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浙江省臺(tái)州市四校2025年高三4月第二次模擬數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知七人排成一排拍照,其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰,甲、丁兩人必須相鄰,則滿足要求的排隊(duì)方法數(shù)為().A.432 B.576 C.696 D.9602.已知復(fù)數(shù)是正實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.3.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,,,則()A. B. C. D.4.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,拋物線C與圓交于M,N兩點(diǎn),若,則的面積為()A. B. C. D.5.已知函數(shù),且關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍().A. B. C. D.6.已知集合,定義集合,則等于()A. B.C. D.7.的展開式中,含項(xiàng)的系數(shù)為()A. B. C. D.8.設(shè)是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)()A. B. C. D.9.已知隨機(jī)變量滿足,,.若,則()A., B.,C., D.,10.已知集合,B={y∈N|y=x﹣1,x∈A},則A∪B=()A.{﹣1,0,1,2,3} B.{﹣1,0,1,2} C.{0,1,2} D.{x﹣1≤x≤2}11.設(shè)i為數(shù)單位,為z的共軛復(fù)數(shù),若,則()A. B. C. D.12.在等差數(shù)列中,,,若(),則數(shù)列的最大值是()A. B.C.1 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_______.14.函數(shù)過定點(diǎn)________.15.某四棱錐的三視圖如圖所示,那么此四棱錐的體積為______.16.已知為橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上移動(dòng)時(shí),的內(nèi)心的軌跡方程為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,平面平面ABCD,,,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為棱DC,BC的中點(diǎn),點(diǎn)G是棱SC靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn).求證:(1)直線平面EFG;(2)直線平面SDB.18.(12分)已知,分別是橢圓:的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).(1)求,的值:(2)過點(diǎn)作不與軸重合的直線,設(shè)與圓相交于A,B兩點(diǎn),且與橢圓相交于C,D兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),求△的面積.19.(12分)設(shè)數(shù)列的前列項(xiàng)和為,已知.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求證:.20.(12分)已知函數(shù).(1)求的極值;(2)若,且,證明:.21.(12分)已知滿足,且,求的值及的面積.(從①,②,③這三個(gè)條件中選一個(gè),補(bǔ)充到上面問題中,并完成解答.)22.(10分)已知函數(shù).(1)解關(guān)于的不等式;(2)若函數(shù)的圖象恒在直線的上方,求實(shí)數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】

先把沒有要求的3人排好,再分如下兩種情況討論:1.甲、丁兩者一起,與乙、丙都不相鄰,2.甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰.【詳解】首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好,共有種不同排列方式,甲、丁排在一起共有種不同方式;若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰,插入余下三人產(chǎn)生的空檔中,共有種不同方式;若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰,插入余下三人產(chǎn)生的空檔中,共有種不同方式;根據(jù)分類加法、分步乘法原理,得滿足要求的排隊(duì)方法數(shù)為種.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用,在分類時(shí),要注意不重不漏的原則,本題是一道中檔題.2.C【解析】

將復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式,由題意可得實(shí)部大于零,虛部等于零,即可得到答案.【詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù),所以且,解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本定義,屬基礎(chǔ)題.3.D【解析】試題分析:由于在等比數(shù)列中,由可得:,又因?yàn)?,所以有:是方程的二?shí)根,又,,所以,故解得:,從而公比;那么,故選D.考點(diǎn):等比數(shù)列.4.B【解析】

由圓過原點(diǎn),知中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合,作出圖形,由,,得,從而直線傾斜角為,寫出點(diǎn)坐標(biāo),代入拋物線方程求出參數(shù),可得點(diǎn)坐標(biāo),從而得三角形面積.【詳解】由題意圓過原點(diǎn),所以原點(diǎn)是圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn),不妨設(shè)為,如圖,由于,,∴,∴,,∴點(diǎn)坐標(biāo)為,代入拋物線方程得,,∴,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與圓相交問題,解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)原點(diǎn)是其中一個(gè)交點(diǎn),從而是等腰直角三角形,于是可得點(diǎn)坐標(biāo),問題可解,如果僅從方程組角度研究?jī)汕€交點(diǎn),恐怕難度會(huì)大大增加,甚至沒法求解.5.B【解析】

根據(jù)條件可知方程有且只有一個(gè)實(shí)根等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn),作出圖象,數(shù)形結(jié)合即可.【詳解】解:因?yàn)闂l件等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn),作出圖象如圖,由圖可知,,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象與方程零點(diǎn)之間的關(guān)系,數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】

根據(jù)定義,求出,即可求出結(jié)論.【詳解】因?yàn)榧?,所以,則,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的新定義運(yùn)算,理解新定義是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7.B【解析】

在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中,令的冪指數(shù)等于,求出的值,即可求得含項(xiàng)的系數(shù).【詳解】的展開式通項(xiàng)為,令,得,可得含項(xiàng)的系數(shù)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,復(fù)數(shù),故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,其中解答中熟記復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】

根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得:,再根據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量滿足,,.所以服從二項(xiàng)分布,由二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得:,因?yàn)?,所以,由二次函?shù)的性質(zhì)可得:,在上單調(diào)遞減,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.10.A【解析】

解出集合A和B即可求得兩個(gè)集合的并集.【詳解】∵集合{x∈Z|﹣2<x≤3}={﹣1,0,1,2,3},B={y∈N|y=x﹣1,x∈A}={﹣2,﹣1,0,1,2},∴A∪B={﹣2,﹣1,0,1,2,3}.故選:A.【點(diǎn)睛】此題考查求集合的并集,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求解不等式,根據(jù)描述法表示的集合,準(zhǔn)確寫出集合中的元素.11.A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法求出,然后計(jì)算.【詳解】,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.12.D【解析】

在等差數(shù)列中,利用已知可求得通項(xiàng)公式,進(jìn)而,借助函數(shù)的的單調(diào)性可知,當(dāng)時(shí),取最大即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,即,又,所以公差,所以,即,因?yàn)楹瘮?shù),在時(shí),單調(diào)遞減,且;在時(shí),單調(diào)遞減,且.所以數(shù)列的最大值是,且,所以數(shù)列的最大值是3.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列最值問題,難度較易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

寫出展開式的通項(xiàng)公式,考慮當(dāng)?shù)闹笖?shù)為零時(shí),對(duì)應(yīng)的值即為常數(shù)項(xiàng).【詳解】的展開式通項(xiàng)公式為:,令,所以,所以常數(shù)項(xiàng)為.

故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)系數(shù)的求解,難度較易.解答問題的關(guān)鍵是,能通過展開式通項(xiàng)公式分析常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的取值.14.【解析】

令,,與參數(shù)無關(guān),即可得到定點(diǎn).【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得,函數(shù)值與參數(shù)無關(guān),所有過定點(diǎn).故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)的定點(diǎn)問題,關(guān)鍵在于找出自變量的取值使函數(shù)值與參數(shù)無關(guān),熟記常見函數(shù)的定點(diǎn)可以節(jié)省解題時(shí)間.15.【解析】

利用三視圖判斷幾何體的形狀,然后通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積.【詳解】如圖:此四棱錐的高為,底面是長(zhǎng)為,寬為2的矩形,所以體積.所以本題答案為.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體與三視圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系,幾何體體積的求法,考查空間想象能力與計(jì)算能力.解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義,真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征,可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型,在幾何模型中進(jìn)行判斷.16.【解析】

考查更為一般的問題:設(shè)P為橢圓C:上的動(dòng)點(diǎn),為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),為△PF1F2的內(nèi)心,求點(diǎn)I的軌跡方程.解法一:如圖,設(shè)內(nèi)切圓I與F1F2的切點(diǎn)為H,半徑為r,且F1H=y,F(xiàn)2H=z,PF1=x+y,PF2=x+z,,則.直線IF1與IF2的斜率之積:,而根據(jù)海倫公式,有△PF1F2的面積為因此有.再根據(jù)橢圓的斜率積定義,可得I點(diǎn)的軌跡是以F1F2為長(zhǎng)軸,離心率e滿足的橢圓,其標(biāo)準(zhǔn)方程為.解法二:令,則.三角形PF1F2的面積:,其中r為內(nèi)切圓的半徑,解得.另一方面,由內(nèi)切圓的性質(zhì)及焦半徑公式得:從而有.消去θ得到點(diǎn)I的軌跡方程為:.本題中:,代入上式可得軌跡方程為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析(2)見解析【解析】

(1)連接AC、BD交于點(diǎn)O,交EF于點(diǎn)H,連接GH,再證明即可.(2)證明與即可.【詳解】(1)連接AC、BD交于點(diǎn)O,交EF于點(diǎn)H,連接GH,所以O(shè)為AC的中點(diǎn),H為OC的中點(diǎn),由E、F為DC、BC的中點(diǎn),再由題意可得,所以在三角形CAS中,平面EFG,平面EFG,所以直線平面EFG.(2)在中,,,,由余弦定理得,,即,解得,由勾股定理逆定理可知,因?yàn)閭?cè)面底面ABCD,由面面垂直的性質(zhì)定理可知平面ABCD,所以,因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,所以,因?yàn)?所以平面SDB.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行與垂直的證明.需要根據(jù)題意利用等比例以及余弦定理勾股定理等證明.屬于中檔題.18.(1);(2).【解析】

(1)由已知根據(jù)拋物線和橢圓的定義和性質(zhì),可求出,;(2)設(shè)直線方程為,聯(lián)立直線與圓的方程可以求出,再聯(lián)立直線和橢圓的方程化簡(jiǎn),由根與系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)論,繼而求出面積.【詳解】(1)焦點(diǎn)為F(1,0),則F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),,解得,=1,=1,(Ⅱ)由已知,可設(shè)直線方程為,,聯(lián)立得,易知△>0,則===因?yàn)?,所以?,解得聯(lián)立,得,△=8>0設(shè),則【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線和橢圓的定義與性質(zhì)應(yīng)用,同時(shí)考查利用根與系數(shù)的關(guān)系,解決直線與圓,直線與橢圓的位置關(guān)系問題.意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.19.(1)(2)證明見解析【解析】

(1)由已知可得,構(gòu)造等比數(shù)列即可求出通項(xiàng)公式;(2)當(dāng)時(shí),由,可求,時(shí),由,可證,驗(yàn)證時(shí),不等式也成立,即可得證.【詳解】(1)由可得,,即,所以,解得,(2)當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,綜上,由可得遞增,,時(shí);所以,綜上:故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式,利用放縮法證明不等式,涉及等比數(shù)列的求和公式,屬于難題.20.(1)極大值為;極小值為;(2)見解析【解析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),進(jìn)而可求出單調(diào)性,從而可求出函數(shù)的極值;(2)構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)并判斷單調(diào)性可得,從而在上恒成立,再結(jié)合,,可得到,即可證明結(jié)論成立.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為.故的極大值為;的極小值為.(2)證明:由(1)知,設(shè)函數(shù),則,,則在上恒成立,即在上單調(diào)遞增,故,又,則,即在上恒成立.因?yàn)?所以,又,則,因?yàn)?且在上單調(diào)遞減,所以,故.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵,屬于難題.21.見解析【解析】

選擇①時(shí):,,計(jì)算,根據(jù)正弦定理得到,計(jì)算面積得到答案;選擇②時(shí),,,故,為鈍角,故無解;選擇③時(shí),,根據(jù)正弦定理解得,,根據(jù)正弦定理得到,計(jì)算面積得到答案.【詳解】選擇①時(shí):,

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