第22講 矩形、菱形 2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（廣東專(zhuān)用）

第五章四邊形第22講矩形、菱形（6~8分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一矩形的性質(zhì)與判定考點(diǎn)二矩形的折疊問(wèn)題考點(diǎn)三菱形的性質(zhì)與判定04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一矩形的性質(zhì)與判定?題型01利用矩形的性質(zhì)求角度?題型02利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)?題型03利用矩形的性質(zhì)求面積?題型04求矩形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)?題型05添加一個(gè)條件使四邊形是矩形?題型06矩形的性質(zhì)與判斷綜合問(wèn)題命題點(diǎn)二與矩形有關(guān)的折疊問(wèn)題?題型01折疊的角度問(wèn)題?題型02折疊的線段問(wèn)題?題型03折疊與其他知識(shí)的交匯命題點(diǎn)三菱形的性質(zhì)與判定?題型01利用菱形的性質(zhì)求角度?題型02利用菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)?題型03利用菱形的性質(zhì)求面積?題型04添加一個(gè)條件證明四邊形是菱形?題型05菱形的判斷和性質(zhì)綜合問(wèn)題05分層訓(xùn)練·鞏固提升基礎(chǔ)鞏固能力提升考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求考查頻次命題預(yù)測(cè)矩形的性質(zhì)與判定探索并證明矩形的性質(zhì)定理.探索并證明矩形的判定定理.10年7考矩形、菱形是特殊平行四邊形中比較重要的圖形，也是幾何圖形中難度比較大的幾個(gè)圖形之一，年年都會(huì)考查，預(yù)計(jì)2025年廣東中考還將出現(xiàn).矩形、菱形的考察類(lèi)型比較多樣，其中選擇、填空題?？疾炝庑蔚幕拘再|(zhì)，解答題中考查菱形的性質(zhì)和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動(dòng)態(tài)問(wèn)題綜合應(yīng)用的可能性比較大．矩形的折疊問(wèn)題探索并證明矩形的性質(zhì)在幾何的應(yīng)用.10年8考菱形的性質(zhì)與判定探索并證明菱形的性質(zhì)定理.探索并證明菱形的判定定理.10年8考考點(diǎn)一矩形的性質(zhì)與判定矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.矩形的性質(zhì)：1）矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2）矩形的四個(gè)角都是直角；3）對(duì)角線互相平分且相等；4）矩形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形.矩形的對(duì)稱(chēng)中心是矩形對(duì)角線的交點(diǎn)；矩形有兩條對(duì)稱(chēng)軸，矩形的對(duì)稱(chēng)軸是過(guò)矩形對(duì)邊中點(diǎn)的直線；矩形的對(duì)稱(chēng)軸過(guò)矩形的對(duì)稱(chēng)中心.【推論】1）在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半.2）直角三角形中，30度角所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半.矩形的判定：1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；

2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.【解題思路】要證明一個(gè)四邊形是矩形，首先要判斷四邊形是否為平行四邊形，若是，則需要再證明對(duì)角線相等或有一個(gè)角是直角；若不易判斷，則可通過(guò)證明有三個(gè)角是直角來(lái)直接證明．考點(diǎn)二矩形的折疊問(wèn)題矩形的折疊問(wèn)題的常用解題思路：1）對(duì)折疊前后的圖形進(jìn)行細(xì)致分析，折疊后的圖形與原圖形全等，對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等，找出各相等的邊或角；2）折痕可看作角平分線（對(duì)稱(chēng)線段所在的直線與折痕的夾角相等）．3)折痕可看作垂直平分線（互相重合的兩點(diǎn)之間的連線被折痕垂直平分）.4）選擇一個(gè)直角三角形(不找以折痕為邊長(zhǎng)的直角三角形)，利用未知數(shù)表示其它直角三角形三邊，通過(guò)勾股定理/相似三角形知識(shí)求解.模型一：思路：模型二：思路：模型三：思路：嘗試借助一線三垂直知識(shí)利用相似的方法求解模型四：思路：模型五：思路：模型六：點(diǎn)M,點(diǎn)N分別為DC，AB中點(diǎn)思路：模型七：點(diǎn)A’為BC中點(diǎn)思路：過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AE，垂足為點(diǎn)H設(shè)AE=A’E=x，則BE=8-x由勾股定理解得x=∴BE=由于△EBA’∽△A’CG∽△FD’G∴A’G=CG=GD’=DF=D’F=AH=HE=1EF=考點(diǎn)三菱形的性質(zhì)與判定菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形的性質(zhì)：1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2）四條邊都相等；3）兩條對(duì)角線互相垂直，且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.4）菱形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形，菱形的對(duì)稱(chēng)中心是菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，菱形的對(duì)稱(chēng)軸是菱形對(duì)角線所在的直線，菱形的對(duì)稱(chēng)軸過(guò)菱形的對(duì)稱(chēng)中心.菱形的判定：1）A對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.A2）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.3）四條邊相等的四邊形是菱形.【解題思路】判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，可先說(shuō)明它是平行四邊形，再說(shuō)明它的一組鄰邊相等或它的對(duì)角線互相垂直，也可直接說(shuō)明它的四條邊都相等或它的對(duì)角線互相垂直平分．菱形的面積公式：S=ah=對(duì)角線乘積的一半（其中a為邊長(zhǎng)，h為高）.菱形的周長(zhǎng)公式：周長(zhǎng)l=4a（其中a為邊長(zhǎng)）.命題點(diǎn)一矩形的性質(zhì)與判定?題型01利用矩形的性質(zhì)求角度1．（2023·廣東江門(mén)·二模）如圖，在矩形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，已知，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，證出，得出，再由三角形的外角的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角定理；證出是解題關(guān)鍵．2．（2023·廣東深圳·一模）如圖，在矩形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，已知，則的大小是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，∴，，，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)在上，當(dāng)是等邊三角形時(shí)，為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由矩形得到，繼而得到，而是等邊三角形，因此得到．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，故選：C．4．（2024·河南開(kāi)封·二模）將含角的三角板按如圖所示的方式擺放在一矩形紙片上，使得，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，根據(jù)等邊對(duì)等角，結(jié)合平行線的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及對(duì)頂角相等，求出的度數(shù)即可．【詳解】解：由題意，得：，∴，∵，∴，∵矩形，∴，∴，∴，∴；故選B．?題型02利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)5．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）在矩形中，已知，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接，若，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．3 D．5【答案】A【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，作于，則，由平行可得，結(jié)合可得，則，由勾股定理得到，再由平行得到，代入計(jì)算即可．【詳解】∵矩形中，已知，∴，，，，作于，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴，∴,∴，∵，∴,∴，∴，解得，故選：A．6．（2024·廣東廣州·三模）如圖，在矩形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，的平分線交對(duì)角線于點(diǎn)E，且，則線段的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，由矩形的性質(zhì)推出，，，得到，，判定是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得到，關(guān)鍵是得到是等邊三角形．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，，是等邊三角形，平分，，，，．故選：B．7．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了等邊三角形性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、余切的定義等知識(shí)點(diǎn)，求出是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形性質(zhì)得出，推出則有等邊三角形，即，然后運(yùn)用正弦函數(shù)即可解答．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，故A正確．故選：A．8．（2024·廣東廣州·二模）如圖，在矩形中，，，是矩形的對(duì)角線，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)E在線段上，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、正切的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)和定理成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理可得、，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，易證，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)列比例式可得，最后根據(jù)正切的定義即可解答．【詳解】解：∵在矩形中，，，∴，，∴，，∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)E在線段上，∴，，∴，∵，，∴，∴，即，解得：，∴故選B．?題型03利用矩形的性質(zhì)求面積9．（2024·甘肅天水·一模）如圖，矩形中，、相交于點(diǎn)O，若的面積是3，則矩形的面積是（

）A．6 B．12 C．15 D．18【答案】B【分析】此題考查矩形的性質(zhì)以及三角形面積；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證出是解題的關(guān)鍵．由矩形的性質(zhì)得，推出，即可求出矩形的面積．【詳解】解：四邊形是矩形，、相交于點(diǎn)，，，，，，矩形的面積為，故選：B．10．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形中，E，F(xiàn)，G，H分別在，，，上，且，，，，若矩形面積為9，則四邊形的面積為()

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】設(shè)，，根據(jù)，，，可知，，，，從而得到的面積的面積的面積的面積，再根據(jù)“矩形的面積是9”求出，從而得到四邊形的面積為．【詳解】解：設(shè)，，∵四邊形是矩形，∴，∵，，∴，又∵，，∴，，∴，∴的面積的面積的面積的面積，∴，∵矩形面積為9，∴，∴，∵的面積的面積的面積的面積，∴四邊形的面積．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)和直角三角形的面積公式，掌握矩形的面積公式及合理設(shè)未知數(shù)列方程是解題的關(guān)鍵．11．（2023·陜西渭南·二模）如圖，是矩形的對(duì)角線，延長(zhǎng)至E，使得，連接，若矩形的面積為20，則的面積為（

）

A．16 B．14 C．12 D．10【答案】C【分析】先由矩形的性質(zhì)求出，再根據(jù)求解即可．【詳解】解：∵矩形的面積為20，∴∵矩形，∴∴，即，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形的面積，得出是解題的關(guān)鍵．12．（2023·浙江湖州·一模）如圖，矩形繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到矩形，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，恰好過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)G作平行交，于M，N．若，則圖中陰影部分的面積的是（

）

A．3 B．4 C．5 D．【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出的長(zhǎng)，再運(yùn)用四邊形、是平行四邊形進(jìn)行轉(zhuǎn)換求出面積即可解答；【詳解】解：∵矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到矩形，，，，，∴四邊形是平行四邊形,，，∴四邊形是平行四邊形，，∴陰影部分的面積，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解答時(shí)需注意陰影部分面積的轉(zhuǎn)換是解答該題的重要技巧，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)．?題型04求矩形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)13．（2024·河南駐馬店·一模）如圖所示，矩形的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，對(duì)角線在第二象限的角平分線上．若矩形從圖示位置開(kāi)始繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則第2025秒時(shí)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的變化特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答，每秒旋轉(zhuǎn)，則8次一個(gè)循環(huán)，，第2025秒時(shí)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在軸正半軸上，由此可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：四邊形是矩形，，每秒旋轉(zhuǎn)，8次一個(gè)循環(huán)，，第2025秒時(shí)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在軸正半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：B．14．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）如圖，在矩形中，點(diǎn)A、B在y軸上，軸，對(duì)角線交于點(diǎn)E，，，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)C、E兩點(diǎn)，則k的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解答本題的關(guān)鍵．設(shè)，則，，根據(jù)反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)C、E兩點(diǎn)列方程求出，進(jìn)而可求出k的值．【詳解】解：設(shè)，∵，，∴，．∵矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)E，∴．∵反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)C、E兩點(diǎn)，∴，∴，∴，∴．故選C．15．（2023·河南商丘·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為矩形，點(diǎn)，分別在軸、軸上，且點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，將沿所在直線翻折，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形．根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得出，根據(jù)勾股定理求得，設(shè)，則．在中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解．【詳解】解：依題意，，由折疊的性質(zhì)，可知，，．設(shè)，則．在中，由勾股定理，得，解得．點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選B．16．（2023·河南駐馬店·二模）如圖，矩形的頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上，，，，將矩形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．首先證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．，，，，，，，，，，，，，，，矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；則第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；則第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；

則第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；發(fā)現(xiàn)規(guī)律：旋轉(zhuǎn)4次一個(gè)循環(huán)，，則第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)、規(guī)律型點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律．?題型05添加一個(gè)條件使四邊形是矩形17．（2024·廣東佛山·三模）如圖，在中，，是兩條對(duì)角線，如果添如一個(gè)條件，可推出是矩形，那么這個(gè)條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查矩形的判定．根據(jù)矩形的判定方法“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”解答即可．【詳解】解；四邊形是平行四邊形，添加，是矩形，故選：B．18．（2024·陜西西安·一模）在四邊形中，，再添加下列一個(gè)條件，能使四邊形成為矩形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了矩形的判定，根據(jù)判定解答即可．【詳解】解：，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是矩形，故選：D．19．（2024·江蘇鹽城·三模）如圖，已知平行四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，下列選項(xiàng)能使平行四邊形成為矩形的條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和菱形的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的判定方法和矩形的判定方法分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形，故此項(xiàng)不符合題意；B、由四邊形是平行四邊形，，不能判定平行四邊形為矩形，故此項(xiàng)不符合題意；C、四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是矩形，故此項(xiàng)符合題意；D、四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．20．（2024·廣東廣州·二模）在四邊形中，，，如果再添加一個(gè)條件，可得出四邊形是矩形，那么這個(gè)條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)．根據(jù)“有一個(gè)是直角的平行四邊形是矩形”可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴四邊形是平行四邊形，若添加，則該四邊形是矩形．故選：D．?題型06矩形的性質(zhì)與判斷綜合問(wèn)題21．（2025·陜西西安·一模）如圖，在中，是的角平分線，四邊形是平行四邊形，連接，，交于點(diǎn)．(1)判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；(2)判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)矩形，理由見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，三線合一以及三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，再根據(jù)等腰三角形三線合一得到，求出，證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)即可證明結(jié)論．（2）四邊形為矩形，得到，再根據(jù)是邊的中線，證明是的中位線，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：矩形，理由如下：四邊形是平行四邊形，，，，平分，是邊的中線，，，，四邊形為平行四邊形，，四邊形為矩形．（2）解：，理由如下：四邊形是矩形，，，平分，所以是邊的中線，，是的中位線，．22．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，交于點(diǎn)，連接，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)求的面積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證四邊形是平行四邊形，得，，再證，即可得證；（2）由矩形的性質(zhì)得，由勾股定理求出，即可得解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，，∴，，，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是矩形；（2）解：∵四邊形是矩形，，，∴，∴，∴，∴的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形外角的定義及性質(zhì)等知識(shí)，掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2024·吉林四平·模擬預(yù)測(cè)）某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：【觀察猜想】（1）如圖①所示，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是上的兩點(diǎn)，連接，，求證：；【類(lèi)比探究】（2）如圖（2）所示，在矩形中，，，點(diǎn)E是上的一點(diǎn)，連接，且，則的值為_(kāi)_________；【拓展延伸】（3）如圖③所示，在四邊形中，．點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)C作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若，，則的值為_(kāi)_________．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）【分析】（1）首先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，然后證明出，得到，即可；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，然后證明出，即可得到；（3）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明出，得到，然后代數(shù)求解即可．【詳解】解：（1）∵在正方形中，∴，，∴∵∴∴∴∴（2）如圖2，設(shè)與交于點(diǎn)，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴；如圖3，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，∴，∴四邊形為矩形，∴，，∴，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，證明三角形全等或相似，是解題的關(guān)鍵．24．（2024·四川雅安·模擬預(yù)測(cè)）將一長(zhǎng)方形紙片放在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，．(1)如圖1，在上取一點(diǎn)E，將沿折疊，使點(diǎn)O落在邊上的點(diǎn)D，求線段．(2)如圖2，在邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)M，F(xiàn)，將沿折疊，使點(diǎn)O落在邊上的點(diǎn)處，過(guò)點(diǎn)D，作垂直于于點(diǎn)G，交于點(diǎn)T．①求證：；②設(shè)，求y與x滿足的等量關(guān)系式，并將y用含x的代數(shù)式表示．(3)在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在直線上，問(wèn)：在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M，，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)4(2)①見(jiàn)解析；②(3)存在，或或【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可知，，，由勾股定理得，，則，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，計(jì)算求解即可；（2）①由折疊的性質(zhì)可知，，，證明，四邊形是矩形，則，，，可得，進(jìn)而可證；②由，可得，，由勾股定理得，，即，整理作答即可；（3）當(dāng)時(shí)，，即，，則，，以M，，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，如圖1，，重合；當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)，，如圖1，，重合；當(dāng)為邊，為邊時(shí)，，如圖1，，三種情況求解作答即可．【詳解】（1）解：∵長(zhǎng)方形，∴，由折疊的性質(zhì)可知，，，由勾股定理得，，∴，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，，∴線段的長(zhǎng)為4．（2）①證明：由折疊的性質(zhì)可知，，，∵，，∴，四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴，∴；②解：∵，∴，，由勾股定理得，，即，整理得，；（3）解：當(dāng)時(shí)，，∴，，∴，，∵以M，，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，如圖1，，重合，

∴，由平移的性質(zhì)可得，；當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)，，如圖1，，重合，則，由平移的性質(zhì)可得，；當(dāng)為邊，為邊時(shí)，，如圖1，，設(shè)直線的解析式為，將，代入得，，解得，，∴直線的解析式為，∴直線的解析式為，將代入得，，解得，，∴直線的解析式為，令，則，解得，，∴；綜上所述，在坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)Q，使以M，，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，Q點(diǎn)坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，平行四邊形的性質(zhì)，一次函數(shù)解析式，平移的性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，平行四邊形的性質(zhì)，一次函數(shù)解析式，平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．命題點(diǎn)二與矩形有關(guān)的折疊問(wèn)題?題型01折疊的角度問(wèn)題25．（2024·廣東云浮·一模）如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)折（點(diǎn)P在邊上，點(diǎn)E在邊上），使點(diǎn)B落在點(diǎn)，再將另一部分沿對(duì)折，使D，C分別落在，處，若比的2倍大，則的度數(shù)為（）A．42.5° B．74° C．32.5° D．34°【答案】D【分析】本題考查矩形與折疊，設(shè)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，，然后列方程解題即可．【詳解】解：設(shè)，由折疊得：，∴，由折疊得：，∴，∵比的2倍大10°，∴，解得：，∴，故選：D．26．（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，在矩形中，，點(diǎn)，分別在邊，上．連接，將四邊形沿翻折，點(diǎn)，分別落在點(diǎn)，處．則的值是（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】連接交于點(diǎn)F，設(shè)，則，利用勾股定理求得，由折疊得到，垂直平分，則，由代入求得，則，所以，于是得到問(wèn)題的答案．【詳解】解：連接交于點(diǎn)F，設(shè)，則，∵四邊形是矩形，∴，∴∵將四邊形沿翻折，點(diǎn)C，D分別落在點(diǎn)A，E處，∴點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，∴，垂直平分，∴，，，∵，∴∴，∴∴．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．27．（2024·云南紅河·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，將沿翻折得到，的對(duì)應(yīng)邊交于點(diǎn)，且，則的值為（

）

A．0.5 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合，得到是等腰直角三角形，設(shè)，則，證明，得到，進(jìn)而求出，由，即可求解．【詳解】解：在矩形中，，，由折疊的性質(zhì)得，，，是等腰直角三角形，設(shè)，，，，，，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰指甲三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，求正切值，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．28．（2024·重慶潼南·模擬預(yù)測(cè)）如圖將矩形沿對(duì)角線折疊，使落在處，交于點(diǎn)，若，則可以表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，由矩形的性質(zhì)推出，由折疊的性質(zhì)得到，求出，即可得到的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，由折疊的性質(zhì)得到，∵，∴，∴．故選：C．?題型02折疊的線段問(wèn)題29．（2024·貴州安順·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，把這個(gè)矩形沿折疊后，使點(diǎn)D恰好落在點(diǎn)B處，若，，則折痕的長(zhǎng)為（）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)可得，根據(jù)平角定義可得，可得，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，即可證明是等邊三角形，利用的余弦求出的長(zhǎng)即可得答案．根據(jù)折疊性質(zhì)得出是等邊三角形是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵把這個(gè)矩形沿折疊后，使點(diǎn)恰好落在點(diǎn)處，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的翻折變換、等邊三角形的判定及性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵.30．（2024·江蘇連云港·三模）如圖，在矩形紙片中，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，將沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處，則長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查翻折變換（折疊問(wèn)題），矩形的性質(zhì)，勾股定理．由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得：，則，；在中，由勾股定理可得，則；設(shè)，則，在中，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：是由沿直線翻折得到，，則，．四邊形是矩形，，，．在中，，．設(shè)，則，，在中，，，解得：．則．故選：C．31．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片沿，折疊，頂點(diǎn)，，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，，點(diǎn)與重合，點(diǎn)恰與，的交點(diǎn)重合．若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由折疊及矩形的性質(zhì)得：，，，再證，得，又證四邊形是矩形，得，進(jìn)而利用勾股定理求得于是利用得求解即可得解?！驹斀狻拷猓哼^(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意得：，，，，，∴，∴，∵四邊形是長(zhǎng)方形，∴，∴四邊形是矩形，，∴由折疊可得∴∴∵∴∴∴∵∴∴∴故選．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．32．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，E是的中點(diǎn)，將沿折疊后得到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．若，，則的長(zhǎng)為（

）A．7 B．8 C． D．【答案】C【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，連接，判斷出，得出，進(jìn)而求出，最后利用勾股定理求出．【詳解】解：如圖，連接，四邊形是矩形，，，由折疊知，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，∵，，，在中，，故選：C．?題型03折疊與其他知識(shí)的交匯33．（2024·廣東清遠(yuǎn)·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐主題：用折紙折出特殊角素材：一張矩形紙片．步驟1：如圖1，對(duì)折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；步驟2：如圖2，再一次折疊紙片，使點(diǎn)D落在上的點(diǎn)處，折痕為．(1)直接寫(xiě)出的度數(shù)；(2)證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．【答案】(1)；(2)，證明見(jiàn)解析．【分析】此題考查了折疊的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)．（1）根據(jù)題意寫(xiě)出答案即可；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)進(jìn)行證明即可．【詳解】（1）解：由題意可得，；（2）解：證明：由折疊的性質(zhì)可知，，，∴∴，∴∴．34．（2024·廣東揭陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】數(shù)學(xué)課上，某興趣小組對(duì)“矩形的折疊”作了如下探究．將矩形紙片先沿折疊．（1）如圖1，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，折痕與邊分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．四邊形的形狀為，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如圖2，若點(diǎn)F為的中點(diǎn)，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)P．求與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【深入探究】（3）如圖3，若，，，連接，當(dāng)點(diǎn)E為的三等分點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出的值．的值．【答案】（1）菱形，理由見(jiàn)解析；（2）與的數(shù)量關(guān)系為：，理由見(jiàn)解析；（3）的值為或【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)菱形的判定即可得；（2）連接，證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得；（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，且時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，且時(shí)，利用折疊的性質(zhì)和勾股定理求解即可得．【詳解】解：（1）四邊形為菱形，理由如下：∵四邊形是矩形，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，∴四邊形是平行四邊形，又，∴平行四邊形為菱形，故答案為：菱形；（2）與的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：如圖2，連接PF，∵F為的中點(diǎn)，，∵四邊形是矩形，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，在和Rt△PBF中，，，；（3）分兩種情況：①如圖3，若點(diǎn)E為的三等分點(diǎn)，且，，，，∵四邊形是矩形，，，過(guò)點(diǎn)E作于M，則四邊形為矩形，，，，，在中，由勾股定理得：，由折疊的性質(zhì)得：，，，在中，由勾股定理得：，；②如圖4，若點(diǎn)E為的三等分點(diǎn)，且，則，，過(guò)點(diǎn)E作于N，則，同理可得：，，在中，，由折疊的性質(zhì)得：，，，在中，由勾股定理得：，，綜上所述，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊問(wèn)題、勾股定理、三角形全等的判定與性質(zhì)、菱形的判定等知識(shí)，較難的是題（3），正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．35．（2024·山西長(zhǎng)治·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐：【問(wèn)題情境】某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)完《平行四邊形》之后，研究了新人教版數(shù)學(xué)教材第64頁(yè)的數(shù)學(xué)活動(dòng)1．其內(nèi)容如下：如果我們身旁沒(méi)有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法（如圖1）；（1）對(duì)折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平．（2）再一次折疊紙片，使點(diǎn)落在上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得到折痕．同時(shí)，得到了線段．【知識(shí)運(yùn)用】請(qǐng)根據(jù)上述過(guò)程完成下列問(wèn)題：（1）已知矩形紙片，，，求線段的長(zhǎng)；（2）通過(guò)觀察猜測(cè)的度數(shù)是多少？并進(jìn)行證明；【綜合提升】（3）樂(lè)樂(lè)在探究活動(dòng)的第（2）步基礎(chǔ)上再次動(dòng)手操作（如圖2），將延長(zhǎng)交于點(diǎn)．將沿折疊，點(diǎn)剛好落在邊上點(diǎn)處，連接，把紙片再次展平．請(qǐng)判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2），證明見(jiàn)解析；（3）四邊形為菱形，理由見(jiàn)解析．【分析】本題考查平行四邊形，菱形，勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的運(yùn)用，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，即可．（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，則，根據(jù)勾股定理，即可求出；（2）連接，根據(jù)折疊的性質(zhì)，則，為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可；（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)，則，，根據(jù)三線合一，則，根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)，即可．【詳解】解：（1）∵四邊形為矩形，∴，∵，，∴；（2）猜測(cè)：，證明：連接：∵為折痕，∴垂直平分，∴，∵由折疊所得，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∴；（3）四邊形為菱形，理由：∵由折疊所得，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵將沿折疊，點(diǎn)剛好落在邊上點(diǎn)處，連接，∴，，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形．36．（2024·湖北襄陽(yáng)·一模）某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展矩形的折疊實(shí)驗(yàn)探究，折疊矩形的一邊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好在邊上時(shí)，證明：．(2)將矩形的邊折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)恰好在邊上時(shí)，若，連接，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．②如圖3，當(dāng)點(diǎn)在矩形內(nèi)部時(shí)，若．點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①為等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析；②【分析】（1）由題意可得，推出即可求證；（2）①由題意可得是等腰直角三角形，進(jìn)一步得是等腰直角三角形；證即可求證；②延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，可證；設(shè)，則，根據(jù)解得：；設(shè)，則，根據(jù)解得：；據(jù)此即可求解．【詳解】（1）證明：由題意可得：∴∴∵∴（2）解：①為等腰直角三角形，理由如下：由題意得：∴∴是等腰直角三角形∵∴是等腰直角三角形∴由（1）得：∵∴∴是等腰直角三角形∴∴∴∴∴∵∴為等腰直角三角形②延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，如圖所示：由題意得：，，∴∵∴設(shè)，則∵∴解得：；∴設(shè)，則∵∴解得：；∴【點(diǎn)睛】本題考查了幾何綜合問(wèn)題，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)幾何結(jié)論是解題關(guān)鍵．命題點(diǎn)三菱形的性質(zhì)與判定?題型01利用菱形的性質(zhì)求角度37．（2024·廣東·二模）如圖，四邊形為平行四邊形，四邊形為菱形，與交于點(diǎn)G，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查平行四邊形和菱形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形為菱形，∴，又∵為平行四邊形，∴，∴，故選A．38．（2022·廣東深圳·二模）如圖，在菱形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，E為中點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A．70° B．65° C．55° D．35°【答案】C【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出∠BAC的度數(shù)，再證OE是△ABC的中位線即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，，∴∠BAD=180°-∠ABC=110°，∴∠BAC=55°，∵E是BC的中點(diǎn)，∴OE是△ABC的中位線，∴，∴∠COE=∠BAC=55°，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理，菱形的性質(zhì)，熟知菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．39．（2021·廣東廣州·二模）如圖，把菱形沿折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，若，則的大小為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，已知菱形的對(duì)角相等，故推出，從而得出．又因?yàn)?，故，，易得解．【詳解】解：根?jù)菱形的對(duì)角相等得．，．根據(jù)折疊得．，，．．故選：A．【點(diǎn)睛】此題要熟練運(yùn)用菱形的性質(zhì)得到有關(guān)角和邊之間的關(guān)系．在計(jì)算的過(guò)程中，綜合運(yùn)用了等邊對(duì)等角、三角形的內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)．注意：折疊的過(guò)程中，重合的邊和重合的角相等．40．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，的垂直平分線交對(duì)角線于點(diǎn)，點(diǎn)為垂足，連接．若，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查全等三角形的判定條件，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)．熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．利用判定，從而得到，根據(jù)已知可求得的度數(shù)，即可求出．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，，，在和中，，，，垂直平分，，，，∴，．故選：C．?題型02利用菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)41．（2025·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為菱形的對(duì)角線，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的面積公式，關(guān)鍵是根據(jù)含直角三角形性質(zhì)求得，由菱形的性質(zhì)得出即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，且平分，∵，∴∵，∴，在中，∴，即，故選：B．42．（2025·廣東廣州·一模）如圖，菱形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接．若，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)和三角形的中位線性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．先根據(jù)菱形性質(zhì)得到，，，再利用勾股定理求得，然后根據(jù)三角形的中位線定理求解即可．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，∴，，，在中，，∵點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，，∴是的中位線，∴，故選：C．43．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，，是上一點(diǎn)，把四邊形沿折疊后得到四邊形，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B．3 C． D．【答案】D【分析】本題考查折疊，菱形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵；根據(jù)題意，連接，延長(zhǎng)到于點(diǎn)，延長(zhǎng)到于點(diǎn)，證明為正方形，根據(jù)三角函數(shù)求出，的長(zhǎng)度，即可求解；【詳解】解：連接，延長(zhǎng)到于點(diǎn)，延長(zhǎng)到于點(diǎn)，

因?yàn)樗倪呅窝卣郫B后得到四邊形，，，為正方形，，，，，，，故選：D44．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，點(diǎn)M和N分別是和上一點(diǎn)，沿將折疊，點(diǎn)A恰好落在邊的中點(diǎn)E上．若，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C．3 D．【答案】B【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、角的直角三角形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)等知識(shí)．過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)F．求出．則，．設(shè)，則，，，．根據(jù)勾股定理，得，即，解得，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)F．

∵四邊形是菱形，∴∵，∴．∴．∴，．設(shè)，則，，，．根據(jù)勾股定理，得，即，解得，∴．故選：B．?題型03利用菱形的性質(zhì)求面積45．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知菱形的周長(zhǎng)為40，對(duì)角線交于點(diǎn)O，且，則該菱形的面積等于（

）A．24 B．56 C．96 D．48【答案】C【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理，先根據(jù)菱形的周長(zhǎng)求出邊長(zhǎng)，再根據(jù)得出，根據(jù)勾股定理得出，進(jìn)一步得出的值，最后根據(jù)菱形的面積得出答案即可，掌握利用菱形的性質(zhì)、勾股定理得出的值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是菱形，周長(zhǎng)為40，對(duì)角線、交于點(diǎn)，∴，，，，∵，∴，∵，∴，∴，∵菱形的面積，故選：C．46．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，四邊形是菱形，，，于點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而得出，進(jìn)而根據(jù)等面積法，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，，∴，，，在中，，∴，∵菱形的面積為，∴，故選：A．47．（2024·陜西西安·三模）如圖，菱形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，連接，若，則為（

）A．6 B．8 C．12 D．24【答案】D【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)可知，由，可得，從而即可求菱形的面積．【詳解】解：∵是菱形，∴，，又∵，∴，∴，故選D48．（2023·廣東陽(yáng)江·一模）如圖，在菱形中，是菱形的對(duì)角線，，，連接，若，則的值為（

）

A．1 B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠出證明．先通過(guò)證明，得到，，得到，繼而得到，得到，結(jié)合以及得到，進(jìn)而得解．【詳解】如圖，連接．

在菱形中，，，．∵，∴，∴∵，∴，∴，∴，，∴．∵，∴．在菱形中，，∴，∴，∴．設(shè)，則，，∴．∵，，，∴，∴，∴．故選D．?題型04添加一個(gè)條件證明四邊形是菱形49．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，的對(duì)角線，交于點(diǎn)，以下條件不能證明是菱形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定．根據(jù)菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴是菱形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴∴，∴是菱形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、∵，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴是菱形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∵，∴，無(wú)法得到是菱形，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D50．（2024·河北滄州·二模）如圖，四邊形是平行四邊形，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，添加下列一個(gè)條件后，不能判定四邊形是菱形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了菱形的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)菱形的判定方法分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判定，即可得出結(jié)論，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，平行四邊形是菱形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、當(dāng)時(shí)，平行四邊形是菱形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、四邊形是平行四邊形，，，，平行四邊形是矩形，故C符合題意；D、四邊形是平行四邊形，，，平行四邊形是菱形，故選項(xiàng)D不符合題意，故選：C．51．（2024·安徽宿州·二模）如圖，的對(duì)角線交于點(diǎn)O，添加下列條件不能判斷四邊形是菱形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，對(duì)于A、B可以通過(guò)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合等邊對(duì)等角證明一組鄰邊相等；對(duì)于C可根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明一組鄰邊相等；對(duì)于D，無(wú)法證明四邊形是菱形．【詳解】解：A、∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是菱形，故A不符合題意；B、當(dāng)添加時(shí)，同理可證明四邊形是菱形，故B不符合題意；C、∵，∴，∴四邊形是菱形，故C不符合題意；D、添加不能證明四邊形是菱形，故D不符合題意；故選：D．52．（2024·上海徐匯·二模）如圖，的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，如果添加一個(gè)條件使得是矩形，那么下列添加的條件中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了矩形的判定，菱形的判定，根據(jù)判定定理逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】∵，∴，∴，∴平行四邊形是菱形．則A不符合題意；∵，∴，∴平行四邊形是菱形．則B不符合題意；∵，∴．∵，∴，∴，∴平行四邊形是菱形．則C不符合題意；∵，∴．∵，∴，∴平行四邊形是矩形．則D正確．故選：D．?題型05菱形的判斷和性質(zhì)綜合問(wèn)題53．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形中，．點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），關(guān)于的軸對(duì)稱(chēng)圖形為．(1)當(dāng)時(shí)，試判斷線段和線段的數(shù)量和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，為的外接圓，設(shè)的半徑為．①求的取值范圍；②連接，直線能否與相切？如果能，求的長(zhǎng)度；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)①且；②能，【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得，，再結(jié)合軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）①如圖，設(shè)的外接圓為，連接交于．連接，，，，證明為等邊三角形，共圓，，在上，，過(guò)作于，當(dāng)時(shí)，最小，則最小，再進(jìn)一步可得答案；②如圖，以為圓心，為半徑畫(huà)圓，可得在上，延長(zhǎng)與交于，連接，證明，可得，為等邊三角形，證明，可得：，，過(guò)作于，再進(jìn)一步可得答案．【詳解】（1）解：，；理由如下：∵在菱形中，，∴，，∵，∴，∴，由對(duì)折可得：，∴；（2）解：①如圖，設(shè)的外接圓為，連接交于．連接，，，，∵四邊形為菱形，，∴，，，∴為等邊三角形，∴，∴共圓，，在上，∵，∴，過(guò)作于，∴，，∴，當(dāng)時(shí)，最小，則最小，∵，，∴，∴；點(diǎn)E不與B、C重合，，且，∴的取值范圍為且；②能為的切線，理由如下：如圖，以為圓心，為半徑畫(huà)圓，∵，∴在上，延長(zhǎng)與交于，連接，同理可得為等邊三角形，∴，∴，∴，∵為的切線，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，由對(duì)折可得：，，過(guò)作于，∴設(shè)，∵，∴，∴，解得：，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，切線的性質(zhì)，本題難度很大，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．54．（2024·廣東珠?！と＃┤鐖D，在菱形中，于H，以為直徑的分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接．(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若，求．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)【分析】本題考查了切線的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，菱形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，根據(jù)，可得，進(jìn)而即可得證；（2）連接，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等得出，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得出，進(jìn)而可得，再根據(jù)，得到，，即可得證；（3）連接交于點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及勾股定理求得，再利用面積法求得，利用勾股定理求得，證明，，由此可求解．【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，，，，，即，又是的半徑的外端點(diǎn)，是的切線．（2）連接如圖所示，，，為直徑，，，，則，，，又，，，，，（3）連接交于點(diǎn)，四邊形是菱形，，，，，，，菱形的面積，，，在中，，第（2）問(wèn)已證，又，，，．55．（2023·甘肅蘭州·中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，直線是線段的垂直平分線，分別交于點(diǎn)F，G，連接．

(1)判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)四邊形是菱形，理由見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）證明和是等邊三角形，即可推出四邊形是菱形；（2）利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得和的長(zhǎng)，利用菱形的性質(zhì)得到，在中，解直角三角形求得的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，理由如下，∵矩形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，∴，∵直線是線段的垂直平分線，∴，，∴，即是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：∵直線是線段的垂直平分線，且，∴，，由（1）得四邊形是菱形，∴，在中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，線段垂直平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．56（2023·廣東惠州·二模）如圖，把矩形沿折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，連接．

(1)試判斷四邊形的形狀，并加以證明；(2)連接交于點(diǎn)，求證：；(3)在（2）的條件下，若，，求的值．【答案】(1)平行四邊形是菱形，證明見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，再由平行線的性質(zhì)及各角之間的關(guān)系得出，結(jié)合菱形的判定證明即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，再由相似三角形的判定和性質(zhì)即可證明；（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，，設(shè)，則，，根據(jù)（2）中結(jié)果求解即可．【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，證明如下：由折疊重合可知，，∵，∴而，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形是菱形．（2）∵四邊形是菱形，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，又∵，∴，∴，∴（3）∵四邊形是菱形，∴，，，設(shè)，則，，由（2）得：，∴，解得，（不合題意，舍去），∴．【點(diǎn)睛】題目主要考查矩形、菱形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．基礎(chǔ)鞏固單選題1．（2024·廣東佛山·二模）如圖，矩形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)O．若，，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B． C．6 D．【答案】B【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，進(jìn)一步得出，在中利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，，，是等邊三角形，，，，故選：B．2．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，，．若，則四邊形的周長(zhǎng)是（）

A．5 B．10 C．20 D．40【答案】C【分析】先證明四邊形是平行四邊形，可得，，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得，，，進(jìn)而得出平行四邊形是菱形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，.∵矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，∴，，，∴，∴，∴平行四邊形是菱形，∴菱形的周長(zhǎng).故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定等，靈活選擇判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023·廣東汕頭·一模）如圖，將直角三角板放置在矩形紙片上，若，則的度數(shù)為（）A．55° B．45° C．35° D．30°【答案】A【分析】延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，則．【詳解】解：延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，依題意可知：，∴，，∵，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，以及三角形的內(nèi)角和為．4．（2024·浙江杭州·二模）如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O．若，則（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，先證是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求解．【詳解】解：四邊形是菱形，，，，，∵，∴是等邊三角形，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得：，∴，，故選：C．二、填空題5．（2024·廣東梅州·一模）如圖①是某種型號(hào)拉桿箱的實(shí)物圖，如圖②是它的幾何示意圖，行李箱的側(cè)面可看成一個(gè)矩形，C、D在同一直線上，，現(xiàn)將調(diào)整為，保持不變，則圖中應(yīng)為．【答案】50【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，角度的計(jì)算，根據(jù)題意找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．由三角形外角的性質(zhì)，得到，再結(jié)合，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，°，∴，∵行李箱的側(cè)面可看成一個(gè)矩形，∴，∴．故答案為：50．6．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)是矩形的對(duì)角線的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理．先求出，后求，然后用勾股定理求即可．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，為的中點(diǎn)，，是的中點(diǎn)，是的中位線，，，，，，，為的中點(diǎn)，．故答案為：．7．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在菱形中，以點(diǎn)B為圓心，一定長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q．若，則．【答案】【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，作角平分線，由作圖步驟可得平分，由菱形的性質(zhì)求出的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的外角求即可．【詳解】∵菱形，∴，，∵，∴，∴，由作圖步驟可得平分，∴，∴，故答案為：．8．（2024·廣東肇慶·二模）如圖，菱形中，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理；根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，勾股定理求得，即可求解．【詳解】解：菱形中，，∴，∴∴，故答案為：．三、解答題9．（2023·湖北隨州·中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)求得，然后根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形分析推理；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)求得的面積，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)求解．【詳解】（1）解：∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵矩形中，，∴平行四邊形是菱形；（2）解：矩形的面積為，∴的面積為，∴菱形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、菱形的判定，屬于中考基礎(chǔ)題，掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定方法，正確推理論證是解題關(guān)鍵．10．（2023·廣東佛山·三模）如圖，在矩形中，，．將沿所在直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，與邊交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．(1)求證：四邊形是菱形；(2)求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）易證：四邊形是平行四邊形，再證，即可求證；（2）設(shè)，可求，，由即可求解．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是平行四邊形，由翻折得：，，，四邊形是菱形．（2）解：四邊形是平行四邊形，，，，設(shè)，，，，在中，，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，菱形的判定，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11（2022·廣東深圳·一模）如圖，已知矩形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求矩形的面積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)12【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得，欲求，證即可．通過(guò)已知條件求出四邊形為就可以證明．（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出長(zhǎng)度，利用銳角三角函數(shù)求得長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出長(zhǎng)度，根據(jù)矩形的面積公式求出面積．【詳解】（1）證明：在矩形中，又四邊形為，又為矩形，，，故；（2）為矩形，，，，，，在中，，，在中，，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)和三角函數(shù)余弦值，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定．本題中是否能熟練掌握矩形的特殊性質(zhì)、能否通過(guò)等腰三角形的求出長(zhǎng)度以及是否能掌握余弦值的定義是解題的關(guān)鍵，本題難度不大，但綜合性較強(qiáng)．能力提升一、單選題1．（2024·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，E是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)F，如果，那么菱形的周長(zhǎng)為（

）

A．4 B．8 C．12 D．16【答案】D【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，菱形的周長(zhǎng)公式，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)中位線可得長(zhǎng)為長(zhǎng)的倍，那么菱形的周長(zhǎng)，問(wèn)題得解．【詳解】解：∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，即，∴是的中位線，∴，∴菱形的周長(zhǎng)是，故選：D．2．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，一種活動(dòng)衣帽架由三個(gè)相同菱形組成，調(diào)整菱形的內(nèi)角，可使衣帽架拉伸或收縮．若菱形的邊長(zhǎng)為10，，則的長(zhǎng)為（

）A．30 B．40 C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．連接，則點(diǎn)、在上，且，結(jié)合菱形的性質(zhì)可得，，然后利用勾股定理解得的值，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，連接，則點(diǎn)、在上，且，∵四邊形為菱形，邊長(zhǎng)為10，，∴，，∴，∴．故選：C．3．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知菱形的頂點(diǎn)，若菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)，則第20秒時(shí)，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查坐標(biāo)的變化規(guī)律、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識(shí)，找到每旋轉(zhuǎn)8秒，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)就回到原來(lái)的位置由得到第20秒時(shí)是把菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了2周回到原來(lái)位置后，又旋轉(zhuǎn)了4秒，即又旋轉(zhuǎn)了，即可可求出答案.【詳解】解：菱形的頂點(diǎn)，與軸的夾角為∵菱形的對(duì)角線互相垂直平分，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是∵菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)∴每旋轉(zhuǎn)8秒，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)就回到原來(lái)的位置∵∴第20秒時(shí)是把菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了2周回到原來(lái)位置后，又旋轉(zhuǎn)了4秒，即又旋轉(zhuǎn)了，∴點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第三象限，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，第20秒時(shí)，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：B4．（2024·廣東深圳·三模）如圖，要使成為菱形，下列添加條件正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、矩形的判定進(jìn)行逐一判定即可求解．【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，是矩形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、當(dāng)時(shí)，∵四邊形是平行四邊形，∴與互相平分，∴，∴是菱形，故此選項(xiàng)正確；C、當(dāng)時(shí)，是矩形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、當(dāng)時(shí)，不能證明是菱形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、矩形的判定，熟練掌握菱形的判定是解題的關(guān)鍵．5．（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)E在矩形的邊上，將矩形沿翻折，點(diǎn)B恰好落在邊的點(diǎn)F處，如果，那么的值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查翻折的性質(zhì)，矩形、等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)翻折的性質(zhì)得出，，，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，設(shè)，求出，，，進(jìn)一步可得結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形為矩形，，．∵將矩形沿翻折，，，．，，．，，．設(shè)，在中，，，．．故選：B．6．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，有兩個(gè)全等的矩形和矩形重合擺放，將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，的長(zhǎng)為2，的長(zhǎng)為4，當(dāng)取最小時(shí)，的長(zhǎng)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、垂線段最短、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，確定何時(shí)取最小值是解題關(guān)鍵．連接，由“垂線段最短”的性質(zhì)可知當(dāng)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取最小值，此時(shí)連接，易得，再證明點(diǎn)與點(diǎn)重合，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，連接，∵四邊形與四邊形均為矩形且全等，且，，∴，，，∴矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則當(dāng)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取最小值，如下圖，連接，此時(shí)，∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴．故選：B．二、填空題7．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接，則的面積是【答案】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，利用勾股定理求出，證明，得到，求出，求出，再根據(jù)點(diǎn)O是中點(diǎn)，即可求解．【詳解】解：菱形中，兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，，，，，，，，，，點(diǎn)O是中點(diǎn)，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2024·廣東汕頭·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有菱形，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，則最小值為．【答案】【分析】本題主要考查坐標(biāo)與圖形，軸對(duì)稱(chēng)最短問(wèn)題、菱形的性質(zhì)、勾股定理，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱(chēng)解決最短問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．如圖，連接，．利用勾股定理求出，證明，可得，由此即可解答．【詳解】解：如圖，連接，．，，，四邊形是菱形，點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，，，的最小值為．故答案為：．9．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在長(zhǎng)方形中，，以點(diǎn)D為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線段延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為邊上一點(diǎn)，若，連接，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）．【答案】【分析】本題考查了扇形的面積的計(jì)算及長(zhǎng)方形的性質(zhì)，明確是解答本題的關(guān)鍵．用長(zhǎng)方形的面積加上扇形的面積減去三角形的面積即可求得陰影部分的面積．【詳解】解：在長(zhǎng)方形中，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：10．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，其對(duì)角線、相交于點(diǎn)，四邊形為正方形，直線和相交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法中，正確的有（填序號(hào)）．①；②為等腰直角三角形；③若正方形的面積為4，則長(zhǎng)度的最小值為；④若三點(diǎn)共線，則．

【答案】①②③【分析】根據(jù)四邊形是矩形，四邊形為正方形，得出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明，故①正確；結(jié)合①得出，即可證明為等腰直角三角形，故②正確；連接，若正方形的面積為4，則，在中，勾股定理求出，在中，根據(jù)，即可判斷③正確；若三點(diǎn)共線，則在中，得出，根據(jù)正弦定義即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵四邊形為正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故①正確；∴，∴，又∵，∴為等腰直角三角形，故②正確；連接，

若正方形的面積為4，則，在中，，在中，，則長(zhǎng)度的最小值為，故③正確；若三點(diǎn)共線，則在中，，∴，故④錯(cuò)誤；故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】該題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的判定，三角形三邊關(guān)系應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．三、解答題11．（2024·廣東廣州·二模）如圖，在菱形中，，

(1)連接，求的值；(2)點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從B點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從D點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)達(dá)到終點(diǎn)，另外一點(diǎn)隨之停止運(yùn)