2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：空間中的平行與垂直（含解析）

2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練空間中的平行與垂直

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。

3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.正方體A3CD—4用6。1，中，E為線段42,上的一個(gè)動點(diǎn)，則下列錯(cuò)誤的是（）

\.AC±BEB.耳EH平面ABCD

C.三棱錐￡—A5C的體積為定值D.直線直線3。.

2.設(shè)4b是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，則下面說法正確的是（）

A.若a±b^b//aa±a

B.若a工a.blla，則aLb

C.若aJ_a，。_L，，則au/7

D.若a-Lb'b-L，則all0

3.如圖，正方體ABC?！睦忾L為2,M,N分別為棱，BC的中點(diǎn)，尸為正方形

邊上的動點(diǎn)（不與M重合），則下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A.平面MNP截正方體表面所得的交線形成的圖形可以是菱形

B.存在點(diǎn)尸，使得直線A4與平面腦VP垂直

C.平面跖VP把正方體分割成的兩個(gè)幾何體的體積相等

D.點(diǎn)Bl到平面MNP的距離不超過6

TT

4.如圖，二面角?！?—，的大小為點(diǎn)A,2分別在半平面a,（3內(nèi)，4。，/于點(diǎn)。，BD±l

于點(diǎn)D若AC=5,BD=6,43=2后.則CD=（）

A.—B.6C.V29D.730

2

5.設(shè)A,B,C,。是空間中4個(gè)不同的點(diǎn)，在下列命題中，不正確的是（）.

A.若AC與瓦）共面，則與BC共面

B.若AC與8。是異面直線，則與BC是異面直線

C.若AB=AC,DB=DC,則AD=BC

D.若AB=AC,DB=DC,則ADLBC

6.已知a是一個(gè)平面，a,b是兩條不同的直線，bua,p\aLa,q:a±b,則p是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.設(shè)/是直線,a,4是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）

A.若〃/。，/〃月廁M/尸B.若〃/。，/，分,則

C.若則D.若0，，，〃/0,則

8.已知a,0是空間中的兩個(gè)不同的平面，I,m,〃是三條不同的直線.下列命題正確的是（）

A.若mua,nua,ILm,I-Ln,貝

nu/3,"2_1_〃則0_1_,

C.若Ulm,mua,則〃/a

D.若Ulm,mlln,ILa,則“_La

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0

分.

9.如圖一，四邊形ABCD為矩形，AB=2,AD=2^2,E,M,F,N分別為矩形各邊的中點(diǎn),

現(xiàn)按圖中虛線折起，得到圖二所示的四面體EMV,其中點(diǎn)A,B,C,。重合為點(diǎn)G,則在圖二中,

下列結(jié)論正確的是（）

A.EFLMN

B.EF=MN

4

C.四面體EMV的體積為一

3

D.四面體EMV的外接球的表面積為5兀

10.如圖甲，在矩形ABCD中，AB=2AD=2,E為CD的中點(diǎn)，將△CBE沿直線5E翻折至

△GBE的位置，尸為AC】的中點(diǎn)，如圖乙所示，貝ij（）

A.翻折過程中，四棱錐G-ABED不存在外接球

B.翻折過程中，存在某個(gè)位置的G，使得

點(diǎn)F到平面C[BE的距離為手

C.當(dāng)二面角C]_BE—A為120°時(shí)，

TT

D.當(dāng)四棱錐G—ABED體積最大時(shí),以AG為直徑的球面被平面C'BE截得交線長為y

11.已知直線相，n,平面2,p，則下列說法正確的是（）

A.若m//n,nua,則mlla

B.若mil/3,mua,a[}/3=n,則加〃幾

C.若all0,mLa,mlIn,則〃_L/?

D.若mLa,n10,則相〃幾

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知三棱錐S-ABC的底面ABC是邊長為2的正三角形,點(diǎn)A在側(cè)面SBC上的射影H是ASBC

的垂心，三棱錐S-ABC的體積為逐，則三棱錐S-ABC的外接球半徑等于.

13.已知球0是正三棱錐尸—ABC的外接球,若正三棱錐尸—A3C的高為0,底邊A3=百，則球

心。到平面ABC的距離為.

14.如圖，已知點(diǎn)P是棱長為2的正方體ABCD-的底面ABCD內(nèi)(包含邊界)一個(gè)動點(diǎn),

若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)P到BB1的距離的兩倍，則點(diǎn)P的軌跡的長度為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在四棱錐p—ABCD中，底面ABCD為正方形，PA=AB=2>足為線段

上的中點(diǎn).

⑴求證：尸3〃平面ACE；

(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，使得平面ABCD，并求直線pc與平

面ACE所成角的正弦值和二面角E—AC—B的余弦值?

條件①：PB=26；

條件②：PB=PD；

條件③：平面平面ABCZ>

16.如圖，。是圓柱下底面的圓心，該圓柱的軸截面是邊長為4的正方形ABCZ),尸為線段AO上的

動點(diǎn)，E,E為下底面上的兩點(diǎn)，且AE=A尸，ZEAF=120°,EF交AB于點(diǎn)、G.

OP_L平面CEF-,

(2)當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求二面角P—印―C的余弦值.

17.如圖，在直四棱柱ABCD-AACQ中，底面四邊形ABC。為菱形,NA￡>C=120°,點(diǎn)￡F分別為

棱AB,CG上的點(diǎn)，

(1)若荏=XAB，且平面DQE1平面ABB^，求實(shí)數(shù)2的值；

(2)若尸是CG的中點(diǎn)，平面ABR與平面BDF的夾角的余弦值為嚕^求*的值.

18.已知如圖,在矩形ABCD中,AB=2，AD=，將△AB。沿著3。翻折至AMBD處，得到三棱

錐M—過加作5。的垂線,垂足為",MC=

(1)求證:MW，C￡)；

(2)求二面角C-BM—D的余弦值.

19.如圖所示，在三棱錐p—ABC中，與AC不垂直，平面尸AC，平面ABC，PA±AB

（1）證明：ABVAC-

（2）若Q4=PC=AB=AC=2,點(diǎn)M滿足麗=3聲而，求直線AP與平面ACM■所成角的正弦

值.

參考答案

1.答案：D

解析：A:?在正方體中，AC±BD,AC1DDX,BD^DD^D,

4。_1_面3與￡)]￡),

?;BEu面BBRD,

AC_LBE,A正確.

B.v耳2〃平面ABC。，

B}EH平面ABC。成立.即B正確.

C.三棱錐￡—ABC的底面ZiABC為定值，

錐體的高8片為定值，.?.錐體體積為定值，即C正確.

D.vDjQ±BCR,用后，直線3G錯(cuò)誤.

故選D.

解析：對于A,若。,。，〃〃[，則可能區(qū)a平行或相交，可得A錯(cuò)誤;

對于B若a，a，為/口,則Z’B，即B正確;

對于C,若。。，，則allp或au，,可知C錯(cuò)誤；

對于D,若，，，則all/3或au，，可知D錯(cuò)誤；

故選:B

3.答案：B

解析：在棱長為2的正方體中，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

ZA

則￡>(0,0,0),A(2,0,0),A(2,0,2),G(0,2,2),

4(2,2,2),M(l,0,2),N(l,2,0),

對于A,麗=(—1,2,0),Mq=(-1,2,0)

即麗=而穿，而Ae直線MG，則AN〃/

又AN=^=MC[,因此四邊形AMGN為平行四邊形，

又AM=亞=AN,

則四邊形AMCiN為菱形，當(dāng)點(diǎn)尸與q重合時(shí)，

平面MVP截正方體表面所得的交線形成的圖形是菱形，A正確；

對于B,4?=(0,2,0),W=(0,-2,2),M?汨=TwO,

即4片與MN不垂直，

而MNu平面肱VP,因此直線4片與平面MVP不垂直，B錯(cuò)誤；

對于C,線段的中點(diǎn)(1」』)為正方體ABC?！闹行?，

平面MVP過該正方體的中心，

由對稱性，平面MVP把正方體分割成的兩個(gè)幾何體的體積相等，C正確;

對于D,當(dāng)點(diǎn)尸(0,1,2)時(shí)，g=(—1,1,0),四=(2,2,2),

則屈函=0,NMDB^=Q

即。DBJMN,MPC\MN=M,

MN,"Pu平面ACVP,于是。與，平面跖VP,

此時(shí)點(diǎn)B]到該正方體中心(1,1,1)的距離也

即為點(diǎn)B［到平面MNP的距離,

是點(diǎn)BI到過MN的所有截面距離最大值,

因此點(diǎn)見到平面MNP的距離不超過6,D正確.

故選：B

4.答案：C

解析：在，內(nèi)過點(diǎn)C作且B'C=BD,連接B'B,B'A,

所以NAC3'為二面角。-/-分的平面角.

易知CD,平面AB'C,而四邊形5'皿。為矩形，所以BB7/CD,

故班'J_平面AB'C,因而55'LAB',

AB'=^AC2+B'C2-lACB'Ccos^=底,

CD=B'B=y/AB2-AB'2=V29；

故選：C.

5.答案：C

解析：若AC與8。共面，則A,B,C,。四點(diǎn)共面，故A。與BC共面，A中命題正確；假設(shè)40

與BC不是異面直線，則AD與BC共面，于是AC與2。共面，這與AC與8。是異面直線矛盾，故

AD與BC是異面直線，B中命題正確；如圖所示，AB=AC,QB=DC,但不能推出40=6。，

C中命題錯(cuò)誤；若A6=AC,取BC的中點(diǎn)E,連接AE,DE,則BCLDE,

AEC\DE=E,

c

故平面ADE,又AOu平面AOE,所以BCLA。，D中命題正確.故選C.

6.答案：A

解析：若a_La,由Z?ua,則。J_B；

若則。與e可能垂直、可能相交也可能平行，

還有可能au平面a；

故p是q的充分不必要條件.

故選：A.

7.答案：B

解析：設(shè)/是直線,a邛是兩個(gè)不同的平面，

對于A,若///0,〃/分廁a與P相交或平行，故A錯(cuò)誤；

對于B,若〃/a，則a內(nèi)存在直線/'〃/，因?yàn)?，，，

所以/'，，，由面面垂直的判定定理得o_L分,故B正確；

對于C,若則/與/平行或/u分，故C錯(cuò)誤；

對于D,若0，，，///1,則/與夕夕相交、平行或/u",故D錯(cuò)誤.

故選：B.

8.答案：D

解析：對于選項(xiàng)A：根據(jù)線面垂直的判定定理可知：

需保證相，”相交，故A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B：根據(jù)面面垂直的判定定理可知：

需推出線面垂直，現(xiàn)有條件不能得出，故B錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)C：根據(jù)線面平面的判定定理可知：需保證/aa,故c錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D：若Ulm，mlln,則〃/〃,

且/_La,所以“J_a,故D正確；

故選：D.

9.答案：ABD

解析：由題知，GM±GE,GN工GE.

又GMCGN=G,GMU平面MGN,(3乂匚平面欣加，.?.6￡，平面必加.

又MNu平面MGN,:.GELMN,即故選項(xiàng)A正確；

■.■GE=GF=-AB=1,：.EF=2=MN,故選項(xiàng)B正確；

2

■;GM=GN=-AD=yfl,MN=2,

2

:.GM?+GN?=MN?,:.GM工GN.

■：GMLGE,GM±GN,GE^GN=G,

GEu平面EFN,儂（=平面￡兩，，6〃，平面￡：兩.

所以四面體EMV的體積為」義工義行X2X&=2,故選項(xiàng)c錯(cuò)誤;

323

,/MN=EF=2,ME=FN=MF=NE—\/3,

所以四面體EFAW可以放入長方體中，如圖所示，

設(shè)四面體EMV的外接球的半徑為R,

則有(27?)2=12+(72)2+(V2)2=5,

解得R2=3,所以外接球的表面積5=4兀氏2=5兀，故選項(xiàng)D正確.

4

故選：ABD.

10.答案：AC

解析：對于A,由已知直角三角形ADE存在以AE為直徑的唯一外接圓,

-.-ZABE^90°,

...點(diǎn)8不在該圓上，所以四邊形ABED不存在外接圓，

四棱錐G-ABED不存在外接球，故A正確；

對于B,由已知,AD=￡)￡=CE=BC=1,

ZADE=ZBCE=90°,

：.ZAED=ZBEC^45°,

：.ZAEB=9Q°,BELAE

假設(shè)在翻折過程中，存在位置G，使得BE±AG,

則AEQAC】=A,AEu平面AECX,AC,u平面AEC1,

.?.跖,平面A^。］，

又,:qEu平面AEC1,

BEJ_C]E,

???△CBE在翻折至的位置的過程中，

NBEG=NBEC=45°,

BE1GE顯然不成立,故假設(shè)錯(cuò)誤，

翻折過程中，不存在任何位置的G，使得BE±AC1,故B錯(cuò)誤;

對于取中點(diǎn)由已知

CJBE,5C=CE,

:.CH工BE,CXH1BE

：.NC[HC是二面角G-BE-C的平面角，

當(dāng)二面角C1—BE—A為120°時(shí),二面角G—BE—C為60°,

即ZCjHC=60°,

又GH=CH，BE=顯,

122

G到平面ABCD的距離為hCi=^xsin60。=手，

設(shè)點(diǎn)A到平面QBE的距離為hA,

則匕-ABE~^A-CXBE，

?J_Vh=—Sh

?,3%ABE%-3，

11。1W111」

—x—x2xlx--=—x—xlxlx/z.

32432A

=手，即點(diǎn)A到平面的距離為手，

?.?點(diǎn)尸為AC1中點(diǎn),

點(diǎn)F到平面QBE的距離是點(diǎn)A到平面QBE距離的1,

76

.?.點(diǎn)F到平面QBE的距離為手，故C正確；

對于D,四棱錐G-ABED底面梯形ABED的面積為定值，

當(dāng)四棱錐￡—ABED的體積最大時(shí)，平面QBE±平面ABED,

?.?平面。15后口平面4跖。=鹿，AEu平面ABED,

由B選項(xiàng)有.?.AE1.平面C|BE,

?/QEu平面CXBE,

AE_LC\E,

2

ACX=^AE^+QE=J（回+儼=73,

又,.,AE_L平面C[BE

：.點(diǎn)A到平面QBE的距離AE=42,

?.?點(diǎn)尸為AG中點(diǎn)，

以AG為直徑的球的半徑R=?=與,

球心F到平面C}BE的距離d=竿=孝，

易知,球面與被平面GBE截得交線為圓，

其半徑廠=,氏2_儲

2

二.該交線周長為271r=兀,故D不正確.

故選：AC.

11.答案：BC

解析：選項(xiàng)A中，機(jī)可能在。內(nèi)，也可能與。平行，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B中，因?yàn)榧印?？，mua,a^\/3=n,所以加〃口，故B正確；

選項(xiàng)C中，因?yàn)?〃/7,mVa,所以根JL/7,又加〃幾，所以〃_L力，故C正確;

選項(xiàng)D中，因?yàn)?。_L/?,mVa,n10,所以zn_L〃，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

12.答案:

解析：延長SH交于點(diǎn)O,連接AD,

/年二:

因?yàn)辄c(diǎn)X是aSBC的垂心，則SDLBC,

又因?yàn)槠矫鍿BC,BCu平面S5C,則

且SDnAH=H,SD,AHu平面可得平面

由S4,ADu平面S4O,可得5CLS4,BC1AD,

且底面ABC是邊長為2的正三角形，則點(diǎn)。為6C的中點(diǎn)，

過點(diǎn)S作SGL平面ABC,垂足為點(diǎn)G,

且BCu平面ABC,可得SGLBC,

且ASnSG=S,AS,SGu平面&1G,可得BC,平面&4G,

由AGu平面S4G,可得6CLAG,

同理可得AC_LBG,AB±CG,可知點(diǎn)G為ZVlBC的垂心，

因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，可知點(diǎn)G為△ABC的中心，

則GeA￡>,且AG=2AD=空，

33

因?yàn)槿忮FS—ABC的體積為工SGx^x2義君=百，可得SG=3,

32

可知三棱錐S-ABC的外接球的球心O&SG,

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球的半徑為R,

則A?=—+（3-氏），解得R=

318

所以外接球的半徑為二31.

故答案為:

13.答案：比/▲&

解析：如圖,設(shè)點(diǎn)尸在底面ABC的投影為反

則AH=—xA/3xsin—=1，設(shè)OH=x，

33

所以Q4=Jc"2+Af/2=J12+i，cP=0—%，

由Q4=O。得，4rz=后—x，解得％

故答案為:

4

14.答案：—

9

解析：在正方體ABC?！狝4G。中，

可得35］，平面ABCD,

因?yàn)镼Bu平面A3CD,所以3片，23,

則點(diǎn)P到BBi的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離，即|Z4|=2\PB\,

在底面ABC。中，以A為原點(diǎn)，

以AB,AD所在的直線分別為x軸和y軸，

建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得A(0,0),B(2,0)

設(shè)尸(x,y),由|申|=2歸同，可得,2+J=2?—2『+/，

整理得(x—|)2+y2若，

84

即點(diǎn)尸的軌跡是以M(1,0)為圓心，半徑為廠=耳的圓弧E廠,

o2

又由忸M=|AM|—|AB|=§_2=3，

,\BM\1

可得——=-,

\MF\2

jrjr

所以/3兒爐=二，即E/所對的圓心角為

33

TT447r

所以點(diǎn)p的軌跡的長度為圓弧長為二義2=空.

339

故答案為：—.

解析：（1）證明:

設(shè)3。交AC于點(diǎn)。，連結(jié)0?

因?yàn)榈酌鍭BC。為正方形，所以O(shè)是30中點(diǎn)，E為線段p￡）上的中點(diǎn)

所以0E是△尸皿的中位線，所以PB//0E，

又OEu平面ACE，PBa平面ACE，

所以直線PBH平面ACE-

（2）選擇①，若上4,平面ABC。，ABu平面ABC。，則B4_LA5,

故=，/鼠+6=2后，這與PB=2g矛盾，故錯(cuò)誤?

選擇②，PB=PD，又因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，PA1.AD'

可得△PAB04PAD，所以以_LA5,所以上4，平面ABC。，

以A為原點(diǎn)，通，而，Q的方向分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

Zj

則4（0,0,0），3（2,0,0），C（2,2,0）.D（0,2,0）?尸（0,0,2），￡（0,1,1），

AE=（O,l,l）＞AC=（2,2,0）＞PC=（2,2,-2）

設(shè)平面ACE的法向量為為=（x,y,z），

由2衣=2x+2y=0,得為二（1』）；

n-AE=x+z=0

設(shè)直線pc與平面ACE所成角為3

貝Usin0=cos（n,PC\=J—；——I=—.

'/|n|-|PC|3

所以直線PC與平面ACE所成角的正弦值為

3

設(shè)二面角E—AC—B的為a，a為鈍角，

平面ABCD的法向量為沅=（0,0,1），

cos。=一W5砌.需=-

二面角E—ac—B的余弦值為一且.

3

選擇③，平面PA￡）_L平面ABCD，

又因?yàn)槠矫鍼AZ）n平面ABCD=A。，PA±AD'上4u平面B4。，

所以PAJ_平面ABC。，

以A為原點(diǎn)，麗，而，Q的方向分別為x，y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則4（0,0,0）,

5（2,0,0），C（2,2,0），0（0,2,0），P（0,0,2），￡（0,1,1）.

荏=（0,1,1）,AC=（2,2,0）＞PC=（2,2,-2）

設(shè)平面ACE的法向量為n=(x,y,z)

加”=2x+2y=0,得為=(―1,中

由＜

n-AE=x+z=0

設(shè)直線PC與平面ACE所成角為"

\n-PC\

則sin0=卜os(五,PC^|1

H-M3

所以直線PC與平面ACE所成角的正弦值為工?

-3

設(shè)二面角￡_AC—5的為a,a為鈍角,

平面ABC。的法向量為沆=(0,0,1),

cos?=-|cos(n,m)|=-^=-^，

二面角￡_AC—5的余弦值為一走.

3

16.答案：(1)證明見解析

解析：⑴連接。尸，CG,由題意可知NEA尸=120°,

且AE=AF,因此EF_L49,

易知AE=2,點(diǎn)G為。4中點(diǎn)，

nA01

考慮△BCG與△AOP,-=-=

C542

3

-=1=-,且NM9=NGfiC=90。，

BG32

因此ABCG~Z\AOP,故NP6M+NCGfi=9O°,因此OPJ_CG,

在圓柱中，ZM_L平面AER

EFu平面AER因此跖，

又因?yàn)榛遥?9,DA[}AO=A,

DA,AOu平面ABC。，因此歷_L平面ABCD,

由于尸Ou平面ABCD,因此石F_LPO,

由于EFLPO,CG±PO,

EFC\CG=G,EF,CGu平面CEP,

因此OP1?平面CEF；

（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

則有網(wǎng)-6,1,0）,F（V3,l,0）,

C（0,4,4）,G（0,l,0）,設(shè)P（0,0,左），

若ZXPEF為等邊三角形，則|厘|=|赤|=2g,

PE=^-y/3,l,-k）,|固|=,3+1+左2=26,

于是左=2正或左=-272（舍去），

由(1)知平面CEF的法向量為為=10,2,—I1,

PE=(-A/3,1,-2V2),PF=(A1,-272),

設(shè)平面PEF的法向量為沅=(%，x，Z]),

制J-&X]+%-20Z1=0,

則?

6xi+%-20Z]=0,

取%=2A/2,則2]=1,西=0,沅=(0,2A/^,1),

設(shè)二面角尸—跖—C為。，

4歷3

由圖知。為銳角，cosa==------m=8氏-3.

阿M|3X515

2

17.答案：(1)2=1

2

(2)叢=6或&L=YI

ABAB2

解析：（1）方法一:如圖1,取AB的中點(diǎn)連接￡）石'，

因?yàn)樗倪呅蜛BC。是菱形，且ZDAB=180°-120°=60°，

所以△ABD是等邊三角形，所以DE'X.AB-

因?yàn)椤?，平面ABCD,ABu平面ABC2所以1AB.

因?yàn)镈E'^DD,=D,次u平面DDR,DDXu平面DRE，,

所以ABJ_平面。RE'.

因?yàn)锳Bu平面ABB14，所以平面DDXE'±平面ABB^，

所以E點(diǎn)和E，點(diǎn)重合.

所以衣=工通,即通=工通，即;1='.

222

AG

AE（E）B

圖1

方法二:如圖2,在A4上取一點(diǎn)G,使AG=AE，連接EG,G}D.

顯然四邊形AEG\為平行四邊形，得到AAJ/EG，且AAX=EG,

同時(shí)胡HDD,，且A4,=DQ,

有DDJIEG,旦DD[=EG,

四邊形DEGD]為平行四邊形，

則平面2DEC平面ABBX\=EG,且DDJ/EG-

因?yàn)?。°，平面ABCD,ABu平面ABC。,所以DD,±AB,

所以EGLAB-

又平面DXDE1平面ABB.A,，平面DXDEQ平面ABB.A,=EG,ABu平面ABB^.

所以45，平面。?！?

又￡>￡u平面DQE,所以Afi，￡）石?

又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，且ZDAB=180°-120°=60°，

所以Z^ABD是等邊三角形,

所以立=!通，即彳=工.

22

圖2

(2)方法一:以E為A3的中點(diǎn).

以點(diǎn)￡)為原點(diǎn)，分別以。石,℃,。￡>1為x,y,z軸，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系

不妨設(shè)AB=2，=2a,則

A（73,-l,0），4（6,1,2a）,Q（0,0,2a），后1,0）,D（0,0,0）,F（0,2,a），所以

A^=（0,2,2?），D^=（73,l,0），DB=（V3,l,0），DF=（0,2,fl）.

設(shè)平面AB[。]的法向量為〃=（%,%,zj,

則上9=0,即戶+2叼=0,

n-DxBx=0,[+%=0,

令刀=百廁Z[=3,%=—3,所以平面A5Q]的一個(gè)法向量為為=（四,—3,3],

aIa）

設(shè)平面BDF的法向量為用=(%2，%，22%

則口差=0,即!回+%=0,

in-DF-0,[2y2+az?-0,

令M=6廁％=—3/2=9,所以平面應(yīng))產(chǎn)的一個(gè)法向量為玩=-3,9

~"aIa

則

設(shè)平面ABYDX與平面BDF的夾角為3

V3xV3+(-3)x-x-^

aa12a2+18

同?同12+〉Jl2a2+9xJ12/+36

令,12a2；18=亞，解得2=3或萬=3,所以抬或走.

Jl2a2+9XJ12/+361042

所以叢=哀1=括或&L=XI

AB2AB2

方法二:連接AC,與BD相交于點(diǎn)O,連接4G與B[D]相交于點(diǎn)。],

連接AO],OF,OO「

由題意得,A。J_5Z），OOi_L平面ABCD.

以點(diǎn)0為原點(diǎn)，分別以08,OC，OO]為xj，z軸，建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)AB=2,M=2a，

則A（0,-A0），Q（0,0,2a）,F（0,A?）

所以麗=e,6,2a）,歷（0,6,a）.

易知BDHB\D\,AQ_L用〃，OF_L，

所以向量而\醞夾角余弦的絕對值等于平面AB]A與平面3￡）尸夾角的余弦值,

所以卜怎福,赤卜嚕.

所以-a。。_3+2〃_3屈

時(shí)回“3+4/々3+/―10

解得儲=3或所以a=6或蟲.

42

18.答案：（1）證明見解析

⑵巫

13

解析：（1）連結(jié)“，

由MB=CD=2，