2024-2025學(xué)年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專項(xiàng)訓(xùn)練：圓的綜合證明問題（原卷版）

圓的綜合證明問題20題專題訓(xùn)練

1.(2024?定海區(qū)三模)如圖，P為。。的直徑A4延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PC為。。的切線，切點(diǎn)為C,CDLAB

于。，連接/C.

(1)求證：NC平分/PCD；

(2)若上4=3,AC=V3.求。。的半徑.

2.(2024春?淳安縣期中)如圖，A48C內(nèi)接于0O,是0O的直徑，過點(diǎn)C作。。的切線交48的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)。，BELCD,￡8的延長(zhǎng)線交。。于RC下交N8于點(diǎn)G,ZBCF=ZBCD.

(1)求證：BE=BG；

(2)若BE=\,求。。的半徑.

3.(2024春?溫州月考)如圖，是。。的直徑，AC=BC，E是08的中點(diǎn)，連結(jié)CE并延長(zhǎng)到點(diǎn)凡使

EF=CE.連結(jié)N尸交。。于點(diǎn)。，連結(jié)3。，BF.

(I)求證：直線2尸是。。的切線.

(2)若4F=5,求2。的長(zhǎng).

4.(2023秋?黃巖區(qū)期中)如圖，在A48C中，AC=BC,以8c為直徑的半圓。交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作

半圓。的切線，交/C于點(diǎn)E.

(1)求證：NACB=2NADE；

(2)若DE=3,ZADE=3>0°,求而的長(zhǎng).

BOC

5.(2022秋?臨海市期末)知識(shí)重現(xiàn)：如圖1,我們已經(jīng)分三種情況探究了一條弧所對(duì)的圓周角NA4c和它

所對(duì)的圓心角/80C的數(shù)量關(guān)系.

化歸

化歸

情況①情況②情況③

圖1圖2

①直接寫出NBAC和ZBOC的數(shù)量關(guān)系

②任選一種情況進(jìn)行證明.

遷移應(yīng)用：如圖2,已知母48。內(nèi)接于。。，直線DE是。。切線，切點(diǎn)為/,求證：NCAE=NABC.

6.(2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬)如圖①，(DO是A43c的外接圓，點(diǎn)。在上，延長(zhǎng)至點(diǎn)D,使得/OC8

=ZCAB.

(1)求證：DC為。。的切線；

(2)若/NC8的角平分線CE交線段N5于點(diǎn)凡交定于點(diǎn)￡,連接8E,如圖②，其中CZ)=4,tan/

CEB=工,求CF?CE.

2

圖①圖②

7.(2023?鹿城區(qū)校級(jí)三模)如圖，在AIBC中，F(xiàn)為AC上一點(diǎn),以為直徑的半圓。與相切于點(diǎn)

E,與2C相交于點(diǎn)。，且E為命的中點(diǎn)，連結(jié)。E,DF,過點(diǎn)尸作FG〃DE交/E于點(diǎn)G.

C1)求證：四邊形DEGF為平行四邊形.

(2)若。為2C中點(diǎn)，AG=&，求半圓。的半徑.

8.(2023春?下城區(qū)校級(jí)月考)如圖，在RtA42c中，N4BC=90。，以48為直徑作。O,交NC于點(diǎn)Z),

點(diǎn)￡是8c的中點(diǎn)，連結(jié)4E,DE,BD.

(1)判斷DE與。。的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(2)若sinC=3,DE=4,求5人近

5

BEC

9.(2023?西湖區(qū)校級(jí)三模)如圖，以A42C的一邊48為直徑作。O,。。與2C邊的交點(diǎn)。恰好為2C的

中點(diǎn)，DELAC.

(1)求證：為圓O的切線;

(2)連接OC交?！暧邳c(diǎn)R若cos/ABC-l"，求亞的值.

8FC

10.(2023?紹興模擬)如圖，。是以45為直徑的。。上一點(diǎn)，過點(diǎn)。的切線交45的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡,過點(diǎn)5

作8斤，垂足為點(diǎn)尸，延長(zhǎng)5斤交4。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C

(1)求證：AB=BC；

(2)若。。的直徑為5,siM=芭，求線段AF和BE的長(zhǎng).

5

11.(2023春?東陽(yáng)市期中)如圖，48是。。的切線，B為切點(diǎn),直線交。。于C,。兩點(diǎn)，連接2C,

BD.過圓心。作3C的平行線，分別交N5的延長(zhǎng)線、?O及BD于■點(diǎn)、E,F,G.

(1)求證：廠是命的中點(diǎn)；

(2)求證：/￡>=/￡；

(3)若尸是。￡的中點(diǎn)，。。的半徑為6,求陰影部分的面積.

12.(2023?永康市一模)如圖，A42C內(nèi)接于。。，42為。。的直徑，點(diǎn)尸在。。上，連接CF交于點(diǎn)

E,延長(zhǎng)CF至點(diǎn)。，連接ND已知8C=C￡=3,AB=9,ZDAF=ZACD.

(1)求證：4D為。。的切線；

(2)求AIBC的48邊上的高；

(3)求。尸的長(zhǎng).

13.(2023?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)一模)如圖，AB,BC,CD分別與。。相切于E,F,G三點(diǎn)，且EG為。。的直徑.

(1)延長(zhǎng)OF,EB交于點(diǎn)、P,若BE=l,/EBF=2NOPC,求圖中陰影部分的面積;

(2)連結(jié)2G,與。尸交于點(diǎn)若BE=l,OE=2,求題的值.

14.(2023?義烏市校級(jí)模擬)如圖，是圓。的直徑，PB,PC是圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為8,C.延

長(zhǎng)A4,PC相交于點(diǎn)D

(1)求證：ZCPB=2ZABC.

(2)設(shè)圓。的半徑為2,sin/尸3c=2,求尸C的長(zhǎng).

3

15.(2023秋?拱墅區(qū)校級(jí)月考)如圖，AABC是以48為直徑的。。的內(nèi)接三角形，3。與。。相切于點(diǎn)2,

與NC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。，￡是3。的中點(diǎn)，CE交8/的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.

(1)求證：尸C是。。的切線；

(2)若8。=4,2EF=3BE.求8尸的長(zhǎng)和。。的半徑.

16.(2023?蕭山區(qū)校級(jí)一模)如圖，在A48C中，AB=AC.以N8為直徑的。。與線段8C交于點(diǎn)。，過點(diǎn)

。作DEL/C,垂足為￡,磯)的延長(zhǎng)線與N2的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸.

(1)求證：直線PE是。。的切線；

(2)若。。的半徑為6,/尸=30。，求CE的長(zhǎng).

C

BD

P

17.(2024?西湖區(qū)校級(jí)二模)如圖，&1BC內(nèi)接于。O,48是。。的直徑，過點(diǎn)/的切線交2C的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)。，￡是。。上一點(diǎn)，點(diǎn)C,￡分別位于直徑N8異側(cè)，連接/￡,BE,CE,且/4DB=NDBE.

(1)求證：CE=CB；

(2)求證：ZBAE=2ZABC；

(3)過點(diǎn)C作CFL48,垂足為點(diǎn)R若.3'工求tan//8C的值.

SAABE*

18.(2024?富陽(yáng)區(qū)一模)如圖，48是。。的直徑，點(diǎn)C是直線N2上方的。。上一點(diǎn).點(diǎn)M是A42c的內(nèi)

心.連結(jié)NM,BM,CM,延長(zhǎng)CM交。。于點(diǎn)D

(1)若N8=10,AC=6,求3c的長(zhǎng).

(2)求//MB的度數(shù).

(3)當(dāng)點(diǎn)C在直線N2上方的。。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：DJ[X^AB.

D

19.（2024?拱墅區(qū)模擬）如圖，48與。。相切于點(diǎn)2,CD是。。的直徑，OA_LCD,BC交OA于點(diǎn)E.

（1）求證：AB=AE.

（2）請(qǐng)用一個(gè)等式表示出與/C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（3）若。。的半徑為5,BC