2025高考數(shù)學沖刺復習：導數(shù)及其應用（解析版）

專題07導數(shù)及其應用

目錄

易錯點01對導數(shù)的概念理解不到位

易錯點02錯用函數(shù)的求導法則

易錯點03混淆“在某點”和“過某點”切線的區(qū)別

易錯點04利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間忽略定義域

易錯點05混淆極值點與導數(shù)等于零的點的區(qū)別

易錯點06已知單調(diào)性求參數(shù)時混淆條件

易錯點07判斷函數(shù)零點個數(shù)時畫圖出錯

易錯點01：對導數(shù)的概念理解不到位

叁易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）若函數(shù)?。┛蓪?，則叫加一黑T⑴等于（）

A.B.“⑴C.一步⑴D.尸g]

【答案】C

【分析】根據(jù)導數(shù)的定義即可求解.

/(l-Ax)-/(l)1/[l+(-Ax)]-/(l)

【詳解】lim-nm---------------------------

—2Ax2--Ax

故選：c

【易錯剖析】

在解題時要注意注（%）=lim"=lim二"。+&）一/（飛）,本題容易忽略分母不是分子函數(shù)值對應自變

'7以一0Ax-Ax

量的差而出錯.

【避錯攻略】

1.導數(shù)的概念

函數(shù)/（X）在X=%處瞬時變化率是lim"=lim小吐也二,我們稱它為函數(shù)y=/（尤）在x=%

-oAx―一。Ax

處的導數(shù)，記作/（尤。）或川工，.

【解讀】①增量以可以是正數(shù)，也可以是負，但是不可以等于0.Axf0的意義：Ar與0之間距離

要多近有多近，即IAx-01可以小于給定的任意小的正數(shù)；

②當Axf0時，Ay在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與

竺="網(wǎng)+垓）一/（無。）無限接近；

AxAx

③導數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率.如瞬時速度即是位移在這一時

刻的瞬間變化率，即/'（1）=lim"=lim.

-。Ax-Ax

2.幾何意義

函數(shù)y=/（%）在x=%處的導數(shù)/U）的幾何意義即為函數(shù)y=/⑴在點P5，%）處的切線的斜率.

3.物理意義

函數(shù)S=5（0在點力處的導數(shù)s'Oo）是物體在t0時刻的瞬時速度v,即V=s'（t0）-V=V（0在點t0的導

數(shù)v'?0）是物體在辦時刻的瞬時加速度。，即。=丫'。0）.

易錯提醒：⑴尸伉）=lim絲=lim以包山二用2,要注意定義式中的分母一定是分子兩個函數(shù)值

v7Av^oAxAr

對應自變量的差，如果不是要通過調(diào)整系數(shù)實現(xiàn)對應；（2）/'（尤0）的代數(shù)意義表示函數(shù)/（X）在X。處的瞬時

變化率；⑶/伍）的幾何意義表示曲線y=/（x）在x=x0處切線的斜率.

舉一反三

1.（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）若可導函數(shù)的圖象過原點，且滿足等=一1,則廣⑼等于

（）

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

【分析】由題得"0）=0,再利用導數(shù)定義求解.

【詳解】：/⑴圖象過原點，???"0）=0,

“⑼=1"°+"⑼=-

-oAx-oAx

故選：c

2.（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）如果函數(shù)y=〃x）在尤=1處的導數(shù)為1,那么吧/（"?]“IL（）

A.gB.1C.2D.-

24

【答案】A

【分析】利用導數(shù)的定義求解.

【詳解】因為（。）=1,所以吧”i+y1,

所以lim…7⑴=llim/（l^）-/（l）=1.

32x2一。x2

故選：A.

3.（24-25高二下?河北石家莊?階段練習）設函數(shù)/（x）在點/附近有定義，且有

2

7（x0+Ax）-y（x0）=oAx+Z＞（z\x）（a,為常數(shù)），貝i］（）

A.B.f'（x）=bC.r小）=。D.f'（x0）^b

【答案】C

【分析】由導函數(shù)的定義可得答案.

【詳解】因為包「.+＞（8）2一+於『

AxAx

所以/'（工0）=lim=lim（tz+Z?Ax）=tz,

即/'（尤o）=a.

故選：C

?易錯題通關

1.（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）若/'（%）=-2,則1口/（-%）一"二+一）=（）

-Ax

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)瞬時變化率的定義即可求解.

【詳解】根據(jù)題意/'（%）=-2,

則.〃/）-/伉+、）=_扁”/+△）7（%）=_尸（）=2.

—Ax故―。Ax、/

故選:D.

2.（24-25高三上?廣西玉林?期中）設/（"是定義在R上的可導函數(shù)，若蝕了a°_?_"x°）=2a（a為常

數(shù)），則/'（%）=（）

A.—2aB.2aC.一〃D.a

【答案】A

【分析】根據(jù)導數(shù)的定義計算即可求解.

【詳解】/Vo）=lim"＞一'）一"％）=-1而"/一'）一"%）=-2a.

hT?！猦2。h

故選：A

3.（2025高三?全國?專題練習）已知函數(shù)〃x）=xlnx,則1而位空匕則的值為（）

以f°Ax

A.2eB.0C.1D.e

【答案】c

【分析】利用導數(shù)定義求極限即可.

【詳解】根據(jù)導數(shù)定義，得lim-l+M-/⑴=/⑴,

又r（%）=i+inx,所以廣⑴=i.

故選：C.

4.（24-25高三上?上海?期中）若函數(shù)y=/（x）在x=%o處的導數(shù)等于〃，則+的值為

-Ax

（）

A.0B.—ciC.。D.2a

2

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用導數(shù)的定義直接計算可求解.

［詳解］lim/（x°+2Ax）T（%）=2lim-=f,g=2a.

-Ax2Ax'7

故選：D.

5.（24-25高三上?貴州貴陽.階段練習）若函數(shù)y=〃x）在區(qū)間（。肉內(nèi)可導,且飛式見外,則

lim"%）-"4+/;）的值為（）

2。h

A.f'MB.2f（x0）C.-2/（x0）D.-r（x0）

【答案】D

【分析】由導數(shù)的定義即可求解.

［詳解］5—（尤。）一.（%+〃）=“不）一/（/+〃）=一3（％）,

h2?！猦''

故選：D.

6.（23-24高二下?福建龍巖?階段練習）己知函數(shù)/（無）在x=x°處可導，且螞〃1_3果_/&）=3,則

f'M=（）

A.-3B.-2C.--D.2

2

【答案】B

【分析】利用導數(shù)的定義求解.

【詳解】解：因為lim-3Ax）T（x。）=3,

―。2Ax

所以-3A一〃％）=3,即一3r（）=3,

v7

2AY-?O-3Ax2'

所以r（/）=-2,

故選：B

7.（24-25高二?全國?課后作業(yè)）（多選）若函數(shù)/（x）在x=x°處存在導數(shù)，則:映/（/+?―/（%）的值（）

A.與看有關B.與%有關C.與看無關D,與/i無關

【答案】AD

【分析】由導數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】由導數(shù)的定義可知，=八）,

函數(shù)/（%）在％=%處的導數(shù)與七有關，與h無關,

故選：AD.

8.（24-25高三上?浙江?階段練習）已知：當"無窮大時，|1+1|的值為e,記為1面11+口=e.運用上述

\n）〃-+鞏nJ

“、人-T4Brln(l+2x)

結論，可得hm-----------(x>0)=

aox

【答案】2.

【分析】利用換元法和對數(shù)運算性質(zhì)將所求式子化簡為lim(1+工)”的結構，即可求得.

n—>+<x)R

【詳施軍】令1=2%,貝！,/x>0,%―。，貝。>0jf+8,

t2t

因為lim(1+—)n=e,

M—>+00〃

ln1+

nlln(l+2x)(fJ「「1YIC1Y

貝Ulim--------=lim一二——-=2limHn1+-=2limIn1+-=21ne=2.

Xf0X011+eItJ—+8It)

It

故答案為：2.

易錯點02：錯用函數(shù)的求導法則

易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?山東聊城?期末）函數(shù)＞=fcos（2尢-的導數(shù)為（）

A.y'=2xcos-x2sin

B.y'—2xcos^2x——-2x2sin——

C.y，=Yeos--1j-2xsin-3

D.y'=2xcos[2x—；]+2x2sin（2x—；j

【答案】B

【分析】利用導數(shù)的運算法則以及復合函數(shù)求導法則可求出原函數(shù)的導數(shù).

【詳解】=(%2cos^2x-y+x2cos^2x-y^=2xcos^2x-y^+x2-sin^2x-y^(2%-三

=2xcos|2x——2x2sin2x—

I3；I3.

故選：B.

【易錯剖析】

本題容易錯用復合函數(shù)的求導法則而出錯，要注意求導公式和求導法則的適用前提.

【避錯攻略】

1.求導的基本公式

基本初等函數(shù)導函數(shù)

于（x）=c（。為常數(shù)）ra)=o

f(x)=xa(aeQ)八元)=axa~x

于(x)=ax(a>0,aw1)f\x)=ax\na

/(x)=log。％(a>0,aw1)fw=.

xma

f(x)=e*/(x)=e*

/(x)=lnxr?=-

X

/(x)=sinxfr(x)=cosx

f(x)=cosx/'(x)=-sinx

2.導數(shù)的四則運算法則

(1)函數(shù)和差求導法則："(X)土g(x)]'=/(x)±g'(x);

(2)函數(shù)積的求導法則："(x)g(x)]'=/(x)g(x)+/(x)g，(x);

°、下冊日計/Wg(x)-/(x)g(x)

(3)函數(shù)商的求導法則：g(x)*O,則=--------G--------

g(x)g(無)

3.復合函數(shù)求導數(shù)

復合函數(shù)y=/[g(x)]的導數(shù)和函數(shù)y=/(〃)，M=g(x)的導數(shù)間關系為"'=%'%'：

易錯提醒：(1)復合函數(shù)對自變量的導數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù),乘以中間變量對自變量的導

數(shù)，即匕'(2)求函數(shù)導數(shù)的總原則：先化簡解析式，再求導.注意以下幾點：連乘形式則先展

開化為多項式形式，再求導；三角形式，先利用三角函數(shù)公式轉化為和或差的形式，再求導；分式形式，

先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導；復合函數(shù)，先確定復合關系，由外向內(nèi)逐層求導，必要

時可換元.

舉一反三

1.(24-25高二上?全國?課后作業(yè))已知某函數(shù)的導數(shù)為則這個函數(shù)可能是()

2(%-1)

/——?11

A.y=lnjl—xB.y-In.C.y=ln(l—x)D.y=ln-----

v1—Xx—1

【答案】A

【分析】利用復合函數(shù)導數(shù)的運算法則逐項計算即可得到結果.

【詳解】對于A,函數(shù)y=lnJ匚1可以看作y=ln","=V?和v=l-x的復合函數(shù),

dug"/)，.…，—(一i)=卷.企.(一i)=U=U，符合題意;

對于

B,y=ln-?X==-InVl-x.2=E'不符合題意;

對于C,y=ln(l-x)可以看作y=ln〃和"=1_%的復合函數(shù),

:?乂=乂X）'=L（T）=」~7，不符合題意；

ux-1

對于D,y=In------=—ln（x—1）,y'=---------，不符合題意.

x-1x-]

故選：A.

2.（2025高三?全國?專題練習）下列求導運算錯誤的是（）

A.（tan%）'=-tan%B.（log2%）=]?

【答案】A

【分析】利用導數(shù)的運算法則與復合函數(shù)導數(shù)公式求解判斷即可.

【詳解】A項，（tan%）'/'=cosx6s；sinx-sinx=」，故A錯誤;

VcosXJcosXcosX

/、，1

B項，（log,%）=—「不，故B正確；

、7xln2

C項，（2—+葉=2/+"（21+1）=（以+2）1+“，故C正確；

D項，=X，=—■-x=-----\=，故D正確.

"%JJ22xjx

故選：A.

3.（24-25高三?全國?聯(lián)考）己知函數(shù)/（x）=cos[2x+1[,則（']（）

A.—1B.—C.1D.—

22

【答案】A

IT

【分析】先利用復合函數(shù)的求導法則求出導函數(shù)，將X代入求值即可.

【詳解】因為〃x）=cos[2x+：1,貝Ur（x）=-2sin12x+mj

所以/'H=_2singB=_2cosm=_l.

故選：A

■易錯題通關.

1.（2025高三?全國?專題練習）函數(shù)y=xln（2x+5）的導數(shù)為（）

x

A.y'=2xln（2x+5）B.

2x+5

X2x

C./=In（2x+5）+2D.y，=ln（2x+5）+

2x+5

【答案】D

【分析】根據(jù)乘法的導數(shù)以及復合函數(shù)的導數(shù)等知識來求得正確答案.

【詳解】因為y=xln（2x+5）,

所以V=[xln（2x+5）]=xrln（2x+5）+x[ln（2x+5）]

12x

=ln（2x+5）+x--（2x+5）=ln（2x+5）+

2x+52x+5

故選：D

2.（24-25高三上?北京?開學考試）在下列函數(shù)中，導函數(shù)值不可能取到1的是（）

A.y=xlnxB.y=cos*C.y=2xD.y=x-]nx

【答案】D

【分析】分別對各選項中函數(shù)求導，由導函數(shù)值等于1時，判斷能否求出對應的力的值，即可確定.

【詳解】對于A,W=lnx+1,令lnx+l=l,得尤=1,即A選項導函數(shù)值可以取到1；

3兀_

對于B,y=-sinx,令一sinx=l,^x=—+2kn,左wZ,即B選項導函數(shù)值可以取到1；

對于C,y=2lln2,令2/2=1，得2'=々，

m2

由于」三＞1,所以x=log2T1，即C選項導函數(shù)值可以取到1；

對于D,y=i--,令i」=i,則Lo,不存在x使其成立，即D選項導函數(shù)值不可能取到1,

XXX

故選：D.

3.（24-25高三上?上海寶山?階段練習）已知y=e，osx,貝!J（）

A.y'=-exsinr

C.y'=V2exsin+：

【答案】D

【分析】根據(jù)導數(shù)的運算法則計算即可.

【詳解】由y=excosx,則y'=excosx+ex?（-sinx）=ex?（cosx-sinx）=V2exsin-xj-

故選：D.

4.（24-25高三上?山西?期中）若函數(shù)滿足了（“二三'/，⑵必-3X,則廣⑵的值為（）

A.-1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】求解導函數(shù)，再賦值尤=2,解關于r（2）的方程可得.

【詳解】由/（x）=/T〃2）Y_3x,得廣（勸=3必一八2）x—3,

則f'（2）=12-2/（2）-3,解得尸（2）=3,

故選：C.

5.（24-25高二下?遼寧?階段練習）（多選）下列求導運算正確的是（）

A。3。22）'=圭B.（1叫4可=力

2

C.p-1'=-一D.p_lV3x-4

Itanx）sinxx）x

【答案】BC

【分析】根據(jù)基本函數(shù)的導數(shù)公式及復合函數(shù)導數(shù)求法判斷各項正誤.

【詳解】由ln2022為常數(shù)，貝Kln2022）'=0,A錯誤；

^log44x=l+log4x,則（logqMua+logRJ—^,B正確；

xln4

由[Jg]=fir?x-cos"=__二，?正確；

Itanx）Isin%Jsin2xsin2%

由（A3一=3爐+4_,D錯誤.

Vx）x

故選：BC

6.（24-25高三上?陜西咸陽?期中）（多選）下列求導運算正確的是（）

c2

-(log23/=0D.(de，)=(2x-x)e

【答案】ABC

【分析】利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的四則運算法則可得選項A,B,C正確，選項D錯誤.

xcosx-sin%

【詳解】A.選項A正確.

B.[x—J=_/—1J=1+4，選項B正確.

C.log23為常數(shù)，選項C正確.

D.（%2巧=（%2）c+,ex）=2xex+x2ex+選項D錯誤.

故選：ABC.

7.（24-25高三上?江蘇淮安?開學考試）（多選）下列導數(shù)運算正確的是（）

A.（-）r=~B.=e-xC.（tanx），=—D.（1巾）」

XXCOSXX

【答案】ACD

【分析】利用求導公式逐項判斷即可.

【詳解】對于A,（3'=-±,故A正確；

對于B,(e^y=-e-\故B錯誤；

/、，,sin%、，cos2x+sin2x1

對于C,(tanx\=(——)'=-----------二——'故c正確;

COS%COSXCOSX

(Inx)r,x>0i

對于D,(1巾?'='=—,故D正確.

11[[ln(-x)],x<0x

故選：ACD

8.（24-25高三上?江蘇鹽城?階段練習）（多選）下列導數(shù)運算正確的是（）

C.（tanx）'=—^~D.（Igx）,=-^—

cos-xxlnlO

【答案】ACD

【分析】根據(jù)求導公式、運算法則和簡單復合函數(shù)的求導依次計算，即可求解.

【詳解】A：（勺=（廣＞=-尸=_二，故A正確；

XX

B:(eT)'=(e7).(ry=-e-，，故B錯誤;

c,、，，sinx、，(sinx)'cosx-sin-x(cosx)'cos2x+sin2x1

c：(tanx)'=(——)'=__<-----a_-——-=------------=——故c正確;

COS%COSXCOSXCOSX

1

D：(lgx)'=故D正確.

xlnlO

故選：ACD

易錯點03：混淆“在某點”和“過某點”切線的區(qū)別

易錯陷阱與避錯攻略

典例(2024.新疆.二模)過點(1,4)且與曲線/(x)=V+x+2相切的直線方程為()

A.4x-y=0B.7%—4y+9=0

C.4%-y=0或7%—4y+9=0D.4%-y=0或4%-7y+24=0

【答案】C

【分析】先設過點的切線，再根據(jù)點在曲線上及切線斜率等于導數(shù)值解方程即可求值進而求出切線.

【詳解】設過點(L4)的曲線y=/(%)的切線為：l-y-yo=(3就+1)(%-%0)，

有((3賄+1)(1-%0)=4-y0

Iyo=瑞+a+2

解峨。I:或「。=?，

ky4

°-[y0=l

代入/可得4x-y=?；?x—4y+9=0.

故選：C

【易錯剖析】

本題容易誤將(1,4)點當做函數(shù)的切點而出錯，要注意過P點的切線P不一定是切點.

【避錯攻略】

1.在點尸的切線方程

切線方程y-/Uo)=f'^^x-x0)的計算：函數(shù)y=f{x)在點A(x0,/(%0))處的切線方程為

%=/(x。)

V-/(%)=/'(%)0-%)，抓住關鍵

k=f'(x0)

2.過點尸的切線方程

設切點為尸(x°,%),則斜率兀=/'(x。)，過切點的切線方程為：y-y0=f'(x0Xx-xQ),又因為切線方

程過點A(〃2,〃)，所以〃-%=/'(%)(相-%)然后解出/的值.(％有幾個值，就有幾條切線)

【注意】在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外.

易錯提醒(1)利用導數(shù)研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點：

(1)函數(shù)在切點處的導數(shù)值是切線的斜率，即已知切點坐標可求切線斜率，已知斜率可求切點坐標.

(2)切點既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點.

⑶曲線y=/(x)“在”點尸(%,%)處的切線與“過”點尸(尤0,%)的切線的區(qū)別：曲線y=/(x)在點尸(尤0,%)

處的切線是指點P為切點，若切線斜率存在，切線斜率為k=/'(x。)，是唯一的一條切線；曲線y二〃”過點

與無。,為)的切線，是指切線經(jīng)過點P,點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條.

(2)利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法

利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，

進而求出參數(shù)的值或取值范圍.

(3)求解與導數(shù)的幾何意義有關問題時應注意的兩點

(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍；

(2)謹記切點既在切線上又在曲線上.

舉一反三

1.(24-25高三上?廣東?階段練習)函數(shù)/(x)=lnx+2x的圖象在點(1,2)處的切線與坐標軸所圍成的三角形

的面積為()

A.-B.—C.-D.—

2368

【答案】C

【分析】求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得切線方程，進而可切線與坐標軸交點，即可得三角形面積.

【詳解】由〃x)=lnx+2x,得/(x)=g+2,/(1)=3,

則的圖象在點(1,2)處的切線方程為y-2=3(尤-1),即y=3x-l,

令x=0,得y=T,令y=0,得了=；,

則該切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為］xlx2=；,

236

故選：C.

2.(23-24高二下.山西晉城.期末)過原點。作曲線/(%)=e-QX的切線，其斜率為2,則實數(shù)()

A.eB.2C.e+2D.e-2

【答案】D

【分析】設出切點，求導，得切點處的切線方程，即可代入原點(0,0)求解.

【詳解】設切點(毛,%),則/'(x)=e'-a,

故切點處的切線方程為y=(e&-aj^x-x^+Q^-ax0,故e'。-a=2,

將(0,0)代入得0=_2x()+e&-ox。，i^O=-2x0+a+2-ax0,解得“=—2或無o=l,

若a=-2,貝i]e&+2=2,此時無解，故。=-2不符合題意，

若x()=l,則e-a=2,故a=e-2,此時滿足題意，

故選:D

3.(24-25高三?山東臨沂?期中)若過點(。力)可以作曲線y=e'的兩條切線，貝IJ(

A.e*+1<aB.ea+1<bC.0<b<efl+1D.0<a<e*+1

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，求出切線方程，然后對b進行討論即可.

【詳解】設切點為尸(無。，%),

對尸尸求導可得：y'=e":

切線的斜率為八。

可得切線方程為：

把點(a,6)代入可得6—e而+1=e"i(a-Xo),

化為人=e『a-/+1),

令f(x)-ex+1(a-x+l),xeR.

f'(x)=ex+1(a-x),

令/'(x)>。得x<a；令/'(x)<。得了>。

所以函數(shù)f(x)在(-00,a)上單調(diào)遞增，在(a,+8)上單調(diào)遞減，

可得x=a時函數(shù)/(x)取得極大值〃a)=ei.

當x-—8時，0,

當Xf+oo時，

：.b<0時，y=b與函數(shù)/（X）的圖象最多有一個交點，不符合題意，舍去.

b>0時，由過點（a,b）可以作曲線y=ex+1的兩條切線，

■-y=b與函數(shù)/（%）的圖象有兩個交點，

..0<b<e"+i.

故選：C.

，易錯題通關.

1.（24-25高三上?江蘇鹽城?階段練習）曲線y=?。ㄈ?1）在x=l處的切線方程為（）

A.x=lB.y=lC.y=xD.y=x-\

【答案】D

【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，由點斜式方程可得切線的方程.

【詳解】因為y=f（x_i）,所以y=3/—2x,

所以曲線y=f（xT）在x=l處的切線的斜率為1,

當x=l時，y=o,所以切點為（1,0）,

所以切線方程為y-O=x-l,即產(chǎn)x-i.

2.（24-25高三上?河南?階段練習）曲線y=e，-2°x在x=0處的切線經(jīng)過點（2,-1）,則實數(shù)。的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】求導，由導數(shù)幾何意義得到函數(shù)在x=0處的切線斜率，結合兩點間斜率公式得到方程，求出實數(shù)

。的值.

【詳解】y'=e-2a,由導數(shù)幾何意義知，

了=6,-2。尤在工=0處的切線斜率為6。-2。=1一2”，

當x=0時y=l,切線經(jīng)過點（2,—1）,故有q^l=i_2a,解得a=l.

故選：C.

3.(24-25高三上?海南省直轄縣級單位?階段練習)函數(shù)y=￡■在點(0,-1)處的切線與兩坐標軸圍成的封閉

圖形的面積為()

A.-B.--C.-D.1

842

【答案】B

【分析】求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線方程，進而可得交點坐標和面積.

【詳解】因為，=一=1—則~m，可得川戶。=2,

即切點坐標為(0,-1),切線斜率為2,

則切線方程為》=2x-l,其與x軸交點為],oj,

所以切線與兩坐標軸圍成的封閉圖形的面積為gxgxl=5.

故選：B.

4.(24-25高三上?天津武清?階段練習)若直線y=Ax與曲線>=1研+1相切，貝”=()

2x

A.1112H—B.—C.—D.4

424

【答案】B

【分析】設出切點坐標P(%o，y°),求導并利用導數(shù)的幾何意義與兩點間的斜率公式計算可得直線斜率.

【詳解】設直線尸入與曲線y=hu+二相切于點P(%o，y。)，

2x

111124—1

求導可得y'=--；7方，因此切線斜T率—力=)2，

x2%/o

11八

llLVnH---------0

又切線過原點。(0,0),可得工」2%=2々-1,化簡可得以n%-%+1=0,

令g(x)=xlnx-x+l,則g[x)=lnx+l-l=lnx,

當(0,1)時，g'(x)<0,即g(無)在(0,1)上單調(diào)遞減，

當x6(1,+8)時，g'(x)>0,即g(尤)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)在尤=1處取得極小值，也是最小值，g⑴=。，

因此可得%=1,即可得％=看-=].

故選：B

5.（2024?河南洛陽.三模）（多選）若過點尸（1,0）作曲線y=V的切線，則這樣的切線共有（）

A.0條B.1條C.2條D.3條

【答案】C

【分析】設切點為（天,只），利用導數(shù)的幾何意義及點斜式直線方程求出切線方程，根據(jù)過點尸（1,0）建立方

程，求得切點的個數(shù)即為切線的條數(shù).

【詳解】設切點為（如其），由y=所以y=3x2,得y，1『=3片，

所以切線方程為>一片=3片卜一.）,即y=3年x-2尤;.

3

因為切線過點尸（L。），所以0=3年-2年，解得無。=0或x0=5，

所以過點尸（1，。）作曲線y=V的切線可以作2條.

故選：C

6.（24-25高三?山東日照?期中）已知過點A（a,0）作曲線y=xe，的切線有且僅有兩條，則實數(shù)。的取值可能

為（）

A.-2B.-3C.-4D.-5

【答案】D

【分析】設出切點坐標，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，并將點A的坐標代入建立方程，求出方程有

兩個不等實根的參數(shù)范圍即可.

【詳解】設切點為（Xo，x（）e&）,由〉=立,,求導得y'=（x+l）e",

則切線方程為：y=（與+l）e兩@一5）+/“”，而切線過點（。,0）,

于是0=（%+1）6'%-唾%,又e、e>0，則君-.-a=O,

依題意，方程x：-ax0-a=O有且僅有兩個不等實根，則A=</+4a>0,

解得。>0或a<T,所以。=-5符合題意.

7.（23-24高二下?北京西城?階段練習）已知直線》=叱-2是曲線y=lnx的切線，則切點坐標為（）

A.9，一"B.（e,l）°D.（0,1）

【答案】A

【分析】設切點坐標為（r,ln。，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，對比系數(shù)即可求出切點坐標.

【詳解】設切點坐標為(r,lnf),因為(lnx)'=L所以在點(Qnr)處切線的斜率為1,

xt

所以曲線y=lnx在點處的切線方程為=,

1

1—=e1

即y-ln/=-x-1,所以，解得t=—,

,J-2=lnr-le

所以切點為g，T；

故選：A

8.(24-25高三上?上海?開學考試)經(jīng)過點尸(1,-2)可以作與曲線2尤3_3x-y=0相切的不同直線共有()

A.0條B.1條C.2條D.3條

【答案】D

【分析】設切點為(不，23%),則切線的斜率為6/-3,又切線過點P(L-2),可得4只-6x：+l=0,設

g(x0)=4^-6^+l,由導數(shù)的單調(diào)性和零點的存在性可得g(x0)與x軸有3個交點，則有3條切線.

【詳解】設切點為(%，-3%),y=6X2-3,

則切線的斜率為6%-3,

又切線過點尸(1，-2),

所以遍-3x0+2=(6xg-3)(A:0-1),

則4第一6焉+1=0,設g(/)=4片一6片+1,

貝1Jg'(%)=12片一12%,令g"o)=O,

解得％=?；?=1,

當&e(-oo,0)和％e(l,+oo)時g'N)>。，函數(shù)g(%)單調(diào)遞增,

當飛e(0,1)時/(%)<0,函數(shù)g(%)單調(diào)遞減，

Xg(-1)=-4-6+1=-9<0,g(0)=1>0,

g(l)=4-6+l=-l<0,g(2)=4x8-6x4+l=9>0,

所以存在石e(fo,0),g(%)=0；Xje(O,l),^(x2)=O；x,G(l,4w),g(x3)=0,

所以g(%)=4片-6片+1與x軸有3個交點，

則經(jīng)過尸(1，-2)有3條切線.

故選：D.

易錯點04：利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間忽略定義域

，易錯陷阱與避錯攻略

典例(23-24高二下?寧夏吳忠?期中)函數(shù)/(x)=生的單調(diào)減區(qū)間為()

Inx

A.(-s,e)B.(O,e)C.(l,e)D.(0,1)和(l,e)

【答案】D

【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，再解不等式即得答案.

YInx—1

【詳解】函數(shù)的定義域為(°，D=(L+8)，求導得/(%)=7rrr，

lux(Inx)

由/'(x)v。，即v0，解得0<%<1或l<x<e,

I(l>ux)，

所以函數(shù)/(尤)=F的單調(diào)減區(qū)間為(°，D和0，e).

Inx

故選:D

【易錯剖析】

本題容易忽略定義域為(。，1)=(1，y)而錯選B.

【避錯攻略】

1.函數(shù)單調(diào)性的判定方法

設函數(shù)y=/(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果尸(x)>0,則y=〃x)為增函數(shù)；如果尸(x)<0,則y=/(x)

為減函數(shù).

【解讀】①利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論導數(shù)的符號；

②在某個區(qū)間內(nèi)，/''(x)>0(/'(x)<0)是函數(shù)/(X)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充分條件，而不是必

要條件.例如，函數(shù)/(x)=V在定義域(—8,+oo)上是增函數(shù)，但廣。)=3爐》0.

2.求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

①確定函數(shù)/(x)的定義域；

②求尸(x),令/'(x)=0,解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實數(shù)；

③把函數(shù)于(x)的間斷點的橫坐標和/"(x)=0的各實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把

函數(shù)/(x)的定義域分成若干個小區(qū)間；

④確定了'(x)在各小區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)了'(X)的符號判斷函數(shù)/(x)在每個相應小區(qū)間內(nèi)的增減性.

3函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)與求函數(shù)單調(diào)區(qū)間

尸（x）>0=/（X）單調(diào)遞增；/（x）單調(diào)遞增=于'（X）>0；

/（x）<0=，（*）單調(diào)遞減；，（x）單調(diào)遞減nf'（x）<Q.

易錯提醒：（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須樹立定義域優(yōu)先的思想，即先求函數(shù)的定義域，然后再定義域上求

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）含參函數(shù)單調(diào)性討論的分類標準：①函數(shù)類型；②開口方向；③判別式；④導數(shù)等

于。有根無根；⑤兩根大?。虎迾O值點是否在定義域內(nèi).

舉一反三

1.（2024?黑龍江佳木斯?模擬預測）若函數(shù)〃x）=：x2-3x-41nx,則函數(shù)/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.（4,+co）B.（0,1）C.（0,4）D.（1,4）

【答案】C

【分析】求函數(shù)/（%）的導數(shù)，利用導數(shù)小于零并結合定義域得出結果.

【詳解】函數(shù)=-3x-41nx,定義域為（0,+力），

由尸（力=彳_3_3=3X4=（x4）（x+l）,令/（力<0,解得o〈尤<%

XXX

則函數(shù)“X）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,4）.

故選：C.

2.（2024全國?模擬預測）已知函數(shù)"x）=ln（x-2）+ln（4-x）,則/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.(2,3)B.(3,4)C.(-8,3)D.(3,+巧

【答案】A

【分析】根據(jù)對數(shù)真數(shù)大于零可構造不等式組求得函數(shù)定義域；利用導數(shù)可求得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間.

IA:-2>0/、/、

【詳解】由47>0得：2Vx<4,即/（力的定義域為（2,4）；

因為（何=為1_2(3-x)

4-x(x-2)(4-x)

所以當xe（2,3）時,f'（x）>0；當x?3,4）時,尸（x）<0；

所以/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2,3）.

故選：A.

3.（24-25高三上?湖南長沙?階段練習）設/0）=（工2+Qx）lnx+；f,

（1）若。=0,求/（尤）在x=l處的切線方程；

⑵若aeR,試討論f0）的單調(diào)性.

【答案】（1）4彳-2?-3=。

（2）見解析

【分析】（1）當。=。時，先求導，再求廣（1）,7（1）,利用點斜式即可寫出切線方程；

（2）分aNO,--2＜a＜0,a=-2-,。＜-2女四種情況，結合求導討論即可求解.

eee

【詳解】（1）若Q=0,貝1_]/（%）=公欣+；尤2,=1

又/'（x）=2xlnx+%+%=2工（成+1）,故/"）=