2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：銳角三角函數(shù)（3大模塊知識(shí)梳理+9個(gè)考點(diǎn)+4個(gè)重難點(diǎn)+2個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）解析版

專題11銳角三角函數(shù)

目錄

01理?思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。

02盤.基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（3大模塊知識(shí)梳理）

知識(shí)模塊一：銳角三角函數(shù)

知識(shí)模塊二：解直角三角形

知識(shí)模塊三：解直角三角形的應(yīng)用

03究?考點(diǎn)考法：對(duì)考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（9大基礎(chǔ)考點(diǎn)）

考點(diǎn)一：理解銳角三角函數(shù)的概念

考點(diǎn)二：求角的三角函數(shù)值

考點(diǎn)三：由三角函數(shù)求邊長

考點(diǎn)四：由特殊角的三角函數(shù)值求解

考點(diǎn)五：在平面直角坐標(biāo)系中求銳角三角函數(shù)值

考點(diǎn)六：在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值

考點(diǎn)七：三角函數(shù)綜合

考點(diǎn)八：解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

考點(diǎn)九：構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積

04破，重點(diǎn)難點(diǎn)：突破重難點(diǎn)，沖刺高分。（4大重難點(diǎn)）

重難點(diǎn)一：運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決視角相關(guān)問題

重難點(diǎn)二：運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決方向角相關(guān)問題

重難點(diǎn)三：運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決坡角、坡度相關(guān)問題

重難點(diǎn)四：12345模型

05辨?易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)。（2大易錯(cuò)點(diǎn)）

易錯(cuò)點(diǎn)1：未在直角三角形中求銳角三角函數(shù)的值

易錯(cuò)點(diǎn)2：誤認(rèn)為三角函數(shù)值與三角形各邊的長短有關(guān)

銳角A的正弦，余弦，正切，合稱zA的銳角三角函數(shù)

/.NA的對(duì)邊?

〃正弦—A4=斜邊新

銳角三角函數(shù)定義/《NA的鄰邊b

卜余弦斜邊C

\.NA的對(duì)邊.1

知識(shí)梳理4

\IEWti,nA=^a-=b

由Rt-的已知元素求未知元素

解直角三角形雙―三融

銳、元素/

—兩個(gè)銳角

角

三

角同名函數(shù)利用單調(diào)性比

比較兩個(gè)函數(shù)值的大小

函互余函數(shù)利用互余關(guān)系化為同名函數(shù)

數(shù)\兌角,7

30°45°60°

畝數(shù)

JLJ2

sina也

學(xué)法指導(dǎo)2~22

2

cosa2立

222

皂

tana16

特殊角的三角函數(shù)值3

三角函數(shù)的定義中，沒有注意邊與邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系

學(xué)習(xí)誤區(qū)特殊角的值記錯(cuò)

正弦、余弦的互換關(guān)系記錯(cuò)（沒考慮到互余關(guān)系）

盒

知識(shí)模塊一：銳角三角函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)一：正弦，余弦，正切

正弦：在RtZ\ABC中，NC=90。，把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做

NA的對(duì)邊a

NA的正弦，記作sinA,

斜邊c

余弦：在Rt^ABC中，NC=90。，把銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做

NA的鄰邊b

ZA的余弦，記作cosA,即cosA=

斜邊c

正切：在Rt^ABC中,NC=90A的對(duì)邊a

的正切，記作tanA‘貝"tanA=第翳=*

【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中進(jìn)行定義的，本質(zhì)是兩條線段的比，因此沒有單位，只與

角的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長無關(guān).

2）根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過輔

助線來構(gòu)造直角三角形.

3）tad/表示tan/?tan/,可以寫成（tan/）2,不能寫成tanA2（正弦、余弦相同）.

知識(shí)點(diǎn)二：銳角三角函數(shù)

銳角三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都是NA的三角函數(shù).（其中：0<NA<90°）

取值范圍:在RtZ\ABC中，NC=90°,由于直角邊一定比斜邊短，故有如下結(jié)論：0<sinA<l,0<cosA<1,

tanA>Q.

增減變化：當(dāng)0°<ZA<90°,sinA,tanA隨/A的增大而增大，cosA隨NA的增大而減小.

【補(bǔ)充】利用銳角三角函數(shù)值的增減變化規(guī)律可比較銳角的大小.

知識(shí)點(diǎn)三：特殊角的三角函數(shù)值

利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，如下表所示：

三角函數(shù)值特殊角

30°45°60°

sina￡

V3

2~T~T

cosaj_

V3V22

~TT

tana

V3V3

Vi

知識(shí)點(diǎn)四：銳角三角函數(shù)的關(guān)系

在Rt^ABC中，若/C為直角，則/A與/B互余時(shí)，有以下兩種關(guān)系:

1）同角三角函數(shù)的關(guān)系：

①平方關(guān)系：sin2A+cos2A=1；

②商數(shù)關(guān)系：tanA=^=?

cosA

2）互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：

①互余關(guān)系：

sinA=cos（90°-ZA）=cosB,即一個(gè)銳角的正弦值等于它的余角的余弦值.

sinB=sin（90°-NA）=cosA,即一個(gè)銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.

②倒數(shù)關(guān)系：tanA?tanB=1

知識(shí)模塊二：解直角三角形

知識(shí)點(diǎn)一：解直角三角形

定義：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.由直角三角形中的已知

元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形.

在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關(guān)系：

1）直角三角形的五個(gè)元素：邊：a、b、c,角：NA、ZB.

2）三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2（勾股定理）.

3）兩銳角之間的關(guān)系：ZA+ZB=90°.

4）邊角之間的關(guān)系：sinA=-,sinB=-,cosA=-,cosBtanA=-,tanB=-.

ccccba

【補(bǔ)充】三角函數(shù)是連接邊與角的橋梁.

5）面積公式5=工次?=」防（h為斜邊上的高）.

22

知識(shí)點(diǎn)二：解直角三角形的常見類型

已知條件解法步驟圖示

斜邊和一直角邊（如c,a）由sinA=2,求ZA,ZB=90°-ZA,b=4c2-a2A

c

兩

邊兩直角邊（如a,b）由tanA=：,求Z_A,NB=90°—NA,c=ylCl2+/72

bb

ZB=90°—NA,a=c*sinA,b=c?cosA

斜邊和一銳角（如c,ZA）口

—■CB

邊

一直角邊和一銳角（如a,ZA）ZB=90°—ZA,b=---,c=---

tanAsinA

角b

另一直角邊和一銳角（如b,ZA）ZB=90°—ZA,a-/7*tanA,c=-------

cosA

【注意】已知兩個(gè)角不能解直角三角形，因?yàn)橛袃蓚€(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，但不一定全等，因此

其邊的大小不確定.

【總結(jié)】在直角三角形中，除直角外的五個(gè)元素中，已知其中的兩個(gè)元素（至少有一條邊），可求出其余的

三個(gè)未知元素（知二求三）.

【已知一邊一角的記憶口訣】有斜求對(duì)用正弦，有斜求鄰用余弦，無斜求對(duì)（鄰）用正切.

知識(shí)模塊三：解直角三角形的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)一：仰角、俯角

視角：視線與水平線的夾角叫做視角.

仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角.

俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角.

【注意】仰角和俯角是相對(duì)于水平線而言的，在不同的位置觀測(cè)，仰角和俯角是不同的.

知識(shí)點(diǎn)二：坡度、坡角

坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度1的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=1

坡角：坡面與水平面的夾角a叫做坡角.

【注意】坡度與坡角是兩個(gè)不同的概念，坡角是兩個(gè)面的夾角，坡度（用字母i表示）是比；兩者之壓間的

關(guān)系是i=與坡角越大，坡度越大.

知識(shí)點(diǎn)三：方位角、方向角

方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA,PB,

PC的方位角分別為是40°,135°,245°.

方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90。的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線

0A,OB,0C,OD的方向角分別表示北偏東30°,南偏東45°,南偏西80°,北偏西60°.特別如：東南方

向指的是南偏東45°,東北方向指的是北偏東45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是北偏西

45

知識(shí)點(diǎn)四：解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟

①弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；

②將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；當(dāng)有些圖

形不是直角三角形時(shí)，可適當(dāng)添加輔助線，把它們分割成直角三角形或矩形.

③選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡便、準(zhǔn)確；

④得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問題的解.

【常見類型】航海、建橋修路、測(cè)量樓高、塔高等.

費(fèi)者逝者法

考點(diǎn)一：理解銳角三角函數(shù)的概念

1.（2022?吉林長春?中考真題）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場(chǎng)的一臺(tái)起重機(jī)的示意圖，該

起重機(jī)的變幅索頂端記為點(diǎn)A,變幅索的底端記為點(diǎn)B,A0垂直地面，垂足為點(diǎn)D,BC1AD,垂足為點(diǎn)C.設(shè)

^ABC=a,下列關(guān)系式正確的是（）

AC

DC.sina=——

BCABACAB

【答案】D

【分析】根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】-BCLAC,

.?.△ABC是直角三角形,

,-Z-ABC=a,

.AC

.,?sina=一,

AB

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了正弦三角函數(shù)的定義.在直角三角形中任意銳角乙4的對(duì)邊與斜邊之比叫做乙4的正弦，

記作sinzA.掌握正弦三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.

2.（2024?天津紅橋?一模）如圖，在RtAABC中，乙48c=90。，。為邊45上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作。E1AC,垂足

為凡則下列結(jié)論中正確的是（）

A.sinA=—B.cosA=—C.tanA=—D.tanA=—

ABADADBC

【答案】B

【分析】本題考查解直角三角形，關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)定義.由銳角的三角函數(shù)定義，即可判斷.

【詳解】解：?.?DE1ZC,

???^AED=Z.ABC=90°,

A、sinA=故A不符合題意；

B、結(jié)論正確，故B符合題意；

C、tan/=?,故C不符合題意；

D、tanH=些，故。不符合題意.

AB

故選：B.

3.（2024廣州市模擬預(yù)測(cè)）在RtAABC中，NC=90。，各邊都擴(kuò)大2倍，則銳角A的三角函數(shù)值（）

A.擴(kuò)大2倍B.不變C.縮小3D.擴(kuò)大3

【答案】B

【分析】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)

的定義，三角形相似的判定和性質(zhì)，根據(jù)三角形相似的判定，可以確定各邊擴(kuò)大后的三角形與原三角形相

似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知銳角A的度數(shù)不變，所以銳角A對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值就不變.

【詳解】解：因?yàn)楦鬟厰U(kuò)大后的三角形與原三角形相似，銳角A的度數(shù)不變，銳角A對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值就

不變.

故選：B.

考點(diǎn)二：求角的三角函數(shù)值

1.（2022?江蘇常州?中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，zX=^ABC=90°,DB平分A4DC.若2D=1,

CD=3,則sin/ABD=.

【答案】亭

6

【分析】過點(diǎn)。作BC的垂線交于E,證明出四邊形ABED為矩形，△BCC為等腰三角形，由勾股定理算出DE=

V5,BD=V6,即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)。作的垂線交于E,

???Z.A=Z.ABC=90°,

???四邊形為矩形，

??.DE//AB,AD=BE=1,

???乙ABD=Z-BDE,

???8。平分匕/OC,

???Z-ADB=乙CDB,

-AD//BE,

???Z-ADB=乙CBD,

?.乙CDB=cCBD

CD=CB=3,

AD=BE=1,

CE=2,

???DE=y/DC2-CE2=V9^4=V5,

???BD=y/DE2+BE2=V5+1=V6

./Dn□BE1V6

???smZ-BDE=—=-p=——，

BDV66

???sinZ-ABD=—,

6

故答案為：咚.

6

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造

直角三角形求解.

2.（2024?四川雅安?中考真題）如圖，把矩形紙片A8CD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)￡處，BE與AD交

于點(diǎn)F,若4B=6,BC=8,貝Ijcos乙4BF的值是.

【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

折疊問題優(yōu)先考慮利用勾股定理列方程，證BF=DF,再利用Rt△4BF求出邊長，從而求解即可.

【詳解】解：???折疊,

Z.DBC=乙DBF,

,??四邊形ABC。是矩形,

ADWBC,AD=BC=8,

???Z.ADB=乙DBC,

???乙DBF=Z.ADB,

??.BF=DF,

??.AF=AD-DF=8-BF,

在RtUBF中，AB2+AF2=BF2,

???62+(8-BF}2=BF2,

解得BF=與

4nLAB24

???cosZ-ABF=——=——

BF25

故答案為：黃

3.（2024?江西?中考真題）將圖1所示的七巧板，拼成圖2所示的四邊形ABCD,連接AC,貝Man4CAB=

圖2

【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，如圖1,設(shè)等腰直角△MNQ

的直角邊為a,利用圖形的位置關(guān)系求出大正方形的邊長和大等腰直角三角形的直角邊長，進(jìn)而根據(jù)正切的

定義即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖1，設(shè)等腰直角AMNQ的直角邊為a,則MQ=Via,小正方形的邊長為a,

??.MP=2a,

；.EM=J(2a)2+(2a)2=2缶,

：.MT=EM=2V2a,

-'-QT=2V2a—V2a=V2a,

如圖2,過點(diǎn)C作CHd.AB的延長線于點(diǎn)H,貝=BH=CD,

由圖(1)可得，AB=BD=2V2a,CD=V2a+V2a=242a,

■.CH=2&a,BH=2五a,

-,-AH=2>/2a+2V2a=4近a,

??.tanW8=*慧=[

故答案為：

考點(diǎn)三：由三角函數(shù)求邊長

1.（2023?湖南婁底?中考真題）如圖，點(diǎn)E在矩形A8CD的邊CD上，將△>!￡）￡沿2E折疊，點(diǎn)。恰好落在邊BC

上的點(diǎn)尸處，若BC=10.sinzXFB=1,貝ijDE=

【答案】5

【分析】利用矩形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得力。=AF=10,EF=ED,可得力B=AF-sin〃FB=10x：=8,

BF=y/AF2-AB2=6,設(shè)DE=x,貝!JCE=CD-DE=8-x,利用勾股定理可得=CF2+CE2,進(jìn)而

可得結(jié)果.

【詳解】解：???四邊形4BCD是矩形，

:2B=NC==90°,AB=CD,AD=BC=10,

根據(jù)折疊可知，可知AD=AF=10,EF=ED,

貝i|,在RtAAB尸中，AB^AF-sinzXFB10x1=8,貝iJCO=8,

：.BF=VXF2-AB2=6,貝!|C尸=BC-BF=4,

設(shè)DE=x,則CECD-DE=8-x,

在RtACEF中，EF2=CF2+CE2,即：x2-(8-x)2+42,

解得：x=5,

即：DE=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形，靈活運(yùn)用折疊的性質(zhì)得到相等線段是解決問

題的關(guān)鍵.

2.(2024?山東青島?中考真題)如圖，AABC中，BA=BC,以8c為直徑的半圓。分別交AB,AC于點(diǎn)。，

E,過點(diǎn)E作半圓。的切線，交48于點(diǎn)跖交的延長線于點(diǎn)N.若。N=10,COSNABC=點(diǎn)則半徑0C的

長為.

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，等邊對(duì)等角，平行線的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)

鍵在于證明NEON=乙4BC,根據(jù)等邊對(duì)等角推出〃=AOEC,則可證明48||0E得到NEON=AABC,再

由切線的性質(zhì)得到N0EN=90°,則解Rt△EON求出。E的長即可.

【詳解】解:如圖所示，連接OE,

A

?-Z-A=Z-BCA,Z.OCE=Z-OEC,

??/-A=Z-OEC,

-.AB||OE,

"EON=AABC,

???MN是。。的切線，

■.Z.OEN=90°,

.??在Rt△EON中，cos乙EON=cos^ABC=空=三，

ON5

■■■OE=^ON=6,

二半徑OC的長為6,

故答案為：6.

3.（2023?山東?中考真題）如圖，△力BC是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)D,E在邊BC上，若ND4E=30。,

tan^EAC=則BD=.

【答案】3-V3

【分析】過點(diǎn)A作A”_LBC于”，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得NBAC=60。，再由4H，BC,可得NB4D+

ADAH=30°,再根據(jù)NB4D+NE4C=30°,可得=NE力C,從而可得tanAEMH=tan/EAC=%利

用銳角三角函數(shù)求得4"=4B-sin6(T=3b,再由警=失=；,求得DH=百，即可求得結(jié)果.

AH3V33

【詳解】解：過點(diǎn)A作2H18C于H,

:是等邊二角形,

MB=AC=BC=6,乙BAC=60°,

-AH1BC,

.ZBAH=-Z-BAC=30°,

2

工乙BAD+Z.DAH=30°,

-Z.DAE=30°,

.ZBAD+^EAC=30°,

???"/”=￡.EAC,

i

.,.tanzDXH=tanZ.EAC=

3

"BH=-AB=3,

2

???AH=AB-sin60°=6x—=3V3,

2

DH_DH_1

二布=乘=7

■■.DH=V3,

：.BD=BH-DH=3-?

故答案為：3—

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)證明ADA"=NE4C是解

題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)四：由特殊角的三角函數(shù)值求解

1.（2024?山東青島?中考真題）計(jì)算：V18+Q）"1-2sin45°=.

【答案】2A/2+3/3+2V2

【分析】本題主要考查了二次根式的加減計(jì)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕和求特殊角三角函數(shù)值，先計(jì)算特殊角三角

函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕和化簡二次根式，再根據(jù)二次根式的加減計(jì)算法則求解即可.

【詳解】解：V18+(I)-1-2sin45°

lV2

=3v2+3-2x

=372+3-72

=2V2+3,

故答案為：2或+3.

2.(2023?山東?中考真題)計(jì)算：|百—2|+25比60。-2023。=.

【答案】1

【分析】根據(jù)先計(jì)算絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)哥，再進(jìn)行加減計(jì)算即可.

【詳解】解：一2|+2sin60。一2023°

lV3

=2-V3+2X——1

=1

故答案為：L

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)幕的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?黑龍江綏化?中考真題)定義一種運(yùn)算；sin(cr+￡)=sincrcos/?+cosasin0,sin(cr—0)=sinacos￡—

cosasiny?.例如：當(dāng)a=45。邛=30。時(shí)，sin(45°+30°)=—x—+—x-=恒21,貝!]sinl5。的值為_____.

22224

【答案】①

4

【分析】根據(jù)sin(a-S)=sinacosS-cosasin^代入進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：sinl5°=sin(45°-30°)

=sin45°cos30°—cos45°sin30°

V2V3V21

二—X---------X-

2222

_V6_V2

~44

_V6—V2

4?

故答案為：

【點(diǎn)睛】此題考查了公式的變化，以及銳角三角函數(shù)值的計(jì)算，掌握公式的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)五：在平面直角坐標(biāo)系中求銳角三角函數(shù)值

1.（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在直線y=上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4,

直角三角板的直角頂點(diǎn)C落在無軸上，一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)A,另一條直角邊與直線。力交于點(diǎn)3,當(dāng)點(diǎn)C在x

軸上移動(dòng)時(shí)，線段4B的最小值為______.

【答案】Y

【分析】利用一次函數(shù)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用勾股定理求出。4當(dāng)點(diǎn)C在x軸上移動(dòng)時(shí)，作48與29關(guān)于AC

對(duì)稱，且49交x軸于點(diǎn)D,由對(duì)稱性質(zhì)可知，AB'=AB,^BAC=^DAC,當(dāng)ABTx軸于點(diǎn)。時(shí)，AB=

=+最短，記此時(shí)點(diǎn)C所在位置為C',作。ElAB于點(diǎn)E,有=E。，設(shè)DC，==巾，

則OL=。。一DC，=4-爪，利用銳角三角函數(shù)sin〃l。。=器=,=：建立等式求出小，證明△（；，￡）夕一

t^ADC,再利用相似三角形性質(zhì)求出夕￡）,最后根據(jù)2B=4夕=AD+9。求解，即可解題.

【詳解】解：,??點(diǎn)A在直線y=：x上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4,

.,.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,3）,

OA——5,

當(dāng)點(diǎn)C在x軸上移動(dòng)時(shí)，作與4次關(guān)于4c對(duì)稱，且49交x軸于點(diǎn)。，

由對(duì)稱性質(zhì)可知，AB'=AB

當(dāng)，x軸于點(diǎn)。時(shí)，AB=AB'^AD+B'D最短,記此時(shí)點(diǎn)C所在位置為C',

由對(duì)稱性質(zhì)可知，Z.BAC=Z.DAC,

作C'E_L48于點(diǎn)E,有。C'=EC',

設(shè)DC'=EC=m,則OC'=OD-DC=4-m,

scEC'AD3

???smZ-AOD=—7=—=-

OC'OA5

m_3

4-m5

解得m=I，

經(jīng)檢驗(yàn)血=|是方程的解,

■：AAC'D+Z-DC'B'=90°,ADAC+PLAC'D=90°,

???乙DC'B'=Z.DAC,

???AC'DB'=/.ADC=90°,

AAC'DB'-'△ADC',

B'D_DC'

DC'~AD

,3

B'D_2

--3

2

解得B,D,

2-1q

??.AB=ABr=3+-=—

44

故答案為請(qǐng)

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，相似三角形性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，垂

線段最短，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)和垂線段最短找出最短的情況.

2.(2024.吉林長春.中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=x2+2x+c(c是常數(shù))

經(jīng)過點(diǎn)(-2,-2).點(diǎn)/、8是該拋物線上不重合的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為血、-m,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-5租，點(diǎn)C的

縱坐標(biāo)與點(diǎn)4的縱坐標(biāo)相同，連結(jié)48、AC.

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;

(2)求證：當(dāng)小取不為零的任意實(shí)數(shù)時(shí)，tan/CAB的值始終為2；

(3)作4C的垂直平分線交直線AB于點(diǎn)D,以AD為邊、4c為對(duì)角線作菱形力DCE,連結(jié)DE.

①當(dāng)DE與此拋物線的對(duì)稱軸重合時(shí)，求菱形力DCE的面積；

②當(dāng)此拋物線在菱形2DCE內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨X的增大而增大時(shí)，直接寫出小的取值范圍.

【答案】⑴y=x2+2x—2

(2)見詳解

⑶①S菱形ADCE=9；@mW-3或一1<m<0或0<mW4-V13

【分析】(1)將(―2,—2)代入y=/+2x+c,解方程即可；

2

(2)過點(diǎn)B作BH1AC于點(diǎn)H,由題意得4(??1,巾2+2m—2),B(—m,m—2m—2),則=\yA—yB|=4|m|,

AH=\xA—xB\=2\m\,因止匕tan/CAB=瑞=2；

(3)①記力C,DE交于點(diǎn)C(-5m,/+2m-2),而對(duì)稱軸為直線x=-1,則帶處=一1,解得:巾=5

則4M=|,AC=3,由tanNC4B=^=掣=2,得0M=3,則DE=6,因此S菱形48E=%

②分類討論，數(shù)形結(jié)合，記拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)R則F(-1,-3),故菱形中只包含在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線，當(dāng)

巾>0時(shí)，符合題意；當(dāng)相繼續(xù)變大，直至當(dāng)直線CD經(jīng)過點(diǎn)/時(shí)，符合題意，過點(diǎn)尸作FQ14C于點(diǎn)。，

由NCAD=乙FCQ,得到—+2--2-，3)=2,解得：m=4-履或m=4+V13(#),故0<mW4-V13,

當(dāng)m>4-舊時(shí)，發(fā)現(xiàn)此時(shí)菱形包含了對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線，不符合題意；當(dāng)m<0時(shí)，符合題意：當(dāng)加

繼續(xù)變小，直至點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，此時(shí)爪=一1,故一13m<0；當(dāng)/"繼續(xù)變小，直線4E經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)，也

符合題意，過點(diǎn)/作FQ14C于點(diǎn)。，同上可得，—^—=2,解得：7n=-3或m=-l(舍)，當(dāng)

機(jī)繼續(xù)變小時(shí)，仍符合題意，因此m<-3,故根的取值范圍為：m<一3或一1<m<0或0VmW4-V13.

【詳解】(1)解：將(一2,—2)代入y=/+2%+c,

得：4—4+c=-2,

解得：%=-2,

???拋物線表達(dá)式為：y=/+2%—2；

(2)解：過點(diǎn)8作于點(diǎn)H,貝！!乙4"8=90。，

由題意得：A(m,m2+2m—2),8(—犯病—2m—2),

???

BH=\yA-yB\=4|m|,AH=\xA-xB\=2|m|,

???在Rt△AHB中，tan/CZB=—=^=2；

AH2\m\

(3)解：①如圖，記AC,DE交于點(diǎn)

由題意得，C(—5m,m2+2m—2),

,l,b2.

由---=---=—1,

2a2

得：對(duì)稱軸為直線：X=-1

,??四邊形4DCE是菱形，

.?.點(diǎn)A、C關(guān)于DE對(duì)稱，AC=2AM,DE=2DM,

???DE與此拋物線的對(duì)稱軸重合，

-m+5m

--------=—1a,

2

解得：m=|,

1

：'XA=29

'-AM=--(—1)=-

2、，2

?-AC—3,

「A「DMDM「

,-'tanZ-CAB=—=—r-=2,

AM-2

：.DM=3,則DE=6,

1

二S菱形4DCE=/EX4C=9;

②記拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)R把％=-1代入y=/+2%-2,得：y=—3,

；.F(-1,-3),

,?,拋物線在菱形2DCE內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大,

???菱形中只包含在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線,

當(dāng)機(jī)繼續(xù)變大，直至當(dāng)直線CD經(jīng)過點(diǎn)尸時(shí)，符合題意，如圖:

過點(diǎn)/作FQ14C于點(diǎn)。,

???四邊形4DCE是菱形,

-'-DA=DC,

'-Z-CAD=乙FCQ,

.,?tanzFCQ=tanZ-CAD=^=2,

.病+2171-2-(-3)_Q

,,--l-(-5m)—-，

解得：zn=4-VH^m=4+Vl^(舍)，

??.0<m<4—V13,

當(dāng)4-舊時(shí)，如圖，發(fā)現(xiàn)此時(shí)菱形包含了對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線，不符合題意;

當(dāng)相繼續(xù)變小，直至點(diǎn)A與點(diǎn)月重合，此時(shí)771=-1,符合題意，如圖:

當(dāng)叫繼續(xù)變小，直至直線4E經(jīng)過點(diǎn)尸時(shí)，也符合題意，如圖:

過點(diǎn)F作FQ1AC于點(diǎn)Q,同上可得,

tanzFXQ='=2,

TH^+2771—2—(—3)

=2,

-1-771

解得：m=-3或m=-1(舍)，

當(dāng)相繼續(xù)變小時(shí)，仍符合題意，如圖:

綜上所述，利的取值范圍為：mW-3或-1W巾<0或0<mW4-

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與幾何的綜合，菱形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求銳角的正切值，正

確理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想，找出臨界狀態(tài)是解決本題的關(guān)鍵.

3.(2024?西藏?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3(a30)與x軸交于4(一1,0),3(3,0)

(2)如圖(甲)，設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)。，在直線/上是否存在一點(diǎn)尸，使PA-PD有最大值？若

存在，求出PA-P。的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖(乙)，設(shè)點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，連接MC,過點(diǎn)M作MN1CM交直線/于點(diǎn)N.若tan/MCN=|,

求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】(l)y=-/+2%+3

(2)P4-PD存在最大值；最大值為VTU

(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,0)或向或(|,空或(3,0)

【分析】(1)把4(一1,0),8(3,0)代入拋物線求出°、6的值，即可得出拋物線的解析式；

(2)先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),連接PC、PD.PA,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出PC=PD,PA-PC=PA-PD,

得出當(dāng)PA—PC最大時(shí)，PA—PD最大，根據(jù)當(dāng)點(diǎn)A、C、尸三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，P4—PC最大，即當(dāng)點(diǎn)尸

在點(diǎn)P'時(shí)，PA-PD最大,求出最大值即可；

(3)過點(diǎn)M作EO||y軸，過點(diǎn)C作CO，0E于點(diǎn)￡>,過點(diǎn)N作NE10E于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：

(m,-m2+2m+3),得出DM=|—m2+2m+3-3|=\—m2+2m\,NE=|m-1|,證明△CDMMEN,

得出”從而得出+2m\=2\m-1|,分四種情況：當(dāng)zn<0時(shí)，當(dāng)0<mW1時(shí)，當(dāng)1<mW

NEMN3

2時(shí)，當(dāng)?n〉2時(shí)，分別求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可.

【詳解】(1)解：把4(一1,0),8(3,0)代入y=a/+匕％+3(。w0)得：

(d—力+3=0

19。+3b+3=0'

解得：憶:，

2

???拋物線的解析式為：y=-x+2x+3;

(2)解：P4-PD存在最大值；

把x-0代入y=—x2+2x+3得:y=3,

二點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),

■■,y=—x2+2久+3=—(x-I)2+4,

???拋物線的對(duì)稱軸為直線久=1,

連接PC、PD、PA,如圖所示：

???點(diǎn)C關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)。，點(diǎn)尸在直線/上,

：.PC=PD,

：.PA-PC=PA-PD,

???當(dāng)P4—PC最大時(shí)，P4—PD最大，

當(dāng)點(diǎn)A、C、尸三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PA-PC最大,即當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)P'時(shí)，P4-PD最大,

.?.P4-PD最大值為：AC=Vl2+32=V10.

(3)解：過點(diǎn)〃作E01y軸，過點(diǎn)。作C010E于點(diǎn)。，過點(diǎn)N作NE10E于點(diǎn)如圖所示:

???CM1MN,

：/CMN=90°,

MN2

??.tanzMC/V=—=

CM3

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（科一m2+26+3）,

:.DM=\—m2+2m+3—3|=\—m2+2m|,NE=|m-1|,

,?2CMN=乙NEM=Z.CDM=90°,

??/DCM+Z,CMD=乙CMD+乙NME=90°,

???乙DCM=乙NME,

??.△CDMMEN,

tNE_MN_2

"DM~CM~39

\m-l\_2

\-m2+2m\3'

.,.2|—m2+2m|=3|m-1|,

當(dāng)THWO時(shí)，-m2+2niW0,m—1<0,貝！J：

2m2—4m=3—3m,

解得：7nl=-1,m2=|（舍去），

此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為：（-1,0）；

當(dāng)0<mW1時(shí)，一血2+2m>0,m—1<0,貝lj：

—2m24-4m=3—3m,

解得：ZH1=3（舍去），巾2=/

此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為：&自）；

當(dāng)1<mW2時(shí)，一血？+2m>0,m—1>0,貝lj：

—2m2+4m=3m—3,

解得：nii=|,m2——1（舍去），

此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為：（|,號(hào)；

當(dāng)m>2時(shí)，一7n2+27n<0,m—1>0,貝（J：

2m2-4m=3m—3,

解得：=3,m2=|（舍去），

此時(shí)點(diǎn)〃坐標(biāo)為：（3,0）；

綜上分析可知：點(diǎn)M坐標(biāo)為：（-1,0）或&號(hào)或（I，?或（3,0）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求二次函數(shù)解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式，解

直角三角形的相關(guān)計(jì)算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握

相關(guān)的判定和性質(zhì)，注意進(jìn)行分類討論.

考點(diǎn)六：在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值

1.（2024?內(nèi)蒙古包頭?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)4、B、C、D、E都在小正方形格點(diǎn)

的位置上，連接4B,CD相交于點(diǎn)P,根據(jù)圖中提示所添加的輔助線，可以求得tan/BPC的值是（）

A.-B.—C.2D.V5

25

【答案】c

【分析】本題考查了三角函數(shù)，勾股定理,平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合.由題得：COIIBE,乙AED=

45°,/.BED=45°,根據(jù)勾股定理求出ZE=2&，BE=&,進(jìn)而求出tan/ABE=2,即可求解.

【詳解】解：由題得，CDIIBE,AAED=45°,ABED=45°,

.-.乙BPC=^ABE,/.AEB=90°,

???AE=V22+22=2V2,BE=712+12=V2,

.?.在Rt△力BE中，tan4力BE=竺=莘=2,

貝lltan/BPC=tanZJlBE=2,

故選：c.

2.（2024?湖北武漢.模擬預(yù)測(cè)）如圖，是由小正方形組成的7x6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，4ABe

的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn).僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示.

⑴在圖1中，將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段力M；在4c上畫點(diǎn)N,使tan/ABN="

4

（2）在圖2中，。是BC上任意一點(diǎn)，先畫4。的中點(diǎn)E,再在上找到一點(diǎn)兄使得乙4FB=NCFE.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得線段2M,借助網(wǎng)格中平行線可得比例線段，從而求解.

（2）利用矩形MBM4性質(zhì)，可得4。=80,四邊形4HCG是平行四邊形，AO'=CO',即可求解.

本題考查作圖——旋轉(zhuǎn)變換，軸對(duì)稱變換、平行線的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題

的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：如圖1,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得線段4M,取格點(diǎn)P,Q,連結(jié)PQ交4M于點(diǎn)O,

此時(shí)券號(hào)，則需建

口口

即——AO=A-O=3-

AMAB4

連結(jié)。B交AC于點(diǎn)N,

3

???tan乙4BN=tan乙48。=一，

4

則點(diǎn)N即為所求.

圖1

(2)解：如圖2,連結(jié)MN,交AB于點(diǎn)0,

?.?四邊形MBM4是矩形，

AO=B0,

AC與HG交于點(diǎn)O,

???四邊形4HCG是平行四邊形,

AO'=CO',

連結(jié)。。'交4。于點(diǎn)E,點(diǎn)E即為所求.

連結(jié)BL、KP交于點(diǎn)Q,連結(jié)CB'、DC'交于點(diǎn)Q',

連結(jié)QQ'交G'D于點(diǎn)連結(jié)49交BC于點(diǎn)R

點(diǎn)尸即為所求.

MA

LP

圖2

3.(2024?湖北武漢.模擬預(yù)測(cè))如圖是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，點(diǎn)4D、E、尸在格點(diǎn)上，點(diǎn)2、

C是直線EF與網(wǎng)格線的交點(diǎn).請(qǐng)用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成下列畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖

(1)如圖1,將線段EF繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段EM,在線段4