示）

~2n+2~

4A

B,B

【分析】（1）確定燈泡的位置，可以利用光線可逆可以畫出；

（2）要求垂直高度G”可以把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化成相似三角形的問題，圖中△ABCs^GHC由

它們對(duì)應(yīng)成比例可以求出GH；

（3）的方法和（2）一樣也是利用三角形相似，對(duì)應(yīng)相等成比例可以求出，然后找出規(guī)律.

【解答】解：（1）如圖（2分）

（2）GH±HC,

C.AB//GH,

：.AABC^/XGHC,

A（3分）

GH-HC

VAB=1.6/77,BC=3m,HB=6m

?1.63

，GH=4.8(m).(4分)

(3)同理△AiBiCis^GHCi，

.A1B1_B1C1

.GH=HC］，

設(shè)長為x(M,則二6二x,

4.8x+3

解得：(m),即B［C［二"(加?(5分)

同理1.6二B2c2,

4.8B2c2+2

解得比Q=1(m),(6分)

.1.6_BnCn

?------一,

【點(diǎn)評(píng)】本題只要是把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例

解題，此題有三問，比較麻煩，但方法一樣.

6.如圖，在一個(gè)長40機(jī)、寬30%的長方形小操場上，王剛從A點(diǎn)出發(fā)，沿著的路

線以3根/s的速度跑向C地.當(dāng)他出發(fā)4s后，張華有東西需要交給他，就從A地出發(fā)沿

王剛走的路線追趕.當(dāng)張華跑到距B地2Z,z的D處時(shí)，他和王剛在陽光下的影子恰好

3

重疊在同一條直線上.此時(shí)，A處一根電線桿在陽光下的影子也恰好落在對(duì)角線AC上.

（1）求他們的影子重疊時(shí)，兩人相距多少米？（OE的長）

（2）求張華追趕王剛的速度是多少？（精確到O.lm/s）

【分析】⑴提示：利用平行投影的性質(zhì)，確定AC〃Z)E,利用三角形相似(△ACBS/XDEB)

求解即可;

(2)利用勾股定理求出BE的長，然后求出王剛的時(shí)間，減去4得到張華的時(shí)間，再根據(jù)

速度=路程+時(shí)間列式計(jì)算即可求解.

【解答】解：(1)根據(jù)題意可知：DE//AC,

：.LACBs4DEB

-DE_BD,

"AC

在RtA4BC中，AB=40m,BC=30m,BD

\,在一個(gè)長40m＞寬30/77的長方形小操場上,

.,.AC—50m,

在

嘲得即由處

(2)根據(jù)題意得

/.￡>￡2=BD2+BE2,

"BE=VDE2-BD2=^(y-)-(y)=y=2m,

:.s-AB+BE=42m,

.??/王=二^-=42m=145,

v王3m/s

張=￡王-4=10s,

；.s張=AO=AB-BD=40-2—⑵-

3333

112

v張=」—Q3.7?I/S.

10

答：（1）他們的影子重疊時(shí)，兩人相距也■米.

3

（2）張華追趕王剛的速度是3.7M/S.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類問題的關(guān)

鍵是根據(jù)題意列出方程求解.

7.馬戲團(tuán)讓獅子和公雞表演蹺蹺板節(jié)目.蹺蹺板支柱AB的高度為1.2米.

（1）若吊環(huán)高度為2米，支點(diǎn)A為蹺蹺板尸。的中點(diǎn)，獅子能否將公雞送到吊環(huán)上，為什

么？

（2）若吊環(huán)高度為3.6米，在不改變其他條件的前提下移動(dòng)支柱，當(dāng)支點(diǎn)A移到蹺蹺板尸。

的什么位置時(shí)，獅子剛好能將公雞送到吊環(huán)上？

【分析】（1）當(dāng)獅子將蹺蹺板P端按到底時(shí)可得到而AB為的中位線,

AB^1.2（米），QH=24>2

（2）由于所以/有組故可求得。反的值.

QH-PQ3

【解答】解：（1）獅子能將公雞送到吊環(huán)上.

當(dāng)獅子將蹺蹺板P端按到底時(shí)可得到RtAPHQ,

:支點(diǎn)A為蹺蹺板PQ的中點(diǎn)，AB//QH,

：.AB為的中位線，

\'AB=1.2（米），

QH=2AB=2.4m>2m.

（2）支點(diǎn)A移到蹺蹺板P。的三分之一處（E4=」_PQ）,

3

獅子剛好能將公雞送到吊環(huán)上，

如圖，'JAB//QH,

:.叢PABsXPQH,

?ABPA1.2=1

??麗"PQ=3.6T

???支點(diǎn)A移到蹺蹺板PQ的三分之一處時(shí)，獅子剛好能將公雞送到吊環(huán)上.

【點(diǎn)評(píng)】本題利用了相似三角形和性質(zhì)求解.

8.小胖和小瘦去公園玩標(biāo)準(zhǔn)的蹺蹺板游戲，兩同學(xué)越玩越開心，小胖對(duì)小瘦說：“真可惜！

我只能將你最高翹到1米高，如果我倆各邊的蹺蹺板都再伸長相同的一段長度，那么我

就能翹到1米25,甚至更高！”

（1）你認(rèn)為小胖的話對(duì)嗎？請(qǐng)你作圖分析說明；

（2）你能否找出將小瘦翹到1米25高的方法？試說明.

BOA

她而P

【分析】（1）小胖的話不對(duì)，因?yàn)樾∨终f“真可惜！我現(xiàn)在只能將你最高翹到1米高”，可

知B在地面上時(shí)，A距離地面1米，利用0P是三角形的中位線可知。尸=0.5米，若將

兩端同時(shí)都再伸長相同的長度，OP依然是三角形的中位線，蹺蹺板能翹到的最高高度始

終為支架OP高度的兩倍即為1米，所以不可能翹得更高；

（2）能找出，方法是：保持3。長度不變.將延長一半至E,即只將小瘦一邊伸長一半,

利用相似三角形的性質(zhì)，可知A離地面的高度：。尸=2.5：1,即小瘦距離地面1.25米.

【解答】解：（1）小胖的話不對(duì).（2分）小胖說“真可惜！我現(xiàn)在只能將你最高翹到1米

高”，情形如圖1所示

。尸是標(biāo)準(zhǔn)蹺蹺板支架的高度，AC是蹺蹺板一端能翹到的最高高度1米，8c是地面.

±BC,ACLBC,ZOBP^ZABC,：./XOBP^AABC,.?.更（4分）

BA-AC

又?.?此蹺蹺板是標(biāo)準(zhǔn)蹺蹺板，8。=。4,.L=L,而AC=1米，得。2=0.5米.（5分）

BA2

若將兩端同時(shí)都再伸長相同的長度，假設(shè)為。米（?>0）.如圖2所示，

。米，AE=〃米（6分）

9

：BO=OAf

/.BO+a=OA+a,即DO=OE.

同理可得△。?！?△。石/，

DE-2

...里y_,由。尸=0.5米，得匹=1米.（7分）

DE-EF

綜上所述，蹺蹺板兩邊同時(shí)都再伸長相同的一段長度，蹺蹺板能翹到的最高高度始終為支架

OP高度的兩倍，所以不可能翹得更高.

（2）①方案一：如圖3所示，

保持3。長度不變.將。4延長一半至E,即只將小瘦一邊伸長一半.（8分）

使AE=J-OA,則竺1上，（9分）

2BE5

由△BOPS/KBEF,得更L，!L,（11分）

BE-EF

.,衣=1.25米,（12分）

②方案二：如圖4所示，只將支架升高0.125米.（8分）

...￡/0―』,叢B'O'P"△"A'C,

B，A，-2

又。尸=0.5+0.125=0.625米，（9分）

.HO'PP',（11分）

B'A'"A7C’

.?.A'C=1.25米.（12分）

（注：其它方案正確，可參照上述方案評(píng)分?。?/p>

A'

圖3

【點(diǎn)評(píng)】本題需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖形，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答問題.

9.問題背景在某次活動(dòng)課中，甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽光下對(duì)校園中一些

物體進(jìn)行了測量.下面是他們通過測量得到的一些信息：

乙組：如圖2,測得學(xué)校旗桿的影長為900c〃z.

丙組：如圖3,測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計(jì)）的高度為

200cm,影長為156cm.任務(wù)要求：

（1）請(qǐng)根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度；

（2）如圖3,設(shè)太陽光線與。。相切于點(diǎn)M.請(qǐng)根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈

燈罩的半徑.（友情提示：如圖3,景燈的影長等于線段NG的影長；需要時(shí)可采用等式

1562+2082=2602）

【分析】此題屬于實(shí)際應(yīng)用問題，解題時(shí)首先要理解題意，然后將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題

進(jìn)行解答；此題需要轉(zhuǎn)化為相似三角形的問題解答，利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角

形的對(duì)應(yīng)邊成比例解答.

【解答】解：（1）由題意可知：/BAC=/EDF=9。：NBCA=/EFD.

：.△ABCsLDEF.

AAB_AC；即毀JL,（2分）

DE-DFDE-900

，DE=1200（cm）.

所以，學(xué)校旗桿的高度是12〃z.（3分）

（2）解法一：

與①類似得：坐4,即他3L

GN-GHGN-156

.,.GN=208.（4分）

在RtZ\NG8中，根據(jù)勾股定理得：W=1562+2082=2602,

:.NH=26Q.（5分）

設(shè)O。的半徑為廠51,連接OM,

切。。于M,：.OM±NH.（6分）

則/OMN=NHGN=90°,

又,：/ONM=/HNG,

:.△OMNs△HGN,

喘端（7心

又ON=OK+KN=OK+（GN-GK）=r+8,

?r_r+8

"T56"^260：

解得：r=12.

，景燈燈罩的半徑是12c7%.（8分）

解法二：

與①類似得：期

GNGH

即8。=60,

GN-156

：.GN=2Q8.（4分）

設(shè)O。的半徑為星川，連接OM,

；NH切。0于M,

：.OMLNH.（5分）

則/OMN=/"GN=90°,

又,：/0NM=/HNG,

:AOMNs叢HGN.

-QM_MN

"HG^GN，

即「=MN,（6分）

156~208

:.MN=&r,

3

又,：ON=OK+KN=OK+（GN-GK）=葉8.（7分）

在Rt^OMN中，根據(jù)勾股定理得：

222

/+（￡r）=（r+8）BPr-9r-36=0,

3

解得：n=12,9=-3（不合題意，舍去）,

景燈燈罩的半徑是12cm.（8分）

【點(diǎn)評(píng)】本題只要是把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程,

通過解方程求解即可，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.此題的文字?jǐn)⑹霰容^多，解題時(shí)要認(rèn)真分析

題意.

10.王大伯要做一張如圖1的梯子，梯子共有8級(jí)互相平行的踏板，每相鄰兩級(jí)踏板之間的

距離都相等.已知梯子最上面一級(jí)踏板的長度45=0.5相，最下面一級(jí)踏板的長度圖瓦

=08%木工師傅在制作這些踏板時(shí)，截取的木板要比踏板長，以保證在每級(jí)踏板的兩

個(gè)外端各做出一個(gè)長為4cm的樟頭（如圖2所示），以此來固定踏板.現(xiàn)市場上有長度為

2.1m的木板可以用來制作梯子的踏板（木板的寬厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要

求），請(qǐng)問：制作這些踏板，王大伯最少需要買幾塊這樣的木板？請(qǐng)說明理由.（不考慮

鋸縫的損耗）

【分析】在解此題的過程中，一定要構(gòu)建相似三角形，因?yàn)樘ぐ逯g是相互平行，而且間隔

相等，所以可利用這一組平行線來構(gòu)建相似三角形，從而依次求出自上而下各條踏板的

長度.另外千萬不要忽略樺頭的長度；

解法二：可以把梯子看做一個(gè)等腰梯形，由中位線定理即可求解；

解法三：和解法二相同，都是利用梯形中位線，只不過又做了一■條踏板'的,有AIBI和4場

能求出A5B5，然后有A585和4破9求出q感，再有A7B7和4為求出4/8=80,從而算

出A9B9的具體數(shù)值，這樣的話，4以至&國的長就都能準(zhǔn)確求出，從而算出一共需要

多少材料.

【解答】解：法一：如圖，設(shè)自上往下第2,3,4,5,6,7級(jí)踏板的長依次為&2&，A3B3,

A7B7,過Ai作3/8的平行線分別交A2B2,A3B3.4/8于點(diǎn)C2，C3,…，C8.

:每兩級(jí)踏板之間的距離相等，

—CyBy—???—C2B2—A1B1—50cm,A8c8=80-50=30cm.

?：A2C2//ASB8,

2c2=NAiA8c8，A1C2A2—CsAg,

△A142。200△A148Cg,

A2C2：A8c8=1：7,

?30

??A25^50+^

設(shè)要制作A/i，A2B2，…,A7B7,A/8這些踏板需用木板的長度分別為a^cm,

a^cm,

則由=50+8=58,a2=50+羋住58+平，&3=58+半，為=58+半，%二58

&產(chǎn)8+旱，a[=58+寫，恁=58+30,

,+a2