2025中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)之反比例函數(shù)綜合問(wèn)題（含解析）

專題09反比例函數(shù)綜合問(wèn)題

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=at-3a(。/0)與x軸、V軸分別相交于A、3兩點(diǎn)，與雙曲線

k1

y=8(x>0)的一個(gè)交點(diǎn)為c,且3C=—AC.

X2

(2)當(dāng)S-AOC=3時(shí)，求a和左的值.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)%=左逮+6與坐標(biāo)軸分別交于4(5,0),兩點(diǎn)，且與反

k5

比例函數(shù)%=上的圖象在第一象限內(nèi)交于P,K兩點(diǎn)，連接OP,△OAP的面積為7.

(2)當(dāng)先〉%時(shí)，求x的取值范圍;

(3)若C為線段Q4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+KC最小時(shí)，求APKC的面積.

3.已知：如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A,B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C,與x軸負(fù)

半軸交于點(diǎn)D,OB=A/5,tanADOB=—.

2

(2)當(dāng)ACO2，4OCD時(shí)，求點(diǎn)c的坐標(biāo).

4.如圖，反比例函數(shù)y=A(左力0)的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象相交于A(l,a)、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在第

(2)以45、為邊作菱形A3CD,求D點(diǎn)坐標(biāo).

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形。鉆C的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4).

(1)求過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)y=工的解析式;

(2)連接08,過(guò)點(diǎn)3作5￡>，。5交工軸于點(diǎn)。，求直線班)的解析式.

6.如圖，一次函數(shù)y=x+5的圖象與反比例函數(shù)y=A(左為常數(shù)且左wO)的圖象相交于A(-U"),B

x

兩點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)將一次函數(shù)y=x+5的圖象沿y軸向下平移b個(gè)單位(?！?),使平移后的圖象與反比例函數(shù)y=A

的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求b的值.

7.如圖，一次函數(shù)y=x+2的圖象與反比例函數(shù)y=K的圖象相交，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1.

X

(1)求k的值；

(2)若將一次函數(shù)y=x+2的圖象向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后所得到的圖象與反比例函數(shù)y=K的圖

X

象相交于A,B兩點(diǎn)，求此時(shí)線段AB的長(zhǎng).

44k

8.如圖，直線丁=一%---交1軸于點(diǎn)M,四邊形OMAE是矩形，S矩形OMAE=4,反比例函數(shù)y=—(x>0)的圖

55%

44

象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,EA的延長(zhǎng)線交直線y=不%-(于點(diǎn)D.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)若點(diǎn)B在x軸上，且AB=AD,求點(diǎn)B的坐標(biāo).

4

9.如圖，一次函數(shù)＞=履+匕的圖象與y軸的正半軸交于點(diǎn)A,與反比例函數(shù)y=—的圖像交于兩

點(diǎn).以A。為邊作正方形A3CD,點(diǎn)3落在％軸的負(fù)半軸上，已知ABOD的面積與AAOB的面積之比為

1:4.

(1)求一次函數(shù)＞=丘+匕的表達(dá)式：

(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△CPD外接圓半徑的長(zhǎng).

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt^ABC的斜邊BC在x軸上，坐標(biāo)原點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，ZABC=30°,BC

=4,雙曲線y=K經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.

x

(1)求k；

(2)直線AC與雙曲線丫=-色區(qū)在第四象限交于點(diǎn)D,求4ABD的面積.

X

11.如圖，反比例函數(shù)y=上的圖象與一次函數(shù)y=mx+n的圖象相交于A(a,-1),B(-1,3)

x

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)N(t,0)是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)K的圖象于點(diǎn)M,連接CN四邊小廊

x

>3,求t的取值范圍.

12.如圖，已知點(diǎn)A是一次函數(shù)y=2x-4的圖象與x軸的交點(diǎn)，將點(diǎn)A向上平移2個(gè)單位后所得點(diǎn)B在

某反比例函數(shù)圖象上.

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)確定該反比例函數(shù)的表達(dá)式.

13.如圖所示，直線y=k1x+b與雙曲線丫="交于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-3,直線AB與x軸

交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)D(0,-2),OA=泥，tanZAOC=l.

2

(1)求直線AB的解析式；

(2)若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，AOCP的面積是AODB的面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)直接寫出不等式hx+bW”的解集.

14.如圖，Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,點(diǎn)C(2,0),點(diǎn)B(0,4),反比例函數(shù)y=K(x>0)

X

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)將直線0A向上平移m個(gè)單位后經(jīng)過(guò)反比例函數(shù)y=K(x>0)圖象上的點(diǎn)(1,n),求m,n的值.

專題09反比例函數(shù)綜合問(wèn)題(解析版)

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=3a與x軸、V軸分別相交于A、3兩點(diǎn)，與雙曲線

1

y=8k(x>0)的一個(gè)交點(diǎn)為c,且3C=—AC.

X2

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)S,"=3時(shí)，求。和女的值.

【答案】(1)(3,0)；(2)a=-l,k=2

【解析】⑴令丁=依—3a(awO)中y=0即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

⑵過(guò)C點(diǎn)作y軸的垂線交y軸于M點(diǎn)，作x軸的垂線交x軸于N點(diǎn)，證明△BCMs^BAO,利用=工AC

2

和0A=3進(jìn)而求出CM的長(zhǎng)，再由S?oc=3求出CN的長(zhǎng)，進(jìn)而求出點(diǎn)C坐標(biāo)即可求解.

【詳解】(1)由題意得：令y=3a(awO)中y=0,

即at—3a=0,解得無(wú)=3,

.,.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),

故答案為(3,0).

(2)過(guò)C點(diǎn)作y軸的垂線交y軸于M點(diǎn)，作x軸的垂線交x軸于N點(diǎn)，如下圖所示：

顯然，CM//OA,.*.ZBCM=ZBAO,且/ABO=/CBO,

.".△BCM^ABAO,

.BCCM

代入數(shù)據(jù):

1_CM

即:/.CM=1,

又sAOC=LOA-CN=3

即：-x3xC2V=3,/.CN=2,

2

，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2),

故反比例函數(shù)的左=1x2=2,

再將點(diǎn)C(l,2)代入一次函數(shù)y=ox—3a(awO)中,

即2=。-3。，解得a=—1,

故答案為：a=-l,k=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握其圖像

性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)%=左逮+6與坐標(biāo)軸分別交于4(5,0),B[O,1)兩點(diǎn)，且與反

k5

比例函數(shù)%=上的圖象在第一象限內(nèi)交于P，K兩點(diǎn)，連接0尸，△OAP的面積為一.

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

(2)當(dāng)％〉M時(shí)，求x的取值范圍；

(3)若C為線段Q4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+KC最小時(shí)，求APKC的面積.

[526

【答案】(1)%二—H—,y=—.(2)Ovxvl或無(wú)＞4,(3)一

222x5

【解析】【分析】(1)先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線解析式，再根據(jù)△Q4P的面積為』

4

和直線解析式求出點(diǎn)P坐標(biāo)，從而可求出反比例函數(shù)解析式；

(2)聯(lián)立方程組并求解可得點(diǎn)K的坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象可得出x的取值范圍；

(3)作點(diǎn)K關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)K',連接KK',PK'交x軸于點(diǎn)C,連接KC,則PC+KC的值最小，求出

點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)S&PKC=S^KM—S/^KMC—SAPAC求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：?.?一次函數(shù)人與坐標(biāo)軸分別交于A（5,0）,兩點(diǎn),

.?.把A（5,0）,臺(tái)[。,3）代入%=左/+人得，

15匕+人=0[k]=-|

???一次函數(shù)解析式為％=—gx+g,

過(guò)點(diǎn)P作尸”_Lx軸于點(diǎn)H,

OA-5,

又，。=:,

：.-x5xPH=~

24

x=4,

???尸嗎

???P（4,；）在雙曲線上,

，“1c

左2=4x—=2,

2

,*,2=-,

X

【小問(wèn)2詳解】

15

y=——x+—

22

解：聯(lián)立方程組得，〈

2

丁二一

x

%=4

Xj—1

解得，〈1

J=2%=5

???依L2),

根據(jù)函數(shù)圖象可得，反比例函數(shù)圖象在直線上方時(shí)，有0<%<1或尤>4,

.,.當(dāng)時(shí)，求x的取值范圍為0<%<1或尤>4,

【小問(wèn)3詳解】

解：作點(diǎn)K關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)K',連接KK'交x軸于點(diǎn)M,則K'（1,-2），OM=1,

連接尸K'交x軸于點(diǎn)C,連接KC,則PC+KC的值最小,

設(shè)直線PK'的解析式為y=rrix+n,

m+n=-2

把尸(4,g,K'(l,—2)代入得，,1

24m+n=—

I2

5

m--

6

解得,

17

n二----

6

517

???直線PK'的解析式為y=yx--,

66

51717

當(dāng)y=o時(shí),±x-解得,x=—,

665

17

???C(y,O)

：.MC=OC-OM=——1=—,

55

17Q

AC=OA-OC=5—--=-

55

AM=OA-OM=5-1=4,

?c_c_c_c

a

.?口APKC~\A.KM°\KMC°APAC

1，c112cl81

=—x4x2----x——x2-----x—x—

225252

55

_6

-5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

3.已知：如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A,B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C,與x軸負(fù)

半軸交于點(diǎn)D,OB=y/5,tanZDOB=~.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)當(dāng)SAACO=時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)?

2

【答案】(1)y=—；(2)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2)

X

【解析】(1)過(guò)點(diǎn)8作夕0，》軸于點(diǎn)M,由tan/DO3=工設(shè)BM=x,M0=2x,由勾股定理求出x的值，

2

得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入即可求解；

(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,"。，則相＞0.設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+m,將B點(diǎn)坐標(biāo)代入AB的函數(shù)

m+12n?2m4-1

關(guān)系式，可得y=——x+m,令y=0得到OD=——，令一=——x+m,解得兩個(gè)x的值，A點(diǎn)的

2m+1x2

橫坐標(biāo)為‘一，由S"CO=LS.OCD列出方程求解即可.

m+12

【詳解】⑴過(guò)點(diǎn)B作物軸于點(diǎn)M,則

在Rt^MOB中tanZDOB=

MO2

設(shè)=尤＞0),則MO=2x.

又；OB=BOM。+BM2=OB-.

(2X)2+X2=(V5)2.

又?Jx＞0,

???點(diǎn)B的坐標(biāo)是(—2,—1)

...反比例的解析式為y=2.

x

(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,加)，則相＞0.設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+m.

又：點(diǎn)B(-2,-l)在直線AB上將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線解析式中,

-2k-\~TYl——1.

7m+1

二.k=------.

2

m+1

；?直線AB的解析式為：y=-^-x+m.

令y=0,則x=一一.

m+1

:.OD=^_.

m+1

.2m+1…口八2

令一二----x+m,解得%,=-2,=------.

x2m+1

經(jīng)檢驗(yàn)不％2都是原方程的解.

『1

又,**S^ACO=5§&OCD,

:.-COx=-x-COOD.

2A22

二.OD=2XA.

2m4

m+1m+1

m=2.

經(jīng)檢驗(yàn)，加=2是原方程的解.

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2).

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合、分式方程、一元二次方程和解直角三角形，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì).

4.如圖，反比例函數(shù)y=A(左力0)的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象相交于B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在第

x

四象限，BC〃x軸.

(1)求k的值；

(2)以A3、為邊作菱形A3CD,求D點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】(1)k=2；(2)D點(diǎn)坐標(biāo)為(1+2若，2).

【解析】(1)根據(jù)題意，點(diǎn)A。,。)在正比例函數(shù)y=2x上，故將點(diǎn)A(l,a)代入正比例函數(shù)y=2x中,

可求出a值，點(diǎn)A又在反比例函數(shù)圖像上，故k值可求；

(2)根據(jù)(1)中已知A點(diǎn)坐標(biāo)，則B點(diǎn)坐標(biāo)可求，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可以求出AB的長(zhǎng)，最后利用已

知條件四邊形ABCD為菱形，BC〃x,即可求出D點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】(1)根據(jù)題意，點(diǎn)A。,。)在正比例函數(shù)y=2x上，故將點(diǎn)A(l,a)代入正比例函數(shù)y=2x中,

得a=2,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2),點(diǎn)A又在反比例函數(shù)圖像上，設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=4(左H0),將

A(l,2)代入反比例函數(shù)解析中，得k=2.

故k=2.

2

(2)如圖，A、B為反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)，故可得一=2x,解得%=1,4=-1，如圖，已

知點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,2）,故點(diǎn)B坐標(biāo)為（-1,-2）,根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得AB="7167=26,根據(jù)已

知條件中四邊形ABCD為菱形，故AB=AD=2百，AD〃BC〃x軸，則點(diǎn)D坐標(biāo)為（1+2石，2）.

故點(diǎn)D坐標(biāo)為（1+2百，2）.

【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查正比例函數(shù)和反比例函數(shù)解析式，掌握求解正比例函數(shù)和反比例函數(shù)解析式

的方法以及已知解析式求點(diǎn)坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵.

（2）本題主要考查求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)、菱形性質(zhì)、兩點(diǎn)間距離公式，掌握求正比例函

數(shù)和反比例函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)、菱形性質(zhì)、兩點(diǎn)間距離公式是解答本題的關(guān)鍵.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形Q45C的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,4）.

（1）求過(guò)點(diǎn)3的反比例函數(shù)y=月的解析式；

X

（2）連接05,過(guò)點(diǎn)8作交工軸于點(diǎn)。，求直線5。的解析式.

32

【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為y=一；（2）直線的解析式為y=—2%+2。.

x

【解析】過(guò)點(diǎn)A作軸，過(guò)B作5x軸，垂足分別為E,F,如圖，

???A(3,4)

:.OE=3,AE=4

:.AO=y/OE2+AE2=5

,**四邊形0ABC是菱形，

/.AO-AB=OC=5,AB//x軸,

.?.EF=AB=5,

:.OF=OE+EF=3+5=8,

：.5(8,4),

設(shè)過(guò)B點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式為y=-

x

把B點(diǎn)坐標(biāo)代入得，k=32,

32

所以，反比例函數(shù)解析式為y=—；

x

(2)-.-OBLBD,

:.ZOBD=90°,

:.NOBF+ZDBF=90。,

■.?ZDBF+ZBDF=90°,

：.ZOBF=ZBDF,

又NOFB=NBFD=90。,

:.xOBF~ABDF,

OFBF

"~BF~~DF'

.8_4

??一,

4DF

解得，DF=2,

OD=OF+DF=8+2=10

Z>(10,0)

設(shè)BD所在直線解析式為y=kx+b,

把3(8,4),0(10,0)分別代入，得：

'Sk+b=4

lQk+b=Q

解得，LZ=”—2

b=20

：.直線BD的解析式為y=-2x+20.

【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式與一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)、反比例函數(shù)性質(zhì)，

以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.

6.如圖，一次函數(shù)y=x+5的圖象與反比例函數(shù)y=±(左為常數(shù)且左wO)的圖象相交于A(T,M,B

X

兩點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;

(2)將一次函數(shù)y=x+5的圖象沿y軸向下平移b個(gè)單位(?！?),使平移后的圖象與反比例函數(shù)y=4

x

【解析】(1)先將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的表達(dá)式可求出m的值，從而可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A的

坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的表達(dá)式即可得；

(2)先根據(jù)一次函數(shù)的圖象平移規(guī)律得出平移后的一次函數(shù)的解析式，再與反比例函數(shù)的解析式聯(lián)立，

化簡(jiǎn)可得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，然后利用方程的根的判別式求解即可得.

【詳解】(1)由題意，將點(diǎn)4—1,7”)代入一次函數(shù)y=x+5得：m=-l+5=4

kk

將點(diǎn)A(—l,4)代入y=—得：一=4,解得左二T

x-1

4

則反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-一；

x

(2)將一次函數(shù)y=%+5的圖象沿V軸向下平移辦個(gè)單位得到的一次函數(shù)的解析式為y=x+5-b

y-x+5-b

聯(lián)立(4

y二一—

IX

整理得：X2+(5-Z?)X+4=0

4

???一次函數(shù)V=x+5-b的圖象與反比例函數(shù)y=—-的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)

x

?.?關(guān)于X的一元二次方程爐+(5-切元+4=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

「?此方程的根的判別式△=(5—SY_4x4=0

解得4=1,2=9

則b的值為1或9.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合、一次函數(shù)圖象的平移、一元二次方程的根的判別式等

知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2）,將直線與雙曲線的交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的問(wèn)題是解題關(guān)鍵.

7.如圖，一次函數(shù)y=x+2的圖象與反比例函數(shù)y=K的圖象相交，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1.

X

（1）求k的值；

（2）若將一次函數(shù)y=x+2的圖象向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后所得到的圖象與反比例函數(shù)y=區(qū)的圖

x

象相交于A,B兩點(diǎn)，求此時(shí)線段AB的長(zhǎng).

【答案】見(jiàn)解析。

【解析】（1）將x=l代入y=x+l=3,故其中交點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,3）,將（1,3）代入反比例函數(shù)表達(dá)

式，即可求解；

（2）一次函數(shù)y=x+2的圖象向下平移4個(gè)單位得到y(tǒng)=x-2,一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式聯(lián)立，解方

程組求得A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理即可求解.

解：（1）將x=l代入y=x+2=3,

...交點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,3）,

將（1,3）代入y=K,

X

解得：k=lX3=3；

（2）將一次函數(shù)y=x+2的圖象向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=x-2,

y=x-2

由|3,

y=—

X

解得」x=3或1x=-l,

ly=lly=-3

AA（-1,-3）,B（3,1）,

二AB=4(3+1產(chǎn)+(1+3)2=4炳?

44k

8.如圖，直線y=-x——交x軸于點(diǎn)M,四邊形OMAE是矩形，S矩形。硼=4,反比例函數(shù)y=—(x>。)的圖

-55元

44

象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,EA的延長(zhǎng)線交直線丁=1％-g于點(diǎn)D.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)若點(diǎn)B在x軸上，且AB=AD,求點(diǎn)B的坐標(biāo).

4

【答案】(1)y=-(x>0)；(2)點(diǎn)B為&2,0),B2(4,0)

x

44_

【解析】(1)根據(jù)直線丁=W》-《可求出與x軸交點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù)S矩形OMAE=4,可以確定點(diǎn)A的坐

標(biāo)，進(jìn)而求出k的值，確定反比例函數(shù)關(guān)系式；

(2)根據(jù)一次函數(shù)的關(guān)系式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，得出AD的長(zhǎng)，于是分兩種情況進(jìn)行解答，即點(diǎn)B在點(diǎn)M的

左側(cè)和右側(cè)，由勾股定理求解即可.

44

【詳解】解：(1)求得直線丁=1％—g與》軸交點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,0),貝

而S矩形OMAE=4,BP0M?AM=4,

???AM=4,

/.A(1,4)；

???反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A(1,4),

?*.k=4,

4

???所求函數(shù)為y=一(%>0)；

(2)???點(diǎn)D在EA延長(zhǎng)線上，

?,?直線AD：y=4f

44

求得直線y=《九—《與直線y=4的交點(diǎn)坐標(biāo)為D(6,4),

???AD=5；

設(shè)B（1，0）,則BM=|%-1|,

RSABM中，AB=AD=5,AM=4,

BM=3,BP|x-l|=3,貝!]X]=-2,x2=4,

所求點(diǎn)B為&(一2,0),B2(4,0).

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)的交點(diǎn)，理解一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的意義是解決問(wèn)題的前

提，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入是常用的方法.

4

9.如圖，一次函數(shù)>=丘+6的圖象與y軸的正半軸交于點(diǎn)A,與反比例函數(shù)y=—的圖像交于P,D兩

x

點(diǎn).以A。為邊作正方形點(diǎn)3落在無(wú)軸的負(fù)半軸上，已知ABOD的面積與AAOB的面積之比為

1:4.

(1)求一次函數(shù)了=丘+。的表達(dá)式：

(2)求點(diǎn)尸的坐標(biāo)及外接圓半徑的長(zhǎng).

【答案】(1)y=—」x+4；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(±,3)；△CED外接圓半徑的長(zhǎng)為當(dāng)叵

436

【解析】⑴過(guò)D點(diǎn)作DE〃y軸交x軸于H點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作EF〃x軸交DE于E點(diǎn)，過(guò)B作BF〃y軸交EF于F

416

點(diǎn)，證明△ABFgZkDAE,D(a-)(a>0)f△50。的面積與△AQB的面積之比為1:4得到OA二一，進(jìn)

aa

iA

而得到一=。，求出A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求解;

a

⑵聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；再求出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出CP長(zhǎng)度，RtACPD

外接圓的半徑即為CP的一半.

【詳解】解：（1）過(guò)D點(diǎn)作DE〃y軸交X軸于H點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作EF〃x軸交DE于E點(diǎn)，過(guò)B作BF〃y軸交EF

于F點(diǎn)，如下圖所示：

???△5OD與△人以有公共的底邊B0,其面積之比為1:4,

??,DH:0A=l:4,

4416

設(shè)￡)(〃,一)(〃>0)，則。"=一,OA=一，OH-AE=a,

aaa

VABCD為正方形，

AAB=AD,ZBAD=90°,

AZBAF+ZEAD=90°,

VZBAF+ZFBA=90°,

NFBA=NEAD,

ZF=ZE=90°

在AABF和ADAE中：五歷仁,

AB=AD

AAABF^ADAE(AAS),

???BF=AE=OA=a

又04=3,

a

：.—=a,解得。=4（負(fù)值舍去）,

a

：.A(0,4),。(4,1),代入y=卮+b中,

,3

4-Q+bk=—

1=4“，解得4，

b=4

3

一次函數(shù)的表達(dá)式為y—1+4；

3

y-——x+44

4

⑵聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式：\

4

>=一

X

整理得到：3無(wú)2—16%+16=0，

4

解得%1=~,x2=4,

_4_

二點(diǎn)P的坐標(biāo)為(§,3)；D點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,1)

?..四邊形ABCD為正方形，

?*-DC=AD=VAE2+DE2=次+32=5，

S.PD2=(--4)2+(3-1)2=—,

39

1on325

在HfAPCD中，由勾股定理：PC2=DC2+PD2=25+—=——

99

...pc=WT3；

3

又ACPD為直角三角形，其外接圓的圓心位于斜邊PC的中點(diǎn)處，

??.△CPD外接圓的半徑為巨叵.

6

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理求線段長(zhǎng)，

本題屬于綜合題，解題的關(guān)鍵是正確求出點(diǎn)A、D兩點(diǎn)坐標(biāo).

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt/XABC的斜邊BC在x軸上，坐標(biāo)原點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，ZABC=30°,BC

=4,雙曲線y=K經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.

(1)求k；

(2)直線AC與雙曲線y=運(yùn)在第四象限交于點(diǎn)D,求4ABD的面積.

【答案】見(jiàn)解析。

【解析】(1)作AHLBC于H,求出AH的長(zhǎng)和0H的長(zhǎng)確定A點(diǎn)坐標(biāo)即可；

(2)求出直線AD的解析式，確定D點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)三角形ABD的面積等于三角形ABC面積加三角形BCD

面積即可求出.

解：(1)如圖，作AHLBC于H,

?.?Rt^ABC的斜邊BC在x軸上，坐標(biāo)原點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，ZABC=30°,BC=4,

.?.0C=%C=2,AC=BCXsin30°=2,

2

VZHAC+ZACO=90°,ZABC+ZAC0=90°，

.\ZHAC=ZABC=30°,

.".CH=ACXsin30°=1,0H=ACXcos30°=?,

二OH=OC-CH=2-1=1,

；.A(1,“)，

???雙曲線y=K經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,

X

?i一k

布

即k=?；

(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

VA(1,V3)，C(2,0),

JO=2k+b

lV3=k+b

解得卜=-/1，

Ib=2V3

直線AC的解析式為y=-退x+2近,

???直線AC與雙曲線y=-當(dāng)反在第四象限交于點(diǎn)D,

X

'y=Rlx+2y

，

y=--------

X

解得（x=3或卜=7

Iy=-V3Iy=3V3

：D在第四象限，

AD（3,一遍）,

SAABD=SAABC+SABCD=—BC*BH+ABC*（-yD）=—x4XX4'?=4近.

11.如圖，反比例函數(shù)y=K的圖象與一次函數(shù)y=mx+n的圖象相交于A(a,-1),B(-1,3)

x

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)N(t,0)是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)K的圖象于點(diǎn)M,連接CN四邊形COMN

X

>3,求t的取值范圍.

【答案】見(jiàn)解析。

【解析】(1)將點(diǎn)B,點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，可求a和k的值，利用待定系數(shù)法可求一次函

數(shù)解析式；

(2)先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，由面積關(guān)系的可求解.

解：(1)?.?反比例函數(shù)y=K的圖象與一次函數(shù)y=mx+n的圖象相交于A(a,B(-1,

x

/.k=-lX8=aX(-1),

...k=-3,a=7,

.?.點(diǎn)A(3,-1)工

X

由題意可得：,

I-l=2mtn

解得：(m=]

ln=2

二一次函數(shù)解析式為y=-x+4；

(2)?..直線AB交y軸于點(diǎn)C,

.?.點(diǎn)C(0,2),

***S四邊形C0MN=S△0MN+S△0CN=2+1■X2Xt,

23

,**S四邊形COMN>3,

.,..L+Ax2Xt>3,

24

2

12.如圖，已知點(diǎn)A是一次函數(shù)y=2x-4的圖象與x軸的交點(diǎn)，將點(diǎn)A向上平移2個(gè)單位后所得點(diǎn)B在

某反比例函數(shù)圖象上.

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)確定該反比例函數(shù)的表達(dá)式.

【答案】⑴(2,0)；(2)y=l.

x

【解析】(1)把y=0代入一次函數(shù)y=2x-4,求出x,即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)平移的性質(zhì)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)所求反比例函數(shù)解析式為y=K,將B點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可求出該

反比例函數(shù)的表達(dá)式.

解：(1)???點(diǎn)A是一次函數(shù)y=2x-4的圖象與x軸的交點(diǎn)，

???當(dāng)y=0時(shí),2x-4=0,解得x=2,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0)；

(2)將點(diǎn)A(2,0)向上平移2個(gè)單位后得點(diǎn)B(2,2).

設(shè)過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)解析式為y=K,

X

則2=K,解得k=4,

2

二該反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=l.

X

13.如圖所示，直線y=kix+b與雙曲線丫=絲交于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-3,直線AB與x軸

X

交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)D(0,-2),0卜=疾,tanZA0C=A.

(1)求直線AB的解析式；

(2)若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，△OCP的面積是AODB的面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)直接寫出不等式kix+bW絲的解集.

【答案】見(jiàn)解析。

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)A作AELx軸于E,根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理求出點(diǎn)A(-2,1),進(jìn)而求出雙曲

線的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法，即可得出結(jié)論；

(2)連接OB,PO,PC,先求出0D,進(jìn)而求出SA°DB=2,進(jìn)而得出孔?=&,再求出0C=&,設(shè)點(diǎn)P的縱

333

坐標(biāo)為n,再用SAOCP=4,求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；

3

(3)直接利用圖象即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)如圖1,

過(guò)點(diǎn)A作AE，x軸于E,

.\ZAE0=90°,

在RtZkAOE中，tanZA0C=-^=-l,

0E2

設(shè)AE=m,貝！J0E=2m,

根據(jù)勾股定理得，AE2+OE2=OA2,

/.m2+(2m)2=2,

或m