2025高考數(shù)學(xué)綜合測(cè)試 第九章 計(jì)數(shù)原理、統(tǒng)計(jì)與概率（模塊綜合調(diào)研卷）教師版

第九章計(jì)數(shù)原理、統(tǒng)計(jì)與概率（模塊綜合調(diào)研卷）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置。

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.已知隨機(jī)變量X~?10,￡|,若隨機(jī)變量y=3X+2,則儀丫）=（）

A.10B.12C.30D.32

【答案】B

【分析】利用二項(xiàng)分布的期望公式和兩隨機(jī)變量的線性關(guān)系即可求解.

【詳解】由題意可得E（X）=10xg=￥，貝UE（y）=3E（X）+2=3x^+2=12.

故選：B.

2.（d-」+y）6的展開式中孫的系數(shù)為（）

x

A.30B.-30C.60D.-60

【答案】D

【分析】寫出通項(xiàng)，-，+y）6C；，-3"）,令i=l,再求C"/-3"展開式中x系數(shù)為1時(shí)的系數(shù)，

Xi=QXX

然后相乘即可；

【詳解】（Y-4+y）6=W

Xi=0X

沖項(xiàng)對(duì)應(yīng)i=l,_]_嚴(yán)=Cl（￡c）2（5-，）（一與）=6（￡C，2（一1）「），

Xr=0Xr=0

孫項(xiàng)對(duì)應(yīng)r=3系數(shù)為-60,故（尤2-工+y）6展開后個(gè)系數(shù)為-60.

故選：D.

3.將6名志愿者安排到4個(gè)不同的社區(qū)進(jìn)行創(chuàng)文共建活動(dòng)，要求每個(gè)社區(qū)至少安排1名志愿者，則不同排

法共有（）

A.480種B.1560種C.2640種D.640種

【答案】B

【分析】先將6名志愿者分成4組，然后再分配到不同的社區(qū)即可.

【詳解】解：先將6名志愿者分成4組，然后再分配到不同的社區(qū)即可，

若志愿者人數(shù)依次為3,1,1,1,則不同的安排方法種數(shù)為:?A：=480種;

A；

若志愿者人數(shù)依次為2,2,1,1,則不同的安排方法種數(shù)為:?6=1080種,

故不同的安排方法共有480+1080=1560種.

故選：B.

4.將數(shù)字123,4,5,6,7,8,9隨機(jī)填入3義3的正方形格子中，則每一橫行、每一豎列以及兩條斜對(duì)角線上的三

個(gè)數(shù)字之和都相等的概率為（）

8122448

A.—B.—C.—D.——

9!9!9!9!

【答案】A

【分析】用列舉法寫出符合題意的填寫方法，然后根據(jù)概率公式計(jì)算.

【詳解】符合題意的填寫方法有如下8種：

294618492816

753753357357

618294816492

672438276834

159951951159

834276438672

而9個(gè)數(shù)填入9個(gè)格子有9!種方法

Q

所以所求概率為

故選：A.

5.右=%+%(1+x)+%(1+%)++,(a,wR,i=0,1,2?),則()

A.180B.-180C.-90D.90

【答案】A

【分析】由(l+2x)i°=[2(l+x)-l嚴(yán)寫出其通項(xiàng)公式，依題意對(duì)「賦值即可求得出.

【詳解】因(1+2方嚴(yán)=[2(1+；0-1嚴(yán)，其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為:

10rrrI0r

&尸G[2(1+x)]-(-D=(-D2-C；0(l+尤嚴(yán),r=0,1,?.10,

而出是的Q+x)2的系數(shù),故只需取廠=8,得口=22c(1+以=180(1+尤)2,

即g=180.

故選：A.

6.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學(xué)同時(shí)到AB,C三個(gè)不同的社區(qū)參加公益活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少分配一名同學(xué).

設(shè)事件A="恰有兩人在同一個(gè)社區(qū)"，事件3="甲同學(xué)和乙同學(xué)在同一個(gè)社區(qū)"，事件C="丙同學(xué)和丁同學(xué)

在同一個(gè)社區(qū)"，則下面說(shuō)法正確的是()

A.事件A與8相互獨(dú)立B.事件A與8是互斥事件

C.事件B與C相互獨(dú)立D.事件B與C是對(duì)立事件

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用相互獨(dú)立事件、互斥事件、對(duì)立事件的意義逐項(xiàng)判斷即得.

【詳解】對(duì)于A,依題意，甲、乙、丙、丁中必有兩人在同一社區(qū)，即事件A是必然事件，F(xiàn)(A)=1,

A31

顯然BqA,P(AB)=P(B)=Kf=w=P(A)P(B),因此事件A與3相互獨(dú)立，A正確；

CjA；6

對(duì)于B,由P(A3)=,，得事件A與8不是互斥事件，B錯(cuò)誤；

6

對(duì)于C,顯然事件事件8與C不可能同時(shí)發(fā)生，即尸(80=0,而P(C)=P(B)=，，事件B與C相互不獨(dú)立,

6

C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,顯然事件8與C可以同時(shí)不發(fā)生，如甲丙在同一社區(qū)，因此事件8與C不是對(duì)立事件，D錯(cuò)誤.

故選：A

1?

7.若彳是一組數(shù)據(jù)4,Z2,…，乙的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差為s2=—.已知數(shù)據(jù)x天

的平均數(shù)為4,方差為2,數(shù)據(jù)%,%，…，%的平均數(shù)為2,方差為4,若將這兩組數(shù)據(jù)混合形成一組新

的數(shù)據(jù)，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為()

A.6B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】利用平均數(shù)和方差的定義結(jié)合條件求解即得.

【詳解】解：易知新的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為*=3,

所以新數(shù)據(jù)的方差s2=<x[2+(4-3)2]+[x[4+(4-3力=4.

22

故選：D.

尸⑷5”“4）尸（@可

8.托馬斯?貝葉斯在研究"逆向概率”的問(wèn)題中得到了一個(gè)公式:,這個(gè)公式被

邙⑷尸（例A）

j=l

稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中￡P(guān)（A）P（冽A）稱為8的全概率.春夏換季是流行性感冒爆發(fā)期，已

7=1

知A氏C三個(gè)地區(qū)分別有3%,6%,5%的人患了流感，且這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)之比是9:8:5,現(xiàn)從這三個(gè)地

區(qū)中任意選取1人，若選取的這人患了流感，則這人來(lái)自8地區(qū)的概率是（）

A.0.25B.0.27C.0.48D.0.52

【答案】C

【分析】本題利用題目信息給出的貝葉斯公式，結(jié)合全概率公式即可求解.

【詳解】記事件M表示“這人患了流感"，事件N\,N”N3分別表示“這人來(lái)自A,民C地區(qū)”,

由題意可知:

P（N、）得,P（N2）*,P（NJ4,

P（MN）=0.03,P[M\N2）=0.06,P{M\N3]=0.05,

P（M）=P（NjP（MlNl）+P（N2）P（MlN2）+P（N3）P（MlN3）=

9851

—x0.03+—x0.06+—x0.05

22222222

8

P（NjP（MNj_無(wú)一班=

故尸（刈q48

P（M）

22

故選：c.

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分）

9.甲乙兩名同學(xué)參加系列知識(shí)問(wèn)答節(jié)目，甲同學(xué)參加了5場(chǎng)，得分是3,4,5,5,8,乙同學(xué)參加了7場(chǎng),

得分是3,3,4,5,5,7,8,那么有關(guān)這兩名同學(xué)得分?jǐn)?shù)據(jù)下列說(shuō)法正確的是（）

A,得分的中位數(shù)甲比乙要小B.兩人的平均數(shù)相同

C.兩人得分的極差相同D.得分的方差甲比乙小

【答案】BCD

【分析】由中位數(shù)，極差的概念即可判斷AC,由平均數(shù)、方差計(jì)算公式可分別判斷BD.

【詳解】對(duì)于A,甲的得分中位數(shù)是5,乙的得分中位數(shù)是5,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,甲的得分平均數(shù)是」+4+：+5+8=§=5,乙的得分平均數(shù)是334+：+5+7+8=5，故B正確;

557

對(duì)于C,甲的得分極差是8-3=5,乙的得極差是8-3=5,故C正確;

對(duì)于D,甲的得分方差是:x［（3-5）?+（4-5）?+（5-5?+（5-5）氣（8-5）1=g,

乙的得方差是;x［（3-5）2+（3-5『+（4-5『+（5-5）2+（5-5）2+（7-5）2+（8-5）［=,＞3，故口正確.

故選：BCD.

10.已知|x+〃eN*）展開式中共有8項(xiàng).則該展開式結(jié)論正確的是（）

A.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為

C.系數(shù)最大項(xiàng)為第2項(xiàng)D.有理項(xiàng)共有4項(xiàng)

【答案】AD

【分析】先根據(jù)展開式的項(xiàng)數(shù)確定〃的值，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)判斷A；令x=l可得所有項(xiàng)的系數(shù)和從而

判斷B,利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解系數(shù)最大項(xiàng)及有理項(xiàng)可判斷CD.

【詳解】A項(xiàng)，因?yàn)榈恼归_式共有8項(xiàng),所以〃=7.

故所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為27=128,故A正確;

B項(xiàng)，令x=l,可得所有項(xiàng)的系數(shù)和為［+：［,故B錯(cuò)誤;

因?yàn)槎?xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為:

C項(xiàng)，當(dāng)reN*/VrV6,設(shè)（包項(xiàng)系數(shù)最大,

3

解得則廠=2,

3

且第3項(xiàng)系數(shù)為

當(dāng)廠=0時(shí)，T^x1,系數(shù)為1；

J_Z1_Z1

當(dāng)r=7時(shí)，x2=---x2,系數(shù)為7^；

I128128

由去1＜2?1」＜21?，故第3項(xiàng)的系數(shù)最大；故C錯(cuò)誤；

12844

D項(xiàng)，由7-U為整數(shù)，且廠=0,1,2,…,7可知，廠的值可以為：0,2,4,6,

所以二項(xiàng)展開式中，有理項(xiàng)共有4項(xiàng)，故D正確.

故選：AD.

1L隨機(jī)事件A,8滿足尸（A）=g,尸（耳=|，「（⑷8）=：，則下列說(shuō)法正確的是（）

__3

A.P（AB）=P（A）P（B）B.P（AB）=-

8

C.P（A+B）=|D,P（AB|（A+B））P（AB）=P2（A）P2（B）

【答案】CD

【分析】根據(jù)題意由相互獨(dú)立事件的概率性質(zhì)分析可判斷A,B；由概率加法公式可分析C；計(jì)算

P（AB|（A+B））,驗(yàn)證尸（A2"+B））尸（麗）=尸網(wǎng)尸⑻是否正確即可判斷D.

【詳解】由已知尸（司=；,P（B）=1,

因?yàn)槭?=%所以尸網(wǎng)）"回B）尸⑻=村],

所以尸（AB）=P（B）-P（M）=g-；=《，

所以尸（AB）wP（A）尸（3）,故A錯(cuò)誤；

因?yàn)閜（N豆）=尸（入）一尸（前）=；一;=；,故B錯(cuò)誤；

1113

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=-+--—=-,故C正確；

1

]_

-132

91

4-

又P（M）[，P（A）=：，尸⑻=[

所以尸（明（A+8））尸（初）=尸⑷尸2（B）,故D正確.

故選：CD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是概率的性質(zhì)和應(yīng)用，以及條件概率的計(jì)算.

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.某單位為了提高員工身體素質(zhì)，開展雙人投籃比寒，現(xiàn)甲、乙兩人為一組參加比賽，每次由其中一人投

籃，規(guī)則如下：若投中，則此人繼續(xù)投籃，若未投中，則換為對(duì)方投籃，無(wú)論之前投籃的情況如何，甲每

次投籃的命中率均為;，乙每次投籃的命中率均為;.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、

乙的概率各為1.第2次投籃的人是甲的概率為________；已知在第2次投籃的人是乙的情況下，第1次投

2

籃的人是甲的概率為.

119

【答案】三

24513

【分析】設(shè)相應(yīng)事件，結(jié)合題意分析相應(yīng)事件的概率，結(jié)合全概率公式求尸（4）；結(jié)合條件概率求尸（AI兀）.

【詳解】設(shè)"第MN*次是甲投籃"為事件A,,“投籃命中”為事件2,

由題意可知：P⑷=尸（不毛，*814）=：,尸修閭=g,

則尸（月IA）=jp僅閭=g,

所以第2次投籃的人是甲的概率為尸（4）=尸仍⑷尸（4）+P倒閭P（A）

112111

二—x——|——x—=—?

423224'

且在第2次投籃的人是乙的情況下，第1次投籃的人是甲的概率為

31

—X—

429

E13

24

119

故答案為：—:—.

13.已知某公司加工一種芯片的不合格率為p,其中若加工后的30顆這種芯片中恰有6顆不合格

的概率為/（p）,且各顆芯片是否為不合格品相互獨(dú)立，則當(dāng)/（°）取最大值時(shí)，P=.

【答案】|/0.2

【分析】先根據(jù)獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率求出了（0,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.

【詳解】由題意f（p）=C；°Xp6x（l_p）24,

設(shè)=fx(l-x)”,0cx<1,

貝I]=6%5x(l-x)24+x6x24(l-x)23x(-l)=6x5(1-x)23=6x5(l-x)-3(l-5x),

由>0得l-5x>0

所以/z（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)X時(shí)，〃（無(wú)）有極大值.

即當(dāng)「=!時(shí)，/（。）取得最大值.

故答案為：—

14.若隨機(jī)變量X,y分別服從成功概率為2;3的兩點(diǎn)分布，則E（xy）的取值范圍是___________

34

一52"

【答案】

【分析】由兩點(diǎn)分布及期望公式求解即可.

【詳解】解：因?yàn)殡S機(jī)變量x,y分別服從成功概率為:的兩點(diǎn)分布，

則尸（X=O）=w，P（X=1）=1,

13

p（y=o）=-,P（Y=I）=~,

44

所以xy=o或i,

所以E（xy）=oxp（xy=o）+1xp（xy=i）

=P（XY=l）=P（X=l,Y=l）

=p（x=i）+p（y=i）-p（x=i^y=i）

17

=石-尸（x=i或y=D，

3

因?yàn)镻（X=1或y=l）Vl,且尸（X=l或y=l）2max｛尸（X=l）,尸（y=l））=3，

4

3

所以-iw-尸（x=i或y=i）v_=,

4

5172

所以GW；；；-P（X=1或￥=1）＜彳，

12123

-52~

即夙xy）的取值范圍是.

故答案為："三5，二2.

四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分,

19題17分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

15.某班統(tǒng)計(jì)了全班50名同學(xué)在某一周內(nèi)到圖書館借閱次數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：

借閱次數(shù)01234567合計(jì)

男生人數(shù)2535512225

女生人數(shù)4455321125

合計(jì)人數(shù)69810833350

若將該周內(nèi)到圖書館借閱次數(shù)不少于3次的學(xué)生，稱為“愛好閱讀生"；少于3次的學(xué)生稱為“一般閱讀生

⑴請(qǐng)完成以下2x2列聯(lián)表；問(wèn)：能否有90%的把握認(rèn)為愛好閱讀與性別有關(guān)?

閱讀

性別合計(jì)

一般愛好

男生

女生

合計(jì)

2

力n(ad-be)

附：K=-----------------------------,n=a+b+c+d.

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.10.050.01

k2.7063.8416.635

(2)班主任從該周內(nèi)在圖書館借閱次數(shù)為0的同學(xué)中，一次性隨機(jī)抽取3人了解有關(guān)情況，求抽到的男生人

數(shù)X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)列聯(lián)表見解析，沒有90%的把握認(rèn)為喜愛閱讀與性別有關(guān)

(2)概率分布見解析，1

【分析】(1)完成2x2列聯(lián)表，計(jì)算出片即可得出判斷;

(2)由題可知，隨機(jī)變量X服從超幾何分布”(3,2,6),由此求出的X概率分布和數(shù)學(xué)期望.

【詳解】(1)2x2列聯(lián)表:

閱讀

性別合計(jì)

一般愛好

男生101525

女生131225

合計(jì)232750

提出假設(shè)乜)：是否喜愛閱讀與性別沒有關(guān)系,

根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，可以求得:

犬2_50(10〉12-13>15)2

X0.725<2.706,

-25x25x23x27

所以沒有90%的把握認(rèn)為喜愛閱讀與性別有關(guān).

(2)隨機(jī)變量X服從超幾何分布”(3,2,6),X可能取0,1,2,

C°C31c1C23C2cl1

P(X=0)=當(dāng)=(,P(X=1)=青=9P(X=2)=-^=《，

則X的分布列為:

X012

13]_

P

555

131

所以E(X)=Oxg+lxy+2*二=1，

故抽取男生人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為1.

16.某工廠生產(chǎn)一批機(jī)器零件，現(xiàn)隨機(jī)抽取100件對(duì)某一項(xiàng)性能指標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)，得到一組數(shù)據(jù)X,如下表:

性能指標(biāo)X6677808896

產(chǎn)品件數(shù)102048193

⑴求該項(xiàng)性能指標(biāo)的樣本平均數(shù)元的值.若這批零件的該項(xiàng)指標(biāo)x近似服從正態(tài)分布NW其中〃近

似為樣本平均數(shù)天的值，4=36,試求尸(86<X492)的值.

(2)若此工廠有甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工這種機(jī)器零件，且甲機(jī)床的生產(chǎn)效率是乙機(jī)床的生產(chǎn)效率的2倍，甲機(jī)

床生產(chǎn)的零件的次品率為0.02,乙機(jī)床生產(chǎn)的零件的次品率為0.03,現(xiàn)從這批零件中隨機(jī)抽取一件.

①求這件零件是次品的概率；

②若檢測(cè)出這件零件是次品，求這件零件是甲機(jī)床生產(chǎn)的概率；

③在①的條件下，若從這批機(jī)器零件中隨機(jī)抽取300件，每次抽取的結(jié)果相互獨(dú)立,記抽出的零件是次品，

且該項(xiàng)性能指標(biāo)恰好在(86,92］內(nèi)的零件個(gè)數(shù)為y,求隨機(jī)變量丫的數(shù)學(xué)期望(精確到整數(shù)).

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量自服從正態(tài)分布N(〃02),則尸(4-bW6W〃+b)”0.6827,

P(//-2cr<^<〃+2o■卜0.9545,P(//-3cr<^<//+3cr)?0.997.

【答案】⑴元=80；0.1359

⑵①擊②0③1

【分析】(1)計(jì)算出平均數(shù)后可得X?N(80,36),結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算即可得解；

(2)①借助全概率公式計(jì)算即可得；②借助條件概率公式計(jì)算即可得；③借助二項(xiàng)分布期望公式計(jì)算即

可得.

【詳解】(1)7=66x0.1+77x0.2+80x0.48+88x0.19+96x0.03=80，

因?yàn)閄?N(80,36),所以b=6,

則尸(86<X492)=gp(〃-2crVX4〃+2cr)_gp(〃一b4X4〃+b)

J9545一0.6827=0

2

（2）①設(shè)“抽取的零件為甲機(jī)床生產(chǎn)"記為事件A,

"抽取的零件為乙機(jī)床生產(chǎn)"記為事件4,

"抽取的零件為次品"記為事件B,

o1

則P（A）=,P（4）=p尸（514）=0.02,P（B|4）=0.03,

2io077

則P（5）=P（A）P（5|A）+P（4）P（5I4）=1X0.02+§X0.03=N-=荻；

2

-x0.02

②小以常^"3_____4

0.077

F

③由⑴及⑵①可知，這批零件是次品且性能指標(biāo)在（86,92］內(nèi)的概率°=擊、0.1359,

且隨機(jī)變量丫?3（300,p）,

7

所以E（y）=3OO0=3OOx—X0.1359=0.9513-1,

所以隨機(jī)變量y的數(shù)學(xué)期望為1.

31

17.小金、小郅、小睿三人下圍棋，已知小金勝小郅、小睿兩人的勝率均為:，小郅勝小睿的勝率為彳,

比賽采用三局兩勝制，第一場(chǎng)比賽等概率選取一人輪空，剩余兩人對(duì)弈，勝者繼續(xù)與上一場(chǎng)輪空者比賽,

另一人輪空.以此類推，直至某人贏得兩場(chǎng)比賽，則其為最終獲勝者.

⑴若第一場(chǎng)比賽小金輪空，則需要下第四場(chǎng)比賽的概率為多少？

⑵求最終小金獲勝的概率.

⑶若已知小郅第一局未輪空且獲勝，在此條件下求小金最終獲勝的概率（請(qǐng)用兩種方法解答）.

【答案】⑴白

16

【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式求解即可.

（2）根據(jù)互斥事件概率加法公式和獨(dú)立事件概率乘法公式求解即可.

（3）法一：利用條件概率求解即可；法二：根據(jù)事件的含義利用互斥事件概率加法公式和獨(dú)立事件概率乘

法公式求解即可.

【詳解】（1）第一場(chǎng)比賽小郅獲勝時(shí)，則第二場(chǎng)小金獲勝，第三場(chǎng)小睿獲勝，滿足題意；

第一場(chǎng)比賽小睿獲勝時(shí)，則第二場(chǎng)小金獲勝，第三場(chǎng)小郅獲勝，滿足題意；

所以需要下第四場(chǎng)比賽的概率為1:?=3=1+：1弓3=1=弓3.

24424416

（2）由題意，最終小金獲勝的情況如下,

當(dāng)小金第一場(chǎng)輪空,

11333

第一場(chǎng)小郅勝小睿輸，第二場(chǎng)小金勝小郅輸,第三場(chǎng)小金勝小睿輸，此時(shí)卜整｝；弋，

第一場(chǎng)小睿勝小郅輸，第二場(chǎng)小金勝小睿輸，第三場(chǎng)小金勝小郅輸，此時(shí)1丁1下3白m3=39，

324432

333

則小金獲勝片=前+0=正，

52.52.16

當(dāng)小金第一場(chǎng)不輪空，

第一場(chǎng)小郅勝小金輸，第二場(chǎng)小睿勝小郅輸，第三場(chǎng)小金勝小睿輸，第三場(chǎng)小金勝小郅輸，此時(shí)

111333

—X—X—X—X—=,

34244128

第一場(chǎng)小金勝小郅輸，第二場(chǎng)小睿勝小金輸，第三場(chǎng)小郅勝小睿輸，第三場(chǎng)小金勝小郅輸，此時(shí)

131133

——X——X—X——X——=,

34424128

第一場(chǎng)小金勝小郅輸，第二場(chǎng)小金勝小睿輸，此時(shí)1:x3=x^3=33，

34416

33315

所以第一場(chǎng)小郅與小金比賽，小金獲勝概率為6=---1----1--=

12812816641

同理，第一場(chǎng)小睿與小金比賽，小金獲勝概率為4=11

21

故小金獲勝概率為P=PX+P2+P3=—

則尸（川8）=胃胃，

（3）法一：設(shè)4小金最終獲勝；5小郅第一場(chǎng)未輪空且獲勝,

“人/、斤1133111331511111

結(jié)合（2）知P（A3）=-------------1-----------=,P（B）=----1----—,

17324434244128—32344

1133

法二：第一場(chǎng)小睿輪空時(shí)，小金最終獲勝概率為隹7“

133

第一場(chǎng)小金輪空時(shí)，小金最終獲勝概率為2寶不“

P（A|B）=|xlx|x|+2xlx|x|=1.

18.已知甲口袋有7M機(jī)機(jī)?N*）個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙口袋有〃（“21,〃eN*）個(gè)紅球和2個(gè)白球，小明從

甲口袋有放回地連續(xù)摸球2次，每次摸出一個(gè)球，然后再?gòu)囊铱诖蟹呕氐剡B續(xù)摸球2次，每次摸出一個(gè)

球.

(1)當(dāng)加=4,〃=2時(shí)，

(i)求小明4次摸球中，至少摸出1個(gè)白球的概率；

3)設(shè)小明4次摸球中，摸出白球的個(gè)數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望；

(2)當(dāng)機(jī)=〃時(shí)，設(shè)小明4次摸球中，恰有3次摸出紅球的概率為P,則當(dāng)/為何值時(shí)，P最大?

【答案】(1)⑴—；(ii)j

(2)m-6

【分析】(1)(i)先根據(jù)題意求出小明從甲口袋摸出一個(gè)白球的概率和從乙口袋摸出一個(gè)白球的概率，然后

求出小明4次摸球中，摸出的都是紅球的概率，然后利用對(duì)立事件的概率公式可求得答案；(ii)X的所有

可能取值為0/，2,3,4,求出相應(yīng)的概率，從而可求出X的數(shù)學(xué)期望；

(2)由m=",可視為小明從甲口袋中有放回地摸出一個(gè)球，連續(xù)摸4次，相當(dāng)于4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則

34

P(k)=C*(1一外=4(k-k),然后利用導(dǎo)數(shù)可求得其最大值.

21

【詳解】(1)小明從甲口袋有放回地摸出一個(gè)球，摸出白球的概率為

4+23

21

從乙口袋有放回地摸出一個(gè)球，摸出白球的概率為一F

(i)設(shè)"小明4次摸球中，至少摸出1個(gè)白球”為事件A,則“小明4次摸球中，摸出的都是紅球〃為事件X，

22

且明=『力『)=1

-9

9

所以P(A)=1-(Z)=1J=|

(ii)X的所有可能取值為Q1,2,3,4,

22

由(i),得尸(X=0)=P(Z)=：P(X=l)=C；x11111

I+1_Mx4xll-jx—=—

32323

113

p(X=2)=x—=

236,

2

尸(X=3)=&1|21

,P(X=4)X

2236

所以E(X)=0XL+"+2XU+3XL4X，=9

93366363

(2)由根=〃，可視為小明從甲口袋中有放回地摸出一個(gè)球，連續(xù)摸4次，相當(dāng)于4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),

設(shè)小明每次摸出一個(gè)紅球的概率為k(Q<k<l),則Pg=C*(i-k)=4(k3-k4).

因?yàn)槭?/p>

所以當(dāng)0〈人時(shí)，P優(yōu))>0；當(dāng)(<人<1時(shí)，P(左)<0,

所以尸（左）在區(qū)間（o,￡|上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

a

所以當(dāng)％=:時(shí)，P（k）最大,

m3

止匕時(shí)左===：,解得m=6,

m+24

故當(dāng)機(jī)=6時(shí)，月最大.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查對(duì)立事件的概率公式的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的期望，考查獨(dú)立重復(fù)

試驗(yàn)的概率，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，第（2）問(wèn)解題的關(guān)鍵是根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式表示出尸?。?，然后利

用導(dǎo)數(shù)可求出其結(jié)果，考查理解能力和計(jì)算能力，屬于較難題.

19.現(xiàn)有一摸獎(jiǎng)游戲，其規(guī)則如下：設(shè)置1號(hào)和2號(hào)兩個(gè)保密箱，在1號(hào)保密箱內(nèi)共放有6張卡片，其中

有4張卡片上標(biāo)有奇數(shù)數(shù)字，另外2張卡片上標(biāo)有偶數(shù)數(shù)字；2號(hào)保密箱內(nèi)共放有5張卡片，其中有3張卡

片上標(biāo)有奇數(shù)數(shù)字，另外2張卡片上標(biāo)有偶數(shù)數(shù)字.摸獎(jiǎng)?wù)呦葟?號(hào)保密箱內(nèi)隨機(jī)摸出一張卡片放入2號(hào)

保密箱內(nèi)，待把2號(hào)保密箱內(nèi)的卡片重新攪拌均勻后，再?gòu)?號(hào)保密箱內(nèi)隨機(jī)摸出一張卡片，即完成一次

摸獎(jiǎng)，如果摸獎(jiǎng)?wù)邚?號(hào)保密箱和2號(hào)保密箱內(nèi)摸出的卡片上的數(shù)字均為偶數(shù)即中獎(jiǎng).當(dāng)上一個(gè)人摸獎(jiǎng)結(jié)

束后，需要將兩保密箱內(nèi)的卡片復(fù)原并攪拌均勻，下一個(gè)人才可摸獎(jiǎng)，所有卡片的外觀質(zhì)地都相同.

（1）求摸獎(jiǎng)?wù)咄瓿梢淮蚊?jiǎng)就中獎(jiǎng)的概率；

（2）若有3人依次摸獎(jiǎng),且每人只完成一次摸獎(jiǎng),求這3人摸獎(jiǎng)全部結(jié)束后中獎(jiǎng)人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑶為了提高摸獎(jiǎng)?wù)叩闹歇?jiǎng)概率，現(xiàn)將游戲規(guī)則修改為：摸獎(jiǎng)?wù)呦葟?號(hào)保密箱內(nèi)隨機(jī)摸出一張卡片放入2

號(hào)保密箱內(nèi)，待把2號(hào)保密箱內(nèi)的卡片重新攪拌均勻后，再?gòu)?號(hào)保密箱內(nèi)隨機(jī)摸出一張卡片，如果摸獎(jiǎng)

者從2號(hào)保密箱內(nèi)摸出的卡片上的數(shù)字為偶數(shù)即中獎(jiǎng).在修改游戲規(guī)則的同時(shí)，對(duì)1號(hào)和2號(hào)兩個(gè)保密箱

內(nèi)的卡片重新進(jìn)行調(diào)整：已知標(biāo)有奇數(shù)、偶數(shù)的卡片各有7張，并且已在1號(hào)保密箱內(nèi)放入了3張標(biāo)有奇

數(shù)的卡片，2號(hào)保密箱內(nèi)放入了4張標(biāo)有奇數(shù)的卡片，那么，應(yīng)該如何放置7張標(biāo)有偶數(shù)的卡片（每個(gè)保密

箱中至少放入1張偶數(shù)卡片），才能使摸獎(jiǎng)?wù)咄瓿梢淮蚊?jiǎng)的中獎(jiǎng)概率最高？最高為多少？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴:；

0

（2）分布列見解析，!；

⑶答案見解析.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用條件概率公式，結(jié)合古典概型計(jì)算即得.

（2）求出中獎(jiǎng)人數(shù)的可能值，結(jié)合（1）的結(jié)論及二項(xiàng)分布的概率公式求出分布列、常數(shù)期望.

（3）方法1,設(shè)在1號(hào)保密箱中放入左張標(biāo)有偶數(shù)的卡片，利用條件概率公式，結(jié)合古典概型求出中獎(jiǎng)的

函數(shù)關(guān)系，判斷單調(diào)性得解；方法二，利用條件概率公式，結(jié)合古典概型依次求出在1號(hào)保密箱分別放入1,

2,3,4,5,6張標(biāo)有偶數(shù)的卡片中獎(jiǎng)概率，比較大小即得.

【詳解】（1）設(shè)"從1號(hào)保密箱中摸出的卡片上標(biāo)有偶數(shù)〃為事件A,

"從2號(hào)保密箱中摸出的卡片上標(biāo)有偶數(shù)"為事件8,貝廣摸獎(jiǎng)?wù)咧歇?jiǎng)"為事件

2131111