2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：尺規(guī)作圖類問題（解析版）

2024年中考數(shù)學(xué)真題專題分類精選匯編

專題30尺規(guī)作圖類問題

一、選擇題

1.（2024山東煙臺(tái)）某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動(dòng)，各組展示作圖痕跡如下,

【答案】D

【解析】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，中垂線的

性質(zhì)和判定，根據(jù)作圖痕跡，逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】第一個(gè)圖為尺規(guī)作角平分線的方法，OP為的平分線；

第二個(gè)圖，由作圖可知：OC=OD,OA=OB,

：.AC=BD,

ZAOD=ZBOC,

AAOD咨ABOC,

/.ZOAD=ZOBC,

；4C=BD,ZBPD=ZAPC,

:.ABPDaAPC,

/.AP=BP,

?：OA=OB,OP=OP,

：.^AOP^/\BOP,

/.ZAOP=/BOP,

...OP為//08的平分線；

第三個(gè)圖，由作圖可知N/CP=N/08,0C=CP,

CP//BO,ZCOP=ZCPO,

：.J）CPO=七BOP

：.4cop=ZBOP,

OP為N/05的平分線;

第四個(gè)圖，由作圖可知：OPLCD,OC=OD,

??.OP為NZ08的平分線；

故選D.

2.（2024四川眉山）如圖，在AZ8C中，AB=AC=6,BC=4,分別以點(diǎn)A,點(diǎn)B為圓心，大

于工48的長為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)E,F,過點(diǎn)、E,F作直線交AC于點(diǎn)。，連接8。，則ABCD

2

的周長為（）

A.7B.8C.10D.12

【答案】C

【解析】本題考查了尺規(guī)作圖一作垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可證明=3。，根據(jù)

△BCZ）的周長++，即可求出答案.

【詳解】由作圖知，E尸垂直平分48,

AD=BD>

.?△BCD的周長=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC,

AB=AC=6,8C=4,

.?.△5?！?gt;的周長=6+4=10,

故選：C.

3.（2024天津市）如圖，Rt4/BC中，/。=90。,/2=40。，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫

弧，交AB于點(diǎn)、E,交/C于點(diǎn)尸；再分別以點(diǎn)及尸為圓心，大于工所的長為半徑畫弧，兩?。ㄋ?/p>

2

在圓的半徑相等）在NA4C的內(nèi)部相交于點(diǎn)尸；畫射線/P,與相交于點(diǎn)。，則//DC的大

A.60°B.65°C.70°D.75°

【答案】B

【解析】本題主要考查基本作圖，直角三角形兩銳角互余以及三角形外角的性質(zhì)，由直角三角形兩銳

角互余可求出NA4C=50°,由作圖得/氏4。=25。，由三角形的外角的性質(zhì)可得465。,

故可得答案

【詳解】???/C=90o,/J8=40。，

ABAC=90°—NB=90°-40°=50°,

由作圖知，4P平分NB4C,

ZBAD=-ABAC=-x50°=25°,

22

又ZADC=ZB+ABAD,

：.=40°+25°=65°,

故選：B

4.（2024河北?。┯^察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段AD一定是一5。的（）

R

C.中位線D.中線

【答案】B

【解析】本題考查的是三角形的高的定義，作線段的垂線，根據(jù)作圖痕跡可得L/C,從而可得

答案.

由作圖可得：BDLAC,

線段BD一定是AABC的高線;

故選B

5.（2024武漢市）小美同學(xué)按如下步驟作四邊形/BCD：①畫NM4N；②以點(diǎn)A為圓心，1個(gè)單

位長為半徑畫弧，分別交ZM,AN于點(diǎn)、B,D；③分別以點(diǎn)B,。為圓心，1個(gè)單位長為半徑畫弧,

兩弧交于點(diǎn)C；④連接5C,CD,BD.若NZ=44。，則NCS。的大小是（）

C.68°D.70°

【答案】C

【解析】本題考查了基本作圖，菱形的判定和性質(zhì)，根據(jù)作圖可得四邊形4BCD是菱形，進(jìn)而根據(jù)

菱形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：作圖可得A5=4D=5C=r>C

二四邊形45CD是菱形，

/.AD||BC,ZABD=ZCBD

?/N4=44°,

ZMBC=ZA=44°,

：.ZCBD=1(180°-ZMBC)=1(180°-44°)=68°,

故選：C.

6.(2024四川南充)如圖，已知線段48,按以下步驟作圖：①過點(diǎn)8作48,使!45,

2

連接ZC；②以點(diǎn)C為圓心，以長為半徑畫弧，交4c于點(diǎn)D；③以點(diǎn)/為圓心，以長為

半徑畫弧，交AB于點(diǎn)、E.若AE=mAB,則冽的值為()

A.B.6一2c.75-1D.75-2

22

【答案】A

【解析】本題考查了勾股定理，根據(jù)垂直定義可得N4BC=90。，再根據(jù)8C=448,設(shè)=

2

然后在RtA^SC中，利用勾股定理可得AC=—a，再根據(jù)題意可得：

2

AD=AE,CD=BC=-a,從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

2

【詳解】VBCLAB,

???NABC=90°,

BC=-AB,設(shè)=Q

2

BC——a、

2

:.AC7AB2+Be?=

由題意得：AD=AE,CD=BC=~a,

2

AE=AD=AC-CD=—a--a=^^a，

222

?/AE=mAB,

故選：A

7.(2024北京市)下面是“作一個(gè)角使其等于N/05”的尺規(guī)作圖方法.

(1)如圖，以點(diǎn)。為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交。4,OB于點(diǎn)、C,D；

(2)作射線0'4',以點(diǎn)。'為圓心，OC長為半徑畫弧，交ON于點(diǎn)C'；以點(diǎn)。為圓

心，3長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)。外

(3)過點(diǎn)。弘乍射線。F,則44'。8=

/B/B'

上述方法通過判定工CODdCOD得到ZA'O'B'=AAOB,其中判定LCODdCOD的依

據(jù)是()

A.三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等

B.兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等

C.兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等

D,兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等

【答案】A

【解析】根據(jù)基本作圖中，判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊，解答即可.

本題考查了作一個(gè)角等于已知角的基本作圖，熟練掌握作圖的依據(jù)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】根據(jù)上述基本作圖，可得0c=O'C',OD=O'D',CD=CD',

故可得判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊，

故選A.

8.（2024深圳）在如圖的三個(gè)圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，能判斷射線幺。平分NA4c的是（）

A.①②B.①③C.②③D,只有①

【答案】B

【解析】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是理解作法、掌握角平分

線的定義.利用基本作圖對(duì)三個(gè)圖形的作法進(jìn)行判斷即可.在圖①中，利用基本作圖可判斷幺。平分

ZBAC；在圖③中，利用作法得/￡=4F,,可證明"FM'AEN,有

ZAMD=ZAND,可得ME=NF,進(jìn)一步證明，得DM=DN,繼而可證明

AADM^AADN，得/MAD=/NAD,得到ZD是二胡。的平分線；在圖②中，利用基本作

圖得到。點(diǎn)為的中點(diǎn)，則/。為邊上的中線.

【詳解】在圖①中，利用基本作圖可判斷平分/B/C；

在圖③中，利用作法得/￡=/F,AM=AN,

7

工M/

在AAFM和AAEN中，

AE=AF

<ABAC=ABAC,

AM=AN

AAFM^AEN（SAS）,

：./AMD=ZAND,

?;AM—AE=AN—AF

:.ME=NF

在和AND9中

NAMD=ZAND

<ZMDE=NNDF,

ME=NF

AMDE^ANDF(AAS),

：.DM=DN,

AD=AD,AM=AN,

：.AADM^AADN(SSS),

/MAD=/NAD,

/.ND是/胡。的平分線；

在圖②中，利用基本作圖得到。點(diǎn)為的中點(diǎn)，則/。為5C邊上的中線.

則①③可得出射線AD平分NBAC.

故選：B.

9.（2024四川成都市）如圖，在Y45CD中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)長為半徑

作弧，分別交氏4,BC于■點(diǎn)、M,N；②分別以N為圓心，以大于‘"乂的長為半徑作弧，

2

兩弧在N48。內(nèi)交于點(diǎn)0；③作射線50,交4D于點(diǎn)E,交延長線于點(diǎn)尸.若CD=3,

￡?E=2,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.ZABE=ZCBEB.BC=5

BE5

C.DE=DFD.——=—

EF3

【答案】D

【解析】本題考查角平分線的尺規(guī)作圖、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及相似性質(zhì)與判定

的綜合.先由作圖得到AF為。的角平分，利用平行線證明NAEB=NABE,從而得到

AE=AB=CD=3,再利用平行四邊形的性質(zhì)得到5。=/。=/￡+￡。=3+2=5,再證明

BE3

△AEBsADEF,分別求出=—,DF=2,則各選項(xiàng)可以判定.

EF2

【詳解】由作圖可知，5廠為N45。的角平分，

ZABE=ZCBE,故A正確；

V四邊形ABCD為平行四邊形，

/.AD=BC,AB=CD,AD\\BC,

AD//BC

NAEB=ZCBE,

ZAEB=ZABE,

AE=AB=CD=3,

BC=AD=AE+ED=3+2=5,故B正確;

AB=CD,

ZABE=NF,

ZAEB=NDEF,

△AEBsADEF,

BE_AB_AE_

一,

~EF~~DFED

BE3_3

一,

~EF-DF2

BE_3

—>DF=2,故D錯(cuò)誤;

~EF2

?/DE=2,

：.DE=DF,故C正確，

故選：D.

10.(2024湖北省)N5為半圓O的直徑，點(diǎn)。為半圓上一點(diǎn)，且NC4B=50°.①以點(diǎn)B為圓心,

適當(dāng)長為半徑作弧，交4B,BC于D,E；②分別以為圓心，大于工DE為半徑作弧，兩弧交于

2

點(diǎn)尸；③作射線AP,則/48尸=()

【答案】C

【解析】本題主要考查圓周角定理以及角平分線定義，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可求出

ZABC=4Q°,根據(jù)作圖可得=L480=20。，故可得答案

2

【詳解】為半圓。的直徑，

ZACB=90°,

?/ZCAB=50°，

ZABC=40°，

由作圖知，/P是148C的角平分線，

ZABP=-ABC=2Q°,

2

故選：C

二、填空題

1.（2024湖南?。┤鐖D，在銳角三角形48c中，2。是邊BC上的高，在氏4,上分別截取線

段BE,BF，使BE=BF；分別以點(diǎn)￡,尸為圓心，大于工EE的長為半徑畫弧，在248C內(nèi)，

2

兩弧交于點(diǎn)P,作射線BP,交AD于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MNLAB于有、N.若MN=2,AD=4MD,

貝|」我=.

【解析】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)作圖可知AP平分/48C,根據(jù)角平

分線的性質(zhì)可知DM=MN=2,結(jié)合40=4"。求出4D,AM.

【詳解】作圖可知AP平分N48C,

：4D是邊5C上的高，MN1AB,MN=2,

：.MD=MN=2,

'：AD=AMD,

AD=8,

AM=AD-MD=6,

故答案為：6.

2.（2024貴州?。┤鐖D，在中，以點(diǎn)/為圓心，線段N2的長為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)D,

連接4D.若48=5,則4D的長為.

【答案】5

【解析】本題考查了尺規(guī)作圖，根據(jù)作一條線段等于已知線段的作法可得出幺。=/5,即可求解.

由作圖可知：AD=AB,

4B=5,

：.AD=5,

故答案為：5.

3.（2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交x

軸正半軸于點(diǎn)交y軸正半軸于點(diǎn)N,再分別以點(diǎn)N為圓心，大于;W的長為半徑畫弧，兩

弧在第一象限交于點(diǎn)X,畫射線。8，若〃（2a—貝ija=.

【解析】此題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)作圖方法可得點(diǎn)8

在第一象限的角平分線上，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)可得答案.

【詳解】根據(jù)作圖方法可得點(diǎn)〃在第一象限角平分線上；點(diǎn)〃橫縱坐標(biāo)相等且為正數(shù)；

2。-1=。+1,

解得：。=2,

故答案為：2.

4.（2024山東棗莊）如圖，已知NMAN,以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別與ZM、AN

相交于點(diǎn)B,C；分別以3,。為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)部相交于

2

點(diǎn)尸，作射線/尸.分別以A,8為圓心，以大于工48的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)D,E,作

2

直線￡>￡分別與48,/尸相交于點(diǎn)尸，Q.若48=4,ZPQE=67.5°,則/到/N的距離為

M

【答案】V2

【解析】如圖，過/作于X,證明NB4P=NC4P,DE1AB,AF=BF=-AB=2,

2

再證明/E4〃=45。，再結(jié)合勾股定理可得答案.

AF=BF=-AB=2,

2

?/ZPQE=67.5°,

/.ZAQF=67.5°,

ZBAP=ZCAP=90°-67.5°=22.5°,

NFAH=45。，

AH=FH=—AF=V2，

2

尸到/N的距離為J5；

故答案為：V2

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：基本作圖，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，等

腰三角形的判定，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)，逐步

操作.

5.（2024天津市）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)4￡G均在格點(diǎn)上.

⑵點(diǎn)E在水平網(wǎng)格線上，過點(diǎn)4瓦尸作圓，經(jīng)過圓與水平網(wǎng)格線的交點(diǎn)作切線，分別與尸

的延長線相交于點(diǎn)民中，點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N在邊48上，點(diǎn)尸在邊ZC上.請(qǐng)用無

刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)使的周長最短，并簡要說明點(diǎn)M,N,P

的位置是如何找到的（不要求證明）.

【答案】①.V2②.圖見解析，說明見解析

【解析】【分析】此題考查了勾股定理、切線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意正確作圖是解題的關(guān)鍵.

（1）利用勾股定理即可求解；

（2）根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)和網(wǎng)格特點(diǎn)進(jìn)行作圖即可.

【詳解】（1）由勾股定理可知，/G=A/F+F=亞,

故答案為：V2

（2）如圖，根據(jù)題意，切點(diǎn)為M；連接腔并延長，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)〃!；取圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)

D和格點(diǎn)H,連接DH并延長,與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)M2；連接，分別與AB,AC相交于點(diǎn)N,P,

則點(diǎn)M,N,P即為所求.

三、解答題

1.（2024福建?。┤鐖D，已知直線/[〃心

,2

(1)在/],，2所在的平面內(nèi)求作直線/，使得/〃/]〃，2，且/與4間的距離恰好等于/與z2間的距離；

(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下，若4與間的距離為2,點(diǎn)4SC分別在///上，且為等腰直角三

角形，求的面積.

【答案】(1)見解析；(2)的面積為1或*.

2

【解析】本題主要考查基本作圖，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定，勾股定理以及分類討論思想：

(1)先作出與4的垂線，再作出夾在4,，2間垂線段的垂直平分線即可；

(2)分/B/C=90°,/B=/C；ZABC=90°,BA=BC；=90°,G4=CS三種情況，結(jié)

合三角形面積公式求解即可

【小問1詳解】

解：如圖，

X——

、/12

直線,就是所求作的直線.

【小問2詳解】

①當(dāng)ABAC=90。,=/C時(shí)，

■：lH4〃，2,直線與4間的距離為2,且/與4間的距離等于/與間的距離，根據(jù)圖形的對(duì)稱性可

知：BC=2,

AB=AC=V2,

.-.SAABC=^AB-AC=1.

c

②當(dāng)NABC=90°,BA=3C時(shí),

分別過點(diǎn)4c作直線4的垂線，垂足為

AAMB=4BNC=90°.

???/〃4〃4，直線4與4間的距離為2，且/與4間的距離等于/與乙間的距離，

:.CN=2,AM=1.

ZMAB+ZABM=90°,ZNBC+AABM=90°,

:.ZMAB=ZNBC,:./\AMB^/\BNC,

:.BM=CN=2.

在中，由勾股定理得45?=2加2+8舊2,

AB=45■

綜上所述，AA8C的面積為1或9.

2

2.（2024廣西）如圖，在“BC中，N/=45°,AOBC.

（1）尺規(guī)作圖：作線段N5的垂直平分線/,分別交Z5,ZC于點(diǎn)。，E-.（要求：保留作圖痕跡,

不寫作法，標(biāo)明字母）

（2）在（1）所作的圖中，連接BE,若48=8,求的長.

【答案】（1）見詳解（2）472

【解析】（1）分別以48為圓心，大于14B為半徑畫弧，分別交，ZC于點(diǎn)D及作直線QE,

2

則直線/即為所求.

（2）連接由線段垂直平分線的性質(zhì)可得出BE=/￡,由等邊對(duì)等角可得出/￡"=//=45。，

由三角形內(nèi)角和得出NBE4=90。，則得出A4BE為等腰直角三角形，再根據(jù)正弦的定義即可求出

BE的長.

【小問1詳解】

解：如下直線/即為所求.

【小問2詳解】

連接8E如下圖:

VDE為線段AB的垂直平分線,

BE=AE,

NEBA=ZA=45°,

，NBEA=90°,

為等腰直角三角形,

AB2

歷5

BE=AB--=Sx—=4s/2

22

【點(diǎn)睛】本題主要考查了作線段的垂線平分線，線段的垂線平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角

形內(nèi)角和定理以及正弦的定義.掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2024陜西?。┤鐖D，已知直線/和/外一點(diǎn)/,請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作一個(gè)等腰直角,

使得頂點(diǎn)8和頂點(diǎn)C都在直線/上.（作出符合題意的一個(gè)等腰直角三角形即可，保留作圖痕跡，不

寫作法）

A

【答案】見解析

【解析】本題考查了等腰直角三角形的定義，尺規(guī)作圖.過點(diǎn)/作48_L/,垂足為8,再在直線/

上截取點(diǎn)C,使=連接/C,則是所求作的等腰直角三角形.

【詳解】等腰直角如圖所示：

4.（2024內(nèi)蒙古赤峰）如圖，在中，。是48中點(diǎn).

A.

\

BL----------xc

(1)求作：ZC的垂直平分線/(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)若/交/C于點(diǎn)￡,連接DE并延長至點(diǎn)尸，使EF=2DE,連接BE,CF.補(bǔ)全圖形，并證

明四邊形BCEE是平行四邊形.

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】本題考查了尺規(guī)作圖，中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定.

(1)利用尺規(guī)作圖作出線段/C的垂直平分線/即可；

(2)由。，E分別為AB,ZC的中點(diǎn)，根據(jù)中位線的性質(zhì)，得到￡>￡〃BC,DE=-BC,結(jié)合

2

EF=2DE,得到斯=5C,即可證明結(jié)論成立.

【小問1詳解】

￡分別為48,ZC的中點(diǎn)，

DE//BC,DE=-BC,

2

?/EF=2DE,即：DE^-EF,

2

EF=BC,

EF//BC,

四邊形BCFE是平行四邊形.

5.（2024黑龍江綏化）已知：AABC.

（1）尺規(guī)作圖：畫出一BC的重心G.（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）

（2）在（1）的條件下，連接ZG,BG.已知A/BG的面積等于5cm2,則小的面積是.cm2.

【答案】（1）見解析（2）15

【解析】本題考查了三角形重心的性質(zhì)，尺規(guī)畫垂線；

（1）分別作8cze的中線，交點(diǎn)即為所求；

S2

（2）根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可得《皿=不，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可得S“BC=28“m=15cm2

口AABD

【小問1詳解】

解：如圖所示

作法：①作BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D

②作AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)F

③連接40、相交于點(diǎn)G

④標(biāo)出點(diǎn)G,點(diǎn)G即為所求

【小問2詳解】

解：:G是的重心,

AG=—AD

3

.S“BG_2

??c―弓

3dABDJ

"BG的面積等于5cm2，

,?S^ABD=7.5cm2

又???。是8c的中點(diǎn),

,?S&ABC=2SAABD=15cm2

故答案為：15.

6.（2024甘肅臨夏）根據(jù)背景素材，探索解決問題.

平面直角坐標(biāo)系中畫一個(gè)邊長為2的正六邊形/8CDEE

背

六等分圓原理,也稱為圓周六等分問題,是一個(gè)古老而經(jīng)典的幾何問題，

景

旨在解決如何使用直尺和圓規(guī)將一個(gè)圓分成六等份的問題.這個(gè)問題由

素

歐幾里得在其名著《幾何原本》中詳細(xì)闡述.

材1h

已

知

點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，點(diǎn)。在x軸的正半軸上且坐標(biāo)為（2,0）

條

件

①分別以點(diǎn)C,。為圓心，3長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P；

操y>

作②以點(diǎn)尸為圓心，PC長為半徑作圓；

步③以CD的長為半徑，在。尸上順次截取法=前=方=前；

____________*______\

DX

驟④順次連接。E,EF,FA,AB,BC,得到正六邊形Z8CDE/L

問題解決

任

根據(jù)以上信息，請(qǐng)你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫

務(wù)

作法）

任

務(wù)將正六邊形/8CDE/繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,直接寫出此時(shí)點(diǎn)E所在位置的坐標(biāo)：______.

【答案】任務(wù)一：見解析；任務(wù)二：（4,0）

【解析】本題考查尺規(guī)作圖，弧、弦、圓心角的關(guān)系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

任務(wù)一：根據(jù)操作步驟作出。尸，再根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系，分別作出

DE=EF=AF=AB=CD,即得出放=礪=方=藍(lán)，最后順次連接即可；

任務(wù)二：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知?！?=0。=2,即得出?！?=?！?+。。=4,即此時(shí)點(diǎn)E所在位置的

坐標(biāo)為（4,0）.

【詳解】解：任務(wù)一：如圖，正六邊形4BCDEE即為所作；

4

O(ol^~DX

任務(wù)二：如圖,

由旋轉(zhuǎn)可知￡>￡'=0。=2,

/.OE'=DE'+OD=4,

：.￡[4,0）.

故答案為：（4,0）.

7.（2024甘肅威武）馬家窯文化以發(fā)達(dá)的彩陶著稱于世，其陶質(zhì)堅(jiān)固，器表細(xì)膩，紅、黑、白彩共

用，彩繪線條流暢細(xì)致，圖案繁緡多變，形成了絢麗典雅的藝術(shù)風(fēng)格，創(chuàng)造了一大批令人驚嘆的彩陶

藝術(shù)精品，體現(xiàn)了古代勞動(dòng)人民的智慧.如圖1的彩陶紋樣呈現(xiàn)的是三等分圓周，古人用等邊三角形

三點(diǎn)定位的方法確定圓周的三等分點(diǎn)，這種方法和下面三等分圓周的方法相通.如圖2,已知。。和

圓上一點(diǎn)M.作法如下：

①以點(diǎn)M為圓心，長為半徑，作弧交。。于4,B兩點(diǎn);

②延長X。交。。于點(diǎn)C；

即點(diǎn)4,B,C將。。的圓周三等分.

三點(diǎn)定位法三等分圓周

圖1圖2

(1)請(qǐng)你依據(jù)以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中將。。的圓周三等分(保留作圖痕跡，

不寫作法)；

(2)根據(jù)(1)畫出的圖形，連接AC,BC,若。。的半徑為2cm,則的周長為

_____cm.

【答案】(1)見解析(2)6A/3

【解析】【分析】(1)根據(jù)尺規(guī)作圖的基本步驟解答即可；

(2)連接4W,設(shè)工用的交點(diǎn)為。，得到根據(jù)。。的半徑為2cm,"C是直徑,

是等邊三角形，計(jì)算即可.

本題考查了尺規(guī)作圖，圓的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法和圓的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

【小問1詳解】

根據(jù)基本作圖的步驟，作圖如下：

則點(diǎn)/,B,C是求作的。。的圓周三等分點(diǎn).

【小問2詳解】

連接設(shè)/民0M的交點(diǎn)為。，

根據(jù)垂徑定理得到ADL0M,

的半徑為2cm,是直徑，-8。是等邊三角形,

/.ACAM=90°,ACMA=Z5=60°,MC=4cm,

/.AC=MCsinZCMA=sin60°x4=2^3(cm),

/./BC的周長為AB+3C+ZC=6V^(cm),

故答案為：6-\/3-

A

w

8.（2024河南?。┤鐖D，在RtZk/BC中，3是斜邊N2上的中線，BE//。。交/C的延長線

于點(diǎn)￡

（1）請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作NECM,使NECM=NZ,且射線CM交BE于點(diǎn)/（保留作圖

痕跡，不寫作法）.

（2）證明（1）中得到的四邊形CD8E是菱形

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，菱形的判定，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是：

（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法作圖即可；

（2）先證明四邊形CDAF是平行四邊形，然后利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出

CD=BD=-AB,最后根據(jù)菱形的判定即可得證.

2

【小問1詳解】

解：如圖，

【小問2詳解】

證明：?:NECM=NA,

CM//AB,

■：BE//DC,

，四邊形CDBF是平行四邊形，

?.?在RtZ\45C中，3是斜邊N5上的中線,

/.CD=BD=-AB,

2

，平行四邊形CDAF是菱形.

9.（2024武漢市）如圖是由小正方形組成的3x4網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).AABC三個(gè)

頂點(diǎn)都是格點(diǎn).僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個(gè)畫圖任務(wù)，每個(gè)任務(wù)的畫線不得超過三條.

（1）在圖（1）中，畫射線交于點(diǎn)。，使平分的面積；

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，在射線4D上畫點(diǎn)￡,使NECB=NACB；

（3）在圖（2）中，先畫點(diǎn)尸，使點(diǎn)/繞點(diǎn)廠順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)C,再畫射線/尸交于點(diǎn)G；

（4）在（3）的基礎(chǔ)上，將線段48繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)180°,畫對(duì)應(yīng)線段W（點(diǎn)/與點(diǎn)M對(duì)應(yīng)，點(diǎn)8

與點(diǎn)N對(duì)應(yīng)）.

【答案】（1）作圖見解析

（2）作圖見解析（3）作圖見解析

（4）作圖見解析

【解析】【分析】本題考查了網(wǎng)格作圖.熟練掌握全等三角形性質(zhì)，平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形性

質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

（1）作矩形83/C,對(duì)角線印交5C于點(diǎn)。，做射線即可；

（2）作OP〃BC,射線ZRLO尸于點(diǎn)。，連接CQ交4D于點(diǎn)E,即可;

（3）在ZC下方取點(diǎn)凡使4F=CE=?，尸是等腰直角三角形，連接C戶，AF，AF

交5C于點(diǎn)G,即可；

（4）作。尸〃BC,交ZG于點(diǎn)作ST〃ZG,交5c于點(diǎn)N,連接MN,即可.

【小問1詳解】

如圖，作線段印，使四邊形是矩形，HI交BC于點(diǎn)、D,做射線Z。，點(diǎn)。即為所求作；

【小問2詳解】

如圖，作。尸〃8C,作產(chǎn)于點(diǎn)Q,連接交/。于點(diǎn)￡,點(diǎn)E即為作求作;

【小問3詳解】

如圖，在/C下方取點(diǎn)R慢AF=CF=出，連接。尸，連接并延長4F，AF交BC于點(diǎn)、G,

點(diǎn)、F,G即為所求作；

【小問4詳解】

如圖，作OP〃BC,交射線/G于點(diǎn)作ST〃/G,交.BC于點(diǎn)、N,連接MN,線段跖V即為

所求作.

10.（2024吉林?。┬∶髟趯W(xué)習(xí)時(shí)發(fā)現(xiàn)四邊形面積與對(duì)角線存在關(guān)聯(lián)，下面是他的研究過程:

【探究論證】

(1)如圖①，在中，4B=BC,BDA.AC,垂足為點(diǎn)D若CD=2,BD=1,則

S^ABC=

(2)如圖②，在菱形A'B'C'D'中，A'C=4,B'D'=2,則S菱形.

(3)如圖③，在四邊形EEG玄中，EGLFH,垂足為點(diǎn)。若￡G=5,FH=3,則

S四邊形EFGH=；若EG=a,FH=b,猜想S四邊形已網(wǎng)口與。，方的關(guān)系，并證明你的猜想.

【理解運(yùn)用】

(4)如圖④，在￡\MNK中,MN=3,KN=4,MK=5,點(diǎn)、P為邊MN上一點(diǎn)、.

小明利用直尺和圓規(guī)分四步作圖：

(i)以點(diǎn)K為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交邊KN,KM于點(diǎn)、R,I；

(ii)以點(diǎn)P為圓心，KR長為半徑畫弧，交線段W于點(diǎn)/'；

(iii)以點(diǎn)/'為圓心，笈長為半徑畫弧，交前一條弧于點(diǎn)R,點(diǎn)R,K在跖V同側(cè)；

(iv)過點(diǎn)尸畫射線PR,在射線PR上截取尸。=KN,連接KP,KQ,MQ.

請(qǐng)你直接與出S四邊物勿儂的值.

【答案】⑴2,(2)4,(3)y,S四邊形EFGH,證明見詳解，⑷10

【解析】【分析】(1)根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；

(2)根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算即可；

=

(3)結(jié)合圖形有，S四邊形骸G”S4EFG+S^EHG，

即可得S四切花=-xEGxF(9+-xEGx/f<9=-xEGx(EO+8。)，問題隨之得解；

(4)先證明△兒WK是直角三角形，由作圖可知：NMKN=/MPQ,即可證明再結(jié)

合(3)的結(jié)論直接計(jì)算即可.

【詳解】(1):在中，AB=BC,BDVAC,CD=2,

AD=CD=2,

AC-4,

S\ABC=gxZCxBD=2,

故答案為：2；

（2）???在菱形中,HC'=4,B'D'=2,

??S菱形=—^B'D'xA,C,-4,

故答案為：4；

9

（3）：EGlFHf

,e,=5xEGxFO,$AEHG=3XEGxHO,

,S四邊形MG4=S&EFG+S&EHG，

???s四邊形EFGH=-X￡GXFO+-XEGXHO=-xEGx（FO+HO）,

222

，S四邊形EFGH=gxEGx（FO+HO）=gxEGxFH,

EG=5,FH=3,

,?S四邊形EFG”=—XEGXFH=—,

故答案為：一，

2

猜想：S四邊形EFGH=5帥,

證明：VEGLFH,

?'e=萬xEGxFO,S^EHG=QXEGXHO,

,S四邊形EFG"=S&EFG+S&EHG，

???S四邊形=-XEGXFO-^-XEGXHO=-XEGX（FO+HO）,

222

,?S四邊形EFGH=5xEGx（F0+HO）=—xEGxFH,

,:EG=a,FH=b,

??S四邊形EFGH=5ab；

（4）根據(jù)尺規(guī)作圖可知：AQPM=AMKN,

,:在小MNK中,MN=3,3=4,MK=5,

???MK2=KN2+MN2>

是直角三角形，且NMVK=90°,

ANMK+NMKN=90°,

ZQPM=ZMKN,

/NMK+NQPM=90。,

MKA.PQ,

?：PQ=KN=4,MK=5,

...根據(jù)（3）的結(jié)論有：S四邊形WK。=gxMTxP0=lO.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，作一個(gè)角等于己知角的尺規(guī)作圖，勾股定理的

逆定理等知識(shí)，難度不大，掌握作一個(gè)角等于已知角的尺規(guī)作圖方法，是解答本題的關(guān)鍵.

11.（2024江蘇揚(yáng)州）如圖，已知NPZ。及4?邊上一點(diǎn)C.

（1）用無刻度直尺和圓規(guī)在射線Z0上求作點(diǎn)。，使得NCO0=2NCZ。；（保留作圖痕跡，不

寫作法）

（2）在（1）的條件下，以點(diǎn)。為圓心，以。4為半徑的圓交射線2。于點(diǎn)B,用無刻度直尺和圓規(guī)

在射線B上求作點(diǎn)使點(diǎn)m到點(diǎn)。的距離與點(diǎn)M到射線2。的距離相等；（保留作圖痕跡，不

寫作法）

3

（3）在（1）、（2）的條件下，若sinN=1,CM=12,求5v的長.

【答案】⑴作圖見詳解（2）作圖見詳解⑶BM=645

【解析】【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角等于己知角的方法即可求解；

（2）根據(jù)尺規(guī)作圓，作垂線的方法即可求解；

（3）根據(jù)作圖可得M少，Z。，CM=WM=\2,A8是直徑，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義可得

的值，根據(jù)勾股定理可求出ZC的值，在直角中運(yùn)用勾股定理即可求解.

【小問1詳解】

解：如圖所示，

Q

：.ZCOQ=2ZCAQ-

點(diǎn)o即為所求

【小問2詳解】

解：如圖所示，

連接以點(diǎn)8為圓心，以為半徑畫弧交幺。于點(diǎn)4，以點(diǎn)4為圓心，以任意長為半徑畫弧

交/。于點(diǎn)G，2,分別以點(diǎn)G，烏為圓心，以大于;G2為半徑畫弧，交于點(diǎn)片，連接4片并

延長交幺尸于點(diǎn)M,

AB是直徑，

ZACB=90°,即

根據(jù)作圖可得用G=用。1，片，

MB^lAQ,即/MB/=90。，"用是點(diǎn)M到的距離，

BC=BB：

：.RtABCM名RtABB[M(HL),

/.CM=BXM,

點(diǎn)M即為所求點(diǎn)的位置;

【小問3詳解】

解：如圖所示，

根據(jù)作圖可得，ZCOQ=2ZCAQ,MC=MW=U,MWLAQ,連接5C,

WM3

...在中，sinZ=----=-

AM5

…5WM5x12”

AM=-----=-----=20,

33

AC=AM-CM=2Q-12=S,

?/AB是直徑,

ZACB=90°,

，疝

AB5

設(shè)BC=3x,則Z5=5x,

...在尺以48。中,（5x『=（3x『+82,

解得，x=2（負(fù)值舍去），

BC=3x=6,

在Rt^BCM中，BM=VCM2+SC2=7122+62=6石?

【點(diǎn)睛】本題主要考查尺規(guī)作角等于已知角，尺規(guī)作垂線，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)的

綜合，掌握以上知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

12.（2024江西省）如圖,AC為菱形ABCD的對(duì)角線，請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖

（保留作圖痕跡）

（2）如圖2,點(diǎn)E為線段48的中點(diǎn)，過點(diǎn)3作/C的平行線.

【答案】（1）作圖見解析;（2）作圖見解析.

【解析】【分析】（1）作直線8