導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的經(jīng)典題型突破（單調(diào)性、不等式、零點(diǎn)、恒成立）【10大題型】原卷版-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)（人教A版選擇性必修第二冊）

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的經(jīng)典題型突破

（單調(diào)性、不等式、零點(diǎn)、恒成立）110大題型】

【題型歸納】

＞題型一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題

＞題型二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問題

＞題型三、利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題

＞題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題

＞題型五：利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題

＞題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根問題

＞題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)和圖像問題

＞題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題

＞題型九：利用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際問題

＞題型十、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題

【題型探究】

題型一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題

1.（23-24高二下?遼寧?期末）若對任意的國,X2C（e,+。），且再＜%,都有他紅血也＜機(jī)，則加的最小值是

?^2

（）

A.yjeB.eC.0D.1

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）己知函數(shù)/（x）=（x-2）ei-ax2+2ax.

⑴當(dāng)a=e時，求/（x）的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)/（無）在x=l處取得極小值，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

1

3.(23-24高二下?山東臨沂?期中)已知函數(shù)-e"g(x)=ln(x+l)--^+l

⑴當(dāng)a=0時，討論;'(x)的單調(diào)性；

⑵若任意不，x2e[0,+oo),都有“xJ+lWgG)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

題型二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問題

4.(23-24高二下?安徽蕪湖?期中)若函數(shù)/(x)=；x3-ax-g在(-8,0)內(nèi)只有一個零點(diǎn)，則/(無)的零點(diǎn)之和為

5.(23-24高二下?吉林?期中)已知函數(shù)/(無)=e，-皿

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間并求出極值；

⑵若/(x)2x”n尤-r+gv+e，在g,+◎上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2

6.(2024?江蘇,二模)已知函數(shù)/(無)=^——-+aInx{aeR).

x

⑴當(dāng)a=0時,證明：/(x)>l；

(2)若〃x)在區(qū)間(1,+s)上有且只有一個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題型三、利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題

7.(23-24高二下?江蘇南通?期末)已知函數(shù)〃幻=^+7一，若V%,xeR,x^x,都有“網(wǎng))一〃w)>一2,

22

再-x2

則實(shí)數(shù)加的最大值為()

A.V3B.V6C.273D.276

8.(23-24高二下?浙江?期中)已知函數(shù)/(x)=a(e=l),對任意xe(0,+s),總有〃x)N2x成立，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍為()

A.aN—B.0<a?2

2

C.QN2D.0<aW一

2

9.(23-24高二下?天津?期末)已知函數(shù)/■(無)=山工-："2一2z存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.y)B.

C.D.(l,+°o)

題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題

10.(23-24高三上?云南昆明)函數(shù)/(x)=(3x2-6x+a+3)e，，若存在x°eR,使得對任意xeR,都有

/(X”/(%),則a的取值范圍是()

3

A.?>0B.Q40C.Q>3D.a<3

IL（22-23高二下?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí)）若存在xe-,e,使得不等式2xlnx+,一y+320成立，則實(shí)數(shù)優(yōu)的最

e

大值為（）

13

A.-+3e-2B.e+-+2C.4D.e2-l

ee

2m—1_

12.（24-25高二上?重慶渝中?期末）已知函數(shù)/（%）=/----7的圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值

x+1

范圍是（）

題型五：利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題

13.（24-25高二上?江蘇南京?期末）已知函數(shù)/（a=^+3/+根在R上有三個零點(diǎn)，則加的取值范圍是（）

C.（0,4）K）

A.（-4,0）B.（-20,0）

函數(shù)》=尤3一"+!存在3個零點(diǎn)，則。的取值范圍為（）

14.（23-24高二下?四川涼山?期中）

3「3、

C.（-,+℃）D.[-,+℃）

15.（23-24高二下?山東東營?期末）已知函數(shù)/（x）=（/-3以，若方程f（x）=a有三個實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍為（）

A.^0,—B.（―2e,0）C.^-2e,—'jD.,6e3^j

題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根問題

16.（23-24高二下?重慶?期末）若方程x2+3x+l=Ae，恰有三個不相等的實(shí)根，則上的取值范圍是（）

17.（2024?四川攀枝花?二模）若關(guān)于x的方程/=e，（e，-ax）存在三個不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（

18.（23-24高二下.甘肅蘭州.期中）若不等式2xe「a（x-l）<0（其中。<1）的解集中恰有一個整數(shù)，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是（）

343

A.—r?Q<—z-B.—TVQ<1

2e3e2e

4

14,1

C.—<Q<1D.--WQ<—

e3e2e

題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)和圖像問題

19.（23-24高二上?廣東深圳?期末）過點(diǎn)（1M）可以做三條直線與曲線》=疣、相切，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

5

A.B.C.D.-1,o

-9~e2'e

20.（22-23高二下?黑龍江齊齊哈爾?期中）已知函數(shù)〃x）=a，若不等式〃x）<0有且僅有1個整數(shù)解,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

In2In3ln31In2In2In3In2

A.B.C.D.

418IP丁

21.（22-23高三上?山東煙臺?期中）若對任意正實(shí)數(shù)》,y者B有Qy-q（lnx-In〉）-

-^0,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為

m

(

A.(0,1]B.(0,e]

C.(—8,0)[1,+CO)D.(-oo,0)o[e,+oo)

題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題

22.（20-21高二下?重慶九龍坡?期中）已知函數(shù)/（x）=Q-lnx,g（x）=x2e"若對任意的王￡[l,e],都存在唯一的

x2e[-l,l],使得/（再）=8（々）成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

1,l+el+1,e

A.[l,e]B.C.D.l+-,e+l

In,

23.（20-21高三上,安徽?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=x/,g（x）=xlnx,右/（可）=g?）=:，t>0,則---的最大值

XlX2

為（）

1412

A.—zB-7C.一D.-

eee

24.（23-24高二下?山東荷澤?期中）若函數(shù)〃x）=e，-alnx+l在區(qū)間（1,2）上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

2

A.e,e2B.C.(-oo,e)U(e,+oo)D.,e2

5

題型九：利用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際問題

25.（23-24高二下?北京通州,期中）如圖1所示，現(xiàn)有一塊邊長為1.5m的等邊三角形鐵板，如果從鐵板的三個角各

截去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正三棱柱形的容器如圖2.則容器的容積后？是容器底面邊

長xm的函數(shù).

⑴寫出函數(shù)的解析式并注明定義域;

⑵求這個容器容積的最大值.

26.（23-24高二下?北京西城?期末）為冷卻生產(chǎn)出來的工件，某工廠需要建造一個無蓋的長方體水池，要求該水池

的底面是正方形，且水池最大儲水量為6mM已知水池底面的造價為600元/n?,側(cè)面的造價為400元/n?.（注：銜

接處材料損耗忽略不計(jì)）

（1）把水池的造價S（單位：元）表示為水池底面邊長x（單位：m）的函數(shù)；

（2）為使水池的總造價最低，應(yīng)如何確定水池底面的邊長？

6

27.(23-24高二下?四川南充?期中)請你設(shè)計(jì)一個包裝盒.如圖1所示，/BCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切

去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得/、B、C、。四個點(diǎn)重合于圖2中的點(diǎn)P,

正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒.點(diǎn)E、尸在上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點(diǎn).設(shè)

AE=BF=x（單位：cm）.

圖1圖2

⑴某廠商要求包裝盒的容積片(x)(單位：cm)最大，試問無應(yīng)取何值?

(2)設(shè)g(x)=Inx—X⑴+6廣_me，,(其中叫”是憶⑴的導(dǎo)數(shù))，己知g(x)在(0,2］上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)加的取

60yj2

值范圍.

7

題型十、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題

28.（23-24高二下?福建福州?期末）已知函數(shù)/（x）=e2工-"-1,

（1）討論的單調(diào)區(qū)間；

⑵若/'（X）在區(qū)間（0,+8）上存在唯一零點(diǎn)七,證明：x0<a-2.

29.（22-23高二下?廣東陽江?期中）己知函數(shù)/（x）=lnx+g7nx2-x+2,其中〃2V2.

（1）若冽=一2,求/（X）的極值；

⑵證明：r（x）<—.

8

30.（23-24高二下?遼寧?期中）已知函數(shù)/（x）=ox-l-lnx（aeR）.

⑴若。=2,求/（尤）在1,e上的最大值和最小值；

（2）若。=1,當(dāng)x>l時，證明：xhu>/（x）恒成立；

⑶若函數(shù)/（無）在x=l處的切線與直線/：x=l垂直，且對Vxe（O,+s）,/（x"bx-2恒成立，求實(shí)數(shù)6的取值范

圍.

【專題強(qiáng)化】

一、單選題

31.（23-24高二下?北京大興?期中）已知函數(shù)/（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.B.g,+4

C.（0.1）。.陷

32.（23-24高二下?云南昆明?期末）已知函數(shù)y=x2-cosx-a在（-%，萬）上有且僅有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的值為

（）

A.1B.-1C.2D.-2

33.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=x3-x+l,則（）

A./（無）有三個極值點(diǎn)B./（》）有三個零點(diǎn)

C.點(diǎn)（0,1）是曲線y=/（x）的對稱中心D,直線y=2x是曲線y=/（x）的切線

34.（23-24高二下?福建三明?期末）已知函數(shù)/（a=€2，+（"19-》有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.(-℃,0)B.(-8,2)C.(-oo,l)D.

9

阿x>0

35.（23-24高二下?北京通州?期末）已知函數(shù)y（x）=,X'；若方程〃x）=a恰有三個根，則實(shí)數(shù)a的取值

x2+2x,x<0

范圍是（）

A.(0,-)B.[0,—]C.(-1,—)D.(O,-)U{-1}

eeee

〃X）=牛，g（x）=[/（x）]2-的3-1,若g（x）在其定義域上有且僅有兩個

36.（23-24高二下?江蘇蘇州?期末）

零點(diǎn)，則加的取值范圍是（）

122ee2

A.1+—,+00B.

e2'2e

2e

C.-00,----------D.

e2

二、多選題

37.（23-24高二下?江蘇常州?期中）已知下列說法正確的是（）

A.f（x）在x=l處的切線方程為ey-l=OB.單調(diào)遞減區(qū)間為（1,+。）

c./（X）的極小值為:D.方程2024/（x）=l有兩個不同的解

y_Qr>0

38.（23-24高二下?吉林?期中）已知函數(shù)/（"=<*'1，若/（x）的零點(diǎn)為口，極值點(diǎn)為夕，則（）

JCQ,X<U

A.a=0B.a-°=3

c./（X）的極小值為一e-D.〃X）最小值為-e-

39.（23-24高二下?四川涼山?期中）已知函數(shù)/（x）=；x3-ax2+x（aeR）,則下列說法正確的有（）

A.若〃尤）是R上的增函數(shù),則

B.當(dāng)。>1時，函數(shù)〃無）有兩個極值

C.當(dāng)時，函數(shù)/（x）有兩零點(diǎn)

D.當(dāng)。=1時，/（》）在點(diǎn)（0,7（0））處的切線與只有唯一個公共點(diǎn)

40.（23-24高二下?黑龍江齊齊哈爾?期中）己知函數(shù)〃x）=x"M-lnx（eeR）,則（）

A.若tz=0,則函數(shù)/（X）的最小值為1

B.若a=0,貝|/（2023）</（2024）

10

C.若a=l,則方程〃