2025屆新高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)大題答題模板

加居新⑤考導(dǎo)裁大題答題修籟

目錄

模版01合分函數(shù)且導(dǎo)函數(shù)可分解型函數(shù)單調(diào)性的答題模板............................2

模版02含參函數(shù)且導(dǎo)函數(shù)不可分解型函數(shù)單調(diào)性的答題模板..........................5

模版03二階導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的答題模板........................................7

模底04利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的答題模板.............................................9

模版05利用導(dǎo)致研究恒成立（能成立）問題的答題模板...............................13

模JK.06利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、交點、方程的根的答題模板.........................20

MM07利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題的答題模板.......................................27

<M08導(dǎo)致中的除零點問題的答題模板...........................................31

MM09導(dǎo)數(shù)中的極值點偏移問題的答題模板.......................................36

aM10導(dǎo)致中雜探問題的答題模板...............................................40

?M

模版01含參函數(shù)且導(dǎo)函數(shù)可分解型函數(shù)單調(diào)性的答題模板

9題型解讀

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)主干知識，單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的一個主要應(yīng)

用，可以說在高考導(dǎo)數(shù)解答題中單調(diào)性問題是繞不開的一個問題.這是因為單調(diào)性是解決后續(xù)問題的

關(guān)鍵。單調(diào)性在研究函數(shù)圖象、函數(shù)性質(zhì)、確定函數(shù)的極值與零點、解不等式及證明不等式中都起著

至關(guān)重要的作用，函數(shù)單調(diào)性的討論與應(yīng)用一直是高考考查的熱點、而含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的討論

與應(yīng)用更是高考中的難點

S模版枸建

導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，＞o,/（x）單調(diào)遞增，/（￡）＜o(jì)j（x）單調(diào)遞減

導(dǎo)函數(shù)可分解型一般直接求根探討

9模版運用

1.（2024?全國?高考真題）已知函數(shù)/（n）=0（%一1）—lnrc+1.

⑴求/（力）的單調(diào)區(qū)間;

2.（2023?全國?高考真題）已知函數(shù)/（力）=a（ex+a）—x.

（1）討論/（%）的單調(diào)性；

???

3.(2021?全國?高考真題)已知函數(shù)/(rc)=(x—l)ex—ax2+b.

(i)討論/3)的單調(diào)性；

4.(2021?新I卷?高考真題)設(shè)a,b為實數(shù)，且a>1,函數(shù)/Q)=a"—阮+e\xE玲

(1)求函數(shù)*乃的單調(diào)區(qū)間；

o模版演練

5.(2024.江西新余.模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(工)=—alnt+(2a+l)x—x2.

(1)若a=2，求/Q)在(1,/(1))處的切線方程.

(2)討論/("的單調(diào)性.

6.(2024.廣東佛山.一模)已知函數(shù)/(工)=於-2(a+l)e,+2ac+2a+l(a>0).

(1)求函數(shù)/(比)在力=0處的切線方程；

(2)討論函數(shù)/(乃的單調(diào)性；

7.(2024?湖南?三模)已知函數(shù)/(c)=ae2x—(ax+2—a)ex+

(1)討論/(⑼的單調(diào)性;

模版含參函數(shù)且導(dǎo)函數(shù)不可分解型的數(shù)單調(diào)性的答題模板

9題型解讀

高考或?？贾谐Ｓ鲆姸A導(dǎo)函數(shù)不可分解型，常需要二次討論，是重點知識，需強化訓(xùn)練掌握

S模版構(gòu)建

導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，r（c）＞OJ（T）單調(diào)遞增，r（①）＜0,/（工）單調(diào)遞減

導(dǎo)函數(shù)不可分解型一般用判別式和求根公式進行探討

S模版運用

1.（2021?全國?高考真題）已知函數(shù)/（1）=x3—x2+ax+1.

（1）討論/（/）的單調(diào)性；

2.（2024.青海海西.模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（乃=爐—爐+ai.

（1）討論函數(shù)/（為的單調(diào)性；

3.（2024?山東威海?一模）已知函數(shù)/Q）=In（ax）—"+a①（a￥0）.

（1）討論/O）的單調(diào)性；

?M

4.(2024?山東青島?二模)已知函數(shù)/㈤=lnc+a/—/+。+1.

(1)證明曲線沙=/(2)在/=1處的切線過原點；

(2)討論了(為的單調(diào)性；

9模版演練

5.函數(shù)/(2)=(x2+ax)ex(aGR).

(1)求/(乃的單調(diào)區(qū)間；

6.(2024?山西呂梁?三模)已知函數(shù)/⑺=x2—2x+alnx,(aER).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

7.已知函數(shù)/(力)=xlnx—x—a,g(x)=x2+lnx—ax.

(1)討論gQ)的單調(diào)性；

模版二階導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的答題模板

9題型解讀

在有些函數(shù)問題中，如含有指數(shù)式、對數(shù)式的函數(shù)問題，求導(dǎo)之后往往不易或不能直接判斷出原函數(shù)的單

調(diào)性，從而不能進一步判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值情況，此時解題受阻。需要利用''二次求導(dǎo)”才能找到導(dǎo)

數(shù)的正負，找到原函數(shù)的單調(diào)性，才能解決問題，若遇這類問題，必須“再構(gòu)造，再求導(dǎo)”，因此函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

的應(yīng)用尤為重要。

S模版構(gòu)建

1.二階導(dǎo)的定義

定義1:若函數(shù)/(力)的導(dǎo)函數(shù)/1a;)在點土=g處可導(dǎo)，則稱/(①)在點a:=g的導(dǎo)數(shù)為/(①)在點x

=g的二階導(dǎo)數(shù)，記作了"(g),同時稱/(刀)在點力=①0為二階可導(dǎo).

定義2:若/(①)在區(qū)間雙上每一點都二階可導(dǎo)，則得到一個定義在M上的二階可導(dǎo)函數(shù)，記作/"

{x},xGM,xGI

2.函數(shù)極值的第二判定定理

若/(c)在c=附近有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)/"(⑼，且/(的)=O,f"(xo)￥0

(1)若/"(&)<0,則f(x)在點x0處取極大值；

(2)若/"(g)>0,則/(⑼在點&處取極小值

3.解決這類題的常規(guī)解題步糜為：

(1)求函數(shù)的定義域；

(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)rQ),無法判斷導(dǎo)函數(shù)正負；

(3)構(gòu)造求g(x)=f(x),求g'(x);

⑷列出x,g'(x),g(x)的變化關(guān)系表;

(5)根據(jù)列表解答問題。

S模版運用

1.(2024?江西九江?三模)已知函數(shù)/(力)=eax+e~ax(aEA,且QWO).

(1)討論/Q)的單調(diào)性；

???

2.已知函數(shù)/(re)—x2—ax\nx—l(aCR).

⑴當(dāng)a=2時,求函數(shù)/(C)的單調(diào)區(qū)間;

3.已知函數(shù)/(re)=(e1-0—a)lnrc+x+—.

(1)當(dāng)a=1時，討論/(6)的單調(diào)性;

9模版演練

4.已知函數(shù)/(入)滿足/Q)=e"—a;2.

(1)討論/Q)的單調(diào)性；

5.已知函數(shù)/(z)—x(alnx-x—l)，其中aER.

⑴當(dāng)a=1時,求證:f⑸在(0,+oo)上單調(diào)遞減；

6.已知函數(shù)/(a?)=e，+。-ln(a?+l)—a(aER).

(1)若a=0,討論的單調(diào)性；

模版04利用導(dǎo)致證明不等式的答題模板

9題型解讀

不等式是數(shù)學(xué)中的一個重要概念，而導(dǎo)數(shù)作為一種重要的數(shù)學(xué)工具，在不等式證明中發(fā)揮著非常關(guān)鍵

的作用。通過構(gòu)造函數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性等知識，我們可以更加便捷、快速地證明不等式，此類題型

難度中等，是高考中的?？伎键c，需強加練習(xí)

S模版構(gòu)建

證明不等式通常需要借助導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)單調(diào)性、最值來綜合求解

用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常用步驟：

（1）作差或變形；

（2）構(gòu)造新的函數(shù)人（①）;

（3）利用導(dǎo)數(shù)研究以0的單調(diào)性或最值；

（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式.

特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的

最值問題.

念模版運用

1.（2024?全國?高考真題）已知函數(shù)/（/）=a（rr—1）—Ina;+1.

（1）求/O）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)aW2時，證明：當(dāng)C>1時，/（尤）Vei恒成立.

2.（2023?天津?高考真題）已知函數(shù)/（乃=（-+^）ln（T+l）.

vx2/

（1）求曲線g=/（力）在力=2處的切線斜率；

（2）求證：當(dāng)力＞0時，/（X）＞1；

3.（2021.全國.高考真題）設(shè)函數(shù)/（力）=ln（a—力），已知①=0是函數(shù)4=時（啰）的極值點.

（1）求Q；

（2）設(shè)函數(shù)gQ）=券甲.證明:。（乃＜L

xf{x）

4.(2024?陜西榆林?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(無)=acc-ln(x+l)+1.

(1)當(dāng)a=1時，求/(①)的最小值；

(2)求/Q)的極值;

(3)當(dāng)a42時，證明：當(dāng)一LVzVO時，/(工)>>

9模版演練

5.(2024?浙江寧波?一模)已知函數(shù)/(4)=y/l+2ax2-axsinx.

(1)判斷幽⑼的奇偶性;

(2)若a=-y，求證：/(a;)<1;

6.(2024?廣東?二模)自知函數(shù)/(a;)=ehi—以皿.

(1)求曲線夕=/3)在點(i,/(i))處的切線方程;

(2)證明：/3)>0.

7.(2024?四川南充?一模)已知函數(shù)/㈤=?.

(1)判斷函數(shù)/(⑼的單調(diào)性,并求出/(⑼的極值;

(2)討論方程/(⑼=a(aGR)的解的個數(shù)；

(3)求證：,(c)>2；—In?+e—1.

??

模版05利用導(dǎo)致研究恒成立(能成立)問題的答題模板

S題型解讀

利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立(能成立)問題是高考考查的重點內(nèi)容，是穩(wěn)中求變、變中求新、新中求活，對數(shù)學(xué)

抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等多個數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)都有較深入的考查，需綜合復(fù)習(xí)

S模版構(gòu)建

1.恒成立問題常見類型

假設(shè)c為自變量,其范圍設(shè)為，/(乃為函數(shù)；a為參數(shù)，g(a)為其表達式，

(1)/(①)的值域為[m,M]

①Va;€D,g(a)Wf(x)，則只需要g(a)4/3焉=m

Va;GD,g(a)</(2),則只需要g(a)<f{x)min=m

②Vcce“g(a)>/(必)，則只需要g(a)=M

VxeD,g(a)>/Q),則只需要g(a)>/(a：)max=M

(2)若/(rr)的值域為(m,M)

①V①C_D,g(a)W/(c),則只需要g(a)Wm

\/x&D,g(a)</(c),則只需要g(a)Wm(注意與(1)中對應(yīng)情況進行對比)

②V工CD,g(a)=f(x)，則只需要g(a)>M

\/xED,g[a}>/(乃，則只需要g(a)>雙(注意與(1)中對應(yīng)情況進行對比)

2.慎成立問題的解決靠喀

①構(gòu)造函數(shù)，分類討論;②部分分離，化為切線；③完全分離，函數(shù)最值;④換元分離，簡化運算；

在求解過程中，力求“腦中有‘形，，心中有'數(shù)〃'.依托端點效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合,尋找臨界.

一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解問題設(shè)計獨特，試題形式多樣、變化眾多，涉及到函數(shù)、不等

式、方程、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等知識，滲透著函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、換元等思想方法，有一定的綜合

性,屬于能力題,在提升學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學(xué)素養(yǎng)起到了積極的作用，成為高考的一個熱

點.

3.能成立(有解)問題常見類型

假設(shè)c為自變量，其范圍設(shè)為。，/(①)為函數(shù)；a為參數(shù)，g(a)為其表達式，

(1)若/(c)的值域為[m,M]

①三力CD,g(a)</(*)，則只需要g(a)</(rc)max=M

3a；eD,g(a)<f(x)，則只需要g(a)</(s)max=M

②三rrCD,g(a)>/(力)，則只需要g(a)>=m

3reGD,g(a)>j(x),則只需要g(a)>f(x)min=m

(2)若/(rr)的值域為(m,M)

①m.CRglGW/Cr),則只需要g(a)<M(注意與⑴中對應(yīng)情況進行對比)

D,g(a)<f(x),則只需要g(a)<M

②mrceO,g(a)>/0),則只需要g(a)>m(注意與(1)中對應(yīng)情況進行對比)

D,g(a)>/(rr),則只需要g(a)>m

4.能成立(有解)問題的解決策喀

①構(gòu)造函數(shù)，分類討論;②部分分離，化為切線；③完全分離，函數(shù)最值;④換元分離，簡化運算；

在求解過程中，力求“腦中有‘形，，心中有'數(shù)〃'.依托端點效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合,尋找臨界.

一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解問題設(shè)計獨特,試題形式多樣、變化眾多，涉及到函數(shù)、不等

式、方程、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等知識，滲透著函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、換元等思想方法，有一定的綜合

性,屬于能力題,在提升學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學(xué)素養(yǎng)起到了積極的作用，成為高考的一個熱

點.

O模版運用

1.(2024?全國?高考真題)已知函數(shù)/(a;)=(1—arz:)ln(l+a?)—x.

(1)當(dāng)a=—2時，求/(①)的極值；

(2)當(dāng)力>0時,/(為>0,求a的取值范圍.

2.（2023?全國?高考真題）已知函數(shù)/（c）=aa;—應(yīng)吟以6（0,用

cos,3'2

（1）當(dāng)Q=8時，討論/（%）的單調(diào)性；

（2）若/（力）Vsin2%恒成立，求Q的取值范圍.

3.（2024?河南?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（n）=e*—2eln/+Q/+lna（Q＞0）.

⑴若Q=1,證明：/（劣）＞yrr；

（2）若/（力）＞2e+1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

15

4.(2024?遼寧?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(⑼=(Q/—l)e，+i+3(QW0).

(1)求/(力)的極值；

(2)設(shè)a=l,若關(guān)于力的不等式—l)e，+i—力在區(qū)間［―1,+8)內(nèi)有解，求b的取值范圍.

5.(2024?四川樂山?三模)已知函數(shù)/(6)=ax+Inx—ax2

(1)當(dāng)Q=1時，討論/(力)的單調(diào)性；

(2)若存在ge(1,+8),使得/(g)>0,求Q的取值范圍.

6.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(c)=x2—2aXnx—2(aER).

(1)討論/(2)的單調(diào)性；

(2)若不等式/(t)42(lmr)2+x2-2c在區(qū)間(1,+oo)上有解，求實數(shù)a的取值范圍.

O模版演練

7.(2024?貴州六盤水?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(6)=6/一air+l(aeR).

(1)求函數(shù)/3)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若Vt>0,+2,求實數(shù)a的取值范圍.

8.（2024.廣東.模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（力）=x—l—alnx,aER.

（1）判斷函數(shù)八⑼的單調(diào)性；

（2）若/（c））0恒成立，求Q的值.

9.（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（力）=x\nx—ax2,g{x}=ax2—ax+1,h（x）=/（力）+gQ）.

⑴討論:當(dāng)ae（—00,0]U已，+8）時的極值點的個數(shù)；

⑵當(dāng)a>l時,（1,+8）,使得九3）V（e—1）Q—3e+3,求實數(shù)a的取值范圍.

10,（2024.貴州安順?二模）已知函數(shù)/（c）=e，T-k（x—l）,aeR.

（1）討論/O）的單調(diào)性；

（2）若對任意的k>0,存在①eR,使得fc/（T）<e"a,求實數(shù)a的取值范圍.

模版06利用導(dǎo)致研究函數(shù)的聿點、交點、方程的根的答題模板

9題型解讀

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、交點、方程的根是高考中的?？伎键c，常用函數(shù)的構(gòu)造變換和單調(diào)性結(jié)合

求解，需強加練習(xí)

S模版枸速

利用導(dǎo)致研究函數(shù)零點的方法

（1）通過最值（極值）判斷零點個數(shù)的方法

借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過極值的正負，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢，從而判斷零點

個數(shù)或者通過零點個數(shù)求參數(shù)范圍.

（2）數(shù)形結(jié)合法求解零點

對于方程解的個數(shù)（或函數(shù)零點個數(shù)）問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖

數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.

（3）構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點

①根據(jù)條件構(gòu)造某個函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點，根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)尋找函數(shù)在

給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解.

②解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點、方程的根、曲線交點相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化

與化歸的思想方法.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)方程的根的方法

（1）通過最值（極值）判斷零點個數(shù)（方程的根）的方法

借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過極值的正負，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢，從而判斷零點

個數(shù)（方程的根）或者通過零點個數(shù)（方程的根）求參數(shù)范圍.

（2）數(shù)形結(jié)合法求解零點（方程的根）

對于方程解的個數(shù)（或函數(shù)零點個數(shù)）問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖

數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.

（3）構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點（方程的根）

①根據(jù)條件構(gòu)造某個函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點，根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)（方程的根）

尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解.

②解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點、方程的根、曲線交點相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化

與化歸的思想方法.

9模版運用???

1.（2022?全國?高考真題）已知函數(shù)/（2）=ax—-—（Q+l）ln/.

x

（1）當(dāng)Q=o時，求/（劣）的最大值；

（2）若/（力）恰有一個零點，求Q的取值范圍.

2.（2022.全國.高考真題）已知函數(shù)/（力）=ln（l+x）+axe~x

（1）當(dāng)Q=1時,求曲線g=/（為在點（0,/（0））處的切線方程；

（2）若f（3）在區(qū)間（-1,0）,（0,+8）各恰有一個零點，求a的取值范圍.

3.（2021.全國?高考真題）已知函數(shù)/（力）=（a一l）e”-a①2+b.

（1）討論/Q）的單調(diào)性；

（2）從下面兩個條件中選一個,證明：/（x）只有一個零點

1口2

①5Va4-z-,b>2a；

②0VaV',bW2a.

4.（2021.全國?高考真題）已知a>0且aW1,函數(shù)/（力）=——（x>0）.

ax

⑴當(dāng)a=2時，求了3）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若曲線g=/（0與直線g=1有且僅有兩個交點，求a的取值范圍.

???

5.(2022?全國?高考真題)已知函數(shù)/㈤=ex—ax和g(x)=arc—Ina:有相同的最小值.

⑴求a；

(2)證明：存在直線夕=b,其與兩條曲線,=/(2)和4=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三

個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

6.（2022?新I卷?高考真題）設(shè)函數(shù)/Q）=9+hi2Q>0）.

2x

（1）求/（力）的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知a,bER,曲線沙=/（⑼上不同的三點（/1,/（61））,（電,/（力2））,（劣3,/（力3））處的切線都經(jīng)過點（Q,

&）.證明：

（i）若Q>e,則0<b—f（a）一］）；

（ii）若0VQVe,a?iV/2Vg，則2+—~~<—+—<————手?

一e6e2gga6e2

（注：e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）

9模版演練

7.(2024.河北邯鄲?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/⑺=(ln/+以e?！?)(aCR).

(1)當(dāng)a=1時，求￡=f(x)在點(1,7(1))處的切線方程；

(2)若/(①)有兩個不同的零點,求實數(shù)a的取值范圍.

8.(2024?四川?一模)設(shè)/(*)=e^~x—ax

(1)若。=0,求/(⑼的單調(diào)區(qū)間.

(2)討論/(力)的零點數(shù)量.

25

9.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（⑼=的圖象在點（0,/（0））處的切線方程為2,+0+1=0.

ax-i-b

⑴求a,b的值；

（2）若fQ）=/二有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍.

2x-l

10.（2023?江蘇南通?一模）已知函數(shù)/（*）=上二和gQ）=0及與在同一處取得相同的最大值.

aex~6

（1）求實數(shù)a；

（2）設(shè)直線y=b與兩條曲線y=f（x）和y=9（為共有四個不同的交點，其橫坐標(biāo)分別為g,g,g，費

31<22V23V44），證明：2像4=X2X3.

???

模版07利用導(dǎo)致研究雙變量問題的答題模板

9題型解讀

利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題是高考中的難點，雙變量問題運算量大，綜合性強，解決起來需要很強的技

巧性，解題總的思想方法是化雙變量為單變量，然后利用函數(shù)的單調(diào)性、最值等解決.需強加練習(xí)

S模版構(gòu)建

破解雙步數(shù)不等式的方法：

一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的

不等式：

二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果

S模版運用

1.（2024■廣東佛山“二模）已知/（1）=―e2a:+—ax—5.

⑴當(dāng)a=3時，求/Q）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若/（劣）有兩個極值點為1，/2'證明：/（力1）+/（力2）+xi+x2<0.

???

2.已知/（為）=（6+l）e"kWO.

（1）若k=1,求/（力）在（0,/（0））處的切線方程；

（2）設(shè)g（力）=廣（力）,求gQ）的單調(diào)區(qū)間；

（3）求證：當(dāng)k>0時，Vm,nE（0,+oo）,/（m+n）+1>/（m）+/（n）.

3.（2024?四川德陽?二模）已知函數(shù)/（力）=\nx+x2—2ax,aER,

（1）當(dāng)Q>0時,討論了（力）的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)/（2）有兩個極值點/1，/2（力1〈力2），求2/（/1）—/（力2）的最小值.

o模版演練

4.（2024?河北保定?二模）已知函數(shù)/儂）=ax-xlnx,f\x）為其導(dǎo)函數(shù).

（1）若/（c）W1恒成立,求a的取值范圍；

（2）若存在兩個不同的正數(shù)%*2,使得/（e）=/（*2），證明：/'（J傷*2）＞0.

5.（2024.山西.模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（1）=Ina?+-^-x2—x+2（aER）.

（1）若函數(shù)/（c）在定義域上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

Ag^x—2

（2）若Q=0；求證:/（￡C）＜...—；

X21

（3）設(shè)21，X2（X1＜X2）是函數(shù)/（力）的兩個極值點，求證：/（21）一/（22）＜（。一/）（21一/2）.

29

6.已知函數(shù)/(工)=ln(x+l)-x2—ax—l(aCR).

(1)當(dāng)a=一2時，存在如電e[0,1],使得f⑶)一/3)>M，求M的最大值；

(2)已知小，九是/Q)的兩個零點，記/'(⑼為/(工)的導(dǎo)函數(shù)，若(0,+8),且小471,證明:

模版導(dǎo)致中的除零點問題的答題模板

9題型解讀

零點問題是高考的熱點問題，隱零點的代換與估計問題是函數(shù)零點中常見的問題之一，其源于含指

對函數(shù)的方程無精確解，這樣我們只能得到存在性之后去估計大致的范圍，高考中曾多次考查隱零

點代換與估計，需綜合復(fù)習(xí)

S模版構(gòu)建

在求解導(dǎo)數(shù)問題時，我們一般對函數(shù)的零點設(shè)而不求，通過一種整體代換和過渡，再結(jié)合題目條件最終解

決問題，我們稱這類問題為“隱零點問題”.

1.斛題步款

第1步：用零點存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點的存在性，列出零點方程r(g)=0,并結(jié)合/(⑼的

單調(diào)性得到零點的范圍；

第2步：以零點為分界點，說明導(dǎo)函數(shù)/'(⑼的正負，進而得到了(c)的最值表達式；

第3步：將零點方程尸(g)=0適當(dāng)變形，整體代入/(⑼最值式子進行化簡：

(1)要么消除/(工)最值式中的指對項

(2)要么消除其中的參數(shù)項；

從而得到/(T)最值式的估計.

2.除零點的同構(gòu)

實際上，很多隱零點問題產(chǎn)生的原因就是含有指對項，而這類問題由往往具有同構(gòu)特征，所以下面

我們看到的這兩個問題，它的隱零點代換則需要同構(gòu)才能做出，否則，我們可能很難找到隱零點合

適的代換化簡方向.我們看下面兩例：一類同構(gòu)式在隱零點問題中的應(yīng)用的原理分析

xexx\nx

f(x)=<x+ex=>/(lnrc)=4力+Inrc

、e"—T—l%—Inc—1

于(x)=xex=^f(—lnx')=>x2ex+hiT=0

所以在解決形如=—<=>T+Ina?=0,這些常見的代換都是隱零點中常見的操作.

x

3.解題感悟

1.隱零點指對于超越方程或者是一些帶參數(shù)的方程，無法直接求得確切的零點，但是零點確實存在的

問題。特別是在求導(dǎo)的過程，求函數(shù)極值點，對原函數(shù)求導(dǎo)后，令導(dǎo)函數(shù)等于零,就導(dǎo)函數(shù)零點進一步

探尋原函數(shù)極值點或最值時會經(jīng)常遇到“隱零點”問題。

2.隱零點常見題型，有證明零點個數(shù)，求解不等式，求最值的取值范圍，求參數(shù)的范圍。

3.解決辦法，往往是"虛設(shè)零點”，設(shè)而不求，結(jié)合零點存在定理來初步確定零點的所在區(qū)間。往往這

樣的零點都與某個參數(shù)相關(guān)聯(lián)，相互依賴。在使用零點存在定理確定區(qū)間時往往存在困難，必要時使

用放縮法取含參的特殊值來確定零點存在區(qū)間。

4.特別是針對導(dǎo)函數(shù)的“隱零點”，求解取值范圍時，需要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點代入方程，把參數(shù)表示成含

隱零點的函數(shù)，再來求原函數(shù)的極值或者最值問題，或證明不等式。構(gòu)建關(guān)于隱零點作為自變量的新

函數(shù)，求函數(shù)值域或者證明不等式恒成立問題。

s模版運用

1.（2020?新I卷?統(tǒng)考高考真題第21題）已知函數(shù)/3）=碇。-1—Inc+lna.

（1）當(dāng)a=e時,求曲線g=/Q）在點（1J（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

（2）若不等式/（⑼>1恒成立,求a的取值范圍.

2.（2024.山東威海?二模）已知函數(shù)/（⑦）=Ina;—ax+1.

（1）求/（力）的極值；

（2）證明：In①+x+Kxex

3.已知函數(shù)/(6)=111(0%),0>0,若/(2)&(劣一1)6%-。，求a的取值范圍.

4.(2024.陜西西安.模擬預(yù)測)已知函數(shù)/Q)=ac—Imr—Q,若/(⑼的最小值為0,

⑴求Q的值；

(2)若g(x)=時(力),證明:g(c)存在唯一的極大值點g,且g(g)

o模版演練

5.（2024?黑龍江?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/㈤=since+Rt—3%,求:

（1）當(dāng)k=1時,求曲線/（⑼在點（1,/（D）處的切線方程；

（2）當(dāng)c>3時，總有/（⑼>1,求整數(shù)k的最小值.

6.（2024.全國.模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（c）=-^T2—alna;.

（1）討論函數(shù)/（0的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)/（非）的最小值為］,不等式/（2））（灸―1）%?！猠2+m在［。,2］上恒成立，求實數(shù)?n的取

值范圍.

7.（2024.陜西安康.模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（為）=—，gQ）=Inc.

ex

（1）求/（力）的極值；

（2）證明：xg{x}+2>exf（x）—■—.

x

35

模版09導(dǎo)致中的極值點偏移問題的答題模板

9題型解讀

極值點偏移問題在高考中很常見，此類問題以導(dǎo)數(shù)為背景考察學(xué)生運用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)換

的思想解決函數(shù)問題的能力，層次性強，能力要求較高，需要綜合復(fù)習(xí)

S模版構(gòu)建

運用判定定理判定極值點偏移的方法

（1）求出函數(shù)/（力）的極值點g;

（2）構(gòu)造一元差函數(shù)尸（①）=/（g+力）—/（g—力）;

（3）確定函數(shù)F{x}的單調(diào)性;

⑷結(jié)合尸（0）=0,判斷尸㈤的符號，從而確定了（g+M、/（g—劣）的大小關(guān)系.

9模版運用

1.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/⑸=-——lnx+x-a.

X

（1）若/（力））0,求Q的取值范圍；

（2）證明：若/（力）有兩個零點力1以2,則力僮2Vl.

???

2.已知函數(shù)/(%)=Ina;—aVx+l,aER.

(1)若/(力)<0,求a的取值范圍；

(2)若關(guān)于力的方程/(N2)=eg—e①2有兩個不同的正實根7i,g,證明：Xi+x2>2Ve.

3.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/Q)=1—In/—￡(aGR).

(1)求/Q)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(①)有兩個零點④1，/2,且為</2,求證：xrxl<e—a.

4.設(shè)函數(shù)/(力)=\nx—ax(aER).

(1)若Q=3,求函數(shù)/(為)的最值；

⑵若函數(shù)g(%)=xf(x)—x+a有兩個不同的極值點,記作xlfx2，且為1Vg,求證：lna；i+Zing>3.

9模版演練

5.已知函數(shù)/(N)=2/ln/+2(QG五)有兩個零點g,力2(/1〈電).

x

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

(2)證明：21+62>1.

6.已知函數(shù)/（力）=lnc—ad.

⑴討論函數(shù)/（0的單調(diào)性：

⑵若力1,力2是方程/（力）—0的兩不等實根，求證：4+退>2e；

7.設(shè)a,b為函數(shù)/（力）=x-ex—m（m<0）的兩個零點.

（1）求實數(shù)館的取值范圍；

（2）證明：e0+e6<l.

模版10導(dǎo)教中雜建問題的答題模板

9題型解讀

導(dǎo)數(shù)通常與三角函數(shù)、數(shù)列、概率統(tǒng)計等知識點雜糅在一起綜合考查學(xué)生解題能力，需強化練習(xí)

S模版構(gòu)建

運用不同的分塊知識點求解即可

S模版運用

1.(2024.河南.模擬預(yù)測)已知函數(shù)gQ)=Inx+mx+1.

⑴當(dāng)rnVO時，求求力)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)?n=1時，設(shè)正項數(shù)列｛g｝滿足：g=l,xn+1=g(xn),

①求證igwi；

2”T

②求證：f1n(l+±)VI.

i=21Xi/

2.在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點生產(chǎn)口罩、防護服、消毒水等防疫物

品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng),在國際社會上贏得一片贊譽.我國某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同

時,狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查口罩質(zhì)量、該廠質(zhì)檢人員從某日生產(chǎn)的口罩中隨機抽取了100個，將其

質(zhì)量指標(biāo)值分成以下五組：[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到如下頻率分布直

方圖.規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標(biāo)值越高，說明該口罩質(zhì)量越好,其中質(zhì)量指標(biāo)值低于130的為二級口罩，質(zhì)

量指標(biāo)值不低于130的為一級口罩.

(1)求該廠商生產(chǎn)口罩質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和第60百分位數(shù)；

(2)現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機抽取8個口罩，再從中抽取3個，記其中一級口罩個數(shù)

為求〃的分布列及方差；

(3)在2024年“五一”勞動節(jié)前，甲、乙兩人計劃同時在該型號口罩的某網(wǎng)絡(luò)購物平臺上分別參加A,B

兩店各一個訂單“秒殺”搶購，其中每個訂單由九5>2,7ieN*)個該型號口罩構(gòu)成.假定甲、乙兩人在

2cos匹

兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為々,——記甲、乙兩人搶購成功的口罩總數(shù)量為x,求當(dāng)

n2n

X的數(shù)學(xué)期望E(X)取最大值時正整數(shù)n的值.

3.(2024?湖南益陽?一模)已知兩點4(—2,0),3(2,0)及一動點P,直線PA,PB的斜率滿足kPA-kPB=

—［，動點P的軌跡記為C.過點(1,0)的直線I與。交于河，N兩點，直線AM,BN交于點Q.

(1)求。的方程；

(2)求△AMN的面積的最大值；

(3)求點Q的軌跡方程.

42

模版演練

4.(2024?河北?三模)現(xiàn)隨機對N件產(chǎn)品進行逐個檢測，每件產(chǎn)品是否合格相互獨立，且每件產(chǎn)品不合格

的概率均為p(0<p<l).

(1)當(dāng)N=20時,記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格的概率為/(p)，求/初)的最大值點Po；

(2)若這N件產(chǎn)品中恰好有河(0WMWN)件不合格，以⑴中確定的po作為p的值，則當(dāng)〃=45時，

若以使得P(M=45)最大的N值作為N的估計值,求N的估計值.

5.(2024.江蘇蘇州.模擬預(yù)測)如圖，四棱錐P—ABC?中，底面ABCD是矩形，E4=PB,PC=P。，且

平面上48,平面尸CD.分別是AB,CD的中點.AB=V2BC=V2.

(1)求證：APEF是直角三角形；

(2)求四棱錐P—ABCD體積的最大值；

(3)求平面PEF與平面PBC的夾角余弦值的范圍.

6.(2024.重慶渝中.模擬預(yù)測)⑴證明：當(dāng)三>0時,x——<sina;<x；

6

(2)已知正項數(shù)列｛an｝滿足an+1=an-哈?(n€N*).

⑴證明:數(shù)列也廝｝為遞增數(shù)列；

(譏)證明：若0<&Vg,則對任意正整數(shù)n，都有na<.

n3—a｛

S題型通關(guān)

7.(2024?山西晉中?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(2)=Ina;+sinrc+sin亢.

(1)求函數(shù)/(乃在區(qū)間［l,e］上的最小值；

(2)判斷函數(shù)/(①)的零點個數(shù)，并證明.

8.(2024.江蘇.二模)已知函數(shù)/(a;)=-..+alnc(aER).

X

⑴當(dāng)a=0時,證明:/(X)>1;

(2)若/(⑼在區(qū)間(1,+8)上有且只有一個極值點,求實數(shù)a的取值范圍.

45

9.（2024?河北?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（2）=—，g（力）=sin/+cosc.

ex

（1）當(dāng)Q=1時，求/（力）的極值；

⑵當(dāng)力e（O,7T）時，f⑸<g（力）恒成立，求Q的取值范圍.

10.（2024.廣東廣州?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（①）=力湃3>0）?

（1）求/（宏）在區(qū)間［—1,1］上的最大值與最小值；

（2）當(dāng)Q>1時，求證：/（力）>\nx+x+1.

46

11.（2024.安徽合肥?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（6）=a（l-21nx）+4/（。eR）.

（1）討論/（⑼的單調(diào)性；

（2）若力1，電（力1。/2）為函數(shù)gQ）=卜爐+4一In/的兩個零點，求證：（g力2）4>12e，.