2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：空間向量與立體幾何（含解析）

2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練空間向量與立體幾何

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。

3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.直線/:x+3y+2=0的一個(gè)方向向量為（）

A.（3,—2）B.（-3,l）C.（1,3）D（3,2）

2.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著.書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.

如圖,在陽馬F-A5CD中,QA平面ABCD，底面ABCZ）是矩形，及尸分別為PD,PB的中點(diǎn),G為直

線CP上的動(dòng)點(diǎn),B4=2，AB=1，若平面EFC測(cè)空=（）

CP

"C

A.±2B.r3c.-4lD.1

7777

3.棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，點(diǎn)片是A。的中點(diǎn)，則麗.屈=（)

A

C

A.lB.-lC.BD._V[

4444

4.已知四面體ABCD中,AB，BC，3。兩兩垂直,BC=BD=41AB與平面ACD所成角的正切值

為L(zhǎng),則點(diǎn)8到平面AC。的距離為（）

2

A.6A2百C.叵D.2亞

2355

5.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）

A.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量不一定共面

B.己知向量｛a,瓦c｝組是空間的一個(gè)基底，貝!也是空間的一個(gè)基底

—.2--1--1—.

C.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)。，有AP=——OA+-OB+-OC,則P,A,B,C四點(diǎn)共面

362

D.若￡出＜0,則7,B的夾角是鈍角

6.如圖，空間四邊形0ABe中，OA=a,OB=b,反=m，點(diǎn)M在0A上，且為。4上靠近A

點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)N為8c中點(diǎn)，則而等于（）

H.-a+—b--c

222

2一21_2一21一

C.—ciH—brcD.——a+—br---c

332332

7.已知。為空間任意一點(diǎn)，A,B,C,尸四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線.如果加二加幅+礪+花,

則m的值為（）

A.-2B.-1D.2

8.在四棱錐尸—A5CD中，底面A5CD是正方形，E是尸。的中點(diǎn)，若可=方，PB=bfPC^c,

AB

1-1r1-

A.—a——b+—cB.~a--b——c

222222

c1f3f1-D」一+1

C.-G,—bH—c

222222

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0

分.

,

9.已知空間單位向量6］，e。，63兩兩互相垂直，設(shè)a=q+e,+2e3,b=e1+e2—e3

工=4+心2k，則下列說法正確的有()

A.￡與B的夾角為三

B.(2c+a)//b

CJ，%夾角的余弦值為述

3

D.-,6,2不可以作為基底來表示空間中的任意一個(gè)向量

10.下列說法命題正確的是()

A.已知￡=(0,L1),B=(0,0,—1)，則Z在，上的投影向量為(0,0,1)

B.若直線/的方向向量為工=(1,0,3)，平面a的法向量為3=1—2,0,,則〃/&

C.已知三棱錐0—至。，點(diǎn)P為平面ABC上的一點(diǎn)，且無=,次+機(jī)礪—〃陽”,/eR),則

2

1

m—n=—

2

D.若向量萬=根［+4+公(3亍，)是不共面的向量)則稱,在基底任；3｝下的坐標(biāo)為(〃2,",女),

若萬在基底值及口下的坐標(biāo)為(1,2,3)，則方在基底｛￡—瓦￡+反耳下的坐標(biāo)為

11.如圖，在平行六面體ABCD-44G。］中，AB=AD=AA=1,AB±AD,

/44。=，4鈿=60°，尸為4。與A2的交點(diǎn)，設(shè)通=G,AD=b,麗=工貝U()

A.ACy=a+Z?—cB.BD]——a+Z?+c

_.—.5

D.ACPC=-

c網(wǎng)=：14

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.如圖，正三角形ABC與正三角形所在的平面互相垂直，則直線Q）與平面AB￡）所成角的

正弦值為.

13.如圖，在四棱柱ABC。-中，底面ABC。是平行四邊形，點(diǎn)E為30的中點(diǎn)，若

~A^E=xA^+yAB+zAb^x+y+z=

14.如圖，在三棱柱ABC—45cl.中，所有棱長(zhǎng)均為1,且A、，底面ABC,則點(diǎn)4到平面ABC1

的距離為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱底面ABC。，PD=3,AD=2,

DC=26，E是PC的中點(diǎn).

⑴求證：B4//平面皮)E；

(2)求平面DEB與平面DEC夾角的余弦值.

16.如圖，AW/BC且AD=2BC=2,ADVCD,平面AOGE，平面ABCD,四邊形AOGE為

矩形，CDIIFG豆CD=2FG=2.

⑴若M為CT的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：肱V〃平面CZJE；

⑵若CF與平面ABCD所成角的正切值為2,求直線AD到平面EBC的距離.

17如圖，在三棱臺(tái)ABC-A^B.C,

中,AB-AC=2ABi=2AAi=4-\/2，=Z-A^AC——,Z.BAC=—?

(1)證明：

⑵求點(diǎn)B到平面AACC]的距離.

18.如圖，在梯形ABC。中，AB//CD,AD=DC=CB^1,ZABC=60°,四邊形ACPE為矩

形，平面ACEE，平面ABCD,CN=1,點(diǎn)M是線段EF的中點(diǎn).

(1)求平面腸出與平面所成銳二面角。的余弦值；

(2)求出直線CD到平面MAB的距離d.

19.在平行六面體ABCD—4耳￡。1中，設(shè)通=￡,AD=b,A4=c,E,尸分別是5。的

中點(diǎn).

⑴用向量〃，b,c表示D]B,EF；

(2)若〃尸=%。+丁6+2。，求實(shí)數(shù)x,y,z的值.

參考答案

1.答案：B

解析：直線/：%+3丁+2=0的斜率為左=—；,因此/的一個(gè)方向向量為］1,—；］,

而向量(—3,1)=—3，,—g］,則(一3,1)是直線/的一個(gè)方向向量,B是；

其余選項(xiàng)所給向量與向量［1,-都不共線,ACD不是.

故選:B

2.答案：B

解析：因?yàn)槠矫鍭BCZ),底面ABCD是矩形，在A處建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示:

設(shè)AD=a，則A(0,0,0),P(0,0,2),C(1,a,0),E(0,0,1)，

EF.〃二0

設(shè)平面EfC的法向量為7=(羽.2),則1—,_,

-ECn=O

即J22，令x=a,得y=l，z=W，所以法向量為3=(/1,四),

a22

x+—y-z=(J

[2'

設(shè)而=2正，因?yàn)楹?經(jīng)+而=/+/1定=(%。42—2/1)，

4a%2—2X

因?yàn)锳G,平面所C,則衣〃儲(chǔ)所以"=7=3-，解得4=—，

T7

則生"

CP7

故選：B.

3.答案：A

解析：因?yàn)槌?ex+z后，

所以麗.在=麗?（而+荏）=麗.回+麗?亞，

又網(wǎng)=1同=1,麻卜g,（麗，⑸=],例，通〉=g,

__?__?>rr1217r1

所以BACE=1x1xcos—+1x—xcos——二-?

3234

故選：A.

4.答案：D

解析：以3為原點(diǎn)，5C，BD，B4所在直線分別為％、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示:

設(shè)出=/">0,6（0,0,0）,0（行,0,0）,。（0,0,0）,4（0,0,。,荏=（0,0,-/）,

CA=（-V2,0j）,CD=（-V2,A/2,0）.

設(shè)平面AC。的法向量為3=（尤,y,z），

則[啊=-食+<。，—z上，故屋儲(chǔ)，叵?

nCD--V2x+V2y=0tI，，

因?yàn)橹本€AB與平面AC。所成角的正切值為L(zhǎng),

2

所以直線A3與平面ACD所成角的正弦值為逝.

所以平面ACD的一個(gè)法向量n=

2

7

V2_2A/5

故B到平面ACD的距離為a=問=i]]=y—

N1+1+2

故選：D.

5.答案：C

解析：對(duì)A,若兩個(gè)向量是共線的，

由于空間任意兩個(gè)向量一定共面，因此這三個(gè)向量一定共面，故錯(cuò)誤;

對(duì)B,因?yàn)?a-c)-(a-B)=B-c,

所以￡—a-b,B—"共面，不能構(gòu)成基底，錯(cuò)誤；

對(duì)C,對(duì)OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=l),

則P,A,B,C四點(diǎn)共面，

.2.1—.1——

由AP=——OA+-OB+-OC

362

可得而=為+存=」次+工期+,反，

362

且—I1—=1,所以尸，A>BiC四點(diǎn)共面，正確；

632

對(duì)D,若乙0<0,R,可可為兀，所以不一定為鈍角，故錯(cuò)誤;

故選：C

6.答案：A

解析：因?yàn)辄c(diǎn)加在。4上，

且為OA上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)，

__k9__k

所以麗=2施，所以藍(lán)0=——OA,

3

.1-.

因?yàn)辄c(diǎn)N為8c中點(diǎn)，所以BN=—BC,

2

所以鋼=板+南+麗=——OA+OB+-BC.

32

=--OA+OB+-(W+OC]=--a+-b+i-c

32、>322

故選：A

7.答案：A

解析：因?yàn)榘?而_麗,

所以由BP=mOA+OB+0C

得而—礪=機(jī)礪+礪+反，

即赤=加次+2礪+元，

因?yàn)?。為空間任意一點(diǎn)，A,B,C,P滿足任意三點(diǎn)不共線，且四點(diǎn)共面,

所以m+2+1=1,故加=一2.

故選：A.

8.答案：C

解析：BE=PE-PB=-PD-PB

2

=^(PB+W)-PB=^(BD-PB)

=1(BA+BC-PB)=1(R4-PB+PC-PB-PB)

1—.3—?1—■13-1

=-PA--PB+-PC=-a--b+-c

222222

故選：C.

9.答案：CD

解析：A選項(xiàng)，因?yàn)榭臻g單位向量工,［兩兩互相垂直,

所以

故a?B=(6+02+2e3)?(q+e2-63)=G+2,,弓+q?6+，2+，2.，3-2、

=12+0+0+12+0-2=0>故￡與B的夾角為5，A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，2c+a=2q+2%-4G+q+e2+26=3e1+34-2e3，

又^二^十與一%，設(shè)22+￡=46，

2=3

則3q+3%-2%=彳卜1+4-，所以<2=3，無解,

—A——2

故正+￡與五不平行，B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，/??C=(,+4—/)?(,+,2-2/)

-2一一?一一?—-2—?—?—2

=,+2。,e?—3,,q+4-3弓?/+2/

=1+0—0+1—0+2=4,

一一一一一一一一

其中丁=何+區(qū)—磯2―>22??

2=6]+4+，3+2耳?4_2q?a_2^?%—3，

則W=5/3，同理得卜卜jd，

b-c42V2

故5,夾角的余弦值為,C正確;

e

D選項(xiàng)，設(shè)〃=mb+nc，即i+4+2/=m(ex+e2—e^+n(^ex+e2—

m+fl=1,解得,JYI—4

則，故〃=4石一3°，所以a，B，0共面，

—m—2n=2n=-3

7，B，)不可以作為基底來表示空間中的任意一個(gè)向量，D正確.

故選：CD

10.答案：ACD

解析：A選項(xiàng)，商在.上的投影向量為

a-bb_(0,1,1)-(0,0，T(0,0,T

=(0,0,1),A正確;

bb11

B選項(xiàng),3)=(L0,3)(_2,0,g2

——2+3x—=0，故.?,

/〃a或/ua,B錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)，點(diǎn)P為平面ABC上的一點(diǎn)，設(shè)衣=sAC+tAB，

即麗一C5=s雙—儲(chǔ)X+麗―蘇，

所以加=(1—ST)礪+t麗+S玄,

又辦=工礪+根礪一〃覺,

2

,1

1-5-/=—

2

故＜m=t，故7〃—〃=/+s=l=—,C正確;

22

s=—n

D選項(xiàng)，由題意得萬=￡+2石+3工，

設(shè)p=X](〃―萬)+X(〃+B)+Z[C=(%+%)〃+(%—2)5+Z1C,

1

玉+X=1

3

則%-X]=2，解得<

“1=3

4=3

下的坐標(biāo)為1―g,|,3；D正確.

則p在基底<a—b,a+b,c

故選：ACD.

11.答案：BD

解析：A：AQ=AB+BC+CQ=a+b+c,故A錯(cuò)誤；

B：BDX=BD+DDX=AD—AB+=—a+b+c>故B正確;

C：a-b=0,&-c=|&||c|cos60°=,ac=|a||c|cos600=^-

又無="+灰=啟+通+友=—g.+而+灰,

=--AA,--All+AD+DC=a+-b--c

242122

所以附卜《日+京-91，

=.la*2+—b2+—c2+-a-b--a-c-—b-c=-,故C錯(cuò)誤;

V442222

D：AC[-PC=(a+b+cy^a+^b-^,

=a2+—b~-—c2+-a-b+-a-c=-,故D正確.

22224

故選：BD

12.答案：

55

解析：取的中點(diǎn)。，連接A。，D0,建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-肛z，設(shè)BC=1，

則?0,0岑；，3(0,—；,()］，c(o,g,o］，-,o,oj

所以麗=((),，,立］,BD=f—,-,o\CD^［-

l22JI22JU22J

五.與x二o

設(shè)平面A3。的法向量為為=(%,y,Z)，貝乂—.，

［n-BD=0

一+g=0

所以V22,取X=1，則y=—5/3，z=lf所以力=(1,—1),

鳥+L=。

122,

萬,西—岳

不妨設(shè)直線CD與平面AB。所成角為。，所以sin8=

從而直線o)與平面AM所成角的正弦值為姮.

5

故答案為：叵.

5

13.答案：0

解析：在四棱柱ABCD—4用￡2中，底面ABCD是邛一行四邊形，點(diǎn)E為f

所以率=不+而+麗=不+通+；麗

=A^A+AB+-^^BA+Al5^=-A^+^AB+^Ai5

又+yAB+zAD

所以％=—l，y=Lz=L

22

即x+y+z=O.

故答案為：0.

14.答案:

解析：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則A降;,o],5(0,1,0),4(。，1,1)，G(0,0,1)

I22J

_.(hl、一._,

所以CIA=—,-,-1,C1B=(O,l,-l),G4=(0,1,0),

(22J

設(shè)平面ABCl的法向量為n=(x,y,z),

fV31

n-CA=0——x+-y-z=0

則，，即22-

n-CB=Q

xy—z=0

令x=l,則y=z=,故11=(\,#>,粗),

CB-nV3V21

所以點(diǎn)用到平面ABC,的距離為X{

n'1+3+3—7

故答案為:

不

15.答案：（1）證明見解析

解析：（1）連接AC,交BD于點(diǎn)、O,連接OE,

R

AB

因?yàn)锳BCD是矩形，所以。是AC的中點(diǎn),

又因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以PA//OE,

因?yàn)锳4a平面瓦出，平面3DE,

所以Q4//平面

（2）因?yàn)镻￡）_L底面ABCD,

ZMu平面ABC。，DCu平面ABC。，

所以PDLZM,PDLDC,

又所以ZM,DC,PZ）兩兩垂直；

因此以。為原點(diǎn)，DA,DC,所在直線分別為x軸。軸、z軸,

貝叫2,2百,0）,￡＞（0,0,0）,其0,后日），C（0,273,0）

貝U麗=（2,2"0）

設(shè)平面。防的一個(gè)法向量為=（羽y,z）,

n-DB=2x+2y/3y=0

則h-DE-6y+gz=0

設(shè)z=2,則y=—百，l=3,則為=(3,—6,21

因?yàn)镈ALDC,DP^\DC=D,PD,DCu平面DEC,

所以平面。EC,

因此，平面。EC的一個(gè)法向量為萬1=（2,0,0）,

設(shè)平面DE3與平面。EC的夾角為。，

|為?明63

則cos。=LI=°=-,

同1網(wǎng)79+3+4x24

3

所以平面DEB與平面DEC的夾角的余弦值為-.

4

16.答案：（1）證明見解析

⑵夜.

解析：（1）平面ADGE_L平面A8CD,

平面ADGEC）平面ABCD=AD,

GO，AD,GOu平面ADGE,

所以。G,平面ABCD,

CDu平面ABC。，所以。GJ_CD,

依題意，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

分別以兩、DC,方存的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向

建立空間直角坐標(biāo)系.

可得￡>(0,0,0),4(2,0,0),5(1,2,0),C(0,2,0),

設(shè)DG=t,磯2,0/),F(0,lj),

G（0,0j）,加［°，|，：］，N（l,0j）.

設(shè)9=（%,y,z）為平面CDE的法向量,

DC=(0,2,0),DE=(2,0,?)

nDC=2y=0

則《0

n0-DE=2x+tz=Q

不妨令z=—2,可得%2)；

又MN

可得=t+0—t=0.

又?.,直線ACV(Z平面CDE,

：.MN//平面CDE-,

(2)VAD//BC,BCu平面E8C,平面EBC,

,/AD//平面EBC,：.AD到平面EBC的距離即A到平面EBC的距離,

由⑴知DG±平面ABCD,

即方不=(0,0/)是平面ABCD的法向量，

因CP與平面ABCD所成角0的正切值為2,

R.

則CE與平面A8CD所成角，的正弦2為*又CF=(O「lj),

\DG-CF\t2275

sin。=cos<DG,CF>|

=I網(wǎng).而「赤?"I-

解得f=2,則點(diǎn)￡(2,0,2),BC=(-1,0,0),BE=(1,-2,2),

設(shè)”=(%,%,zj為平面EBC的法向量,

n-BC=—x=0

由＜1

n-BE=-2y1+2zi=0

不妨令z】=l,可得3=(0,1,1),

\n-DC\

2

而慶^(0,2,0),則點(diǎn)D到平面EBC的距離h=?I,?

\n\

所以直線AO到平面EBC的距離為J5.

17.答案：(1)答案見解析

(2)8百

3

解析：（1）AB=AC=2A4=2A\=40，ZAiAB=Z^AC=]，

22

AB?=8+32—2義2攻x4也義;=24，...AB=AA^+AXB1.

222

同理AC?=8+32-2x272X4A/2x|=24,.-.AC=A4i+4C,.'.A41l^C,

ACCA5=4,ACu平面\CB,AjBu平面A,CB±平面AXBC,

：.AA_LgG

⑵;4A1平面ABC,BHu平面\BC.AA{LBH,

作5"，AC，ACuABC.Mu43C,AA1口4。=4,57/工平面ABC,

B到平面\ACCX的距離BH.△ABC中

A]B=A[C=2>j6-BC=S^S^AiBC=^AiCxBH=^BCx2s/2=8y/2,

杵幽

3

is.答案：（i）2叵

19

2757

（2——

19

解析：⑴因?yàn)樵谔菪蜛BC。中，AB//CD,

AD=DC=CB=1,ZABC=60°,

如圖，過C作CG〃/4。交42于G,

則四邊形AGCD是平行四邊形.

可得ZM=CG=CB=Gfi=l,

AB=AG+GB=DC+GB=1+1=2.

在△ABC中，由余弦定理得AC?=452+802—2AB.BC.COS600=3,

所以AB?=4=4。2+5。2,得

又平面ACFEL平面ABCD,平面ACFEn平面抽。0=AC，

BC