2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圓的方程【八大題型】

專題8.3圓的方程【八大題型】

【新高考專用】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1求圓的方程】.........................................................................3

【題型2二元二次方程表示圓的條件】...........................................................4

【題型3圓過定點(diǎn)問題】.......................................................................4

【題型4點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷】.............................................................5

【題型5與圓有關(guān)的軌跡問題】................................................................5

【題型6與圓有關(guān)的對(duì)稱問題】................................................................6

【題型7圓系方程1..................................................................................................................7

【題型8與圓有關(guān)的最值問題】................................................................7

?考情分析

1、圓的方程

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

2022年全國乙卷（文數(shù)）：第

15題，5分

⑴理解確定圓的幾何要

2022年全國甲卷（文數(shù)）：第從近幾年的高考情況來看，高考對(duì)

素，在平面直角坐標(biāo)系中，

14題，5分圓的方程的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、

掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般

2023年全國乙卷（文數(shù)）：第填空題的形式考查，難度不大；有時(shí)也

方程

11題，5分會(huì)與距離公式、圓錐曲線等結(jié)合考查，

⑵能根據(jù)圓的方程解決

2023年上海卷：第7題，5分復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)熟練掌握圓的方程的求法，靈

一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)

2024年北京卷：第3題，4分活求解.

際問題

2024年天津卷：第12題，5

分

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1圓的定義和圓的方程】

1.圓的定義

圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）是圓（定點(diǎn)為圓心,定長為半徑）.

圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.

2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程（x—a）2+（y—b）2=-2&>o）叫作以點(diǎn)力為圓心，廠為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程很容易確定圓心坐標(biāo)和半徑.

（3）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)字母（待定），因此

在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

3.圓的一般方程

(1)方程產(chǎn)+y2+Dx+Ey+F=0(。？+￡?—4尸>0)叫做圓的一般方程.

(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的一般方程中含有三個(gè)字母(待定)，因

此在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的一般方程.

下列情況比較適用圓的一般方程：

①已知圓上三點(diǎn)，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，求待定系數(shù)Z),E,F；

②已知圓上兩點(diǎn)，圓心所在的直線，將兩個(gè)點(diǎn)代入圓的方程，將圓心卜彳,-彳)代入圓心所在的直線

方程，求待定系數(shù)。，E,F.

4.二元二次方程與圓的方程

(1)二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：

二元二次方程+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,對(duì)比圓的一般方程x?

++DX+EY+F=Q

(。2+￡2—4尸>0),我們可以看出圓的一般方程是一個(gè)二元二次方程，但一個(gè)二元二次方程不一定是圓的

方程.

(2)二元二次方程表示圓的條件：

A=C^0

B=0

二元二次方程//+3個(gè)+0,2+5+或+尸=0表示圓的條件是,7

用+(高一哈)

V

5.圓的參數(shù)方程

Y—(1—I—vCCSr7

圓(x—a)2+(y—b)2="(廠>0)的參數(shù)方程為彳ylblrsine，其中。為參數(shù).

6.求圓的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程.

(2)待定系數(shù)法

①若已知條件與圓心5力)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a,6,r的值；

②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于。，E,尸的方程組，進(jìn)而求出。，E,尸的值.

【知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】

1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

(1)如圖所示，點(diǎn)M與圓A有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外.

(2)圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—a)2+"—6尸=一，圓心為/(a,6),半徑為r(r>0)；圓A的一般方程為

x2+y2+Dx+Ey+F=0(Z>2+￡2—4F>0).平面內(nèi)一點(diǎn)Af(見,為).

位置關(guān)系判斷方法

幾何法代數(shù)法（標(biāo)準(zhǔn)方程）代數(shù)法（一般方程）

點(diǎn)在圓上\MA\=r(X0-4Z)2+Cyo-/?)2二產(chǎn)

Xo+yo+Dx0+Ey0+F=0

(xo-d)2+(yo-Z7)2〈產(chǎn)

點(diǎn)在圓內(nèi)\MA\<r就+M+Dx0+Ey0+F<0

222

點(diǎn)在圓外\MA\>r(xo-a)+(yo-Z?)>r+?/o+Dx0+Ey0+F>0

【知識(shí)點(diǎn)3軌跡方程】

1.軌跡方程

求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于

變量之間的方程.

（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時(shí)，常采用直接法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件符合某一基本曲線的定

義（如圓）時(shí)，常采用定義法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)在已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可采用代入法（或稱相關(guān)點(diǎn)法）.

（2）求軌跡方程時(shí)，一要區(qū)分“軌跡“與“軌跡方程”；二要注意檢驗(yàn)，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線等.

2.求軌跡方程的步驟：

（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用（x,y）表示軌跡（曲線）上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）列出關(guān)于的方程；

（3）把方程化為最簡形式；

（4）除去方程中的瑕點(diǎn)（即不符合題意的點(diǎn)）；

（5）作答.

【方法技巧與總結(jié)】

1.以A（xi,竺），8（物》2）為直徑端點(diǎn)的圓的方程為a—尤1）（工一為2）+0—九）（了一了2）=0.

2.圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上.

3.圓心在任一弦的垂直平分線上.

?舉一反三

【題型1求圓的方程】

【例1】（2024.遼寧大連.一模）過點(diǎn)（—1,1）和（1,3）,且圓心在x軸上的圓的方程為（）

A.%2+y2=4B.（%—2）2+y2=8

C.（x-I）2+y2=5D.（x-2）2+y2=10

【變式1-1]（2024.河南.模擬預(yù)測）圓心在射線y=WO）上，半徑為5,且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程

4

為（）.

A.%2+y2-8%—6y=0

B.%2+y2-6x—8y=0

C./+y2+版+6y=0

D.x2+y2+6x+8y=0

【變式1-2](2024?北京?模擬預(yù)測)圓心為(2,1)且和無軸相切的圓的方程是()

A.(%-2)2+(y-I)2=1B.(x+2)2+(y+l)2=1

C.(%-2)24-(y-l)2=5D.(x+2)2+(y+l)2=5

【變式1-3](2024.全國.模擬預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系中，圓E與兩坐標(biāo)軸交于4,B,C,D四點(diǎn)，其中

4(一2,0),3(0,—3),點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)。在y軸的正半軸上，圓E的內(nèi)接四邊形ABCD的面積為則圓E

的方程為()

A.x2+y2+x+—2

B.x2+y2—x+y=6

C.x2+y2—4x—y—12

D.x2+y2+|x+2y=3

【題型2二元二次方程表示圓的條件】

[例2](2024.貴州?模擬預(yù)測)已知曲線C的方程2/+2y2+4x+8y+F=0,貝『字<10”是“曲線C是圓”

的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式2-1](23-24高二下?上海?期中)方程/+丫2+4小x一2、+5爪=0表示圓的充要條件是()

A-；<m<1B-m>1C-m<lD.

2

【變式2-2](23-24高二上?福建廈門?期中)若aG{-2,-1,0,|,1},則方程/+y2+ax+2ay+2a+a-

1=0表示的圓的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【變式2-3](23-24高二上.廣東?期末)已知方程/+丫2+2%-2(0/+2(1+4=0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)a取

值范圍是()

A.(—8,-1]U[3,+8)B.[—1,3]

C.(-00,-1)U(3,+00)D.(-1,3)

【題型3圓過定點(diǎn)問題】

【例3】(23-24高二上?湖北荊州?期末)圓C:%2+y2+一2@一5二0恒過的定點(diǎn)為()

A.(-2,1),(2,-1)B.(-1,-2),(2,1)

C.(-1,-2),(1,2)D.(-2,-1),(2,1)

【變式3-1](23-24高二上?浙江溫州?期中)點(diǎn)PQ,y)是直線2x+y-5=0上任意一點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則

以。P為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)()

A.(0,0)和(1,1)B.(0,0)和(2,2)C.(0,0)和(1,2)D.(0,0)和(2,1)

【變式3-2](2024高三?全國?專題練習(xí))當(dāng)機(jī)變化時(shí)，圓一+/+(機(jī)+2)x+y—2=0恒過定點(diǎn).

【變式3-3](23-24高三上.上海徐匯?期末)已知二次函數(shù)/(無)=/+2久+6。eR)的圖像與坐標(biāo)軸有三

個(gè)不同的交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C,則圓C經(jīng)過定點(diǎn)的坐標(biāo)為(其坐標(biāo)與b無關(guān))

【題型4點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷】

【例4】(2024.河北滄州.二模)若點(diǎn)4(2,1)在圓/+*一2nix—2y+5=0(m為常數(shù))外，則實(shí)數(shù)m的

取值范圍為()

A.(一8,2)B.(2,+oo)C.(一8,—2)D.(-2,4-oo)

【變式4-1](2024?甘肅定西?模擬預(yù)測)若點(diǎn)(2,1)在圓/+/一久+丫+a=o的外部，則。的取值范圍是

()

A.&+8)B.(―8，E)C.(—4,0D.(-8,-4)U&+8)

【變式4-2](24-25高三上?廣東?開學(xué)考試)“1<b<2”是“點(diǎn)B(0,b)在圓C:(%-I)2+(y-2)2=2內(nèi)”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【變式4-3](2024高三.全國.專題練習(xí))若點(diǎn)(2“，a+1)在圓/+(y—1戶=5的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是()

A.{a\~l<a<l}

B.{a|0<a<l}

C.{a|a<—1或a>l}

D.{a|-l<a<0}

【題型5與圓有關(guān)的軌跡問題】

【例5X24-25高二上?上海?課后作業(yè))點(diǎn)P(4,-2)與圓工2+*=4上任意一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()

A.(x—4)2+(y+2)2=4B.(x+2)2+(y—I)2=1

C.O+4/+(y—2/=4D.(x-2)2+(y+I)2=1

【變式5-1]（23-24高二上?廣東東莞?階段練習(xí)）已知線段4B的端點(diǎn)B的坐標(biāo)（4,3）,端點(diǎn)4在圓/+/=4

上運(yùn)動(dòng)，求線段4B的中點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的面積（）

A.4TTB.V2TTC.TTD.—

4

【變式5-2]（2024?山東淄博?一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量0A與0B關(guān)于x軸對(duì)稱，向量a=

（0,1）,若滿足瓦溟+機(jī)通=o的點(diǎn)A的軌跡為￡,則（）

A.E是一條垂直于x軸的直線B.E是一個(gè)半徑為1的圓

C.E是兩條平行直線D.E是橢圓

【變式5-3]（2024?山東德州?三模）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距

離之比為常數(shù)k（k>0★41）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,

4(一4,0),B(2,0),點(diǎn)M滿足儒=2,則點(diǎn)M的軌跡方程為（）

A.(%+4)2+y2=16B.(%—4)2+y2=16

C.x2+(y+4)2=16D.%2+(y—4)2=16

【題型6與圓有關(guān)的對(duì)稱問題】

【例6】（2024.浙江?模擬預(yù)測）圓C（%-1）2+（y—2）2=2關(guān)于直線％—y=0對(duì)稱的圓的方程是（）

A.(%—I)2+(y+2)2=2B.(%+I)2+(y+2)2=2

C.(%-2)2+(y-I)2=2D.(%+2/+(y+=2

【變式6-1]⑵-24高二上?安徽黃山?期末）圓M:（%-2）2+（y-I）2=1與圓N關(guān)于直線％-y=。對(duì)稱,

則圓N的方程為（）

A.(x+I)2+(y+2)2=1B.(%—2)2+(y+I)2=1

C.(%+2)2+(y+1)2=1D.(%-I)2+(y-2)2=1

【變式6-2](23-24高二下?云南昆明?階段練習(xí))已知圓+2+(y+1)2=1與圓可：(％-4)2+

(y+3)2=1關(guān)于直線,對(duì)稱，貝加的方程為()

A.10%—4y—23=0B.10%+4y—23=0

C.2x—5y—7=0D.2%+5y+7=0

【變式6-3](2024?陜西寶雞?一模)已知圓％2+丁2_2%+4y+4=0關(guān)于直線2a%—by—2=0(a>0,b>

0)對(duì)稱，則ab的最大值為()

11

A.2B.1C.D.

24

【題型7圓系方程】

【例7】（23-24高二下?湖南長沙.階段練習(xí)）過圓/+y2-x+y-2=0和久2+y2=5的交點(diǎn)，且圓心在

直線3x+4y-1=0上的圓的方程為（）

A.x2+y2+2x—2y-11=0B.%2+y2—2%+2y—11=0.

C.x2+y2—2x—2y-11=0D.x2+y2+2x+2y-11=0

【變式7-1］（2024高二?遼寧?學(xué)業(yè)考試）過圓式2+y2—2y-4=0與/+y2—4久+2y=0的交點(diǎn)，且圓

心在直線Z:2x+4y-l=。上的圓的方程是.

【變式7-2］（23-24高一下?江西九江.期中）經(jīng)過兩圓/+y2+6%—4=0和/+y2+6y—28=0的交點(diǎn),

且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程為.

【變式7-3］（2。24高三下?全國?專題練習(xí)）求過圓：x2+y2—2x+2y+1=0與圓：x2+y2+4x—2y—4—

0的交點(diǎn)，圓心在直線：久一2y-5=0圓的方程.

【題型8與圓有關(guān)的最值問題】

【例8】（2024?西藏拉薩.二模）已知點(diǎn)M（3,—3）,N（3,0）,動(dòng)點(diǎn)P在圓0:/+外=1上，則|PM|+1|PN|的

最小值為（）

人V145口V165八V145門V165

A.-------D.-----C.-----D?-------

3399

【變式8-1］（2024?河南?模擬預(yù)測）已知點(diǎn)PQ,y）在以原點(diǎn)。為圓心，半徑r=b的圓上，則磊+會(huì)的

最小值為（）

A.-B.C.-D.1

999

【變式8-2］（2024.湖北黃石.三模）已知在等腰直角三角形4BC中，C4=CB=4,點(diǎn)M在以C為圓心、2

為半徑的圓上，貝|JMB|川的最小值為（）

A.3A/5-2V2B.V17C.1+2V5D.2V5-1

【變式8-3］（2024?廣西貴港?模擬預(yù)測）已知圓C：（%-2/+（y-2）2=4,直線Z：（m+2）x-my-4=0,

若/與圓C交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O,則|0川+2|OB|的最大值為（）

A.4A/3B.6A/3C.4V15D.2A/30

?過關(guān)測試

一、單選題

1.(2024?吉林長春?三模)經(jīng)過力(1,1),S(-l,1),C(0,2)三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為()

A.(尤+1)2+(y—=2B.(%—1)2+(y—1)2=2

C.x2+(y—l)2=1D.%2+(y+l)2=1

2.(2024?浙江?一模)圓C:/+y2—2x+4y=。的圓心。坐標(biāo)和半徑「分別為()

A.C(l,-2),r=V5B.C(l,-2),r=5

C.C(-l,2),r=V5D.C(-l,2),r=5

3.(2024?江西?模擬預(yù)測)若點(diǎn)(1,1)在圓久2+y2一久一a=0的外部，則。的取值范圍為()

A.(-B.(],1)C.(—co,1)D.(1,+oo)

4.(2024?陜西銅川?三模)已知圓。:(久一。)2+0—6)2=1經(jīng)過點(diǎn)4(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最大

值為()

A.4B.5C.6D.7

5.(2024.河南信陽?模擬預(yù)測)已知圓O：x2+y2=2,點(diǎn)A(m,n)和點(diǎn)B(p,q)在圓0上，滿足mp+nq=—l,

則m+n+p+q最大值為()

A.V2B.2C.2V2D.4V2

6.(23-24高二上?廣西玉林?期末)若直線I在無軸、y軸上的截距相等，且直線1將圓/+*一2尤+句=0的

周長平分，則直線/的方程為()

A.x+y+1=0B.x+y-1=0

C.x+y+1=0或2x+y=0D.久+y—1=0或2x+y=0

7.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M(2,0),直線/:y=k(x-2)+1,點(diǎn)M關(guān)于直

線/的對(duì)稱點(diǎn)為N,則A0MN面積的最大值是()

A.1B.2C.3D.4

8.(23-24高三上?遼寧大連?階段練習(xí))已知圓G：(x-2)2+(y—3/=1,圓C2：(%-3)2+(y—4)2=9,

M,N分別是圓G，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為()

A.5V2-2B.V17-1C.6+2/D.5&—4

二、多選題

9.(2024?廣西?模擬預(yù)測)若點(diǎn)P(1,O)在圓C:%2+y2+2x—4y+m=0的外部，則m的取值可能為1)

A.-3B.1C.4D.7

10.(2024?山西臨汾?三模)已知民尸是以C(l,2)為圓心，或?yàn)榘霃降膱A上任意兩點(diǎn)，且滿足CE1CF,P是

EF的中點(diǎn)，若存在關(guān)于(3,0)對(duì)稱的4B兩點(diǎn)，滿足萬?麗=0,則線段長度的可能值為()

A.3B.4C.5D.6

11.(2024?遼寧丹東?模擬預(yù)測)已知曲線E:7+丫2一2團(tuán)一2舊=0,貝|()

A.曲線E圍成圖形面積為8+4兀

B.曲線E的長度為4近兀

C.曲線E上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離為2

D.曲線E上任意兩點(diǎn)間最大距離4位

三、填空題

12.(2024?湖南邵陽?三模)寫出滿足“點(diǎn)(3,-2)在圓/+*一2久+4y+機(jī)=0外部”的一個(gè)7n的值：m=

13.(2024.貴州畢節(jié)?三模)已知直線x+ty-5=0,直線G：垃一y-3t+2=0,%與6相交于點(diǎn)A，

則點(diǎn)A的軌跡方程為.

14.(2024?天津河西.模擬預(yù)測)已知點(diǎn)4為圓C:(x-?n)2+(y-m-1)2=2上一點(diǎn)，點(diǎn)8(3,0),當(dāng)m變化

時(shí)線段AB長度的最小值為.

四、解答題

15.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測)已知過點(diǎn)(1,0)的動(dòng)直線/與圓6：久2+>2-4x=0相交于不同的兩點(diǎn)A,B.

(1)求圓G的圓心坐標(biāo)；

(2)求線段的中點(diǎn)M的軌跡C的方程.

16.(23-24高二上.湖南永州?期末)△ABC的頂點(diǎn)是4(0,0),B(-l,-1),C(3,l).

(1)求邊力B上的高所在直線的方程；

(2)求過點(diǎn)A,B,C的圓方程.

17.(23-24高二上?湖北十堰?期末)已知直線I:尤+2y+3=0,圓C:久2+y2-2刀-6y—6=0.

(1)求與1垂直的C的直徑所在直線a的一般式方程；

(2)若圓E與C關(guān)于直線1對(duì)稱，求E的標(biāo)準(zhǔn)方程.

18.(23-24高二上?山東濟(jì)南?期末)已知圓心為C的圓經(jīng)過。(0,0),力(0,2遍)兩點(diǎn)，且圓心C在直線=V3x

上.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵點(diǎn)尸在圓C上運(yùn)動(dòng)，求出?！?|P*2的取值范圍.

19.(23-24高二上?湖南?期末)已知四邊形4BCD的三個(gè)頂點(diǎn)力(1,0),B(3,-2),C(4,-l).

(1)求過A,B,C三點(diǎn)的圓的方程.

(2)設(shè)線段2B上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)為E,過￡的直線/平分四邊形4BCD的面積.若四邊形4BCD為平行四

邊形，求直線/的方程.

專題8.3圓的方程【八大題型】

【新高考專用】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1求圓的方程】.............................................................................3

【題型2二元二次方程表示圓的條件】..............................................................4

【題型3圓過定點(diǎn)問題】..........................................................................4

【題型4點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷】................................................................5

【題型5與圓有關(guān)的軌跡問題】....................................................................5

【題型6與圓有關(guān)的對(duì)稱問題】....................................................................6

【題型7圓系方程】...............................................................................7

【題型8與圓有關(guān)的最值問題】....................................................................7

?考情分析

1、圓的方程

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

2022年全國乙卷（文數(shù)）：第

15題，5分

⑴理解確定圓的幾何要

2022年全國甲卷（文數(shù)）：第從近幾年的高考情況來看，高考對(duì)

素，在平面直角坐標(biāo)系中，

14題，5分圓的方程的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、

掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般

2023年全國乙卷（文數(shù)）:第填空題的形式考查，難度不大；有時(shí)也

方程

11題，5分會(huì)與距離公式、圓錐曲線等結(jié)合考查，

⑵能根據(jù)圓的方程解決

2023年上海卷：第7題，5分復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)熟練掌握圓的方程的求法，靈

一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)

2024年北京卷：第3題，4分活求解.

際問題

2024年天津卷：第12題，5

分

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1圓的定義和圓的方程】

1.圓的定義

圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）是圓（定點(diǎn)為圓心，定長為半徑）.

圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.

2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程小一0）2+3—6）2=.2（r>0）叫作以點(diǎn)（。,切為圓心，廠為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程很容易確定圓心坐標(biāo)和半徑.

(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)字母(待定)，因此

在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

3.圓的一般方程

(1)方程/+V+.+的；+尸=0(。2+￡2—4/>0)叫做圓的一般方程.

(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的一般方程中含有三個(gè)字母(待定)，因

此在一般條件下，只要己知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的一般方程.

下列情況比較適用圓的一般方程：

①已知圓上三點(diǎn)，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，求待定系數(shù)D,E,F；

②己知圓上兩點(diǎn)，圓心所在的直線，將兩個(gè)點(diǎn)代入圓的方程，將圓心卜-白)代入圓心所在的直線

方程，求待定系數(shù)。，E,F.

4.二元二次方程與圓的方程

(1)二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：

二元二次方程//+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,對(duì)比圓的一般方程—+y2+Dx+Ey+F=0

(￡>2+￡2-4F>0),我們可以看出圓的一般方程是一個(gè)二元二次方程，但一個(gè)二元二次方程不一定是圓的

方程.

(2)二元二次方程表示圓的條件：

|A=C豐Q

D-A

二元二次方程//+員:/+02+m+口+尸=。表示圓的條件是:2/\2

第+(常-哈"

5.圓的參數(shù)方程

圓(x—〃/+⑺一6尸="(?0)的參數(shù)方程為<，其中6為參數(shù).

6.求圓的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程.

(2)待定系數(shù)法

①若已知條件與圓心(a力)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a,6,r的值；

②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于DE,尸的方程組，進(jìn)而求出E,尸的值.

【知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】

1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

(1)如圖所示，點(diǎn)M與圓A有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外.

⑵圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—a)2+(y—6)2=/,圓心為/(a,6),半徑為廠。>0)；圓A的一般方程為

X?+必+。x+4+產(chǎn)=0（。2+￡2-4尸>0）.平面內(nèi)一點(diǎn).

判斷方法

位置關(guān)系

幾何法代數(shù)法(標(biāo)準(zhǔn)方程)代數(shù)法(一般方程)

點(diǎn)在圓上\MA\=r(xo-d)2+(yo-/7)2二產(chǎn)

xS+yo+Dx0+Ey0+F=0

2+(yo-b)2<產(chǎn)

點(diǎn)在圓內(nèi)\MA\<r(xo-a)+?/o+DXQ+Ey。+F<0

2+(yo-b)2>/

點(diǎn)在圓外\MA\>r(xo-a)xo+yo+Dx0+Ey0+F>0

【知識(shí)點(diǎn)3軌跡方程】

1.軌跡方程

求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于

變量羽〉之間的方程.

(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時(shí)，常采用直接法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件符合某一基本曲線的定

義(如圓)時(shí)，常采用定義法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)在已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可采用代入法(或稱相關(guān)點(diǎn)法).

(2)求軌跡方程時(shí)，一要區(qū)分“軌跡“與“軌跡方程”；二要注意檢驗(yàn)，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線等.

2.求軌跡方程的步驟：

(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(尤,y)表示軌跡(曲線)上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)列出關(guān)于的方程；

(3)把方程化為最簡形式；

(4)除去方程中的瑕點(diǎn)(即不符合題意的點(diǎn))；

(5)作答.

【方法技巧與總結(jié)】

1.以A(xi,yi),8(x2,m)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x—X))(x—x2)+(y—1)(y—珀=0.

2.圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上.

3.圓心在任一弦的垂直平分線上.

?舉一反三

【題型1求圓的方程】

【例1】(2024?遼寧大連?一模)過點(diǎn)(-1,1)和(1,3),且圓心在x軸上的圓的方程為()

A.x2+y2=4B.(x—2)2+y2=8

C.(%—I)2+y2=5D.(x—2)2+y2=10

【解題思路】借助待定系數(shù)法計(jì)算即可得.

【解答過程】令該圓圓心為(a,0),半徑為r,則該圓方程為(x—a)2+y2=產(chǎn),

則有｛(―1—a)2+1=r2解得1;蔡u，

(1-a)2+9=r2

故該圓方程為(X—2)2+y2=10.

故選：D.

【變式1-1](2024.河南.模擬預(yù)測)圓心在射線y=；x(xW0)上,半徑為5,且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程

4

為().

A.%2+y2-8%—6y=0

B.%2+y2-6%—8y=0

C.%2+y2+8x+6y=0

D.x2+y2+6%+8y=0

【解題思路】根據(jù)圓心在射線上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓心到原點(diǎn)距離等于半徑求得圓心坐標(biāo)，即可求出

圓的方程.

【解答過程】因?yàn)閳A心在射線丫=；%(支〈0)上，故設(shè)圓心為(a,：a)(aW0),

又半徑為5,且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以J(a)2+(fa)?=5,解得a=-4或a=4(舍去)，

即圓的圓心坐標(biāo)為(—4,一3),則圓的方程為(x+4)2+。+3尸=25,

即/+y2+舐+6y=0.

故選：C.

【變式1-2](2024.北京.模擬預(yù)測)圓心為(2,1)且和x軸相切的圓的方程是()

A.(%—2>+(y—I)2=1B.(x+2)2+(y+I)2=1

C.(x-2)2+(y—1)2=5D.(x+2)2+(y+I)2=5

【解題思路】由題意先求出圓的半徑，再根據(jù)圓心坐標(biāo)，求得它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【解答過程】解：圓心為(2,1)且和x軸相切的圓，它的半徑為1,

故它的的方程是(％-2/+(y—1)2=1,

故選：A.

【變式1-3](2024.全國.模擬預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系中，圓E與兩坐標(biāo)軸交于4B,C,D四點(diǎn)，其中

A(—2,0),B(0,—3),點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)。在y軸的正半軸上，圓E的內(nèi)接四邊形A8CD的面積為良，則圓E

的方程為()

A.+y2+汽+(y=2

B.x2+y2—x+y=6

C.x2+y2—4%—y=12

D.x2+y2++2y—3

【解題思路】根據(jù)題意幾何條件分別求出C、D坐標(biāo)，然后求出圓心E坐標(biāo)及半徑r,從而求解.

【解答過程】設(shè)C（c,0）,D（0,d）（c>0,d>0）,則SBCD=：（c+2）（d+3）=§.

又因?yàn)椤??0C=2c=OB?。。=3d,解得c=3,d=2（負(fù)值舍去），

因此圓心E&—習(xí),產(chǎn)=甘，圓石的方程為卜—丁+（丫+丁=熱

即/-x+y2+y=6,故B正確.

故選:B.

【題型2二元二次方程表示圓的條件】

【例2】（2024.貴州?模擬預(yù)測）己知曲線C的方程27+2y2+4x+8y+F=0,則“F<10”是“曲線C是圓”

的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件、必要不充分條件的定義可得答案.

【解答過程】2/+2y2+4x+8y+F=0,即/+y2+2x+4y+|=0,

...曲線C是圓=22+42-4-|>0?F<10,：.^<10"是“F<10”的必要不充分條件.

故選：A.

【變式2-1]（23-24高二下?上海?期中）方程/+必+-2y+5爪=0表示圓的充要條件是（）

A.-<m<1B.m>1C.m<-D.ni〈工或m>1

444

【解題思路】根據(jù)圓的一般式方程的充要條件為。2+E-4F>0,代入運(yùn)算求解即可.

【解答過程】由題意可得：（4m）24-4-20m>0,解得mV：或

所以方程/+y2+4mx-2y+5m=0表示圓的充要條件是m<1或m>1.

故選：D.

【變式2-2]⑵-24高二上?福建廈門?期中）若aE{-2,1],則方程％2+y2+ax+2ay+2a2+a-

1=0表示的圓的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據(jù)圓的一般方程表示圓的條件求出參數(shù)Q的取值范圍，即可判斷.

【解答過程】若方程久2+y2+Q%+2ay+2G2+a—1=0表示圓，

則小+(2a)2—4(2Q2+Q-1)=-3a2—4a+4>0n(3a—2)(a+2)V0,

解得一2<a<|,

又aG{-2,-1,0,[,1},所以a=-1或a=0,

即程％2+y2+。％+2ay+2a2+a—1=0表示的圓的個(gè)數(shù)為2.

故選：B.

【變式2-3](23-24高二上.廣東.期末)已知方程/+、2+2%-2。丫+2。+4=0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)a取

值范圍是()

A.(—8,-1]U[3,+8)B.[—1,3]

C.(-00,-1)U(3,+00)D.(一1,3)

【解題思路】根據(jù)方程表示圓的條件可得結(jié)果.

【解答過程】因?yàn)榉匠蹋?+y2+2%-2ay+2a+4=0表示一個(gè)圓，

所以+(-2ct)2—4x(2a+4)>0,

即小—2a—3>0,所以a>3或a<—1,

故選：C.

【題型3圓過定點(diǎn)問題】

【例3】(23-24高二上.湖北荊州.期末)圓。:汽2+y2+一2即一5二o恒過的定點(diǎn)為()

A.(-2,1),(2,-1)B.(-1,-2),(2,1)

C.(-1,-2),(1,2)D.(-2,-1),(2,1)

【解題思路】將方程進(jìn)行變形整理，解方程組即可求得結(jié)果.

【解答過程】圓C:/+y2+ax—2ay—5=0的方程化為a(%—2y)+(x24-y2—5)=0,

心;罡上得葭端

故圓C恒過定點(diǎn)(—2,—1),(2,1).

故選：D.

【變式3-1](23-24高二上?浙江溫州?期中)點(diǎn)PQ,y)是直線2x+y-5=0上任意一點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則

以。P為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)()

A.(0,0)和(1,1)B.(0,0)和(2,2)C.(0,0)和(1,2)D.(0,0)和(2,1)

【解題思路】設(shè)點(diǎn)P(t,5-2t),求出以O(shè)P為直徑的圓的方程，并將圓的方程變形，可求得定點(diǎn)坐標(biāo).

【解答過程】設(shè)點(diǎn)PQ,5—2t),則線段OP的中點(diǎn)為等)，

圓M的半徑為|0M|=叵H藥！=漁與巫至，

742

所以，以0P為直徑為圓的方程為卜_￡)2+(y_受)2=5產(chǎn).2：t+25,

即％2+y2—tx+(2t—5)y=0,BP(%2+y2—5y)+t(2y—x)=0,

由工工二。，解明Mil

因此，以。P為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)、(2,1).

故選：D.

【變式3-2](2024高三?全國?專題練習(xí))當(dāng)機(jī)變化時(shí)，圓/+>2+(機(jī)+2)x+y—2=0恒過定點(diǎn)—

(0,—2)和(0,1).

【解題思路】根據(jù)題意，進(jìn)行求解即可.

【解答過程】方程?x2+y2+(m+2)x+y—2=0可化為(V+V+Zx+y—2)+〃?x=0.

由產(chǎn)+必+2%m-2=0,得,

所以定點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-2)和(0,1).

故答案為：(0,-2)和(0,1).

【變式3-3](23-24高三上?上海徐匯?期末)已知二次函數(shù)/(久)=/+2%+6(xeR)的圖像與坐標(biāo)軸有三

個(gè)不同的交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C,則圓C經(jīng)過定點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1)和(—2,1)(其坐標(biāo)與b無關(guān))

【解題思路】設(shè)出/(乃的圖象與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)出圓的一般方程，把三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓方程，

求出系數(shù)，得圓的方程(含有b),分析此方程可得圓所過定點(diǎn).

【解答過程】二次函數(shù)“X)=%2+2%+b(x6R)的圖像與坐標(biāo)軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，記為

M(m,0),N(n,0),B(0,b~),易知b中0,幾滿足m+=-2,mn,m2+2m+b=0,n2+2n+b=0,

設(shè)圓C方程為/+y2+Dx