2025屆河北省昌黎某中學(xué)高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2025屆河北省昌黎第一中學(xué)高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合&={-2,-1,0,1,2},8=則4口8=()

A.{—2,—1,0}B.{-1,0}C.{—1,0,1}D.{-2,—1,。/}

2.已知復(fù)數(shù)2=①(i為虛數(shù)單位)，則2=()

1-1

A33.n33.廠33.「33.

A.——+-iB.——--1C.—+—1D.--------1

22222222

3.已知等比數(shù)列{〃〃}中，％”亍生="公比9=貝!)〃4?。5/6=()

A.32B.16C.-16D.—32

4.《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學(xué)的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對穿，

大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打

洞穿墻.大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半.如果

墻足夠厚，第〃天后大老鼠打洞的總進度是小老鼠的4倍，則〃的值為()

A.5B.4C.3D.2

2

+

5.己知數(shù)列｛%｝滿足％=1,an+1=anni+n則/=（）

25「14「31「17

A.——B.——C.—D.—

95116

6.將函數(shù)〃x)=cos(s+"0>O,闡苫J的圖象向右平移聿個單位長度，再將所得圖象

上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到g(x)=sinr的圖象，則。的值為()

兀c萬

A.—B.—c

34-i4

7.已知數(shù)列｛%｝滿足％=1,2=4,且答=4=+9”(〃22,77eN),則當(dāng)冬取得最大

n-1n+1n-1n

值時，〃=()

A.1B.2C.3D.4

8.已知數(shù)列{%}中，其前〃項和為%且滿足S“=2-數(shù)列{*的前〃項和為7；,若

際-“TYZ〉。對“eN*恒成立，則實數(shù)力的取值范圍是()

A.(3,+oo)B.(―1,3)C.D.[W)

9.已知復(fù)數(shù)Z1=l-i,復(fù)數(shù)Z2=x+yi,x,yeR,z]，z?所對應(yīng)的向量分別為西，西,

其中。為坐標(biāo)原點，則以下命題錯誤的是()

A.若西//%,貝|x+y=0

B.若西//比'，則也eR

C.若鬲，區(qū)，貝上以2=0

D.若西，運，則[Z]+Z2|=|Z「Z2|

二、多選題

10.在等比數(shù)列｛q｝中，4>1,。2023a2必>。，紜匚1<0,若S,為｛4｝的前〃項和，7,為

“2023T

｛%｝的前〃項積，則()

A.｛%｝為單調(diào)遞增數(shù)列B.52023<S2024

C.乙23為｛瑞的最大項D.｛瑁無最大項

11.已知數(shù)列｛%｝中，q=T，對于任意的〃z,〃eN*,都有金+,=44,則下列說法正確的

是()

A.｛"%｝是單調(diào)遞減數(shù)列

B.｛4｝的前九項和S“<1

C.若正整數(shù)/滿足見+]+%2+…+七+10U,貝1J%=5

D.存在正整數(shù)m,〃,p("z<〃<p),使，，%，%成等差數(shù)列

三、填空題

12.已知復(fù)數(shù)z==^,則三的虛部為______.

2+1

13.已知平面向量4=(1,m)，3=(—2,1),^=(n,2),若M_L5，61口,則m+幾=.

試卷第2頁，共4頁

14.提丟斯一波得定則是關(guān)于太陽系中行星軌道的一個簡單的幾何學(xué)規(guī)則，它是1766年由

德國的一位中學(xué)老師戴維?提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成一條定律，

即數(shù)列｛%｝：0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,19.6,…表示的是太陽系第〃顆行星與太陽

的平均距離(以A.U.為天文單位).現(xiàn)將數(shù)列｛%｝的各項乘以10后再減4得數(shù)歹!]也,｝,

可以發(fā)現(xiàn)｛2｝從第3項起，每一項是前一項的2倍，則%023=.

四、解答題

15.已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，其前〃項和為S,，且2%+%=13,$7=49.

⑴求｛&n｝的通項公式；

⑵設(shè)bn=an+》,求數(shù)列也｝的前〃項和T?.

16.記VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,b2+c2-a2=2^sinC.

⑴求角A；

(2)若AB=30,AC=3,點尸在線段BC上，且CP=gc3,。是線段AC中點，相與8。交于

點M,求cos^AMB.

17.已知S“為數(shù)列｛%｝的前〃項和，且弓=1,Sn=an+l-2.

⑴求｛%｝的通項公式；

(2)若包=1082*4,求數(shù)列1」一的前w項和

3[b?bn+lJ

18.已知函數(shù)〃x)=—---(aeR).

⑴若。=0,求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若對VxeR,/(x)>0,且在x=0處取得極小值，求。的取值范圍.

19.如果數(shù)列｛%｝,｛%｝,其中y.wZ,對任意正整數(shù)〃都有氏-%|<，則稱數(shù)列｛約｝為

數(shù)列｛斗｝的“接近數(shù)列已知數(shù)列出｝為數(shù)列｛%｝的“接近數(shù)列

⑴若a“=27z+g(neN*),求仿也也的值;

⑵若數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，且公差為d(deZ),求證：數(shù)列也,｝是等差數(shù)列；

731Q57

n

(3)若數(shù)列｛%｝滿足％=辭，且/=系見+會記數(shù)歹皿｝、間的前項和分別為S“工,

_L\J\Ji\J乙U

試判斷是否存在正整數(shù)〃，使得5“〈/？若存在，請求出正整數(shù)〃的最小值；若不存在，請

,14…

說明理由.(參考數(shù)據(jù)：1工2￡。16.7)

10XI

試卷第4頁，共4頁

《2025屆河北省昌黎第一中學(xué)高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號12345678910

答案BAACBDBDCBC

題號11

答案BC

1.B

【分析】求解分式不等式，再由交集運算即可求解;

【詳解】由一二<0易得：-2<x<0

x+2

即3=卜卜2<%叫，

所以4門3={-1,0},

故選：B

2.A

【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘法及除法計算即可.

【詳解】已知復(fù)數(shù)Z唱，則3i3i(l+i)-3+3i33.

z--------------F—1

1-i(l-i)(l+i)1-i222

故選：A.

3.A

【解析】由等比數(shù)列的通項公式可計算得出代入數(shù)據(jù)可計算得出

結(jié)果.

【詳解】由％=4.%V=q.4.%.*=4x(0)=32.

故選：A.

4.C

【解析】設(shè)大老鼠每天打洞的長度構(gòu)成等比數(shù)列{%},則q=l，4=g,小老鼠每天打洞的長

度構(gòu)成等比數(shù)列也“},則4=1應(yīng)=[,再分別求和構(gòu)造等式求出〃的值.

【詳解】設(shè)大老鼠每天打洞的長度構(gòu)成等比數(shù)列{%},

貝1」4=1應(yīng)=2,所以S“=U=2'-L

"1-2

設(shè)小老鼠每天打洞的長度構(gòu)成等比數(shù)列{2},

答案第1頁，共13頁

則4=1應(yīng)=；1,所以<=-0f-=2[i-（-1ri.

21——2

2

所以S.=4（，即2"-1=81-,化簡得4"-9x2"+8=0

解得：幾=3或〃=1(舍)

故選：C

5.B

【解析】由%=%+總轉(zhuǎn)化為%利用疊加法,求得右3彳，即

可求解.

22

【詳解】由…+―可得％+1—4

n（n+1）

所以4=（凡一%T）+（4一1一?！ㄒ?）+（4—2一q一）3+…+（。2-4）+，

214

所以…記二

故選：B.

【點睛】數(shù)列的通項公式的常見求法:

1、對于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為4+1-。,=75)的數(shù)列，通常采用疊加法(逐差相加法)求其

通項公式；

2、對于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為如=75)的數(shù)列，并且容易求數(shù)列｛/(")｝前〃項積時，通常

an

采用累乘法求其通項公式；

3、對于遞推關(guān)系式形如。向=P%+g的數(shù)列，可采用構(gòu)造法求解數(shù)列的通項公式.

6.D

【分析】先根據(jù)條件變換得到g(x),再根據(jù)g(x)=sinx列式計算求出9的值.

COCOTl

【詳解】由已知得g(x)=cos—X———+^>=sinx,

a）=2

所以CDTI兀_71r，

----------（D--------F2左兀，KGZ

62

答案第2頁，共13頁

解得9=一4+2配上eZ,又|d<g,

62

所以夕=-3

6

故選：D.

7.B

【解析】先證明數(shù)列｛叫J是等差數(shù)列，結(jié)合％=1,%=4求出｛也.｝的通項公式，可得

%工2,利用配方法可得答案.

nnn

【詳解】因為曾=a+N("22,〃VN)

n-1n+1n-1

所以2%=(H_1)an_x+(〃+1)an+i｛nN2,nsN)

所以數(shù)列｛〃(｝是等差數(shù)列，

又％=1,a2=4

所以數(shù)列,凡｝是以1為首項，2x?2-lxfll=7為公差的等差數(shù)列,

所以=7〃-6

76/17丫49

所以%------=—OH--------

nnnn2-------------12J24

m、r*<12-ea176Ta、76__.

因為,l<—<2,且丁=1-正=1,3=］一初=2,2>1,

所以當(dāng)H=2時，冬取最大值2.

故選：B.

【點睛】方法點睛：判定一個數(shù)列為等差數(shù)列的常見方法是：(1)定義法：an+l-a?=d(d

是常數(shù))，則數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列⑵等差中項法：2a,用=4+%+2(〃wN*),則數(shù)列｛%｝是

等差數(shù)列；(3)通項公式：a.=pw+q(p，q為常數(shù)),則數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列；(4)前〃項和

公式：S“=Al+為常數(shù))，則數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列.

8.D

［分析］由題意得出數(shù)列｛4｝，｛"｝均為等比數(shù)列，從而求得S”與4,代入S；-4(-1)%,>0,

對〃分奇偶分類討論，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，即可求得九的取值范

答案第3頁，共13頁

圍.

【詳解】因為5"=2-凡，所以當(dāng)〃=1時，S[=2-G，得4=1,

當(dāng)“22時，Sn=2-an,S“T=2-4T，兩式相減得‘工=；（常數(shù)），

an-\」

所以數(shù)列｛g｝是以1為首項，《為公比的等比數(shù)歹IJ.因為&=;,則華=;（常數(shù)），

a

-n-\乙14

又a；=l,所以｛"｝是以1為首項，（為公比的等比數(shù)列,

2

4

由七-"-1）"/>0,>0,

所以3i-Qji-Qj>o,

所以3l-1|j-A（-l）"1-

又〃eN*,所以1一]]>0,所以31-g1-2（-1）-1+Qj>0,

即3（2"-l）-2（-D"（2"+1）＞0對〃eN*恒成立,

當(dāng)〃為偶數(shù)時，3（2n-l）-2（2M+l）＞0,則彳J'“；）,即彳＜

in

所以心…1（2"+1）一6壬一。

2〃+12〃+12〃+1

令"二3一品，貝1^"+「2=3_（3一用）二島一高，

因為2向+1＞2"+1，所以七一手看＞°，則所以數(shù)列也｝是遞增數(shù)列，則也｝

的最小值為％,則見＜a=3--69所以丸＜a=3—號6=（9;

乙IJ.J乙IXJ

3（2"-1）

當(dāng)"為奇數(shù)時，3（2"-1）+幾（2"+1）＞0,所以-2＜

2"+1

答案第4頁，共13頁

則彳<3(2'T)_3(2"+1)-66,

2〃+12〃+12〃+1

因為數(shù)列也｝是遞增數(shù)列，所以｛2｝2的最小值為4,所以T<4=3-券=3-2=1,

所以；1>-1,

綜上，實數(shù)％的取值范圍是

故選：D.

9.C

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運算公式從而判斷A；根據(jù)x+y=O代入三運算進而判斷B；

根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運算公式，結(jié)合復(fù)數(shù)乘法和復(fù)數(shù)模的運算從而判斷C和D.

【詳解】A選項：易知鬲區(qū)=(%4),又藥//區(qū)，則一x=y,即x+y=O,

故選項A正確；

,.,___?___?,x+yix-xi-，、一入

B選項：當(dāng)OZJ/OZ2,貝*=兒一=7一=不一=xeR,故選項B正確；

12Zj1—11—1

C選項：由于西^上函>,則％_,=0,Z]Z2=(l_i)(x+M)=(l_i)(x+xi)=2x,X不恒為0,

故選項C錯誤；

D選項：由于鬲，電，貝Ijx—y=。，

2

|zj+z2|=|1-i+X+yi『=(1+%)2+(y_l)2=(]+%)2+(1_])2=2(l+f),

222222

|zj-22|=|l-i-x-yi|=(l-%)+(l+y)=(l-x)+(1+%)=2(1+￡),

故|zi+Z2|=|zi—Z2],選項D正確.

故選：C

10.BC

【分析】由4>1,%必％必>0,可得4>。，?！?gt;。，結(jié)合0y<°分析可得。<4<1,

“20231

%儂>1,0<?2024<1,則｛%｝為單調(diào)遞減數(shù)列，故選項A錯誤.選項B正確.白=%，根據(jù)

'〃一1

｛可｝單調(diào)遞減和的023>1，。<的024<1可知寫23為｛北｝的最大項，則選項C正確，選項D錯

誤.

【詳解】由a2023a24Haxa；因此

2020232023xq=a02sxq>0,g>0.

答案第5頁，共13頁

又因為外>1則為>。.

a—1

當(dāng)q21時，貝1]%023>1，%。24>1，則3七〉。，與題意矛盾.

“2023—1

因此。<4<1.則｛%｝為單調(diào)遞減數(shù)列,故選項A錯誤.

而S?024-$2023="2024>°，故^2023<§2024，選項B正確.

又因為｛風(fēng)｝為單調(diào)遞減數(shù)列，則“2023>“2024，

a—1

由20_,<0可知,4023>1，。<%°24<1，

“2023—1

所以當(dāng)“W2023時，,=4>1,則（>7；…

當(dāng)〃,2023時,廣=?！?lt;1,則北<.

4-1

因此｛（,｝的最大項為盤23,則選項C正確，選項D錯誤.

故答案為：BC.

11.BC

【分析】根據(jù)給定條件，判斷數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，求出通項％,再逐項判斷作答.

【詳解】數(shù)列｛%｝中，q=g，對于任意的他,〃eN*,都有?！?.=%"“，

則取利=1,得％包=4%=!”,，因此數(shù)列｛《｝是首項為:，公比為J的等比數(shù)列，4=1，

對于A,nan=白,顯然｛"〃“｝的前3項分別為：:，■!,則｛〃q｝不是單調(diào)遞減數(shù)列，A錯誤；

222X

1（1」）1

對于B,S,=2-/二=1_<1,B正確；

1——義

2

對千「a+a++a—^+^++1—2t+121°）_（]y（]y+io

對于C,分+]+，+2+…+4+io-+2^+2+…+/+1。-J一（，）（/），

1-2

于是（：）"一（；）"|°=（55-（；尸，解得左=5,C正確；

對于D,若存在正整數(shù)（機<〃<P）,使3“，4成等差數(shù)列，即2]=導(dǎo)5，

整理得2x2。-"=2人'"+1，顯然。-"，。-加均為正整數(shù)，則2x2%",2。”均為偶數(shù)，

2。力+1為奇數(shù)，矛盾，因此不存在正整數(shù)十",pO<〃<p）,使%,%,成等差數(shù)列，D錯

答案第6頁，共13頁

誤.

故選：BC

12.-1

【分析】由復(fù)數(shù)的除法運算結(jié)合共輾復(fù)數(shù)的概念即可求解;

【詳解】”割=冒蠱卜也

所以z=-1—i，

所以z的虛部為-1，

故答案為：—1

13.-2

【分析】根據(jù)向量平行和垂直的坐標(biāo)表示得出參數(shù)計算即可.

【詳解】因為@=(1，機)出=(-2,1),萬_1_5,所以1X(-2)+1X7%=0,加=2,

因為^=(",2),5=(-2,1)忑//5,所以lx〃=2x(_2),〃=-4,

所以〃?+〃=2-4=-2.

故答案為：-2.

一3x22°"+4

14.

10

【分析】由題意得到數(shù)列也,｝從第二項起是等比數(shù)列，由題意寫出打，即可寫出當(dāng)“22時,

數(shù)列的｛〃｝的通項公式，然后得到數(shù)列｛4｝的通項公式，從而知道。2023.

【詳解】由題意可知數(shù)列｛2｝從第2項起，是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列.

bx=10^—4=0,b2=10a2—4=3,

?，.當(dāng)〃N2時，bn=10%-4=3x2〃-2,

.3X2/2+4

―L，

.一3x22021+4

,?〃2023=歷，

3x22021+4

故答案為：-.

10

15.(l)an=2n-l

答案第7頁，共13頁

Q2/1+1r\

⑵北=1人

【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式和前九項和公式求解；

（2）分組求和方法求解.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,又2%+%=13,$7=49,

2（q+d）+q+3d=13

所以|7x6dc，解得％=1，d=2,

lax+---=49

所以｛%｝的通項公式q=q+（〃一l）d=l+2（"-l）=2"-l.

(2)由(1)知a=?！?2"”=2〃一l+22"T,

所以＜=4+4+&+…+或=(1+2)+(3+23)+(5+25)+…+(2〃-l+22"T)

2n+1

/\/35In\\〃(1+2〃—1)2x(1—4〃)2-22

=(l+3+5+---+2n-l)+(2+23+25+---+22n-1)=-^--——+—；4-=——+〃.

冗

16.（1）A=-；

⑵-冬

2

【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理可得tanA=l,即得；

（2）利用余弦定理可得，=3,進而可得C=],然后利用和角公式可得

cos/AAffi=cos（NQ5C+ZAP5）,即得.

【詳解1(1),**b2+c2—a2=2absinC,

?，b2+c2-a22absinC..

??cosA===sinAA,BR|nJtanA=1,

2bc2bc

又Ae(O㈤,

⑵由題可知c=3?6=3,A：5,

***a2=/+c2-2Z?ccosA=9+18—18=9,

:?a=3,又c=3A/2,b=3,

C=-

2

答案第8頁，共13頁

13

?：CP=-CB=1CQ=-AC=3

329f

o

.??AP=M,BQ=3后,

cosZAPB=-cosZAPC=-叵,sinNAPB=,

AP1010

sinZQBC=絲=好,cosNQBC=*,

BC55

cos^AMB=cos(/QBC+ZAPB)=cosNQBCcosZAPB+sinNQBCsinAAPB

275(VHH753麗A/2

=-------x-------------------X---------=--------

5110J5102,

|l,n=

()a"-[3x2"-2,n>2

n

2n+l

【分析】（1）由己知得當(dāng)〃22時，a,=S,「S,_a“,即有嗅=2（”22）,從而有數(shù)

an

列｛4｝從第二項起成等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式可求得答案;

（2）由（1）得b“=2n-1,運用裂項相消法可求得答案.

【詳解】（1）解：因為S“=%+「2,所以當(dāng)”=1時，%=H=%—2,所以%=3,

當(dāng)心2時，an=Sn=（a?+1-2）-（a?-2）=an+1-an,

所以%M=2q（*2）,所以凡包=2（在2）.

an

因為￡=3,所以｛%｝從第二項起成等比數(shù)列，

所以當(dāng)?shù)吨?時,%=3x2"".

所以""一［f3l,xn2="』l""

答案第9頁，共13頁

（2）解：由（1）得，b=log2----------=2n—1,

3

所以」_=_____1_=ip---

HHH

bnbn+l（2-1）（2+1）2（2〃-12+1J

6斤以1--------------F???H-----------------1---------------1-,,?+-------------------------------r

I1-bb

加“〃姑223么A+11x33x5（2n-l）（2n+l）

1

2n+l

1-14-1

—F...+

23352〃-12n+lJ

n

所以q=

2n+l

18.（1）/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1,0）；單調(diào)遞增區(qū)間為（o,+e）.

⑵（1,2）

【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)廣（x）,由廣（尤）＞0得增區(qū)間，由尸（幻＜。得減區(qū)間;

（2）首先由4x）＞0恒成立得出。＞1,然后求出了'（尤），求出/'。）=0的根，根據(jù)根的大小

分類討論得出單調(diào)性及極值，從而得參數(shù)范圍.

【詳解】（1）當(dāng)。=0時，/（x）=Az，定義域為（F,T）U（T,”）.

,、ev（4x+4）-4e%4xex

/⑺=（?+4）2=逋牙,

令尸（x）=0,可得x=0,

當(dāng)尤變化時，/⑺和/'⑺的變化情況如下:

X㈠，。）0（0,+oo）

/‘（X）--0+

單調(diào)遞單調(diào)遞單調(diào)遞

/W

減減增

故函數(shù)〃x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1,0）；單調(diào)遞增區(qū)間為（0,+8）.

x

（2）因為=e-----＞0對VxeR恒成立，所以依2+4犬+4＞0對X/xeR恒成立,

'7ax2+4x+4

答案第10頁，共13頁

八一、A\a>0A,

顯然〃=0=>4x+4〉0不怛成山不合題思，貝時24/八，解得々>1.

[A=4-4x^x4<0

-(eA(ox2+4x+4)-eA(2?x+4)_eRax+4—2〃)

(ox?+4x+4)[ax1+4x+4)

令尸(x)=0,可得％=0或2-，

4

當(dāng)〃=2時，2—=0,

a

2exx2

因為廣(司=(2/+?+4)"°'(當(dāng)且僅當(dāng)*=°時，/'(x)=°)

所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，無極值，不滿足題意;

4

當(dāng)lvav2時，2—<0,

a

/（X）和廣（X）的變化情況如下:

ST

X2--0(0,+8)

a

/'（X）+0-04-

“X)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

函數(shù)/（X）在x=O處取得極小值，滿足題意；

當(dāng)a>2時，2-1>0,〃龍）和/'⑺的變化情況如下:

X(-℃,0)02--

a1-2J

廣⑺+0-0+

單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

函數(shù)/（尤）在x=。處取得極大值，不滿足題意.

綜上，實數(shù)”的取值范圍為（L2）.

19.(1)4=3,4=5,4=7