4.3探索三角形全等的條件第2課時(shí)-2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步課件（北師大版）

4.3探索三角形全等的條件

第4章

三角形第2課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索并正確理解三角形全等的條件：“ASA”和“AAS”;（重點(diǎn)）2.會(huì)用三角形全等的條件“ASA”和“AAS”證明兩個(gè)三角形全等；（難點(diǎn)）3.在給出兩角及其夾邊的條件下，能夠利用尺規(guī)作出三角形.新課導(dǎo)入復(fù)習(xí)回顧（SSS）2.幾何語(yǔ)言在△ABC和△A'B'C'中，△ABC≌△A'B'C'∴A'B'C'ABC

對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫為

.1.三角形全等的條件:“邊邊邊”AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'.∵“邊邊邊”或“SSS”三邊注意：在列舉兩個(gè)三角形全等的條件時(shí),一般是把同一個(gè)三角形的三個(gè)量放在等號(hào)的同一側(cè).新課導(dǎo)入情境引入

由前面的討論我們知道，如果給出一個(gè)三角形三條邊的長(zhǎng)度，那么由此得到的三角形都是全等的。如果已知一個(gè)三角形的兩角及一邊，那么有幾種可能的情況呢？有兩種情況：①兩角及其夾邊；

②兩角及其中一角的對(duì)邊.每種情況下得到的三角形都是全等的嗎？下面我們一起來(lái)探究吧！新課講授

探究一:三角形全等的條件：“角邊角”(“ASA”)一定全等.80°

如果“兩角及一邊”條件中的邊是兩角所夾的邊，情況會(huì)怎樣呢？小組合作，選擇兩個(gè)角和一條線段作為三角形的兩個(gè)內(nèi)角及其夾邊，并用尺規(guī)作出這個(gè)三角形。嘗試·思考例如,三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是60°和80°,它們所夾的邊為2cm.60°2cm你作的三角形與同伴作的一定全等嗎？新課講授知識(shí)歸納三角形全等的條件:“角邊角”兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等,簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”.幾何語(yǔ)言：ABCDEF

∵

新課講授1.已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，試說(shuō)明：△ABC≌△DCB．BCAD解：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（ASA）.∠ABC＝∠DCB(已知），

BC＝CB（公共邊），∠ACB＝∠DBC（已知），∵新課講授

回顧上述作圖過(guò)程，請(qǐng)你總結(jié)“已知三角形的兩角及其夾邊，用尺規(guī)作這個(gè)三角形”的方法和步驟.

如圖，已知∠α，∠β，線段c，用尺規(guī)作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。

已知三角形的兩角及其夾邊，用尺規(guī)作這個(gè)三角形是利用三角形全等的條件“角邊角”來(lái)作圖的.請(qǐng)按照給出的作法作出相應(yīng)的圖形：新課講授作法圖形△ABC就是所要作的三角形。1.作∠DAF=∠α。2.在射線

AF上截取線段

AB=c。3.以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，以BA為一邊作∠ABE=∠B，BE交AD于點(diǎn)C。DAFBEC作法思路：先作一角，截一邊，在邊同側(cè)的另一端作另一角.另一種作法是先作一邊，再在邊的兩端同側(cè)分別作角.還有其他作法嗎？新課講授2.如圖所示,已知線段a和∠α,用尺規(guī)作△ABC,使BC=a,∠B=∠α，∠C=2∠α.解:如圖,△ABC就是所求作的三角形.

如果“兩角及一邊”條件中的邊是其中一角的對(duì)邊,情況會(huì)怎樣呢?你能將它轉(zhuǎn)化為“嘗試·思考”中的條件嗎?與同伴進(jìn)行交流.思考·交流新課講授

探究二:三角形全等的條件：“角角邊”(“AAS”)如果“兩角及一邊”條件中的邊是其中一角的對(duì)邊，兩個(gè)三角形全等。能將它轉(zhuǎn)化為“嘗試·思考”中的條件，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，可以求出第三個(gè)角，這樣就可以轉(zhuǎn)化為已知兩角及其夾邊得到三角形全等了.你能證明你的結(jié)論嗎？新課講授

在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E

，BC=EF，△ABC與△DEF全等嗎？能利用角邊角條件證明你的結(jié)論嗎？∴△ABC≌△DEF（ASA）.解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°.∴∠C＝180°－∠A－∠B.同理

∠F＝180°－∠D－∠E.又∠A＝∠D，∠B＝∠E,∴∠C＝∠F.在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，

BC＝EF，

∠C＝∠F.∵新課講授知識(shí)歸納三角形全等的條件:“角角邊”

兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等.簡(jiǎn)寫為“角角邊”或“AAS”。幾何語(yǔ)言：

ABCDEF

∵

新課講授3.如圖所示,AC是∠BAE的平分線,D是線段AC上的一點(diǎn)，∠C=∠E，AB=AD.試說(shuō)明:△BAC≌△DAE.證明：∵AC是∠BAE的平分線,∴∠BAC=∠DAE.∵∠BAC=∠DAE,

∠C=∠E,

AB=AD,∴△BAC≌△DAE(AAS).在△BAC和△DAE中,新課講授知識(shí)歸納說(shuō)明三角形全等時(shí)尋找等角的方法：(1)公共角相等、對(duì)頂角相等、直角相等；(2)等角加(減)等角,其和(差)相等；(3)同角(或等角)的余角(或補(bǔ)角)相等；(4)根據(jù)角平分線、平行線得角相等.典例分析例1：如圖所示,AB平分∠CAD,點(diǎn)E在AB上，∠1=∠2，△AEC和△AED全等嗎?試說(shuō)明理由.解:△AEC≌△AED.理由:∵AB平分∠CAD,∴∠CAE=∠DAE.∵∠1=∠2,∠AEC=180°-∠1,∠AED=180°-∠2,∴∠AEC=∠AED.在△AEC≌△AED中，∵∠CAE=∠DAE，

AE=AE,

∠AEC=∠AED∴△AEC≌△AED(ASA).典例分析例2：如圖所示,已知∠C=∠E,∠1=∠2,AB=AD,△ABC和△ADE全等嗎?試說(shuō)明理由.解:△ABC≌△ADE.理由:∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即∠BAC=∠DAE.在△ABC≌△ADE中，∵∠BAC=∠DAE,

∠C=∠E,AB=AD,∴△ABC≌△ADE(AAS).典例分析解:如圖所示,△A1B1C1即為所求.例3：如圖所示,△ABC被污漬污染了,請(qǐng)你重新作一個(gè)△A1B1C1，使△A1B1C1≌△ABC(要求:用尺規(guī)作圖,不寫作法,但要保留作圖痕跡).學(xué)以致用2.如圖所示,D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),DF交AC于點(diǎn)E，AE=CE,FC∥AB,若AB=3,CF=5,則BD的長(zhǎng)是(

)A.0.5 B.1 C.1.5 D.21.如圖所示,∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,則直接判定△ABD≌△CBD的依據(jù)是 (

)A.SSS B.ASA C.AAS D.以上均不正確BD學(xué)以致用3.如圖所示,在△ABC中,F為AC的中點(diǎn),E為AB上一點(diǎn),D為EF延長(zhǎng)線上一點(diǎn),∠A=∠ACD,則CD與AE的關(guān)系為(

)A.相等B.平行C.平行且相等D.以上均不正確C4.△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使△ABC≌△DEF，則下列補(bǔ)充的條件中錯(cuò)誤的是（

）A．AC＝DF

B．BC＝EF

C．∠A＝∠D

D．∠C＝∠F

A學(xué)以致用5.如圖是作△ABC的作圖痕跡,則此作圖的已知條件是(

)A.已知兩邊及夾角B.已知三邊C.已知兩角及夾邊D.已知兩邊及一邊的對(duì)角C6.如圖①,已知線段a,∠1,求作△ABC,使BC=a,∠ABC=∠BCA=∠1,張蕾的作法如圖②所示,則下列說(shuō)法中一定正確的是 (

)A.作△ABC的依據(jù)為ASAB.弧EF是以AC長(zhǎng)為半徑畫的C.弧MN是以點(diǎn)A為圓心,a為半徑畫的D.弧GH是以CP長(zhǎng)為半徑畫的A學(xué)以致用7.如圖所示,AE=AD,∠B=∠C,則△ABD≌

,理由是

.

△ACEAAS8.如圖所示,∠1=∠2,BC=EC,請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件:

，能直接根據(jù)“AAS”判定△ABC≌△DEC.

∠A=∠D9.如圖所示，AC⊥BC于點(diǎn)C，DE⊥AC于點(diǎn)E，AD⊥AB于點(diǎn)A.若BC=AE，AD=5，則AB=

.

5第7題圖

第8題圖第9題圖學(xué)以致用10.如圖所示,AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且∠ABD=∠ACE.試說(shuō)明:BD=CE.解:因?yàn)锳B⊥AC,AD⊥AE,所以∠BAE+∠CAE=90°,∠BAE+∠BAD=90°,所以∠CAE=∠BAD.在△ABD和△ACE中,因?yàn)椤螧AD=∠CAE,AB=AC,∠ABD=∠ACE,所以△ABD≌△ACE(ASA),所以BD=CE.學(xué)以致用11.已知：如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2.

求證：AB=AD.ACDB12

在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（AAS)，∴AB=AD.∵

AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B=∠D=90°.證明：∠1=∠2，∠B=∠D，AC=AC，∵學(xué)以致用12.如圖所示,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD,連接AC,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F.(1)若∠ABF=63°,求∠ADE的度數(shù);解:(1)因?yàn)锳B⊥BC,所以∠ABC=90°.又因?yàn)锳D∥BC,所以∠BAD=90°,即∠BAF+∠DAE=90°.因?yàn)镈E⊥AC,所以∠DEA=90°,所以∠DAE+∠ADE=90°,所以∠ADE=∠BAF.因?yàn)锽F⊥AC,∠ABF=63°,所以∠ADE=∠BAF=90°-63°=27°.學(xué)以致用(2)DE=BF+EF.理由:因?yàn)镈E⊥AC,BF⊥AC,所以∠BFA=∠AED=90°.在△ABF和△DAE中,因?yàn)椤螧FA=∠AED,∠BAF=∠ADE,AB=DA,所以△ABF≌△DAE(AAS),所以BF=AE,AF=DE.因?yàn)锳F=AE+EF,所以DE=BF+