2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專練：拋物線（含解析）

2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練拋物線

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。

3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.己知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)F,準(zhǔn)線為I,P是I上一點(diǎn)，。是直線PR與C的交點(diǎn)，若

|閉=4閘,則畋|=（）

A.4B.-5C.±3或'5D，3或4

2222

2.等腰直角鉆內(nèi)接于拋物線，其中。為拋物線C:y2=2px（p>0）的頂點(diǎn)，OALOB,

△Q4B的面積為16,尸為C的焦點(diǎn)，M為C上的動(dòng)點(diǎn)，則您4的最大值為（）

\MF\

AGfL2百c2"

A.D.-----

3333

2

3.已知拋物線三=2py（p>0）和雙曲線士「―>2=i的公切線尸。（尸是尸。與拋物線的切點(diǎn)），

與拋物線的準(zhǔn)線交于。，廠為拋物線的焦點(diǎn),若|PQ卜夜|P同，則拋物線的方程是（）

A.x2=4yB.x2=6yC.X2=2s/2yD.x~=2A

4.拋物線％=2y2的準(zhǔn)線方程為（）

C.y=-D.y=--5-

A-x=--B.x=~—

82-82

5.拋物線y=的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

2

A?加B0O）眼）D.阻

6.正方體ABCD-A4G2的棱長(zhǎng)為5,點(diǎn)M在棱AB上，且AM=2,點(diǎn)尸是正方體下底面ABCD內(nèi)

（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)P到直線42的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的平方差為25,則動(dòng)點(diǎn)P到B點(diǎn)

的最小值是（）

A-2y/3BV6C.6D.正

7.已知拋物線丁=2px（p>0）上一點(diǎn)M（l,m）（m>0）到其焦點(diǎn)的距離為5,則實(shí)數(shù)小的值是（）

A.-4B.2C.4D.8

8.拋物線'的頂點(diǎn)到拋物線丁=-4%2的準(zhǔn)線的距離為（）

C31c65

A.3B.—C.5D.—

1616

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0

分.

9.已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離是4,直線/過它的焦點(diǎn)F且與C交于

A（%，X），兩點(diǎn)，M為弦AB的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（2,0）

B.xrx2=4

C.若占+刀2=5，貝

D.若以M為圓心的圓與C的準(zhǔn)線相切，則是該圓的一條直徑

10.曲線E是由方程國_1=_和N一1=Ji.幽共同構(gòu)成，點(diǎn)「卜,y）為曲線E上一點(diǎn)，則下列

結(jié)論正確的是（）

A.該曲線的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱

B.曲線E圍成的圖形面積大于7

C.2二2的最大值為2

x—3

D.若E與直線y=x+7律有4個(gè)公共點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是(—1—行,—2)_(2,1+0)

11.給出下列命題，其中真命題為()

A.過點(diǎn)尸(3,2)與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為16的直線有且僅有3條

B.己知點(diǎn)A(—2,-1),3(1,3)，則滿足到點(diǎn)A距離為2,到點(diǎn)8距離為3的直線有且僅有3條

C.過點(diǎn)Q(2,3)與拋物線>2=4x僅有1個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條

22

D.過雙曲線土—21=1的右焦點(diǎn)被截得線段長(zhǎng)為5的直線有且僅有3條

45

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線/：x=—g,直線/過點(diǎn)6且與拋物線C交于

M,N兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若史斗=2,則的面積為________.

\NF\4

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線1/=2px(p>0)上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)F的距離為4,M到無軸

的距離為島，則P的值為.

14.已知F是拋物線=8x的焦點(diǎn)，尸是C上一點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|PE|=6,則

\OP\=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線C焦點(diǎn)坐標(biāo)方(1,0卜斜率為_1的直線/與C相交于A,B.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若\AF\+\BF\=10,求I的方程.

16.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：Y=2點(diǎn)(0>0)的焦點(diǎn)廠到準(zhǔn)線的距離為L(zhǎng)

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)為拋物線C上的兩點(diǎn),若直線與y軸垂直，且△OVW為等腰直角三角形，求△OVW的

面積.

尤2v21

17.已知橢圓C:一+R=l,(a>/?>0),的離心率為,，焦距為2.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

3

⑵若直線/:y=+m(%,meR)與橢圓C相交于A,2兩點(diǎn)，且左?4.B=—

①求證：△A06的面積為定值；

②橢圓C上是否存在一點(diǎn)P,使得四邊形Q4PB為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)尸橫坐標(biāo)的取值范

圍；若不存在，說明理由.

18.已知拋物線C:/=2px(p〉0)的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)”(—2,0).

(1)求拋物線C的方程；

(2)若過點(diǎn)M的直線I與拋物線C相切,求直線I的方程.

22

19.已知拋物線加：爐=4y的焦點(diǎn)廠為橢圓N:[+三=1(。〉?！?)的一個(gè)焦點(diǎn)，且N的短軸長(zhǎng)

a~b"

為4.

⑴求N的方程；

⑵過點(diǎn)F且傾斜角為45。的直線/與N交于A,8兩點(diǎn)，線段AB的中垂線與無軸交于點(diǎn)E,求AABE

的面積.

參考答案

I.答案：c

解析：依題意p=2,-|=1,焦點(diǎn)/(1,0),

準(zhǔn)線/：X=-1,設(shè)點(diǎn)。伉,%),

由3H=4|F(2|得FP=4/?；騀P=4QF,

FP=(-2,t),FQ=(x0-l,y0)

當(dāng)/P=4尸。時(shí)，一2=4(%—1)，

當(dāng)/P=4。尸時(shí)，F(xiàn)P=-4FQ,

3

一2=-4(/-1),即

故選：C.

2.答案：C

解析：設(shè)等腰直角三角形。4B的頂點(diǎn)4(%,%),5(%,%)，

則靖=2師,q=2px2.

由04=05得：%：+%2=%2+%2,

22

.".Xj-x2=2pxy-2px2=0,

即(玉_/)(%+x2+2/?)=0>

玉>0,x2>0,2P>0,

/.xx=x2,即A,5關(guān)于x軸對(duì)稱.

二.直線0A的方程為：y=xtan45°=x,

與拋物線聯(lián)立，解得x=0或[x=2”p,

y=0[y=2p

故AB=4p,

19

???ZOAB=-x2px4p=4p.

的面積為16,二.。二？；

焦點(diǎn)設(shè)

則“2=4加，m>0,設(shè)M到準(zhǔn)線尤=—1的距離等于d,

11Y42J3

-3--+-<^-(當(dāng)且僅當(dāng)f=3時(shí)，等號(hào)成立).

U3；33

故^；的取大值為----,

\MF\3

故選C

3.答案：A

解析：如圖過尸作PE，拋物線的準(zhǔn)線于E,

根據(jù)拋物線的定義可知，PE=PF,

\PQ\=s/2\PF\,在R3PQE中，sinZPQE=,..tanZPQE=1,

即直線尸。的斜率為1,故設(shè)PQ的方程為：y=x+m（m<0）,

2=1

由,萬一y一,

y=x+m

消去y得％2+4mx+2m2+2=0,

則A=（4m）2—4（2機(jī)2+2）=8m2-8=0,

解得m=-l,即尸。：y=x-1,

由卜、2py

y=l

得x?-2px+2p=0,

2

A2-4p—8p=0,得p=2,

則拋物線的方程是好=4〉，

故選：A.

4.答案：A

解析：拋物線方程可寫為黃二工》,故準(zhǔn)線方程為了=—1

-28

故選：A.

5.答案：D

解析：由y=gx2可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：必=2〉，

,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為

故選：D.

6.答案：A

解析：如圖所示，作PQ±AD,Q為垂足，則易知PQ，平面ADDXAX,

過點(diǎn)。作?；穑珹D,交A2于民則易知AM工平面PQR，所以依即為「到直線A2的距離?

因?yàn)閙2_.2=25，且PR2-PQ1=RQ2=25，所以PM=PQ?

所以點(diǎn)P的軌跡是以AD為準(zhǔn)線，點(diǎn)〃為焦點(diǎn)的拋物線.

如圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)p的軌跡方程是y2=4x（0<y<4），

（2、

點(diǎn)4（—1,0）,6（4⑼，設(shè)尸，所以卜哈―丁+16

I4）

=—8）2+12，所以當(dāng)y2=8，|PS|取得最小值26-

故選：A.

7.答案：C

解析：拋物線的準(zhǔn)線方程為：x=-匕,

2

因?yàn)椤ǖ浇裹c(diǎn)距離為5,所以M到準(zhǔn)線的距離1+3=5,

2

即p=8,則拋物線方程為y2=16九.

將（1,加）代入得：m2=16,

因?yàn)閙>0,所以機(jī)=4.

故選：C.

8.答案：D

解析：因?yàn)閐—4x=(x—2)2—4,所以拋物線y=d—4x的頂點(diǎn)為(2,T),

由>=—4必，得/=—4了,所以拋物線y=-4爐的準(zhǔn)線方程為丁=工，

'4''16

故拋物線y=x2-4x的頂點(diǎn)到拋物線y=-4x2的準(zhǔn)線的距離為,―(—4)=!|.

9.答案：ABD

解析：對(duì)選項(xiàng)A,拋物線C：y2=2px(〃>0)的焦點(diǎn)廠到準(zhǔn)線的距離是4,

所以0=4，F(xiàn)(2,0)-故A正確.

對(duì)選項(xiàng)B,當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，l：x=2>所以=2x2=4,

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)=—2)，

?2—Qr

得：<=>k2x2-(4^2+8)x+4^2=0>所以石馬=4?

y=kyx-2)''

故B正確.

對(duì)選項(xiàng)C,|人用=內(nèi)+々+°=5+4=9,故C錯(cuò)誤.

對(duì)選項(xiàng)D,如圖所示：

過A,B,M分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足為A1，與，Mi，

因?yàn)閨A4,|=|A目，|班1|=忸外,

所以|A@=|AF|+忸司=|4&|+忸叫=也駕,

即：以A3為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切，故D正確.

故選：ABD

10.答案：ABD

解析：由兇_]=Jl—/,=i＜國＜2,得—1或

當(dāng)”xW2時(shí)，x-1=正了0（%-l『+y2=i，是圓心為°⑼,半徑為1的半圓，

同理￡的其他部分,分別為圓心為（—1,0）半徑為1的半圓，圓心為（0,1）半徑為1的半圓，圓心為（0,—1）

半徑為1的半圓；

作曲線E的圖象如下圖，

圖中虛線部分A3CD是邊長(zhǎng)為2的正方形，圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，故A正確；

對(duì)于8,圖形的面積=2義2+4*^^=2兀+4〉7，故8正確；

2

對(duì)于C,上二2的最大值為點(diǎn)p（羽田與點(diǎn)（3,2）連線斜率的最大值，設(shè)直線為y=3）+2,如圖,

由圖知當(dāng)直線與圓心為（1,0〉半徑為1的半圓相切時(shí)代最大，所以號(hào)竺事=1,解得卜=4+J，故C

錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)直線y=x+m與（*一1）2+丁2=1（14*42）相切時(shí)，此時(shí)也曾?=1nm=—四―1或

v2

m=+]（舍去），有2個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)直線y=x+加過點(diǎn)1）時(shí)，加=一2,此時(shí)直線y=1-2與曲線有3個(gè)公共點(diǎn),

由曲線E的對(duì)稱性，故要使曲線E與直線y=x+m有4個(gè)公共點(diǎn)，則_&_i〈根<_2或

2</n<&+1，故D正確?

故選：ABD.

11.答案：BCD

解析：對(duì)于A：設(shè)過點(diǎn)尸(3,2)與坐標(biāo)軸的正半軸相交的直線/方程為：-+2=1,則

ab

1

1+-=1>2巨2nab224，即直線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積的最小值為S=,a6=12，

ab\ab2

所以與坐標(biāo)軸的正半軸圍成三角形面積為16的直線有2條，另外過點(diǎn)P(3,2)與無軸正(負(fù))半軸，與

y軸負(fù)(正)半軸圍成三角形面積Sc(0,+8),即面積為16的直線各有1條，故共有4條，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)閨AB|=5，以A，8為圓心，分別以2,3為半徑作圓，則圓A與圓8相外切，它們的

3條公切線即為滿足條件的直線，所以B正確；

對(duì)于C：因?yàn)槎?=4%，當(dāng)x=2時(shí)，|y|=2j5<3,所以點(diǎn)。在拋物線的外部，所以C正確；

22

對(duì)于D：過雙曲線上—匕=1的右焦點(diǎn)作垂直實(shí)軸的直線I,被雙曲線右支截得的弦(通徑)長(zhǎng)為

45

”=5,又雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2a=4<5,所以結(jié)合對(duì)稱性可知，被雙曲線左右兩支截得的線段長(zhǎng)為

a

5的直線有2條，共有3條，所以D正確.

故選BCD

12.答案：

24

解析：易知準(zhǔn)線/:x=—工可得p=l,

22

所以可得拋物線V=2x,則尸

設(shè)直線/的方程為x=my+；,如下圖所示:

聯(lián)立直線和拋物線方程可得V—2很y-1=0,易知A>0；

不妨設(shè)可得%+%=2根,%%=-1；

-MF\3「乍33

由——=一可得A4,即％=一々%；

NF\4%

%%=T

聯(lián)立《3

Ly

可解得<;或必，

2G273

h-亍

又△OMN的面積為S△加N=S△.+SA.=川（|x|+卜|）

—述=述

411214624

故答案為：----

24

13.答案：2

解析：拋物線9=>0）的準(zhǔn)線方程為x=—g

因?yàn)辄c(diǎn)〃與焦點(diǎn)尸的距離為4,所以與+5=4,即X”=4--|,

又Af到x軸的距禺為^3p,即yM-yfip，

所以（J§p）=2p[4—]J,解得p=2或p=0（舍去）.

故答案為：2

14.答案：

解析：設(shè)P(Xp,%),由拋物線的性質(zhì)得，|PF|=Xp+2=6,

所以馬=4,又次=8%)=32,

所以|0尸|=冊(cè)+儲(chǔ)=A/48=4A/3.

故答案為：4G

15.答案：(l)V=4x

(2)%+y-2=0

解析：⑴由焦點(diǎn)”1,01可得片1，得”=2,

因此拋物線c的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x-

⑵設(shè)/:y=-尤+加，A(%

聯(lián)立方程組<X+m,f#x2—(2m+4)x+m2=0

y2=4x')

韋達(dá)定理知％+%=2根+4,

|AF|+|BF|=^+X2+2=105

2m+4=8,機(jī)=2

則I的方程x+y—2=0.

16.答案：(1)f=2y

(2)4

解析：(1)拋物線d=2py的焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為1，

所以p=1,

故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=2y.

(2)因?yàn)橹本€MN與y軸垂直，且△OMN為等腰直角三角形，

所以AMON=90°，y軸的非負(fù)半軸為AMON的平分線，

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)M(m,Az)(m>0,n>(V),則N(-m,〃卜

則[療=2〃,解得『=2,

n=m[n=2

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,2b點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2,2b直線MN的方程為y=2,

所以|肱V|=4,點(diǎn)。到直線MN的距離為2,

17.答案：（1）匕=1

43

（2）①證明見解析

②橢圓上不存在點(diǎn)P,使得。為平行四邊形

c1

解析：（1）由題意知，焦距2c=2,故c=l,又e=—,故〃=2,

a2

22

所以82=1—02=3,故橢圓C的方程為土+匕=1.

43

「22

土匕=]

（2）①由｛43—消去y，化簡(jiǎn)得：（3+4/b2+86nx+4療—12=0,

y=kx+m

設(shè)A&，M），5（%2，%），

2

則A=64左2療_4（4左2+3）（4/一⑵=48（4^—療+3）>0,

8km4/-12

X]+X）-~，XiXn=o-

123+4左2123+4左②

12左2

m22

故外,2=（g+根）（履2+）-kxx+km^x+x）+m=------------

x2x23+4k

因?yàn)?左OB="=—3,所以2機(jī)2=3+4左2,

玉九24

240+陰

所以IA@=Jl+%2+犬2）2-4犬1%2=

3+442

坐標(biāo)原點(diǎn)到直線I的距離為d=?1,

所以的面積為：S=-1ABp=-x,—tL=-x=^3.

2112V3+4左2Ji+：22丫3+4左2

故△A03的面積為定值.

②假設(shè)存在橢圓上的點(diǎn)尸，使得Q4PB為平行四邊形，則OP=Q4+O8,

8km

0123+4產(chǎn)

設(shè)P(如為),則

6m

22

16k2m212m之

又因?yàn)橹?生=1,即

二