2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊專項突破：方程與不等式（綜合壓軸題）含答案

備戰(zhàn)2025中考-方程與不等式（綜合壓軸題分類專題）（5）

篇一：綜合部分

【考點(diǎn)1】解一元一次方程.....1

【考點(diǎn)2】一元一次方程的應(yīng)用.....2

【考點(diǎn)3】解二元一次方程組.....3

【考點(diǎn)4】列二元一次方程組....3

【考點(diǎn)5】解一元二次方程....4

【考點(diǎn)6】降次思想與整體思想求代數(shù)式的值....4

【考點(diǎn)7]根的判別式與根與系數(shù)關(guān)系....4

【考點(diǎn)8】一元二次方程的應(yīng)用.....5

【考點(diǎn)9]解分式方程....5

【考點(diǎn)101增根+無解+非負(fù)（正）數(shù)解.......6

【考點(diǎn)11】列分式方程.6

【考點(diǎn)12]解一元一次不等式（組）........7

【考點(diǎn)13]一元一次不等式（組）含參問題.......8

【考點(diǎn)14]一元一次不等式（組）的應(yīng)用......8

篇二：壓軸部分

【考點(diǎn)15]一元一次方程....9

【考點(diǎn)16】二元一次方程.....9

【考點(diǎn)17】一元二次方程.....10

【考點(diǎn)18】分式方程......10

【考點(diǎn)191不等式與不等式組......11

篇一：綜合部分

【考點(diǎn)1】解一元一次方程

（2024?湖南?模擬預(yù)測）

1.在《九章算術(shù)》方田章“圓田術(shù)”中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可

割，則與圓周合體而無所失矣”，這里所用的割圓術(shù)所體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化的思

想，比如在1+；+*+（+}+…中，“…”代表按規(guī)律不斷求和，設(shè)

試卷第1頁，共12頁

l+g+[+：+，+…=x.則有X=l+；x,解得x=2,故l+g+J+J+，+…=2.類

似地，■+：+：+…的結(jié)果為（）

A.1B.24

D.-

88qI3

（2021?山東煙臺?中考真題）

2.幻方歷史悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書”.把洛書用今天的數(shù)學(xué)符號翻譯出來,

就是一個三階幻方.將數(shù)字1?9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行，每一豎行以及

兩條對角線上的數(shù)字之和都是15,則。的值為.

（2024?江蘇南京?三模）

3.一組數(shù)據(jù)：x-1,x,x+1,10,9,8.這6個數(shù)的平均數(shù)為8,則中位數(shù)為.

【考點(diǎn)2】一元一次方程的應(yīng)用

（2023?浙江?中考真題）

4.古代中國的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有一題：“今有生絲三十斤，干之，耗三斤十二

兩.今有干絲--H二斤，問生絲幾何？”意思是：“今有生絲30斤，干燥后耗損3斤12兩（古

代中國1斤等于16兩）.今有干絲12斤，問原有生絲多少？”則原有生絲為斤.

（23-24八年級上?北京豐臺?期中）

5.已知：如圖，在長方形（長方形四個內(nèi)角均為直角，并且兩組對邊分別相等）中,

NB=4,AD=6.延長8。到點(diǎn)E,使CE=2,連接。E,動點(diǎn)尸從點(diǎn)3出發(fā)，以每秒2個

單位的速度沿8C-CD向終點(diǎn)A運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為/秒，當(dāng)/的值為

秒時，A/8尸和全等.

試卷第2頁，共12頁

6.甲、乙兩人在一條直線道路上分別從48兩地同時騎摩托車出發(fā)，相向而行.當(dāng)兩人

相遇后，甲繼續(xù)向3地前進(jìn)（甲到達(dá)B地時停止運(yùn)動），乙也立即調(diào)頭返回B地.在整個運(yùn)

動過程中，甲、乙均保持各自的速度勻速行駛.若甲、乙兩人之間的距離M米）與乙運(yùn)動的

時間X（秒）之間的關(guān)系如圖所示，貝Ija8兩地之間的距離為米.

【考點(diǎn)3】解二元一次方程組

（2024-內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）

a

7.點(diǎn)尸（x,y）在直線＞=-寧+4上，坐標(biāo)（龍/）是二元一次方程5尤-6y=33的解，則點(diǎn)尸的

位置在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

（2024?江蘇揚(yáng)州?三模）

8.設(shè)為心，％，…，。2必是從-1，0,3這三個數(shù)中取值的一列數(shù)，若

%+4+〃3+…+。2024=13,Q；+H---------F42024之=59,貝|q4出'+Cl^+^2024（）

A.154B.155C.156D.157

（2024?山東濟(jì)寧?二模）

9.9知。產(chǎn)0（z=l,2,2024）,且滿足條件

區(qū)+國+國+...+-+喧=1012,任取一個,?值，則直線尸8+i（"1,2....

%。2023“2024

2024）經(jīng)過一、二、四象限的概率為.

【考點(diǎn)4】列二元一次方程組

（2024?甘肅蘭州?中考真題）

10.數(shù)學(xué)家朱世杰所著的《四元玉鑒》是中國元代重要的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載著這樣一

個問題，大意是：999文錢買了甜果和苦果共1000個，11文錢可買9個甜果，4文錢可買7

個苦果，問甜果，苦果各買了多少個？設(shè)買了甜果x個，苦果〉個，則可列方程組為（）

試卷第3頁，共12頁

x+y=1000x-y=1000x-y=1000x+y=999

A.<4+1=999B.<$+》=999C<411

*%=999-x+—y=1000

J9/

（2024?山東威海?中考真題）

11.《九章算術(shù)》是我國古老的數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，書中提到這樣一道題目：以繩測井.若將繩

三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺.繩長、井深各幾何？題目大意是：用繩

子測量水井的深度.如果將繩子折成三等份，一份繩長比井深多4尺；如果將繩子折成四等

份，一份繩長比井深多1尺.繩長、井深各是多少尺？若設(shè)繩長x尺，井深V尺，則符合題

意的方程組是（）

4I”]3x+4二歹

B.

[4x-y=l4x+l=y

x

——1-4A=y

3

D.：

x1

—+l=y

14/

（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）

12.甲、乙二人都以不變的速度在環(huán)形跑道上跑步，如果同時同地出發(fā)，相向而行，每隔2min

相遇一次；如果同向而行，每隔6min相遇一次.則（）

A.甲每分跑2圈，乙每分跑:圈

36

B.甲每分跑（圈，乙每分跑）圈或甲每分跑!圈，乙每分跑（圈

3663

C.甲每分跑|■圈，乙每分跑（圈

D.甲每分跑g圈，乙每分跑;圈或甲每分跑5圈，乙每分跑g圈

【考點(diǎn)5]解一元二次方程

（2024?青海?中考真題）

13.（1）解一元二次方程：x2-4x+3=0；

（2）若直角三角形的兩邊長分別是（1）中方程的根，求第三邊的長.

（24-25九年級上?黑龍江牡丹江?期中）

14.若菱形兩條對角線的長度是方程V_12X+32=0的兩根，則該菱形的邊長為（）

A.2石B.8C.50D.10

（23-24九年級上?江蘇徐州?期末）

15.一元二次方程x2=2024%的解是.

試卷第4頁，共12頁

【考點(diǎn)6］降次思想與整體思想求代數(shù)式的值

（2024?山東煙臺?中考真題）

16.若一元二次方程2/一4x-1=0的兩根為"?，n,則3療一4心+/的值為.

（2024?四川內(nèi)江?二模）

17.己知X1，%?是方程%2-%-2024=0的兩個實(shí)數(shù)根,則代數(shù)式牙-2024再+后的值為

（2024?浙江杭州?三模）

18.已知0、6為實(shí)數(shù)，且滿足a6+a+6-8=0,a2b+ab2-15=0,則（。-6）一=.

【考點(diǎn)7］根的判別式與根與系數(shù)關(guān)系

（2024?吉林長春?中考真題）

19.若拋物線了=--x+c（c是常數(shù)）與x軸沒有交點(diǎn)，貝心的取值范圍是.

（2024?上海寶山?一模）

20.一次函數(shù)了=-3x-a不經(jīng)過第三象限，關(guān)于x的方程ax2-3x+l=0的解的個數(shù)為.

（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）

21.一次函數(shù)y=-3x+后與反比例函數(shù)＞="有且僅有一個交點(diǎn)，則上的值為.

X

【考點(diǎn)81一元二次方程的應(yīng)用

（2024?山東濟(jì)南?模擬預(yù)測）

22.如圖，在長為100米，寬為80米的矩形場地上修建兩條寬度相等且互相垂直的道路，剩

余部分進(jìn)行綠化.設(shè)修建的道路寬為x米，如果綠化面積為丁平方米，那么了與x之間的函

數(shù)關(guān)系式為（）

國

A.y-8000-100x-10xB.j=（100-x）（80-x）+x2

C.^=（100-x）（80-x）D.y=100x+80x

（2024?山東青島?中考真題）

23.如圖，某小區(qū)要在長為16m,寬為121n的矩形空地上建造一個花壇，使花壇四周小路的

寬度相等，且花壇所占面積為空地面積的一半，則小路寬為m.

試卷第5頁，共12頁

（2023?四川達(dá)州?中考真題）

24.如圖，樂器的一根弦43=80cm,兩個端點(diǎn)42固定在樂器面板上，支撐點(diǎn)C是靠近

點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，即AC2=ABBC,支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則兩個支撐點(diǎn)

C,。之間的距離cm.（結(jié)果保留根號）

【考點(diǎn)9】解分式方程

（2024?山東濟(jì)南?模擬預(yù)測）

25.已知點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系第二、四象限的角平分線上，貝卜"=_____

一加m+2J

（2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）

1x+6

26.方程-----1--7--7=1的解為.

x+2x—4

（2024?浙江?模擬預(yù)測）

27.仔細(xì)觀察下面的等式，試解答下面的題目:

117

⑴解方程一+=彳,解得x=

（2）解方程：+解得彳=

【考點(diǎn)101增根+無解+非負(fù)（正）數(shù)解

（2018?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）

.若關(guān)于的方程占mn7+3

28x+----口無解，則〃，的值為一.

x+4

（2019?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）

29.關(guān)于x的分式方程生f-1匚=3的解為非負(fù)數(shù)，則”的取值范圍為____.

x-1l-x

（2024?重慶?模擬預(yù)測）

x-4.

-----x<2

30.若關(guān)于x的一元一次不等式組3有解且至多5個偶數(shù)解，且關(guān)于y的分式

3x-2<4m

試卷第6頁，共12頁

方程二+與竺=-3的解是整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)加的和為_______.

y-33-y

【考點(diǎn)11】列分式方程

(2024?安徽?模擬預(yù)測)

31.為改善生態(tài)環(huán)境，打造宜居城市，某市園林綠化部門計劃植樹20萬棵，由于工程進(jìn)度

需要，實(shí)際每天植樹棵數(shù)比原計劃增加了25%,結(jié)果提前4天完成任務(wù).若設(shè)實(shí)際每天植

樹X萬棵，則根據(jù)題意可得方程為()

A.200+25%)一型一B20204

-------=4

XX25%xx

202042020)

--

C(1+25%)XTDx(1+25%)%

(2024?山東日照?中考真題)

32.【問題背景】2024年4月23日是第18個“世界讀書日”，為給師生提供更加良好的閱讀

環(huán)境，學(xué)校決定擴(kuò)大圖書館面積，增加藏書數(shù)量，現(xiàn)需購進(jìn)20個書架用于擺放書籍.

【素材呈現(xiàn)】

素材一：有48兩種書架可供選擇，/種書架的單價比2種書架單價高20%；

素材二：用18000元購買/種書架的數(shù)量比用9000元購買2種書架的數(shù)量多6個；

素材三：/種書架數(shù)量不少于3種書架數(shù)量的

【問題解決】

⑴問題一：求出43兩種書架的單價；

(2)問題二：設(shè)購買。個/種書架，購買總費(fèi)用為卬元，求w與。的函數(shù)關(guān)系式，并求出費(fèi)

用最少時的購買方案；

(3)問題三：實(shí)際購買時，商家調(diào)整了書架價格，/種書架每個降價機(jī)元，3種書架每個漲

價;加元，按問題二的購買方案需花費(fèi)21120元，求加的值.

(2022?四川成都?二模)

33.為進(jìn)一步豐富義務(wù)教育階段學(xué)生假期生活，有效緩解義務(wù)教育階段學(xué)生假期“看護(hù)難”問

題，某校在寒假期間開設(shè)了豐富多彩的寒假托管服務(wù)，學(xué)校決定購買48兩種文具獎勵在

此次托管服務(wù)中表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生.已知/文具比3文具每件多5元，用600元購買/文具,

900元購買8文具，且購買8文具的數(shù)量是/文具的2倍.

⑴求4,3文具的單價；

(2)為了調(diào)動學(xué)生的積極性，學(xué)校再次在該店購買了，，8兩種文具.在購買當(dāng)日，正逢該店

試卷第7頁，共12頁

促銷活動，所有商品八折銷售.在不超過預(yù)算資金1200元的情況下，A,8兩種文具共買了

90件，則最多購買了/文具多少件？

（2024?青海西寧?三模）

34.為落實(shí)“數(shù)字中國”的建設(shè)工作，市政府計劃對全市中小學(xué)多媒體教室進(jìn)行安裝改造，現(xiàn)

安排兩個安裝公司共同完成.已知甲公司安裝工作效率是乙公司安裝工作效率的1.5倍，乙

公司安裝36間教室比甲公司安裝同樣數(shù)量的教室多用3天.求甲乙兩公司每天各安裝多少

間教室？設(shè)乙公司每天安裝x間教室，請根據(jù)題意列出方程.

（2024?內(nèi)蒙古?中考真題）

35.2024年春晚吉祥物“龍辰辰”，以十二生肖龍的專屬漢字“辰”為名.某廠家生產(chǎn)大小兩種

型號的“龍辰辰”，大號“龍辰辰”單價比小號“龍辰辰”單價貴15元，且用2400元購進(jìn)小號“龍

辰辰”的數(shù)量是用2200元購進(jìn)大號“龍辰辰”數(shù)量的1.5倍，則大號“龍辰辰”的單價為

元.某網(wǎng)店在該廠家購進(jìn)了兩種型號的“龍辰辰”共60個，且大號“龍辰辰”的個數(shù)不超過小

號“龍辰辰”個數(shù)的一半，小號“龍辰辰”售價為60元，大號“龍辰辰”的售價比小號“龍辰辰”的

售價多30%.若兩種型號的“龍辰辰”全部售出，則該網(wǎng)店所獲最大利潤為元.

【考點(diǎn)12]解一元一次不等式（組）

（2024?江蘇徐州?中考真題）

36.（1）解方程：X2+2X-1=0；

"3x-l<8

（2）解不等式組x+1x.

----<—

[3-----2

（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）

37.已知實(shí)數(shù)6滿足|。+4|+病與=。+4,則a+b的取值范圍可在數(shù)軸表示為（）

嚏;應(yīng)電息正1

（2024?遼寧?模擬預(yù)測）

38.若關(guān)于x的一元二次方程（〃+2）/+3工+1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則q的取值

范圍是（）

11

A.a<—B.a<—

44

試卷第8頁，共12頁

C.a<—且QW—2D.a>一且aw—2

44

【考點(diǎn)13]一元一次不等式（組）含參問題

（2024?湖南長沙?模擬預(yù)測）

2x—aW—1

39.若關(guān)于x的不等式組x+12x，有且只有兩個偶數(shù)解，且關(guān)于>的分式方程

[23

色4=2-產(chǎn)有解，則所有滿足條件的整數(shù)。的和是（）

y-22-y

A.15B.10C.5D.3

（2024?湖北?模擬預(yù)測）

[6-3（x+l）<x-5

40.若關(guān)于x的一元一次不等式組,的解集是x>2,則機(jī)的取值范圍是

[x-m>-1

（）

A.m>3B.加23C.m<3D.加（3

（23-24七年級下?重慶黔江?期中）

5x>3（x+2）

41.若關(guān)于％的不等式組工+3a有且只有2個整數(shù)解，且關(guān)于V的方程5+砂=2y-7

x-----<一

I216

的解是負(fù)整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)。的和是（）

A.33B.28C.27D.22

（2024?湖南懷化?模擬預(yù)測）

42.點(diǎn)M的坐標(biāo)是（a,-2a）,點(diǎn)M向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得到點(diǎn)N,當(dāng)

點(diǎn)N在第三象限時，。的取值范圍是.

【考點(diǎn)14]一元一次不等式（組）的應(yīng)用

（2024?江蘇宿遷?中考真題）

43.某商店購進(jìn)/、2兩種紀(jì)念品，已知紀(jì)念品/的單價比紀(jì)念品2的單價高10元.用600

元購進(jìn)紀(jì)念品A的數(shù)量和用400元購進(jìn)紀(jì)念品B的數(shù)量相同.

（1）求紀(jì)念品4、B的單價分別是多少元？

⑵商店計劃購買紀(jì)念品/、B共400件，且紀(jì)念品A的數(shù)量不少于紀(jì)念品B數(shù)量的2倍，

若總費(fèi)用不超過11000元，如何購買這兩種紀(jì)念品使總費(fèi)用最少？

（2021?黑龍江大慶?中考真題）

44.三個數(shù)3,1-1-2a在數(shù)軸上從左到右依次排列，且以這三個數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形,

試卷第9頁，共12頁

則。的取值范圍為

（2024?浙江臺州?二模）

45.州市域鐵路S1線臺州站至城南站全長52km,理論票價實(shí)行里程分段計價制，理論票價

了（單位：元）與行駛里程x（單位：km）之間的函數(shù)關(guān)系如圖3c為線段），但

在定價時，按該分段計價制所得結(jié)果常為小數(shù)，實(shí)際票價為大于或等于該值的最小整數(shù)，如

當(dāng)行駛里程為37km時，所得理論票價為8.5元，實(shí)際票價則為9元，經(jīng)查從甲站到乙站的

實(shí)際票價為10元，則甲乙兩站的里程不可熊為（）

篇二：壓軸部分

【考點(diǎn)15]一元一次方程

（2020?西藏?中考真題）

46.觀察下列兩行數(shù)：

1,3,5,7,9,11,13,15,17,...

1,4,7,10,13,16,19,22,25,...

探究發(fā)現(xiàn)：第1個相同的數(shù)是1,第2個相同的數(shù)是7,…，若第n個相同的數(shù)是103,則n

等于（）

A.18B.19C.20D.21

（2023?浙江紹興?中考真題）

47.若關(guān)于x的方程（1-/）龍2+23-1=0所有的根都是比1小的正數(shù).則實(shí)數(shù)力的取值范

圍是.

【考點(diǎn)16]二元一次方程

（2022?四川綿陽?二模）

y—j/l=X2

48.若整數(shù)x,＞滿足方程組,2,且-24xW4,%。兒則機(jī)的最大值為（）

\x-m=y

A.0B.-1C.-2D.-3

試卷第10頁，共12頁

（2022?山東日照?中考真題）

49.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形CM2C的頂點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E是對角線

NC上一動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），過點(diǎn)￡作交48于F，點(diǎn)尸在線段放上.若。4=4,

0c=2,乙4OC=45。，EP=3PF,P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為根，則加的取值范圍是（）

A.4<m<3+^2B.3-A/2<m<4C.2-^/2<m<3D.4<m<4+^2

（2021?重慶?中考真題）

50.盲盒為消費(fèi)市場注入了活力，既能夠營造消費(fèi)者購物過程中的趣味體驗，也為商家實(shí)現(xiàn)

銷售額提升拓展了途徑.某商家將藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤、迷你音箱共22個，搭配為力,

B,C三種盲盒各一個，其中4盒中有2個藍(lán)牙耳機(jī)，3個多接口優(yōu)盤，1個迷你音箱；8盒

中藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之和等于多接口優(yōu)盤的數(shù)量，藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之比

為3：2；C盒中有1個藍(lán)牙耳機(jī)，3個多接口優(yōu)盤，2個迷你音箱.經(jīng)核算，/盒的成本為

145元，2盒的成本為245元（每種盲盒的成本為該盒中藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤、迷你音箱

的成本之和），則C盒的成本為元.

【考點(diǎn)17]一元二次方程

（2023?湖南岳陽?模擬預(yù)測）

51.在自變量x的取值范圍內(nèi)，對于自變量x=a時，函數(shù)值N=a,則稱。是函數(shù)的一個不

動點(diǎn)，若函數(shù)y=1+（2左-3）X+1恰有一個不動點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的值不可能是（）

A.-1B.0C.1D.4

（2023?浙江金華?中考真題）

52.如圖是一塊矩形菜地/BCD,48=a（m）,ND="m）,面積為s（m2）.現(xiàn)將邊增加

Im.

試卷第11頁，共12頁

圖1圖2

（1）如圖1,若。=5,邊/。減少1m,得到的矩形面積不變，則6的值是

（2）如圖2,若邊4D增加2m,有且只有一個。的值，使得到的矩形面積為2s（m?）,貝i]s

的值是.

【考點(diǎn)181分式方程

（2021?重慶?中考真題）

Ziv—33X—1

53.關(guān)于x的分式方程空三+1==的解為正數(shù)，且使關(guān)于y的一元一次不等式組

x—22-x

f3j-2

---------Wv-1

<2""有解，則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和是（）

y+2>a

A.-5B.-4C.-3D.-2

（24-25八年級上?安徽合肥?期中）

,,\x-a（x>a\

54.已知函數(shù)>=|x-a|=<

\a-x\x<a]

（1）若。=1,當(dāng)04x42時，了的取值范圍是

（2）當(dāng)1W尤V3時，了有最小值5,則〃的值是

【考點(diǎn)19]不等式與不等式組

（2022?重慶南岸?一模）

2x-15x+1〉]

55.關(guān)于x的一元一次不等式組工廠一’有解，且使關(guān)于y的分式方程

x+5>a

=2-丁匚的解為整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（）

y—33—y

A.8B.5C.3D.2

（23-24八年級下?浙江寧波?期末）

56.若關(guān)于x的方程|x-3|="有實(shí)數(shù)根，貝””的取值范圍是

試卷第12頁，共12頁

1.A

【分析】本題主要考查解一元一次方程和數(shù)字的變化規(guī)律，解一元一次方程的一般步驟：去

分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1.設(shè)l+：+(+:+...=x,知

1+(+?+?+…=l+?(l+?+(+(+”J，據(jù)此可得x=l+*x,再進(jìn)一步求解可得.

【詳解】解:設(shè)1+i+*[+...=x,

r「111)

,732343632323436)

1I

/.x=1+—x,

9

解得x=5，

O

1I19

+一++-

FF+.8-

32

1111

.——i———i————

"3234368'

故選：A

2.2

【分析】設(shè)處第一行第一列、第三列第三行、對角線上的未知量，用三數(shù)之和為15就可以

求出a.

【詳解】解：如圖，把部分未知的格子設(shè)上相應(yīng)的量

第一行第一列：6+6+8=15,得到6=1

第三列第三行：8+3步15,得到戶4

.?盧4

???對角線上6+c步15

.-.6+4+c=15,得到c=5

?-?c=5

另外一條對角線上8+c+a=15

.?.8+5+。=15,得到。=2

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加法和一元一次方程的綜合題，找出式子之間的關(guān)系是解題的關(guān)

答案第1頁，共32頁

鍵.

3.8

【分析】本題考查平均數(shù)的定義、中位數(shù)的定義、解一元一次方程，熟練掌握平均數(shù)的定義

及中位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)平均數(shù)的定義列方程求出x的值，再根據(jù)中位數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：,.,xT,x,x+1,10,9,8.這6個數(shù)的平均數(shù)為8,

x—1+x+無+1+10+9+8門

---------------------------------=8,

6

解得x=7,

這組數(shù)據(jù)為：6、7、8、10、9、8,

把這組數(shù)據(jù)按照從大到小的順序排列，處于中間的兩個數(shù)分別為8、8,

O1O

.?.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：==8,

2

故答案為：8.

96

4.—

7

【分析】設(shè)原有生絲x斤，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)原有生絲x斤，依題意，

30x

30-3—12

16

解得：X=y,

96

故答案為：—■

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程解題的關(guān)鍵.

5.1或7##7或1

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用等知識，熟練掌握

全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.分BP=CE=2和/P=CE=2兩種情況，證明和

△DCE全等，進(jìn)而可得關(guān)于，的一元一次方程，求解即可獲得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，可知CO=AB=4,AD=BC=6,/ABC=NDCE=/BAD=90°,

分兩種情況討論，

①當(dāng)5P=CE=2時，如下圖，

答案第2頁，共32頁

?；AB=DC,ZABP=NDCE,BP=CE,

AABP'DCE(SAS),

由題意得AP=2l=2,解得f=l(秒)；

②當(dāng)/P=C￡=2時，如下圖，

AB=DC,ZBAP=ZDCE,AP=CE,

：.^ABP^CDE（SAS）,

由題意得/P=16-2f=2,解得/=7（秒）.

綜上所述，當(dāng)/的值為1或7秒時，“AP和△OCE全等.

故答案為：1或7.

6.1400

【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找

出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

根據(jù)題意和函數(shù)圖象可以得到甲乙相遇時行駛的時間，然后根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以列出

相應(yīng)的方程，即可求得力,3兩地之間的距離.

【詳解】解：由題意和圖象可得，

甲從/地到B地用的時間為175秒，乙從開始到回到B地用的時間為200秒，

，甲乙相遇的時，甲乙都行駛了100秒，

設(shè)A,8兩地的路程為S米，

S-1050_S

~25~"100）

答案第3頁，共32頁

解得，5=1400,

故答案為：1400.

7.D

【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，解二元一次方程組等知識，聯(lián)立方程組

-33

y=—x+4

<4,求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)即可判斷.

5x-6y=33

3

y---x+44

【詳解】解：聯(lián)立方程組4,

5x-6y=33

解得

■■-P的坐標(biāo)為［6,-5

???點(diǎn)尸在第四象限，

故選:D.

8.D

【分析】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律和二元一次方程組的應(yīng)用，熟練掌握上述知識點(diǎn)是解

題的關(guān)鍵.

(~x+3y=13

根據(jù)題意，設(shè)這一列數(shù)中有x個-1,V個3,可列，八2.小〃，即可求出x與了的值,

33

再將其代入。;+W+W+--.+?2024=(-l)x+3y中計算即可.

【詳解】解：設(shè)這一列數(shù)中有X個-1,了個3,

f-x+3j=13

可列](-1)2》+3o=59，

fx=5

解得：,，

[y=6

,,+02++...+“2024

=(-1)%+3。

=-5+27x6

故選：D.

答案第4頁，共32頁

1

9.

4

【分析】由題意知，同=1或同=-1,設(shè)圖中有x個1,y個-1,依題意得，

%%%

[x+y=2024fx=1518

，可求,詼，即4中有1518個正數(shù)，506個負(fù)數(shù)，由4<°時，直線>+?

[x—>=1012[歹=506

(i=l,2,…，2024)經(jīng)過一、二、四象限，根據(jù)普，計算概率即可.

2024

【詳解】解：由題意知，同=1或⑷=-1,

%生

設(shè)」中有X個],>個—1,

Qj

fx+y=2024

依題意得，,

[x-y=11n012o

|x=1518

解得，

[y=506

.,.q中有1518個正數(shù)，506個負(fù)數(shù)，

當(dāng)《<0時，直線y=+i(i=l,2,2024)經(jīng)過一、二、四象限，

506_1

,2024"4,

?,?直線V=qx+i("I,2,2024)經(jīng)過一、二、四象限的概率為;.

故答案為：；.

【點(diǎn)睛】本題考查了化簡絕對值，一元二次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的圖象，簡單的概率計

算.熟練掌握化簡絕對值，一元二次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的圖象，簡單的概率計算是解

題的關(guān)鍵.

10.A

【分析】本題考查根據(jù)實(shí)際問題列二元一次方程組，根據(jù)999文錢買了周果和苦果共1000

個，11文錢可買9個甜果，4文錢可買7個苦果，列出方程組即可.

【詳解】解：設(shè)買了甜果x個，苦果y個，由題意，得：

答案第5頁，共32頁

x+y=1000

<114?

一、+一尸999'

197,

故選A.

11.C

【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，此題中的等量關(guān)系有：①將繩三折測之，繩多

四尺；②繩四折測之，繩多一尺，不變的是井深，據(jù)此即可得方程組.正確理解題意，找

準(zhǔn)等量關(guān)系解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)繩長X尺，井深?尺，

故選：C.

12.B

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用.設(shè)甲的速度為x,乙的速度為V,環(huán)形路的長

度為單位1,由題意得出二元一次方程組，解方程組即可.

【詳解】解：設(shè)甲的速度為x,乙的速度為V,環(huán)形路的長度為單位1,當(dāng)甲比乙跑得快時,

由題意得Ki

.1

x=—

解得:，

T=6

.??甲每分跑:圈，乙每分跑!圈，

36

當(dāng)乙跑得比甲快時，同理可得：甲每分跑」圈，乙每分跑(圈；

63

故選：B.

13.(1)x=l或x=3

(2)第三邊的長是或2后

【分析】本題考查解一元二次方程，勾股定理.

(1)用因式分解法解即可；

(2)分情況討論，一是兩根都是直角邊，二是兩根一個是直角邊，一個是斜邊，再用勾股

答案第6頁，共32頁

定理分別計算即可.

【詳解】解：(1)X2-4x+3=0

(x-l)(x-3)=0

x=l或x=3；

(2)當(dāng)兩條直角邊分別為3和1時，

根據(jù)勾股定理得，第三邊為療寸=而；

當(dāng)一條直角邊為1,斜邊為3時，

根據(jù)勾股定理得，第三邊為"F=2&.

答：第三邊的長是麗或2行.

14.A

【分析】本題考查了解一元二次方程和菱形的性質(zhì).熟練掌握解一元二次方程，菱形的性質(zhì)，

是解此題的關(guān)鍵.

先求出方程的解，即可得出NC=8,80=4,根據(jù)菱形的性質(zhì)求出/。和。。，根據(jù)勾股定

理求出即可.

【詳解】解：設(shè)菱形為/8C。，AC.BD交點(diǎn)、為0,AC>BD,

解方程f-12工+32=0,

得x=8或4,

?.?菱形兩條對角線的長度是方程/_I2x+32=0的兩根，

.-.AC=8,BD=4,

.-.ZAOD=90°,AO=OC=4,BO=DO=2,

由勾股定理得：AD=y/OA2+OD2=275.

故選：A.

D.------------.r

15.玉=0,x2=2024

【分析】本題主要考查了解一元二次方程.熟練掌握因式分解法解一元二次方程，是解決問

答案第7頁，共32頁

題的關(guān)鍵.

移項，提公因式X,化成兩個一元一次方程解答即可.

【詳解】■-X2=2024X,

二移項得，X2-2024X=0,

分解因式得，x(x-2024)=0,

??.x=0,x-2024=0,

再=0,x2=2024.

故答案為：%=0,%=2024.

16.6

【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及利用完全平方公式求解，若%,馬是一元二次方程

hQ一

◎2+/>x+c=0(aH0)的兩根時，再+/=--,尤1%=—,熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的

aa

關(guān)系是解題關(guān)鍵.

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得機(jī)+"=2,機(jī)"=2m2-4加=1,再把3療一4機(jī)+”2變形為

222

2m-4m+m+n,然后利用整體代入的方法計算，再利用完全平方公式求解即可.

【詳解】解：??一元二次方程2/-4x-l=0的兩個根為〃?，”，

C1,

：,m+n=2,mn=——,2m-4m=1

2

3m2-4m+n2

=2m2-4m+m2+n2

=m2+H2+1

=(m+n)2-2mn+]

=22-2X(-1)+1

=6

故答案為：6.

17.4049

【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.熟練掌握方程根的定義和根與系數(shù)

的關(guān)系，完全平方公式變形，整體代入法求代數(shù)式的值，是解決本題的關(guān)鍵.一元二次方程

答案第8頁，共32頁

b

辦2+bx+c=o(Qwo)的兩根為孫x,則根與系數(shù)的關(guān)系為演+々=一一，再入2=一c.

2aa

根據(jù)一元二次方程根的定義和根與系數(shù)的關(guān)系得到斗+%=1，為馬=-2024和才-2024=再，

即得x；—2024」］+x；=4049.

【詳解】f,%是方程V-x-2024=0的兩個實(shí)數(shù)根，

xi+x2=1,x1x2=-2024,x；-玉一2024=0,

???x；—2024=%,

???x：-2024占+x；

=占—2024)+x；

=X；+X；

=(國+馬『一2百12

=12-2x(-2024)

=4049.

故答案為：4049.

18.13

【分析】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，注意：解答此題需要分類討論.根據(jù)已知條件推

知時、6是方程、2—8X+15=0,即(x-3)(x-5)=0的兩個根，然后通過解方程求得①

ab=3,。+6=5；②Q6=5,a+b=3；最后將所求的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為完全平方和的形式，

并將①②分別代入求值.

【詳解】解：??.〃、b為實(shí)數(shù)，且滿足Qb+a+b-8=0,a2b+ab2-15=0,

ab+(a+b)=S,ab,(a+b)=15,

:.ab、a+b是方程——8%+15=0,即(x-3)(x-5)=0的兩個根，

，x=3或x=5；

①當(dāng)ab=3,a+b=5時，(。一人了=(a+b)2—4。6=25—12=13,Wfl(a-b)2=13；

②當(dāng)ab=5,a+b=3時，(。一人了=(a+Z>y—4必=9-20=—ll<0,BP(a-b)2<0,不合題意；

綜上所述，(4-6)2=13；

答案第9頁，共32頁

故答案為：13.

【分析】本題主要考查了拋物線>="2+加+。與x軸的交點(diǎn)問題，掌握拋物線

2

y=of+云+。與x軸沒有交點(diǎn)與x-x+c=0沒有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵.

由拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，運(yùn)用根的判別式列出關(guān)于c的一元一次不等式求解即可.

【詳解】解：???拋物線了=x2-x+c與x軸沒有交點(diǎn)，

???尤2一無+°=0沒有實(shí)數(shù)根，

21

A=？-4x1xc=1-4c<0,c>—.

4

故答案為：c>：.

4

20.1或2

【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象的分布，一元二次方程的根的判別式，準(zhǔn)確判斷圖象不過

第三象限的條件，直線夕=-3%-。不經(jīng)過第三象限，則_°=0或_°>0,分這兩種情形判斷

方程的根，靈活運(yùn)用根的判別式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???直線不經(jīng)過第三象限，

二-a=0或-a>0,

a=0或。<0,

當(dāng)。=0時，原方程為-3x+1=0,是一元一次方程，故有一個實(shí)數(shù)根；

當(dāng)。<0時，方程ax?-3x+l=0是一元二次方程，

；.A=(-3)2-4fl=9-4fl,

?/a<0,

—4Q>0,

9—4a>0,

A>0,

??.方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

綜上，方程有1個或2個解，

故選：D.

21.12

答案第10頁，共32頁

【分析】該題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根判別式等知識點(diǎn),

解題的關(guān)鍵是理解題意.

聯(lián)立一次函數(shù)y=-3x+斤與反比例函數(shù)〉=人解析式，根據(jù)題意得出

X

A=^2-4X(-3)X(-Z：)=0,即可求解；

kk

［詳解］解：將y=一代入y=_3x+后得±=_3x+4,

XX

整理得-3x2+Ax—左=0,

k

??,反比例函數(shù)V=—與一次函數(shù)＞=-3x+左的圖象有且只有一個交點(diǎn)，

x

二.A=左？—4x(—3)x(-1c)=0,

.?.左=12或0(舍去)，

故答案是：12.

22.C

【分析】本題主要考查了列一元二次方程，熟練掌握題意是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題中圖形，矩

形的面積計算方法進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：依題意可得：j=(100-x)(80-x),

故選：C.

23.2

【分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)小路的寬為由，則長方形花壇的長

為(16-2x)m,寬為(12-2x)m,再根據(jù)矩形面積計算公式列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)小路的寬為xm,則長方形花壇的長為(16-2無)m,寬為(12-2x)m,

由題意得，(16-2x)(12-2x)=-1xl6xl2,

同理得Y-14X+24=0,

解得x=2或x=12(舍去)，

小路的寬為2m,

故答案為：2.

24.(80V5-160)

【分析】本題考查了黃金分割，利用黃金分割的等積式得一元二次方