第七章 計(jì)數(shù)原理（知識(shí)歸納題型突破）（17題型清單）（原卷版）

第七章計(jì)數(shù)原理（17題型清單）

01思維導(dǎo)圖

T排列概念）

T排列）一

排列數(shù)公式

nI

K=n(n-1)(n—2)??+1)=

兩個(gè)計(jì)

數(shù)原理

T組合概念］

T組合］—

計(jì)組合數(shù)公式

數(shù)C"，_AR_n(n-l)(n-2)---(n-m+1)

\in-----------------------應(yīng)

原j?一

Cmm1m!("-m)!

理用

通項(xiàng)

T*+尸

二項(xiàng)式二項(xiàng)展

定理開(kāi)式T對(duì)稱性）—

T二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)｝T增減性與最大值）—

T各二項(xiàng)式系數(shù)的和）—

02知識(shí)速記

知識(shí)點(diǎn)01：分類加法計(jì)數(shù)原理

（1）定義：完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有〃種不同的

方法,那么完成這件事共有N=+〃種不同的方法.

（2）推廣：如果完成一件事情有"類不同方案,在第1類方案中有嗎種不同的方法,在第2類方案中有,4

種不同的方法,……在第〃類方案中有乙種不同的方法,那么完成這件事共有N=〃0+7%+…種不同

的方法.

知識(shí)點(diǎn)02：分步乘法計(jì)數(shù)原理

（1）定義：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有加種不同的方法，做第2步有“種不同的方法，那么完成

這件事共有N=種不同的方法.

（2）推廣：完成一件事需要〃個(gè)步驟，做第1步有㈣種不同的方法，做第2步有也種不同的方法,……做

第,步有mn種不同的方法,則完成這件事共有N=班?根2……mn種不同的方法.

知識(shí)點(diǎn)03：排列

（1）定義：一般地，從幾個(gè)不同元素中取出（加<〃）個(gè)元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從〃個(gè)不

同元素中取出加個(gè)元素的一個(gè)排列.

（2）相同排列：兩個(gè)排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.

知識(shí)點(diǎn)04：排列數(shù)與排列數(shù)公式

（1）定義：從〃個(gè)不同元素中取出加（加W”）個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫做從〃個(gè)不同元素中取出

m個(gè)元素的排列數(shù),用符號(hào)表示.

（2）排列數(shù)公式

①（連乘形式）：4"=〃（〃一1）（〃一2）（"-3）…（〃一〃2+1）,n,m&N,m<n

〃！

②（階乘形式）A：=7----n,m&N,m<n

（3）全排列：把〃個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列，叫做幾個(gè)元素的一個(gè)全排列,用符號(hào)A；表示.

4=〃!="（〃—1）5—2）…2」

（4）階乘：正整數(shù)1到”的連乘積，叫做”的階乘，用符號(hào)加表示.

知識(shí)點(diǎn)05：組合

（1）定義：一般地：從〃個(gè)不同的元素中取出加（mW〃）個(gè)元素作為一組，叫做從“個(gè)不同元素中取出加

個(gè)元素的一個(gè)組合.

（2）相同組合：只要兩個(gè)組合的元素相同，無(wú)論元素的順序如何，都是相同的組合.

（3）組合與排列的異同

相同點(diǎn):組合與排列都是"從“個(gè)不同的元素中取出加（加《〃）個(gè)元素”.

不同點(diǎn):組合要求元素“不管元素的順序合成一組”，而排列要求元素“按照一定的順序排成一列”因此區(qū)

分某一問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題,關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)，即交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)

果有沒(méi)有影響，若有影響，則是排列問(wèn)題，若無(wú)影響，則是組合問(wèn)題.

知識(shí)點(diǎn)06：組合數(shù)與組合數(shù)公式

（1）組合數(shù)的定義：從〃個(gè)不同元素中取出用（加W"）個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從〃個(gè)不同元

素中取出加個(gè)元素的組合數(shù),用符號(hào)C：表示.

（2）組合數(shù)公式

_然_n(n-l)(n-2)---(n-m+1)〃!

或：C：=---:一-(n,meN,m<n).

4：ml

規(guī)定：C：=1

知識(shí)點(diǎn)07：組合數(shù)的性質(zhì)

（1）性質(zhì)1：c；"=CT"

(2)性質(zhì)2：C：；i=C：+C：T

知識(shí)點(diǎn)08：知識(shí)鏈接

(1)(<7+Z?)2=<7+2ab+b~—C；。-+C；ab+C^b~

(2)(a+bp=/+3a~b+3ab~—C；/+C；a2b+C^cib~+

知識(shí)點(diǎn)09：二項(xiàng)式定理及相關(guān)概念

(1)二項(xiàng)式定理

一般地，對(duì)于每個(gè)左(左=0,1,2,…〃)，(a+力”的展開(kāi)式中能力?共有或個(gè)，將它們合并同類項(xiàng)，

就可以得到二項(xiàng)展開(kāi)式：(a+為"=C,%?°++C：(T2b2+…+c；；an-rbr+■■■+C：a%”

(“eN*).這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理.

(2)二項(xiàng)展開(kāi)式

公式中：(a+b)n=Cyb°+《"一歸+C；4-2b2+…+加+…+,：eN*等號(hào)右邊的

多項(xiàng)式叫做(a+by的二項(xiàng)展開(kāi)式.

(3)二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)

二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C；(左=0,1,2,…〃)，項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分,包含符

號(hào)等.

(4)二項(xiàng)式定理的三種常見(jiàn)變形

①(a—b)"=C°anb°+(-1)1Cy^b'+C；an-^+.??+(~V)rC[an-rbr+.?.+(-1)"C；a°bn

②(1+x)"=d+C：x+C*2+…+c：/+…+

③(1一x)〃=C：+(—1)1C>+cy+...+(-l)rCX+---+(T)"C：x"

知識(shí)點(diǎn)10：二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)

二項(xiàng)展開(kāi)式中的(左=0/,2,…〃)叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用。+1表示,即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第

左+1項(xiàng)：9+1=。,:優(yōu)”/.通項(xiàng)體現(xiàn)了二項(xiàng)展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律，是二項(xiàng)式定理的核心，

它在求展開(kāi)式的某些特定項(xiàng)(如含指定塞的項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)、中間項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等)及其系數(shù)等方面

有著廣泛的應(yīng)用.

知識(shí)點(diǎn)11:二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

①對(duì)稱性：二項(xiàng)展開(kāi)式中與首尾兩端距離相等的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等：a=CL

n+1n+1

②增減性：當(dāng)左<——時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)遞增，當(dāng)左〉——時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)遞減；

22

③最大值：當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，最中間兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.

④各二項(xiàng)式系數(shù)和：端+C；+…+C/+…+C,；=2"("eN*)；

奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等:

C：+C2-Y+C；+…=2"T(〃eN*

03題型歸納

題型一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合

例題1：（2324高二上.江西九江.期末）從1,2,3,4,5,6,7,9中，任取兩個(gè)不同的數(shù)作對(duì)數(shù)的底數(shù)

和真數(shù)，則所有不同的對(duì)數(shù)的值有（）

A.30個(gè)B.42個(gè)C.41個(gè)D.39個(gè)

例題2：（2324高二下.江蘇蘇州.期末）若AUB={%,%,%,%}="，則符合條件的有序集合對(duì)（A3）的個(gè)

數(shù)為（）

A.81B.90C.108D.114

例題3：（2324高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）為亮化城市，現(xiàn)在要把一條路上7盞燈全部改裝成彩色路燈，如果

彩色路燈有紅、黃、藍(lán)共三種顏色，在安裝時(shí)要求相同顏色的路燈不能相鄰，而且每種顏色的路燈至少要

有2盞，那么有多少種不同的安裝方法？

鞏固訓(xùn)練

1.（2324高二下.江蘇連云港.期中）甲、乙等5人計(jì)劃去上海、蘇州及青島三個(gè)城市調(diào)查農(nóng)民工薪資情況.每

個(gè)人只能去一個(gè)城市，并且每個(gè)城市都要有人去，則不同的分配方案共有種數(shù)為（）

A.150B.300C.450D.540

2.（2324高二下?江蘇南京.期末）從0,1,2,L,9這10個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)不同的數(shù)字組成三位數(shù)，其

中大于130的共有（）

A.520個(gè)B.631個(gè)C.632個(gè)D.647個(gè)

3.（2324高三.全國(guó)?對(duì)口高考）甲廠生產(chǎn)的外殼有3種，顏色有4種.乙廠生產(chǎn)的形狀有4種，顏

色有5種，且均與甲廠生產(chǎn)的不同.這兩廠生產(chǎn)的僅從外殼的形狀和顏色看，共有種.

題型二實(shí)際問(wèn)題中的計(jì)數(shù)

例題1：（2324高二下.江蘇南京.階段練習(xí)）某物流公司需要安排四個(gè)區(qū)域的快遞運(yùn)送，公司現(xiàn)有甲、乙、

丙三位快遞員可選派，要求每個(gè)區(qū)域只能有一個(gè)快遞員負(fù)責(zé)，每位快遞員至多負(fù)責(zé)兩個(gè)區(qū)域，則不同的安

排方案共有（）

A.60種B.54種C.48種D.36種

例題2：（2324高二下?江西.開(kāi)學(xué)考試）小王同學(xué)家3樓與4樓之間有8個(gè)臺(tái)階，已知小王一步可走一個(gè)或

兩個(gè)臺(tái)階，那么他從3樓到4樓不同的走法總數(shù)為（）

A.28種B.32種C.34種D.40種

例題3：（多選）（2324高二下.江蘇常州.階段練習(xí)）現(xiàn)有4個(gè)小球和4個(gè)小盒子，下面的結(jié)論正確的是（）

A.若4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1,2,3,4的盒子，則共有24種放法

B.若4個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1,2,3,4的盒子，且恰有2個(gè)空盒的放法共有18種

C.若4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1,2,3,4的盒子，且恰有1個(gè)空盒的放法共有72種

D.若4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1,2,3,4的盒子，每個(gè)盒子一個(gè)小球，且小球的編號(hào)和盒子的編號(hào)

全不相同的方法共有9種

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）某人從上一層到二層需跨10級(jí)臺(tái)階，他一步可能跨1級(jí)臺(tái)階，稱為一階步，也

可能跨2級(jí)臺(tái)階，稱為二階步，最多能跨3級(jí)臺(tái)階，稱為三階步，從一層上到二層他總共跨了6步，而且

任何相鄰兩步均不同階，則他從一層到二層可能的不同走法共有（）種.

A.10B.9C.8D.12

2.（2324高二下?江蘇蘇州?階段練習(xí)）甲組有男同學(xué)5名，女同學(xué)3名：乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué).若

從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有（）

A.345種B.225種C.120種D.690種

3.（2324高二下?江蘇鹽城?階段練習(xí)）已知一個(gè)袋內(nèi)有4只不同的紅球，6只不同的白球.現(xiàn)從中一次任

取5只球，取一只紅球記2分，取一只白球記1分.

（1）求總分不小于7分的取法共有多少種？

（2）若要抽出總分為8的5個(gè)球排成一排，且僅有2個(gè)紅球相鄰，共有多少種不同的排法？

題型三代數(shù)（幾何）中的計(jì)數(shù)問(wèn)題

例題1:（2324高二下?江蘇宿遷?階段練習(xí)）（。1+初（偽+2）（Q+C2+C3）完全展開(kāi)后的項(xiàng)數(shù)是（）

A.7B.9C.12D.18

例題2：（2425高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）古代中國(guó)的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界，畫(huà)出形狀相同的兩

個(gè)陰陽(yáng)魚(yú)，陽(yáng)魚(yú)的頭部有個(gè)陰眼，陰魚(yú)的頭部有個(gè)陽(yáng)眼，表示萬(wàn)物都在相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，陰中有陽(yáng)，

陽(yáng)中有陰，陰陽(yáng)相合，相生相克，蘊(yùn)含現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律.由八卦模型圖可抽象得到正八邊

形，從該正八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)中任意取出4個(gè)構(gòu)成四邊形，其中梯形的個(gè)數(shù)為.

例題3：（2024?全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）二維碼是一種由黑色和白色組成的召售方格陣圖，規(guī)定如果一個(gè)7x7的二

維碼有對(duì)稱軸且繞其中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后能與自身重合，稱其為“轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)碼”，則“轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)碼”的個(gè)數(shù)為.（用

數(shù)字作答）

鞏固訓(xùn)練

1.（2324高二下?廣東深圳?階段練習(xí)）若從1,2,3,9這9個(gè)整數(shù)中取出4個(gè)不同的數(shù)排成一排，依

次記為a,b,c,d,則使得axbxc+d為偶數(shù)的不同排列方法有（）

A.1224種B.1800種C.984種D.840種

2.（2324高二下.江蘇南京.階段練習(xí)）已知/={1,2,3},A^B=I,則不同的有序集合對(duì)（A3）有種.

3.（2425高三上?上海?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)P（a,。）的坐標(biāo)滿足且6都是集合

{1,2,3,4,5,6}中的元素.又點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離|OP|25,則這樣的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)為.

題型四數(shù)字排列問(wèn)題

例題1：（2324高二下.江蘇徐州.期末）用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.48B.60C.96D.120

例題2：（2324高二下?河南洛陽(yáng)?期中）用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇

數(shù)共有（）

A.48個(gè)B.24個(gè)C.18個(gè)D.12個(gè)

例題3：（2324高二下.江蘇?課后作業(yè)）用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字.

（1）可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的號(hào)碼？

（2）可以排成多少個(gè)三位數(shù)？

（3）可以排成多少個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

（4）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？

鞏固訓(xùn)練

1.（2324高二下?福建福州?期中）定義：“各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù)”，比如“1005,2013”,則

所有“幸運(yùn)數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）

A.20B.56C.84D.120

2.（2324高二下?天津南開(kāi)?期中）用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)（）

A.720B.648C.320D.328

3.（2024?全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）由數(shù)字01,2,3,4,5,6,7組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則能被5整除的三位數(shù)共有

個(gè).

題型五涂色問(wèn)題

例題1：（2324高二下?江蘇連云港?階段練習(xí)）如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)

格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有（）種.

A.480B.600C.360D.750

例題2：（2324高二下.江蘇南京?期中）如圖，用4種不同的顏色給圖中四塊區(qū)域涂色，若相鄰的

區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（）

C.84D.108

例題3：（2324高二下.江蘇徐州?期中）如圖是一個(gè)由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方

形，現(xiàn)在用四種顏色給這四個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)

域顏色不相同，則不同的涂色方法有種.

鞏固訓(xùn)練

1.（2324高二下?江蘇鹽城?期中）用4種不同的顏色給如圖所示的4塊區(qū)域上色，要求相鄰2塊涂不同的

2.（2324高二下.江蘇宿遷?期末）如圖，用四種不同顏色給圖中的五個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂

一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色.則不同的涂色方法共有種.

3.（2324高二下?江蘇?課前預(yù)習(xí)）用6種不同顏色的粉筆寫(xiě)黑板報(bào)，板報(bào)設(shè)計(jì)如圖所示，要求相鄰區(qū)域不

能用同一種顏色的粉筆，則該板報(bào)共有多少種不同的書(shū)寫(xiě)方案？

飛界

語(yǔ)文學(xué)苑\數(shù)學(xué)

天地

題型六元素位置有限制的排列問(wèn)題

例題1：（2425高二上?江蘇常州?期末）某班一天上午有4節(jié)課，下午有2節(jié)課，現(xiàn)要安排該班一天中語(yǔ)文、

數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、體育、藝術(shù)、通技各一節(jié)課的課表，要求數(shù)學(xué)課排在上午，體育課排在下午，不同的排法種

數(shù)是（）

A.96B.192C.384D.768

例題2：（2324高二下?江蘇南京?期末）即將暑假，小明一家5人計(jì)劃開(kāi)車回趟老家，車子前排有駕駛座和

副駕駛座，后排有3個(gè)座位.家人中只有小明和哥哥不會(huì)開(kāi)車,且小明未成年只能坐在后排，則一共有一種

不同的乘坐方式.

例題3：（2324高二下?江蘇南京?期中）晚會(huì)上共有7個(gè)節(jié)目，其中有4個(gè)不同的歌唱節(jié)目，2個(gè)不同的舞

蹈節(jié)目和1個(gè)相聲節(jié)目，分別按以下要求各可以排出多少種不同的節(jié)目單.

（1）2個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰；

（2）前3個(gè)節(jié)目中既要有歌唱節(jié)目又要有舞蹈節(jié)目.

鞏固訓(xùn)練

1.（2425高一上?江蘇南京?自主招生）從1,2,3,29,30,中選三個(gè)不同的數(shù)。，b,c,且滿足》=a+c

的數(shù)組（。也c）的對(duì)數(shù)為（）

A.120B.210C.420D.105

2.（2324高二下?江蘇南通?期中）學(xué)校要安排一場(chǎng)文藝晚會(huì)的8個(gè)節(jié)目的演出順序，學(xué)生的節(jié)目有6個(gè)，

教師的節(jié)目有2個(gè)，如果教師的節(jié)目既不排在第一個(gè)，也不排在最后一個(gè)，那么不同的排法數(shù)為（）

A.A：B.A^A；C.A；A；D.A；-A；A：

3.（2324高二下?江蘇南通?期末）電視臺(tái)有6個(gè)不同的節(jié)目準(zhǔn)備當(dāng)天播出，每半天播出3個(gè)節(jié)目，其中某

電視劇和某專題報(bào)道必須在上午播出，則不同播出方案的種數(shù)為（）

A.24B.36C.72D.144

題型七相鄰（不相鄰）問(wèn)題

例題1：（2324高二下.江蘇南通?階段練習(xí)）某電視臺(tái)計(jì)劃在五一期間某段時(shí)間連續(xù)播放5個(gè)廣告，其中2

個(gè)不同的商業(yè)廣告和3個(gè)不同的公益廣告，要求第一個(gè)必須是公益廣告，且商業(yè)廣告不能連續(xù)播放，則不

同的播放方式有（）種.

A.144B.72C.64D.36

例題2：（多選）（2324高二下.江蘇宿遷?期中）在青華中學(xué)舉行的課本劇大賽中，高二（16）班有3名男

生，2名女生獲得一等獎(jiǎng).現(xiàn)將獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生排成一排合影，則（）

A.3名男生排在一起，有36種不同排法B.2名女生不排在一起，有72種不同排法

C.3名男生均不相鄰，有12種不同排法D.女生不站在兩端，有108種不同排法

例題3：（2324高二下?江蘇徐州?期中）有8名同學(xué)站成一排照相，符合下列各題要求的不同排法共有多少

種（用數(shù)字作答）？

（1）甲同學(xué)既不站在排頭也不站在排尾；

（2）甲、乙、丙三位同學(xué)兩兩不相鄰；

⑶甲、乙兩同學(xué)相鄰，且丙、丁兩同學(xué)也相鄰；

（4）甲、乙兩同學(xué)不相鄰，且乙、丙兩同學(xué)也不相鄰.

鞏固訓(xùn)練

1.（多選）（2324高二下?江蘇南京?階段練習(xí)）2023年國(guó)外某智庫(kù)發(fā)布尖端技術(shù)研究國(guó)家競(jìng)爭(zhēng)力排名，在

極超音速和水下無(wú)人機(jī)等23個(gè)領(lǐng)域中，中國(guó)在其中19個(gè)領(lǐng)域領(lǐng)先.某科技博主從這19個(gè)領(lǐng)域中選取了

A、B、C、D、E、P六個(gè)領(lǐng)域，準(zhǔn)備在2024年1月1—6日對(duì)公眾進(jìn)行介紹，每天隨機(jī)介紹其中一個(gè)領(lǐng)域，

且每個(gè)領(lǐng)域只在其中一天介紹，則（）

A.A與8相鄰，共有240種排法

B.CD相隔一天介紹的方法種數(shù)為96

C.若A與C不相鄰，共有480種排法

D.若E在尸的前面，共有360種排法

2.（2324高二下?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）五種不同商品在貨架上排成一排，其中A,B兩種必須連排，而C,

。兩種不能連排，則不同的排法共有種.

3.（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）把5個(gè)人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲

乙安排在不相鄰的兩天，乙丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法有種.

題型八間接法

例題1：（2025?貴州安順?模擬預(yù)測(cè)）甲，乙兩名大學(xué)生計(jì)劃今年寒假分別從黃果樹(shù)風(fēng)景名勝區(qū)、龍宮景區(qū)、

天龍屯堡景區(qū)、安順古城四個(gè)不同的景區(qū)中隨機(jī)選兩個(gè)景區(qū)前往旅游打卡，則這兩人恰好有一個(gè)景區(qū)相同

的選法共有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

例題2：（2425高三上?山東日照?期末）從包含甲、乙兩人的7人中選出3人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、團(tuán)支書(shū)、學(xué)習(xí)

委員，則甲、乙至多有1人被選中的不同選法有（）

A.60種B.120種C.180種D.210種

例題3：（多選）（2425高二上?河南駐馬店?期末）甲、乙、丙、丁、戊5人參加完某項(xiàng)活動(dòng)后合影留念,

貝U（）

A.甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120種排法

B.5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有24種排法

C.5人站成一排，甲不在兩端，共有144種排法

D.5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78種排法

鞏固訓(xùn)練

1.（2425高三上?江西?期末）小明、小紅等5人報(bào)名學(xué)校的三類選修課（球類、武術(shù)類、田徑類），規(guī)定每

個(gè)人只能報(bào)其中的一類選修課,且每類選修課至少一人報(bào)名，則小明和小紅不報(bào)同一類選修課的情況有（）

A.132種B.114種C.96種D.84種

2.（2425高二上?河南駐馬店?階段練習(xí)）某中學(xué)高二年級(jí)入學(xué)進(jìn)行了一場(chǎng)為期一周的軍訓(xùn)，在軍訓(xùn)過(guò)程中，

教官根據(jù)班級(jí)表現(xiàn)從各個(gè)維度進(jìn)行評(píng)分，最終評(píng)出“先進(jìn)集體”“作風(fēng)優(yōu)良班級(jí)”“紀(jì)律優(yōu)良班級(jí)”“素質(zhì)優(yōu)良班

級(jí)”四個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng).已知總共有三個(gè)班級(jí)獲獎(jiǎng)，其中有兩個(gè)班級(jí)均獲得了“先進(jìn)集體”，剩余三個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)每個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)均

只有一個(gè)班級(jí)獲得，則所有的頒獎(jiǎng)方式有（）

A.57種B.60種C.114種D.120種

3.（2324高三上?四川內(nèi)江?階段練習(xí)）根據(jù)學(xué)校要求，錯(cuò)峰放學(xué)去食堂吃飯，高三年級(jí)五樓有4個(gè)班排隊(duì)，

1班不能排在最后，4班不能排在第一位，則四個(gè)班排隊(duì)吃飯的不同方案有種.（用數(shù)字作答）

題型九幾何中的組合問(wèn)題

例題1：（2324高二下?四川眉山?期末）一個(gè)直四棱柱的底面為梯形，這個(gè)四棱柱的每?jī)蓚€(gè)頂點(diǎn)相連形成多

條直線，這些直線最多能組成（）對(duì)異面直線

A.174B.180C.210D.368

例題2：（2324高三下?江蘇泰州?階段練習(xí)）將“用一條線段聯(lián)結(jié)兩個(gè)點(diǎn)”稱為一次操作，把操作得到的線段

稱為“邊”.若單位圓上〃個(gè)顏色不相同且位置固定的點(diǎn)經(jīng)過(guò)上次操作后，從任意一點(diǎn)出發(fā)，沿著邊可以到達(dá)

其他任意點(diǎn)，就稱這〃個(gè)點(diǎn)和左條邊所構(gòu)成的圖形滿足“條件T”，并將所有滿足“條件T”的圖形個(gè)數(shù)記為

Tgk）,則7（5,4）=.

例題3：（2324高二下.江蘇淮安?階段練習(xí)）平面上有9個(gè)點(diǎn)，其中有4個(gè)點(diǎn)共線，除此外無(wú)3點(diǎn)共線.

（1）這9個(gè)點(diǎn)，可確定多少條不同的直線？

（2）以這9個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以確定多少個(gè)三角形？

（3）以這9個(gè)點(diǎn)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以確定多少個(gè)四邊形？

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?福建?模擬預(yù)測(cè)）正八面體中，以其頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的個(gè)數(shù)為（用數(shù)字作答）.

2.（2324高二下?河南洛陽(yáng)?期中）已知正四棱錐尸-ABCD,從底面四個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,。和四條側(cè)棱的

中點(diǎn)共8個(gè)點(diǎn)中任選4個(gè)作為三棱錐的頂點(diǎn)，可得三棱錐個(gè).（用數(shù)字作答）

3.（2425高三?上海?隨堂練習(xí)）連結(jié)正三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)，可以組成個(gè)四面體.

題型十分組分配問(wèn)題

例題1：（2324高二下?福建福州?階段練習(xí)）正值元宵佳節(jié)，赤峰市“盛世中華?龍舞紅山”紀(jì)念紅山文化命名

七十周年大型新春祈福活動(dòng)中，有5名大學(xué)生將前往3處場(chǎng)地A,反C開(kāi)展志愿服務(wù)工作.若要求每處場(chǎng)地都

要有志愿者，每名志愿者都必須參加且只能去一處場(chǎng)地，則當(dāng)甲去場(chǎng)地A時(shí)，場(chǎng)地8有且只有1名志愿者

的概率為（）

3r21-14

A.-B.—C.—D.一

450255

例題2：（2025?甘肅白銀?模擬預(yù)測(cè)）某高校有8名研究生要去小興安嶺采集植物樣本，其中男生6人，女

生2人，將這8人分成兩組，若要求每組至少2人，且兩名女生不單獨(dú)成組，則不同的分組方案共有（）

A.240種B.158種C.126種D.118種

例題3：（2425高三上?黑龍江大慶?期中）有5項(xiàng)不同的任務(wù)安排給甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一

項(xiàng)且每項(xiàng)任務(wù)只安排一人完成，則分配給甲的任務(wù)不超過(guò)兩項(xiàng)的安排方法有（）

A.260種B.220種C.160種D.130種

例題4：（2425高三上?內(nèi)蒙古通遼?期末）為深入貫徹黨的二十大精神，我市邀請(qǐng)A、B、C、D、E五位

黨的二十大代表分別到一中、五中、鐵中、蒙中做宣講工作，每個(gè)學(xué)校至少一人參加.若其中A、5因只會(huì)

漢語(yǔ)不能到蒙中宣講，其余三人蒙漢兼通，可選派到任何學(xué)校宣講.則不同的選派方案共有種.

鞏固訓(xùn)練

1.（2425高三下?山東聊城?開(kāi)學(xué)考試）寒假期間某校6名同學(xué)打算去安徽旅游，體驗(yàn)皖北與皖南當(dāng)?shù)氐娘L(fēng)

俗與文化，現(xiàn)有黃山、宏村、八里河三個(gè)景區(qū)可供選擇，若每個(gè)景區(qū)中至少有1名同學(xué)前往打卡，則不同

方案的種數(shù)為（）

A.180B.360C.450D.540

2.（2425高二上?江西贛州?期末）2024年是紅軍長(zhǎng)征出發(fā)九十周年，

為弘揚(yáng)紅色文化、促進(jìn)健康生活方式，江西省體育局、贛州市人民政府共同舉辦了一場(chǎng)2024于都紅色半程

馬拉松比賽.某單位6名志愿者準(zhǔn)備分成三組前往比賽途徑的中央紅軍長(zhǎng)征出發(fā)地紀(jì)念碑、金山大道、于

都體育中心這三個(gè)站點(diǎn)進(jìn)行志愿者活動(dòng)，要求每組至少有1名且最多有3名志愿者，則不同安排的方法數(shù)

為（）

A.540B.450C.360D.180

3.（遼寧省丹東市20242025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）將甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A,B,

C三個(gè)地區(qū)參加公益活動(dòng)，要求每個(gè)地區(qū)都要有志愿者且最多不超過(guò)2人，則不同的分配方案有（）

A.90種B.180種C.60種D.120種

4.（2425高三上?河北邢臺(tái)?期末）運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，將甲、乙等5名志愿者安排到A,B,C三個(gè)場(chǎng)地參加志

愿服務(wù)，每名志愿者只能安排去一個(gè)場(chǎng)地，每個(gè)場(chǎng)地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到

同一個(gè)場(chǎng)地，則不同的安排方法種數(shù)為（）

A.72B.96C.114D.124

題型H'■一■隔板法

例題1：（2425高三上?陜西西安?期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著之一，其中記載了關(guān)于粟米分配

的問(wèn)題.現(xiàn)將14斗粟米分給4個(gè)人，每人分到的粟米斗數(shù)均為整數(shù)，每人至少分到1斗粟米，則不同的分

配方法有（）

A.715種B.572種C.312種D.286種

例題2：（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）不等式占+%+W412,其中占,馬,%是非負(fù)整數(shù)，則使不等式成立的三元

數(shù)組（%,馬,不）有多少組（）

A.560B.455C.91D.55

例題3：2425高三上?內(nèi)蒙古赤峰?階段練習(xí)）2024年9月1日出版的第17期《求是》雜志發(fā)表了中共中

央總書(shū)記、國(guó)家主席、中央軍委主席習(xí)近平的重要文章《培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接

班人》?某校積極響應(yīng)總書(shū)記的指示，創(chuàng)造性提升學(xué)生勞動(dòng)意識(shí)和社會(huì)實(shí)踐能力，利用周末進(jìn)社區(qū)義務(wù)勞動(dòng).

高三年級(jí)共有6個(gè)班，其中只有1班有2個(gè)勞動(dòng)模范，本次義務(wù)勞動(dòng)一共20個(gè)名額，勞動(dòng)模范必須參加并

不占名額，每個(gè)班都必須有人參加.給出以下四個(gè)命題：①若1班不再分配名額，則共有C；。種分配方法；②

若1班有除勞動(dòng)模范之外的學(xué)生參加，則共有C；9種分配方法；③若每個(gè)班至少3人參加，則共有90種分

配方法；④若每個(gè)班至少3人參加，則共有126種分配方法.其中正確命題的序號(hào)是.

鞏固訓(xùn)練

1.（2324高二下?河南漠河?階段練習(xí)）某學(xué)校利用周末時(shí)間組織學(xué)生進(jìn)行志愿者服務(wù)，高二年級(jí)共6個(gè)班，

其中（1）班有2個(gè)志愿者隊(duì)長(zhǎng)，本次志愿者服務(wù)一共20個(gè)名額，志愿者隊(duì)長(zhǎng)必須參加且不占名額，若每

個(gè)班至少有3人參加，則共有（）種分配方法.

A.90B.60C.126D.120

2.（2425高三上?江蘇南通?階段練習(xí)）把8個(gè)相同的籃球分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，不同的分發(fā)種數(shù)為

（）

A.70B.99C.110D.165

3.（2324高二下?山西臨汾?期中）將10個(gè)詩(shī)歌朗誦比賽名額全部分給6個(gè)不同的班，每個(gè)班至少有1個(gè)名

額，則不同的分配方案種數(shù)為（）

A.56B.126C.210D.462

題型十二系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)

例題1：（2425高三上?江蘇無(wú)錫?期末）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和是32,則展開(kāi)式中x的

系數(shù)為（）

A.40B.80C.-40D.-80

例題2：（2324高三上.江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）（x-y）（尤+y）8的展開(kāi)式中/曠的系數(shù)為（）

A.20B.-20C.28D.-28

例題3：（2324高二下?江蘇?期中）若［2/+：）的展開(kāi)式中，僅第6項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，則〃等于.

例題4：（2425高三上?江蘇常州?期末）已知（x+ay）（2x-y）5的展開(kāi)式中一丁項(xiàng)的系數(shù)為30,則。=

鞏固訓(xùn)練

1.（2024.江蘇無(wú)錫?模擬預(yù)測(cè)）在（0+3”的展開(kāi)式中，若第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于第10項(xiàng)與

第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，則〃=（）

A.16B.15C.14D.13

2.（2324高二下?江蘇南京?階段練習(xí)）在（丁+2）6的二項(xiàng)展開(kāi)式中，含/的項(xiàng)系數(shù)是（）

A.132B.240C.480D.196

3.（2324高二下?四川南充.階段練習(xí)）。-2引”的展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，貝心?=（）

A.9B.10C.11D.12

4.（2425高三上?江蘇蘇州?期末）已知尤8=4+q（x-i）+a2（x-iy+L+%（x-l）8,則g的值為

題型十三有理項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)問(wèn)題

例題1：（2425高三上?江蘇?期末）在+的展開(kāi)式中，系數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)數(shù)是（）

A.9B.4C.3D.2

例題2：（2425高三上?江蘇南京?階段練習(xí)）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是.（用數(shù)字作答）

例題3：（2324高二下?江蘇宿遷?期末）在（w23,weN*）的展開(kāi)式中，第2,3,4項(xiàng)的二項(xiàng)式系

數(shù)依次成等差數(shù)列.

（1）證明展開(kāi)式中不存在常數(shù)項(xiàng);

（2）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).

鞏固訓(xùn)練

1.（2324高二下?江蘇南通?階段練習(xí)）已知/J（其中。＞0）的展開(kāi)式中的第7項(xiàng)為7,則展開(kāi)式

中的有理項(xiàng)共有項(xiàng).

2.（2425高三上?江蘇?階段練習(xí)）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.

3.（2324高二下?江蘇泰州?期末）在+的展開(kāi)式中，第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)之比為?.

⑴求〃的值;

⑵求展開(kāi)式中的有理項(xiàng).

題型十四系數(shù)最大（?。?/p>

例題1：（2324高二下?江蘇南通?階段練習(xí)）在卜-（J的二項(xiàng)展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是（）

A.第4項(xiàng)B.第5項(xiàng)C.第6項(xiàng)D.第5項(xiàng)和第6項(xiàng)

例題2：（2324高二下?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）已知的二項(xiàng)展開(kāi)式共有13項(xiàng)，完成以下問(wèn)題:

（1）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和；

（2）展開(kāi)式中是否存在常數(shù)項(xiàng)，若有，請(qǐng)求出常數(shù)項(xiàng)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）求展開(kāi)式中的系數(shù)最大的項(xiàng).

（注：結(jié)果用數(shù)字作答）

例題3（2324高二下?江蘇連云港?期中）的展開(kāi)式中，前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，且第二

項(xiàng)的系數(shù)大于1

⑴求展開(kāi)式中含，的項(xiàng);

（2）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).

鞏固訓(xùn)練

1.（2324高二下?江蘇泰州?期末）已知（1-x）"的展開(kāi)式中，僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中系

數(shù)的最小值為（）

A.-126B.-84C.-56D.-35

2.（2324高二下?江蘇泰州.階段練習(xí)）的二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第（）項(xiàng)

A.2B.3C.4D.2或3

3.（2324高二下?江蘇南京?期中）在的展開(kāi)式中，

（1）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；

（2）求系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為第幾項(xiàng).

題型十五賦值法求系數(shù)和

20211

例題1：（2324高二下,湖南常德?期中）已知（4x—3戶"=g+qxH-----1-a202lx,貝汁，"+沫"+j"----44第=

（）

A.32021-22021B.-1C.22021-32021D.1

例題2：（多選）（2324高二下?福建泉州?階段練習(xí)）若

（2x+3）=a。+a［（尤+2）+a。（尤+2）+,—+。9（尤+2）+4。（尤+2）,貝|（）

310-1

A.=-1B.a2+〃4++。10=

C.a1+a2-\-----F%o=lD.—+—|-H----1■，+■^?=一］

22229210

例題3：（2324高二下?江蘇南通?階段練習(xí)）設(shè)（3%-1）7=%+4%+%/+〃3欠3+〃4/+%%5+〃6%6+。7%7，求：

⑴。2+。4+。6；

（2）同+同+㈤+同+同+同+|〃6|+|%|.

鞏固訓(xùn)練

1.（多選）（2324IWJ二下,江蘇鎮(zhèn)江?期中）已知x（3—2x）6=a。+%（x—l）+〃2（x—H---F（x—I）7,下列等

式正確的是（）

A.%=1B.4+%H-----F%=2

C.4+2%-----1~7%=13D.%+〃4+。6=0

2.（2324高二下?江蘇徐州?階段練習(xí)）已知（2%-1）〃=/+/兀+2%2+…當(dāng)〃=7時(shí)，則

q+2出+3/+,?,+〃〃〃的彳百

52345

3.（2425高二上?江蘇常州?期末）^（2x-I）=aQ+axx+a2x+a3x+a4x+a5x,求值：

⑴%;

（2）q++〃3+〃4+。5;

（3）（。0+。2+。4）2—（q+。3+。5）2?

題型十六整除與余數(shù)、近似計(jì)算問(wèn)題

例題1：（2425高三上?江蘇南通?階段練習(xí)）已知％CN*,若122024=i3x+y,0<y<13,則丁=（）

A.1B.6C.7D.12

例題2：（2324高二下?江蘇南通?階段練習(xí)）9”除以7的余數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

例題3：（2324高二下.江蘇連云港.期中）設(shè)aeZ,且0V〃V3,若Z??！?”能被3整除，則。=（）

A.0B.1C.2D.3

鞏固訓(xùn)練

1.（2324高二下?江蘇鎮(zhèn)江?期中）32024的個(gè)位數(shù)是（）

A.1B.3C.6D.9

2.（2324高二下?廣東佛山?期中）已知（2%+1）=4++L+%024%2°24,貝|卬+%+L+。2024被8

除的余數(shù)為（）

A.3B.2