2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練：隨機(jī)變量及其分布（含解析）

2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練隨機(jī)變量及其分布

一、選擇題

1.某學(xué)校有42兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，

那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.4.計(jì)算王

同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率（）

A.0.24B.0.36C.0.5D.0.52

2.兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占70%,次品率為6%;第二批占30%,次品率為5%.將這兩批產(chǎn)品混合,

從混合產(chǎn)品中任取1件，則這件產(chǎn)品是次品的概率為（）

A.5.5%B.5.6%C.5.7%D.5.8%

3.英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)了高爾頓釘板來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象.如圖是一個(gè)高爾頓釘板的設(shè)計(jì)圖，每

一黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆釘子恰好位于下一層兩顆

打子的正中間，小球每次下落，將隨機(jī)的向兩邊等概率的下落.數(shù)學(xué)課堂上，老師向?qū)W生們介紹了高

爾頓釘板放學(xué)后，愛(ài)動(dòng)腦的小明設(shè)計(jì)了一個(gè)不一樣的“高爾頓釘板”，它使小球在從釘板上一層的兩

顆釘子之間落下后砸到下一層的釘子上時(shí)，向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.當(dāng)有大量的小

球依次滾下時(shí)，最終都落入釘板下面的5個(gè)不同位置.若一個(gè)小球從正上方落下，經(jīng)過(guò)5層釘板最終

落到4號(hào)位置的概率是（）

81818181

4.若隨機(jī)事件48滿足p（A）=g,p（3）=g,p（AU3）=q，則P（A忸）=（）

A.±2B.±2C.l11D.l

9346

5.今有水平相當(dāng)?shù)钠迨旨缀推迨忠疫M(jìn)行某項(xiàng)圍棋比賽，勝者可獲得24000元獎(jiǎng)金.比賽規(guī)定下滿五局,

五局中獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，比賽無(wú)平局，若比賽已進(jìn)行三局，甲兩勝一負(fù)，由于突發(fā)因素?zé)o法進(jìn)行后

面比賽，如何分配獎(jiǎng)金最合理?（）

A.甲12000元，乙12000元B.甲16000元，乙8000元

C.甲20000元，乙4000元D.甲18000元，乙6000元

6.甲、乙兩人進(jìn)行網(wǎng)球比賽，連續(xù)比賽三局，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.設(shè)乙在第一局獲勝的

概率為3、第二局獲勝的概率為2,第三局獲勝的概率為2,則甲恰好連勝兩局的概率為

433

（）

1572

A.-B.—C.—D.-

936369

7.在某電路上有M、N兩個(gè)獨(dú)立工作的元件，每次通電后，需要更換M元件的概率為0.3,需要更換N

元件的概率為0.2,則在某次通電后M、N有且只有一個(gè)需要更換的條件下,M需要更換的概率是（）

121523

A.—B.—C.-D.一

191955

8.下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：

①一高速公路上某收費(fèi)站在半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)J;

②一個(gè)沿直線y=2%進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在該直線上的位置7/；

③某指揮臺(tái)5分鐘內(nèi)接到的雷達(dá)電話次數(shù)X；

④某同學(xué)離開(kāi)學(xué)校的距離匕

其中是離散型隨機(jī)變量的為（）

A.①②B.③④C.①③D.②④

二、多項(xiàng)選擇題

9.下列說(shuō)法中正確的是（）

A.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布“6,則尸（X=3）=得

B.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2,〃）且p（x<4）=0.9,則P（0<X<2）=0,4

C.￡（2X+3）=2E（X）+3；￡）（2X+3）=2D（X）+3

D.已知隨機(jī)變量J滿足p（J=0）=x,尸侑=1）=1—%,若0<x<g，則E（J）隨著x的增大而減

小,隨著x的增大而增大

10.下列說(shuō)法中正確的是（）

A.從一批含有10件正品、4件次品的產(chǎn)品中任取3件，則取得2件次品的概率是出

91

B.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布3（",。），若E（X）=20,￡＞（X）=10,貝U〃=40

C.己知隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（2,CT2）,若尸片＞1）=2，則尸（。＜3）=l—p

32-1

D.已知隨機(jī)事件A,B滿足P（3）=g,P（AB）=-,則P（A|3）=§

11.已知隨機(jī)變量X,匕其中F=3X+1，已知隨機(jī)變量X的分布列如下表

X12345

13

Pmn

io5To

若磯X）=3,則（）

31

A.m=-±B.?=lC.E（y）=10D.D（y）=21

三、填空題

12.對(duì)于隨機(jī)事件A,B,若WB）。P⑷⑷二，則尸⑷5）=.

13.一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球，60個(gè)白球.采取不放回摸球，從中隨機(jī)摸

出22個(gè)球作為樣本，用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).當(dāng)F（X=@最大時(shí)，E（X）+k=.

14.根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有如下的效果：若以A表示事件“試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性”,

以C表示事件“被診斷者患有癌癥，，則有尸（川。）=0.9，尸回0=0.9.現(xiàn)在對(duì)自然人群進(jìn)行普春設(shè)

被試驗(yàn)的人患有癌癥的概率為0.01,即P（C）=0.01,則P（C|A）=.

四、解答題

15.某企業(yè)響應(yīng)國(guó)家“強(qiáng)芯固基”號(hào)召，為匯聚科研力量，準(zhǔn)備科學(xué)合理增加研發(fā)資金.為了

解研發(fā)資金的投入額x（單位：千萬(wàn)元）對(duì)年收入的附加額y（單位：千萬(wàn)元）的影響，

對(duì)2017年至2023年研發(fā)資金的投入額占和年收入的附加額/進(jìn)行研究，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如

下：

年份2017201820192020202120222023

投入額X,103040608090110

年收入的附3.204.004.806.007.307.459.25

加額為

⑴求y關(guān)于x的線性回歸方程；

⑵若年收入的附加額與投入額的比值大于0.1,則稱對(duì)應(yīng)的年份為“優(yōu)”，從上面的7個(gè)年份

中任意取3個(gè)，記X表示這三個(gè)年份為“優(yōu)”的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

777

參考數(shù)據(jù)：Zx*=2976,￡乃=42,￡X：=32800.

z=lz=li=\

附：回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:

nn___

nx

Z(%，一可(丫一刃yt-y

$=—^a=y-bx-

￡(%.一寸

ii=l

16.“青團(tuán)”是江南人家在清明節(jié)吃的一道傳統(tǒng)點(diǎn)心，據(jù)考證“青團(tuán)”之稱大約始于唐代，已有1000

多年的歷史.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)箱子裝有大小、外觀均相同的“青團(tuán)”，已知甲箱中有4個(gè)蛋黃餡的“青

團(tuán)”和3個(gè)肉松餡的“青團(tuán)”，乙箱中有3個(gè)蛋黃餡的“青團(tuán)”和2個(gè)肉松餡的“青團(tuán)”.

(1)若從甲箱中任取2個(gè)“青團(tuán)”，求這2個(gè)“青團(tuán)”餡不同的概率；

(2)若先從甲箱中任取2個(gè)“青團(tuán)”放入乙箱中，然后再?gòu)囊蚁渲腥稳?個(gè)“青團(tuán)”，求取出的這

個(gè)“青團(tuán)”是肉松餡的概率.

17.人工智能(AD是一門極富挑戰(zhàn)性的科學(xué)，自誕生以來(lái)，理論和技術(shù)日益成熟.某公司研究了一款答

題機(jī)器人，參與一場(chǎng)答題挑戰(zhàn).若開(kāi)始基礎(chǔ)分值為m(meN*)分,每輪答2題，都答對(duì)得1分,僅答對(duì)1

題得0分，都答錯(cuò)得-1分.若該答題機(jī)器人答對(duì)每道題的概率均為工,每輪答題相互獨(dú)立,每輪結(jié)束后機(jī)

2

器人累計(jì)得分為乂當(dāng)x=2m時(shí)，答題結(jié)束，機(jī)器人挑戰(zhàn)成功，當(dāng)X=0時(shí)，答題也結(jié)束，機(jī)器人挑戰(zhàn)失敗.

(1)當(dāng)爪=3時(shí)，求機(jī)器人第一輪答題后累計(jì)得分X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)當(dāng)機(jī)=4時(shí),求機(jī)器人在第6輪答題結(jié)束且挑戰(zhàn)成功的概率.

18.中醫(yī)藥學(xué)是中國(guó)古代科學(xué)的瑰寶，也是打開(kāi)中華文明寶庫(kù)的鑰匙.為了調(diào)查某地市民

對(duì)中醫(yī)藥文化的了解程度，某學(xué)習(xí)小組隨機(jī)向該地100位不同年齡段的市民發(fā)放了有關(guān)

中醫(yī)藥文化的調(diào)查問(wèn)卷，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：

責(zé)

[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

31歲?40歲481396

41歲?50歲28102218

規(guī)定成績(jī)?cè)冢?,60)內(nèi)代表對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度低，成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)代表對(duì)中醫(yī)藥文化

了解程度高.

(1)從這100位市民中隨機(jī)抽取1人，求抽到對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的頻率；

(2)將頻率視為概率，現(xiàn)從該地41歲~50歲年齡段的市民中隨機(jī)抽取3人，記X為對(duì)

中醫(yī)藥文化了解程度高的人數(shù)，求X的分布列和期望.

19.有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%,第2,3臺(tái)加工的次品率均為5%,加

工出來(lái)的零件混放在一起,己知第1,2,3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.

(1)任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率；

(2)如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第1臺(tái)車床所加工的概率(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示).

參考答案

I.答案：C

解析：設(shè)A="第1天去A餐廳用餐"，4="第1天去B餐廳用餐"，A="第2天去A餐廳用餐”,

根據(jù)題意得尸(A)=/(4)=0.5,尸(414)=0.6,p(414)=04,

由全概率公式，得尸（&）=尸（A）P（4IA）+P（4）P（4I4）

=0.5x0.6+0.5x0.4=0.5

因此，王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為05

故選：C.

2.答案：C

解析：用事件A1,&分別表示取到的產(chǎn)品來(lái)自第一批,第二批,8表示取到次品,

依題意，尸(4)=70%,尸(4)=30%,?(為4)=6%，?(84)=5%,

所以由全概率公式得尸（5）=P（A）P（6|A）+P（4）P（B|&）=5.7%.

故選:c

3.答案：A

解析：向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.

所以向左下落的概率為2,向右下落的概率為工，

33

則下落的過(guò)程中向左一次，

向右三次才能最終落到4號(hào)位置，

故此時(shí)概率為:c[J=A.

故選:A

4.答案：D

解析：由題意知：p(AU3)=G3=P(A)+PCB)—P(AB),可得尸(43)=§1+15—3：=五1,

1

故⑻=2=單」

v17P(B)16

2

故選：D.

5.答案：D

解析：乙最終獲勝的概率為!，甲最終獲勝的概率為1—工=。,所以甲乙兩人按照31分配獎(jiǎng)

22444

3一1

金才比較合理，所以甲24000x-=l8000元，乙24000x-=6000元，

44

故選:D

6.答案：B

解析：設(shè)甲第i局勝,i=1,2,3,且p(4)=：,p(4)=j,P(A3)=j,

則甲恰好連勝兩局的概率=p(44A)+p(44A)=W(1」)+(1」)xL工=W,

-43343336

故選：B.

7.答案：A

解析：記事件A為在某次通電后M、N有且只有一個(gè)需要更換，事件B為M需要更換，則

P(A)=0.3x(1-0.2)+(1-0.3)x0.2=0.38,P(AB)=0.3x(l-0.2)=0.24，由條件概率公式可得

八P(AB)0.2412

Pn/(BnlA)=—~-=——=—.故選A.

P(A)0.3819

8.答案：C

解析：對(duì)于①，半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)可以一一列舉出來(lái)，①是離散型隨機(jī)變量；

對(duì)于②，沿直線y=2x進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在直線上的位置不能一一列舉出來(lái)，②不是離散

型隨機(jī)變量；

對(duì)于③，5分鐘內(nèi)接到的雷達(dá)電話次數(shù)可以一一列舉出來(lái)，③是離散型隨機(jī)變量；

對(duì)于④，某同學(xué)離開(kāi)學(xué)校的距離可為某一區(qū)間內(nèi)的任意值，不能一一列舉出來(lái)，④不是離散型隨機(jī)變

量.

所以給定的隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的有①③.故選C.

9.答案：ABD

解析：對(duì)于選項(xiàng)A,設(shè)隨機(jī)變量X?

則一)wm染,

所以選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)殡S機(jī)變量J?N(2,CT2}

所以正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是尤=2,

因?yàn)?。（乂<4）=0.9,所以。（乂<0）=0.1,

所以尸（0<X<2）=04,所以選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,石（2X+3）=2E（X）+3,

DOX+BNJDIX卜故選項(xiàng)C不正確;

對(duì)于選項(xiàng)D,由題意可知,￡信）=1一%,

D（^）=x（l-x）=-x2+x,

由一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)知，

當(dāng)0<x<1?時(shí),隨著x的增大而減小，

D（J）隨著龍的增大而增大，故選項(xiàng)D正確.

故選：ABD.

10.答案：BD

解析：對(duì)于A,從一批含有10件正品、4件次品的產(chǎn)品中任取3件，則取得2件次品的概率為

6x10

—,故A錯(cuò)誤;

14x13x291

n=40

np=20

對(duì)于B,?<解得<1,故B正確;

秋（l—p）=10

對(duì)于C,?N（202）,則正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為J=2,根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得

P（J>1）=P值<3）=0,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,-.?P（B）=P（AJB）+P（AB）,.-.P（AB）=|-|=|,

/一、1

、P（AB）71

所以P（AB）=>，=弓=—,故D正確.

V1'P（B）33

'5

故選：BD.

11.答案：AC

解析：由￡（X）=lxm+2x0.1+3x0.2+4x〃+5x0.3,可得加+4〃=0.7,

由加+0.1+0.2+〃+0.3=1，可得加+〃=0.4,

從而得:m=0.3,〃=0.1,故A正確,B錯(cuò)誤,

石(丫)=3E(乂)+1=10,故?項(xiàng)正確,

因?yàn)椤?X)=0.3x(l-3f+0.1><(2-3f+0.1><(4-3『+0.3x(5-3『=2.6

所以D(Y)=9D(X)=23.4，故D錯(cuò)誤.

故選:AC.

12.答案：-

6

解析：。（例人:常又P（A）=g，

所以P（AB）=Lp（A）=^x2=J_,

174v74510

1

6

故答案為：—

6

13.答案：17.8“79

5

解析：不放回的摸球，每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果不獨(dú)立，為超幾何分布

「kr~\Xl—k

P(X=A)=40看0,左=0,1,2…22,

joo

P（X=k）最大時(shí),

即C：°C笊最大,

超幾何分布最大項(xiàng)問(wèn)題，利用比值求最大項(xiàng)

c$c陽(yáng)-s

設(shè)為=P(X=s)=

則4+1=JJ—kC；

4—C：

k\（〃-女）！

(s+l)!(左-s-1)!(機(jī)一s-1）!（〃一人一機(jī)+s+l）!

k!（n-k》.

s!(左-s)!（機(jī)一s）!（〃一女一機(jī)+s）!

(s+l)(〃一左一根+s+l)

0-s)(m-s))]

令

(5+1)(〃一左一根+5+1)

=>(左一s)(m—s)+一左一機(jī)+s+l)

=>——^k+m)s+bn>s2+^2+n—k—m)s+l+n—k—m

nAm>(〃+2)s+l+"—(m+k)

n左)+1>(〃+2)s+(l+n)+l

口「J%+l)(m+l)]

n+2

W+l)(〃z+l)時(shí),p(x=s)嚴(yán)格增加,

故當(dāng)sW

〃+2

當(dāng)§2(左+1)(加+1)_1時(shí),p(X=s)嚴(yán)格下降,

n+2

即左=9時(shí)取最大值,

此題中〃二100,加=22,左=40,s=kf

根據(jù)超幾何分布的期望公式可得E（X）==竺出=8.8，

''n100

磯X)+左=8.8+9=17.8

故答案為：17.8

14.答案：J-

12

解析:因?yàn)槭╖@=0.9,所以P（A?=1—P(A|C)=l-0.9=0.1,

因?yàn)镻(C)=0.01,所以P(C)=0.99，

所以由全概率公式可得P（A）=P（A|C）.P（C）+P（A?.P（0,

因?yàn)槭ˋC）=P（C|A）P（A）=P（A|C）P（C）

所以

P（A|C）P（C）P(A|C)P(C)0.9x0.01

P（C|A）

P(A)-P(A|C)P(C)+P(A|C)P(C)0.9x0.01+0.1x0.99

91

-108-12,

故答案為：L

12

15.答案：(Dy=0.06x+2.4

⑵分布列見(jiàn)解析,2

7

解析：⑴依題意,7=；x(10+30+40+60+80+90+110)=60,

_i

y二,x(3.2+4+4.8+6+7?3+7.45+9.25)=6,

7__

2976-7x60x6?！?/p>

b=------------=-----------------------=0.06,

32一232800-7x3600

Xxi~nx

i=l

a=y-bx=6-0.06x60=2A^

所以y關(guān)于X的線性回歸方程為y=0.06%+2.4-

(2)由題意,7個(gè)年收入的附加額與投入額的比值大于0.1的有3個(gè),

所以X的可能取值為0,1,2,3,

P(x=o)=等＜，P(X=1)=萼=||,

r20iioc3i

p(X=2)=^^=—,P(X=3)=-4=—,

1/C3517C,35

X分布列如下:

X0123

418121

P

35353535

所以X的期望是石(X)=0x4+lx更+2XU+3XL=2

V7353535357

16.答案:(1)7

-I

解析：(1)從甲箱中任取2個(gè)“青團(tuán)”的事件總數(shù)為C；=21,

這2個(gè)“青團(tuán)”餡不同的事件數(shù)為C；C；=12,

124

所以這2個(gè)“青團(tuán)”餡不同的概率為—=—.

217

(2)設(shè)事件A為“從乙箱中任取1個(gè)‘青團(tuán)'，取出的這個(gè)‘青團(tuán)'是肉松餡”，

事件4為“從甲箱中取出的2個(gè)‘青團(tuán)’都是蛋黃餡”，

事件不為“從甲箱中取出的2個(gè)‘青團(tuán)’都是肉松餡”，

事件員為“從甲箱中取出的2個(gè)‘青團(tuán)’為1個(gè)蛋黃餡1個(gè)肉松餡”，則與，B2,以彼此互斥.

。⑷=5=9二，p㈤*)二叩」，

、1，C；217、C；217''C；217

()

pAl4=7P(^B2)=-,P(A|B3)=-,

所以()(

P(A)=P4PA|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(S5)-P(A|B3)

22144320

——X---1——X——|——X——=---,

77777749

20

所以取出的這個(gè)“青團(tuán)”是肉松餡的概率為

49

17.答案：(1)分布列見(jiàn)解析,E(X)=3

(2)11

1024

解析：(1)當(dāng)爪=3時(shí)，第一輪答題后累計(jì)得分X所有取值為4,3,2,

根據(jù)題意可知：p(X=4)=-x-=-,P(X=3)=2x-x-=-,P(X=2)=-x-=-,

所以第一輪答題后累計(jì)得分X