《金融工程》 課件 第六章 遠期與期貨定價

第六章遠期與期貨定價《金融工程》中國人民大學出版社馮建芬鄧軍余湄編著2主要內(nèi)容第一節(jié)已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠期和期貨定價第二節(jié)

已知收益率資產(chǎn)的遠期和期貨定價第三節(jié)

遠期和期貨定價的其他問題學習要求理解不同情形下的遠期和期貨無套利定價的思路和套利策略設計思路；掌握不同情形下的定價公式，能夠應用股指期貨、國債期貨、外匯期貨、商品期貨的定價公式計算不同期貨的理論價格，設計價格不合理時的套利策略；了解期貨價格和遠期價格、現(xiàn)貨價格的關系。5第一節(jié)已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠期和期貨定價一、已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠期價格支付現(xiàn)金收益的資產(chǎn)特征是在遠期（期貨）有效期期間，標的資產(chǎn)會產(chǎn)生完全可預期的確定性現(xiàn)金流股票發(fā)放的現(xiàn)金紅利，債券支付的固定票息，商品存儲支付的倉儲成本...例6.1考慮購買一份附息票債券的遠期合約，債券的當前價格為900元，假定遠期合約期限為一年，債券在5年后到期，假設6個月后，債券會支付40元的利息，其中第二次付息日恰恰是遠期合約交割日的前一天。6個月與一年期的無風險連續(xù)復利分別為9%和10%，求該遠期合約的交割價格。一、已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠期價格組合A：一份期貨合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-0.1的現(xiàn)金；組合B：一單位標的資產(chǎn)+40e-0.045的6個月期負債+40e-0.1的1年期負債。期末價值：A：ST-K+K=STB：ST推導方法例6.1結論對于一般情況，設標的資產(chǎn)當前價格為St，遠期合約期間需支付的收益的現(xiàn)值為It，無風險利率為r，距合約的到期期限為T-t，則當前(t時刻)遠期價格為：二、定價不合理的套利策略設計若遠期簽約時執(zhí)行價格不等于遠期價格，或者期貨報價不等于遠期價格，就會產(chǎn)生套利機會，利用上述組合的一買一賣就可以構建套利策略。若K>F(t,T)：套利者可以賣出遠期合約，買入資產(chǎn)，即實施持有成本策略若K<F(t,T)：套利者可以買入遠期合約，賣空資產(chǎn)，實施反向持有成本策略例6.1續(xù)如何構造套利策略？第一種情況：K=930第二種情況：K=905總結：：套利者可以賣出遠期合約，買入資產(chǎn)：套利者可以買入遠期合約，賣出資產(chǎn)由于912.39<930，故債券遠期的協(xié)議價格被高估，可以賣出債券遠期，買入債券現(xiàn)貨構建持有成本策略，具體策略表所示。12K=930的持有成本套利策略時間0時刻6個月12個月市場操作1.借入900元，+900，其中:38.24元以9%的年利率借入6個月861.76元以10%的年利率借入1年2.購買一份債券現(xiàn)貨:-900元3.賣出債券遠期:0元1.6個月期38.24元貸款的本息和:-40元2.債券在6個月后收到利息:40元1.償還861.76元貸款的本利和:-861.76e0.1×1=-952.39元2.債券在12個月后收到利息:+40元3.執(zhí)行遠期合約，出售債券，+930元凈現(xiàn)金流0元0元17.61元由于912.39>905，故故債券遠期的協(xié)議價格被低估，可以買入債券遠期，賣空債券現(xiàn)貨構建反向持有成本策略13K=905的反向持有成本套利策略時間0時刻6個月12個月市場操作1.賣空債券現(xiàn)貨:+900元2.以38.24元做6個月期的無風險投資:-38.24元3.以861.76元做1年期的無風險投資:-861.76元4.買入一份債券遠期1.38.24元投資6個月的本息:40元2.支付6個月后的債券利息:-40元1.861.76元投資1年的本息:952.39元2.40元用來支付一年后的債券利息:-40元3.905元用來交割到期的遠期合約:-905元4.所得的債券用來平倉現(xiàn)貨空頭凈現(xiàn)金流0元0元17.61元適用產(chǎn)品發(fā)放現(xiàn)金紅利的股票或者股指期貨發(fā)放票息的國債期貨包含存儲成本或者便利收益的商品期貨（存儲成本可以看做負的現(xiàn)金紅利）三、國債期貨的定價在利率確定的情況下，期貨的報價等于相應時間長度的遠期價格。但國債期貨的標的資產(chǎn)是虛擬國債，怎么辦？債券遠期：空方應收到的現(xiàn)金=債券遠期價格

（1）國債期貨：空方應收到的現(xiàn)金=期貨報價X交割債券的轉換因子+交割債券的應計利息(AIT)（2）期貨理論報價=(債券的遠期價格-AIT）/轉換因子（一）可交割債的無套利價格債券的遠期價格=（債券凈價報價+AIt-It）er(T-t)It（一）可交割債的無套利價格國債期貨的報價是與CTD相關聯(lián)的：期貨理論報價=(CTD的遠期價格-AIT）/轉換因子即：國債期貨的報價如何計算？

(6.4)式中，若債券為CTD券，則為期貨的理論報價，若為任一可交割債，則為該可交割債對應國債期貨的無套利價格賣方會選擇成本最低的債券作為交割債，因此我們自然選擇使得F_t最低的債券作為最可能用于交割的債券，這就是基于無套利價格選擇最便宜可交割債的方法。因此，我們得到到期前選擇最便宜可交割債的第三種方法：具有最低無套利價格的可交割債是最便宜可交割債。（二）基于無套利價格選擇最便宜可交割債例6.4

假設目前6個月到期的我國5年期國債期貨僅有3種可交割債X、Y、Z，如表6.3所示，表6.3中也包括在當前時間t點的債券價格及各債券的轉換因子和無套利價格，假設一年期連續(xù)無風險利率為4%，所有三種債券每一年支付利息,最后一期的息票剛支付。

計算債券X的無套利價格，并確定誰是該國債期貨的最便宜可交割債解析

（三）國債期貨的套利策略設計當國債期貨的理論報價偏離計算的取值時,就可以利用最便宜交割債和國債期貨之間的價差進行套利。例6.5.國債期貨的套利—買現(xiàn)賣期假設當前是2023年5月3日，2023年6月份到期的我國5年期國債期貨（TF2306）報價為100.83元（剩余期限為41天，一年按照365天計算），而TF2306的CTD為一個10年期的附息國債，息票率為3.46%，剩余期限為4.19年，該債券凈價報價為102元，當前應計利息為2.8元，在TF2306到期日的應計利息為3.21元，期貨到期期限內(nèi)CTD沒有利息支付，CTD的轉換因子為1.0174,假設無風險利率為2.13%(連續(xù)復利).在不考慮交易成本和允許賣空的情況下，上述價格是否存在套利機會，如果存在如何套利，給出具體的套利策略和最終的套利收益情況。

例6.5國債期貨的套利—買現(xiàn)賣期持有成本套利策略--套利過程此處主要考慮到標的國債與CTD的差別，由于轉換因子的存在，會使得單位國債期貨的每日結算金額與單位CTD的價值變化不均等。初始時刻期貨到期日1.借入104.8元，+104.82.買入1單位CTD(面值100元),-104.82.賣出1.0174單位國債期貨1.平倉了結0.0174單位國債期貨，獲益0.0174×(F0-FT)2.以原CTD券交割1單位國債期貨,獲益：F0-FT+1.0174×FT+AIT3.償還借款104.8×e^((0.0213×41/365))=105.051凈現(xiàn)金流=0凈現(xiàn)金流=1.0174F0+AIT-105.051=1.0174×100.83+3.21-105.051=0.7434假設當前是2023年5月3日，2023年6月份到期的我國5年期國債期貨（TF2306）報價為99元（剩余期限為41天，一年按照365天計算），而TF2306的CTD為證券代碼為一個10年期的附息國債，息票率為3.46%，剩余期限為4.19年，該債券凈價報價為102元，當前應計利息為2.8元，在TF2306到期日的應計利息為3.21元，期貨到期期限內(nèi)CTD沒有利息支付，CTD的轉換因子為1.0174,假設無風險利率為2.13%(連續(xù)復利).在不考慮交易成本和允許賣空的情況下，上述價格是否存在套利機會，如何存在如何套利，給出具體的套利策略和最終的套利收益情況。例6.6國債期貨的套利—買期賣現(xiàn)

國債期貨的套利問題反向持有成本套利策略--套利過程初始時刻期貨到期日1.賣空1單位CTD（面值100元）,+104.82.買入1.0174單位國債期貨3.將所得收入104.8元投資無風險資產(chǎn),-104.81.平倉了結0.0174單位國債期貨，獲益0.0174×(FT-F0)2.交割1單位國債期貨,獲得CTD券,平倉CTD空頭，獲益：FT-F0-(1.0174×FT+AIT)投資收入104.8×e^((0.0213×41/365))=105.051凈現(xiàn)金流=0凈現(xiàn)金流=105.051-（1.0174F0+AIT）=105.051-1.0174×99-3.21=1.1184反向持有成本策略存在的問題1.賣空限制的影響。由于該策略中需要賣空國債現(xiàn)貨，賣空限制可能使得上述策略無法實施。2.CTD券的變動。由于賣方選擇權，CTD券未來有可能發(fā)生變動，因此未來的交割對手未必使用實施者手中的債券進行交割，此時策略實施者會面臨兩種債券的平倉風險。3.賣方選擇權使得國債期貨價格理論上就應該低于CTD券對應的無套利價格，有可能并不存在套利機會?，F(xiàn)實中對國債期貨實施反向持有成本策略存在更多的困難和不確定性四、商品期貨的定價針對商品的儲存費用：可以看成持有現(xiàn)貨期間會產(chǎn)生的負的現(xiàn)金紅利，故：針對商品的便利收益（若看作現(xiàn)金收益）：將利率改成單利：因此:期貨價格-現(xiàn)貨價格=資金成本+倉儲成本-便利收益四、商品期貨的定價例題6.7（商品期貨）考慮黃金的一年期貨合約，假設當前現(xiàn)貨價格為450美元，無風險連續(xù)復利為7%.每盎司黃金的儲存成本為2美元，期末支付儲存成本。試計算1年期黃金期貨的理論價格。到期日黃金有儲存成本2美元，故1年期黃金期貨的理論價格為：解析：33第二節(jié)已知收益率資產(chǎn)的遠期和期貨定價一、已知收益率資產(chǎn)的遠期價格1.紅利再投資的概念：紅利再投資，是指將資產(chǎn)所得收益立即投資到該資產(chǎn)中的投資行為。通過紅利在投資，我們雖然不知道資產(chǎn)未來獲得的紅利收益的具體價值，但可以轉換為確定數(shù)量的資產(chǎn)，由此取消紅利價值的不確定因素。例題6.8假設一支股票在6個月內(nèi)將發(fā)放一次股票紅利，發(fā)放比例為1:0.1，即紅利率為q=10%，則考慮紅利再投資，期初持有多少股股票，在6個月后可以擁有1股股票？解析：若假設期初持有a股股票，則通過紅利再投資，6個月后投資者可以獲得：故（二）支付已知收益率資產(chǎn)的遠期價格例6.10：考慮一個6個月期遠期合約，標的資產(chǎn)預期提供年率為4%的連續(xù)紅利收益率。無風險利率為10%。當前股價為$25。試求當前遠期合約的遠期價格。例題6.10解析

（6.9）二、定價不合理的套利策略設計類似有現(xiàn)金收益的資產(chǎn)套利策略設計：若K>F(t,T)：套利者可以賣出遠期合約，買入資產(chǎn)，即實施持有成本策略若K<F(t,T)：套利者可以買入遠期合約，賣空資產(chǎn)，實施反向持有成本策略接例6.10，若股票遠期簽約時協(xié)議價格為28元。則28>F(t,T)=25.76，可以賣出股票遠期，借入資金買入股票，設計持有成本策略獲益。39持有成本套利0時刻6個月后1.以利率10%借入25e-0.04×1/2元6個月:24.5元2.購買0.98(=e-0.04×1/2)份股票現(xiàn)貨:-24.5元3.賣出一單位股票的6個月期遠期合約:0元1.通過紅利再投資獲得1單位股票,用1單位股票現(xiàn)貨交割到期的遠期合約:28元2.償還6個月期24.5元貸款的本利和:-25.76元合計:0元合計:2.24元接例6.10，若股票遠期簽約時協(xié)議價格為23元。則23<F(t,T)=25.76，可以買入股票遠期，賣空股票，設計反向持有成本策略獲益。40反向持有成本套利0時刻6個月后1.賣空0.98份股票現(xiàn)貨:24.5元2.按年利率10%進行期限為6個月的投資:-24.5元3.購買一單位股票的6個月期遠期合約:0元1.24.5元投資6個月的本息和:25.76元2.交割遠期合約獲得一單位股票支付:-23元3.用遠期合約交割所得的一單位股票平倉股票空頭頭寸(此時需要償還1單位股票)合計:0元合計:2.76元適用的產(chǎn)品考慮紅利收益的股指期貨外匯期貨——遠期匯率的確定計價貨幣看作本幣，標的貨幣看作標的資產(chǎn)，標的貨幣的利率為紅利率，計價貨幣的利率為無風險利率考慮便利收益率和倉儲費率的商品期貨便利收益率看作紅利率，倉儲費率看作負的紅利率外匯遠期和期貨價格的確定公式(連續(xù)復利）：按年計復利的情況下：

其中：S:即期匯率（直接標價法：1外幣=X本幣）F：T時刻到期的遠期匯率（直接標價法）

r:本幣利率q:外幣利率三、外匯期貨和股指期貨定價43假設一美國客戶要求銀行報出歐元兌美元的遠期匯價，一年后交割?？蛻粝Ｍ麖脑撱y行恰好購買1,100,000歐元。假設歐元兌美元的即期匯率為1.5,歐元一年期的利率為10%（按年計息復利），美元一年期的利率為6%（按年計息復利），銀行最終每歐元要賺取0.01美元的價差費用，試求銀行對客戶應給出什么樣的報價。例6.11遠期外匯合約定價

44解析股指期貨的定價如果股票指數(shù)包含的指數(shù)股數(shù)量較多，而且各種指數(shù)股的分紅事件在時間與數(shù)量上分布比較均勻，那么我們可以合理地假設紅利是完全均勻分布的。用q表示指數(shù)紅利的連續(xù)復合收益率，則例6.1246考慮一個滬深300指數(shù)的3個月期期貨合約。假設用來計算指數(shù)的股票的紅利收益率為每年2%(連續(xù)復利)，指數(shù)現(xiàn)值為3000,連續(xù)復利的無風險利率為3%,請計算滬深300期貨的理論報價。47第三節(jié)遠期和期貨定價的其他問題一、遠期合約的價值計算遠期合約的價值：即買賣遠期合約需要支付費用（不考慮手續(xù)費）遠期合約在簽約時刻，價值應該為0；但隨著時間的推移，由于標的資產(chǎn)價格的變動，其合約價值相應發(fā)生變化。

一、遠期合約的價值計算對于任意情形的標的資產(chǎn)，其遠期合約的價值可以根據(jù)最新的遠期價格報價計算，公式為：將不同情形下遠期價格的計算公式帶入，可以得到遠期合約價值與現(xiàn)貨價格的關系：一、遠期合約的價值計算例6.15（債券遠期合約的價值計算）一個債券價格為900元。假設1年期債券遠期的協(xié)議價格為910元,債券在6個月和12個月都會有60元付息。第二次付息日正好在債券遠期交割日之前。6個月和12個月無風險連續(xù)復利分別為年利率9%和10%。求遠期合約的價值。解析

二、期貨價格、遠期價格與現(xiàn)貨價格的關系（一）期貨價格與遠期價格的關系S.A.Ross,J.C.Cox,J.E.Ingersoll（1981）：1、當無風險利率確定時，交割日相同的遠期價格和期貨價格應相等。2、當利率無法預測時，遠期價格和期貨價格就不相等。取決于標的資產(chǎn)價格與利率的相關性。當標的資產(chǎn)價格與利率呈正相關時，期貨價格高于遠期價格。相反，當標的資產(chǎn)價格與利率呈負相關性時，遠期價格就會高于期貨價格。（二）期貨價格與當前現(xiàn)貨價格的關系若假設標的資產(chǎn)的期望收益率為k，則:（三）期貨價格與未來現(xiàn)貨價格的關系k(實際期望利率)和r(無風險利率)的大小就決定了F和E（ST）孰大孰小。而k值的大小取決于標的資產(chǎn)的系統(tǒng)性風險。根據(jù)資本資產(chǎn)定價原理：若標的資產(chǎn)的系